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18.2 菱形
第十八章 矩形、菱形与正方形
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
学习目标
课时讲解
1
课时流程
2
菱形的定义及性质
菱形的判定
知1－讲
感悟新知
知识点
菱形的定义及性质
1
1.菱形的定义：
定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
图示
数学语言 如图，∵四边形ABCD 是平行四边形，
AB=AD，∴ ABCD 是矩形
感悟新知
知1－讲
特别提醒
1.菱形必须满足两个条件：
一是平行四边形；二是一组邻边相等 .
二者必须同时具备，缺一不可 .
2.菱形的定义既是菱形的性质，又是菱形的一种判定方法 .
3. 菱形的其他性质
(1) 菱形的每条对角线都平分一组对角;
(2) 菱形的任意一条对角线把菱形分成两个全等的等腰三角形．
感悟新知
2.菱形的性质：作为一种特殊的平行四边形，菱形具有平行四边形的一般性质，同时也具有一些特殊性质．如下表：
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性质 数学语言 图示
边 性质定理1：菱形的四条边都相等 ∵四边形ABCD 是菱形，∴AB= BC= CD= AD
对角 线 性质定理2：菱形的对角线互相垂直 ∵四边形 ABCD 是菱形，∴ BD ⊥ AC 感悟新知
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性质 数学语言 图示
对 称 性 轴对 称图 形 两条对称轴：两条对角线所在的直线 直线AC，BD 是菱形 ABCD的两条对称轴
中心 对称 图形 对称中心：两条对角线的交点 AC 与BD 的交点O 是菱形ABCD 的对称中心 感悟新知
3. 菱形的面积：
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公式由来 文字语言 数学语言 图示
菱形的面积公 式 菱形是平行四边形 菱形的面积= 底× 高 S 菱形ABCD= BC·AE
菱形的对角线互相垂直 菱形的面积= 对角线长的乘 积的一半 S 菱形ABCD= AC·BD 感悟新知
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如图 18.2-1，在菱形 ABCD 中， E， F 分别是 BC， CD上的点，且∠ B= ∠ EAF=60°，∠ BAE=18° .
求∠ CEF 的度数 .
例1
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感悟新知
解题秘方：紧扣菱形的性质、三角形外角的性质求解 .
解：如图 18.2-1，连结 AC.
∵ 四边形 ABCD 是菱形，∠ B=60° ，
∴ AB=BC=CD=DA，∠ D= ∠ B=60° .
∴△ ABC 和△ ACD 为等边三角形 .
∴ AB=AC，∠ B= ∠ ACF= ∠ BAC=60° .
感悟新知
在菱形中如果出现 “30°”“60°”“120°”“一边于较短对角线”这些词语时，往往都指向等边三形，我们需用等边三角形的知识来解决 .
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∵∠ EAF=60°，∴∠ BAC= ∠ EAF，
∴△ ABE ≌△ ACF. ∴ AE=AF.
又∵∠ EAF=60°，∴△ EAF 是等边三角形 .
∴∠ AEF=60° .
∵∠ AEC= ∠ B＋∠ BAE= ∠ AEF＋∠ CEF，
∴ 60° ＋18° =60° ＋ ∠ CEF. ∴∠ CEF=18° .
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1-1. [期中· 驻马店] 如图，BD是菱形ABCD的对角线，∠CBD=75°，
(1) 请用尺规作图法，在AD上找点F；使AF=BF；(不要求写作法，保留作图痕迹)
解：如图所示，点F即为所求．
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(2) 在(1)的条件下，连结BF，求∠DBF的度数．
解：如图，∵四边形ABCD是菱形，
∴DC∥AB，∠A＝∠C，CD＝CB.
∴∠ABD＝∠CDB＝∠CBD＝75°.
∴∠A＝∠C＝180°－2×75°＝30°.
∵AF＝FB，∴∠ABF＝∠A＝30°.
∴∠DBF＝∠ABD－∠ABF＝75°－30°＝45°.
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如图 18.2-2，在边长为 4 的菱形 ABCD中， E 为 AD 边的中点，连结 CE 交对角线 BD 于点 F．若∠ DEF= ∠ DFE，则这个菱形的面积为( )
A.16　 B.6
C.12 D. 30
例2
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解题秘方：紧扣菱形的边、对角线的性质，在直角三角形中解决问题 .
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解：如图 15.2-2，连结 AC 交 BD 于点 O．
∵四边形 ABCD 为菱形，
∴ AD∥ BC， CB=AD=4， AC⊥ BD， BO=OD， OC=AO.
∵ E 为 AD 边的中点，∴ DE=2.
∵∠ DEF= ∠ DFE，∴ DF=DE=2.
∵ DE ∥ BC，∴∠ DEF= ∠ BCF.
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又∵∠ DFE= ∠ BFC，∴∠ BCF= ∠ BFC.
∴ BF=BC=4. ∴ BD=BF ＋ DF=4 ＋ 2=6.
∴ OB=OD=3.
在 Rt △ BOC 中， OC= = 7，∴ AC=2OC=2 ．
∴菱形 ABCD 的面积 = AC· BD= × 2 × 6=6 ．
答案： B
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2-1. ［中考·达州］ 如图，菱形 ABCD 的对角线AC， BD 相交于点O，AC =24， BD =10，则菱形 ABCD 的周长为________ ．
52
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2-2. ［中考·乐山］ 已知菱形 ABCD 的两条对角线 AC， BD 的长分别是 8 cm 和 6 cm，则菱形的面积为 ________cm2．
24
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知识点
菱形的判定
2
判定方法 数学语言 图示
边 定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形 在 ABCD 中， ∵ AB=BC， ∴ ABCD 是菱形
判定定理1：四条边都相等的四边形是菱形 在四边形ABCD 中， ∵ AB=BC= CD=AD， ∴四边形ABCD 是菱形 对角 线 判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形 在 ABCD 中， ∵ AC ⊥ BD， ∴ ABCD 是菱形 注意两个
条件不同
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感悟新知
特别提醒
判定菱形的常见思路：
四边形
平行四边形
可依据题目特点选取不同的方法 .
感悟新知
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如图18.2-3，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，
DE∥AC，交BC于点E，DF∥BC，交AC于点F.四边形DECF是菱形吗？为什么？
例3
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解题秘方：紧扣菱形定义中的“两个条件”进行判定.
解：四边形DECF是菱形.
理由：∵DE∥FC，DF∥EC，∴四边形DECF是平行四边形，∠ 2= ∠ 3.
∵CD平分∠ACB，∴∠ 1= ∠ 2.
∴∠ 1= ∠ 3. ∴DE=EC. ∴平行四边形DECF是菱形.
知2－练
感悟新知
3-1. 如图，在ABCD中，G 为BC 边上一点，DG=DC，延长DG 交AB 的延长线于点E，过点A 作AF ∥ ED 交CD的延长线于点F. 求证：四边形AEDF 是菱形.
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感悟新知
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD＝∠C，AD∥BC，AB∥CD.
又∵AF∥ED，∴四边形AEDF是平行四边形．
∵AD∥BC，∴∠DGC＝∠ADE.
∵DG＝DC，∴∠DGC＝∠C，
∴∠BAD＝∠ADE，∴AE＝DE，
∴平行四边形AEDF是菱形．
知2－练
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如图 18.2-4， BD 为 ABCD 的对角线．
例4
解题秘方：从证四条边相等入手判定菱形 .
知2－练
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(1)作对角线BD的垂直平分线，分别交AD， BC， BD于点E，F， O(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)；
解：如图 18.2-4，直线 EF 即为所求 .
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(2)连结 BE， DF．求证：四边形 BEDF 为菱形．
证明：如图 18.2-4，∵ EF 垂直平分 BD，
∴ DO=BO， BE=DE， BF=DF.
∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴ AD ∥ BC，
∴∠ DEO= ∠ BFO，∠ EDO= ∠ FBO．
∴△ DEO ≌△ BFO．∴ DE=BF，
∴ BE=DE=DF=BF，∴四边形 BEDF 为菱形．
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4-1.如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，点E在DA的延长线上，连结BE，过点C作CF∥BE交AD的延长线于点F，连结BF，CF．求证：四边形BECF是菱形．
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证明：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∴AD垂直平分BC. ∴BE＝CE，BF＝CF.
∵CF∥BE，∴∠BED＝∠CFD，∠EBD＝∠FCD.
又∵DB＝DC，∴△EBD≌△FCD(AAS)．
∴EB＝FC.∴EB＝BF＝FC＝EC.
∴四边形BECF是菱形．
感悟新知
知2－练
如图18.2-5，在 ABCD中，对角线AC， BD相交于点O，过点 O 作直线 EF ⊥ BD，分别交 AD， BC 于点 E 和点 F，连结BE， DF. 求证：四边形 BEDF 是菱形 .
例5
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感悟新知
解题秘方：紧扣对角线垂直这一条件，从判定平行四边形入手判定菱形 .
知2－练
感悟新知
证明： ∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ OB=OD， AD ∥ BC.
∴∠ EDO= ∠ FBO，∠ OED= ∠ OFB.
∴△ OED ≌△ OFB. ∴ DE=BF.
又∵ DE ∥ BF，∴四边形 BEDF 是平行四边形 .
又∵ EF ⊥ BD，∴ BEDF 是菱形 .
知2－练
感悟新知
5-1. 如图，四边形 ABCD 是菱形，E， F 是对角线 AC 上的两点， 且 AE=CF， 连结 BF， FD， DE， EB. 求证：四边形 DEBF 是菱形 .
知2－练
感悟新知
证明：连结BD，交AC于点O.
∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，OB＝OD，BD⊥AC.
又∵AE＝CF，∴OA－AE＝OC－CF，即OE＝OF，
∴四边形DEBF是平行四边形．
又∵BD⊥AC，即BD⊥EF，
∴平行四边形DEBF是菱形．
菱形
边的关系
边的性质
对角线的性质
对角线的关系
菱形
定义
轴对称性
性质
判定
角的性质
角的关系

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