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19.2 数据的离散程度
第十九章 数据的分析
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
学习目标
课时讲解
1
课时流程
2
离差平方和与方差
用计算器求平均数和方差
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知识点
离差平方和与方差
1
1. 定义：设有 n 个数据x1， x2，…， xn，各数据与它们的平均数的差的平方分别是 ( x1－ ) 2， ( x2－ ) 2，…， ( xn－ ) 2，，这些值的和称为这组数据的离差平方和.这些值的平均数称为这组数据的方差 ，通常记为σ 2.
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特别提醒
1. 在实际生活中，经常用方差的大小来判断数据的稳定性；
2. 方差的大小与数据本身的大小无关，可能一组数据比较小，但方差较大，也可能一组数据比较大，但方差较小 .
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2.公式：若 n 个数据 x1， x2，…， xn的 平均数为 ， 则离差平方和为 ( x1－ ) 2+ ( x2－ ) 2+…+ ( xn－ ) 2，方差为［ ( x1－ ) 2+ ( x2－ ) 2+…+ ( xn－ ) 2］.
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3.方差的意义：方差反映了每个数据与平均数的平均差异程度，能较好地反映出数据的离散程度，是刻画数据离散程度最常用的统计量. 方差越大，数据的离散程度越大，即越分散；方差越小，数据的离散程度越小，即越稳定.
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4. 几组相关数据的平均数、方差的关系
数据 平均数 方差
x1，x2，x3，x4，…，xn σ 2
x1+a，x2+a，…，xn+a +a σ 2
kx1，kx2，kx3，kx4，…，kxn k k2σ 2
kx1+a，kx2+a，…，kxn+a k +a k2σ 2
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[ 中考·自贡 ]一组数据 6，4， a，3，2 的平均数是 5，
这组数据的方差为( )
A.8 B.5 C.2 D.3
例1
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答案：A
解题秘方：紧扣方差公式求方差.
解：∵ 6， 4， a， 3， 2 的平均数是 5，
∴(6 ＋ 4 ＋ a ＋ 3 ＋ 2)÷ 5=5，解得 a=10.
则这组数据的方差为 ×［(6 － 5) 2+(4 － 5) 2+
(10 － 5) 2+(3 － 5) 2+(2 － 5) 2］ =8.
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1-1.
D
[ 中考·淄博] 数学兴趣小组成员小刚对自己的学习质量进行了测试．如图是他最近五次测试成绩（满分为100分）的折线统计图，那么其平均数和方差分别
是( )
A. 95 分， B. 96 分， 10
C. 95 分， D. 96 分，10
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某射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加全国
比赛，对他们进行了 8 次测试，测试成绩(单位：环)如下表：
例2
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 第八次
甲 10 8 9 8 10 9 10 8
乙 10 7 10 10 9 8 8 10
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解题秘方：紧扣方差公式及方差的稳定性解答 .
(1)根据表格中的数据，计算出甲的平均成绩是 _____环，乙的平均成绩是 _____环；
9
9
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(2)分别计算甲、乙两名运动员 8 次测试成绩的方差；
解：甲运动员 8 次测试成绩的方差为
×［ ( 10 － 9 ) 2+ ( 8 － 9 ) 2+ ( 9 － 9 ) 2+ ( 8 － 9 ) 2
+ ( 10 － 9 ) 2+ ( 9 － 9 ) 2+ ( 10 － 9 ) 2+ ( 8 － 9 ) 2］ =0.75；
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乙运动员 8 次测试成绩的方差为 ×［ ( 10 － 9 ) 2+
( 7 － 9 ) 2+ ( 10 － 9 ) 2+ ( 10 － 9 ) 2+ ( 9 － 9 ) 2+
( 8 － 9 ) 2+ ( 8 － 9 ) 2+ ( 10 － 9 ) 2］ =1.25.
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(3)根据(1)、(2)计算的结果，你认为推荐谁参加全国比赛更合适？并说明理由 .
解：推荐甲参加全国比赛更合适 . 理由如下：
甲、乙的平均成绩相等，说明其实力相当，但甲 8 次测试成绩的方差比乙小，说明甲发挥比较稳定，故推荐甲参加全国比赛更合适 .
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方法点拨：比较两组数据稳定性的方法：
在比较两组数据的稳定性时，一般先看平均数，在平均数相同或相近的情况下，再分析稳定性问题，而方差是反映数据的波动大小的量，因此可以通过比较方差的大小来解决问题 .
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2-1. [ 中考· 河南] 为考察学校劳动实践基地甲、乙两种小麦的长势，数学兴趣小组从两种小麦中各随机抽取20 株进行测量，测得两种小麦苗高的平均数相同，方差分别为σ2甲=3.6，σ2乙=5.8，则这两种小麦长势更整齐的是_______（填“甲”或“乙”）.
甲
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2-2.[ 中考· 遂宁] 体育老师要在甲和乙两人中选择1 人参加篮球投篮大赛，下表是两人5次训练成绩，从稳定的角度考虑，老师应该选_______参加比赛.
甲
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知识点
用计算器求平均数和方差
2
用笔算的方法计算平均数和方差等统计量比较烦琐，如果能够利用计算器，就会大大提高效率．以计算10，14，13，12，13 这5 个数据的平均数和方差为例，按键步骤如下：
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(1)按 打开主屏幕，按方向键选中“统计”应用图标后，按 进入“统计”应用，再按 启动“单变量统计”计算功能；
(2)按
输入所有数据；
(3)按 （单变量结果） ，即可获得这组数据的统计值，其中 =12.4 是平均数，σ2x=1.84 是方差.
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特别提醒
不同型号计算器的按键顺序可能不同 .
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某校八年级进行了一次数学测试，为了了解甲、
乙两班学生的测试情况，从每班抽取 10 名学生的成绩进行分析(单位：分) ：
甲： 86， 78， 80， 86， 92， 85， 85， 87， 86， 88；
乙： 78， 91， 87， 82， 85， 89， 81， 86， 76， 87.
用计算器分别计算它们的平均数和方差，并根据计算结果说明哪个班的测试成绩比较稳定 .
例3
解：用计算器求出甲班10 名学生成绩的平均数是85.3 分，方差是13.81；乙班10 名学生成绩的平均数是84.2 分，方差是20.96. 因为甲班10 名学生成绩的方差小于乙班10 名学生成绩的方差，所以甲班的测试成绩比较稳定.
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解题秘方：按用科学计算器求方差的步骤依次输入即可求出方差，再根据方差越小越稳定得出哪个班的测试成绩比较稳定.
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3-1.甲、乙两台包装机同时包装质量为500 g的物品， 从中各抽出10 袋， 测得其实际质量分别如下（单位：g）借助计算器判断， 包装机包装的10 袋物品的质量比较稳定的是（ ）
A. 甲 B. 乙
C. 一样稳定 D. 无法判断
B
数据的离散程度
定义
数据的
离散程度
方差
公式
意义
作用
离差平方和

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