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15.4 零指数幂与负整数指数幂
第十五章 分式
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
学习目标
课时讲解
1
课时流程
2
零指数幂
负整数指数幂
科学记数法
知1－讲
感悟新知
知识点
零指数幂
1
零指数幂 规定 a0=1( a ≠ 0)
文字叙述 任何不等于0 的数的0 次幂都等于1
推导过程 同底数幂相除，如果被除式的指数等于除式的指数，例如am÷ am，根据除法的意义可知所得的商为1. 另一方面， 如果依照同底数幂的除法来计算，又有am÷ am=am－m=a0. 于是规定a0=1( a≠ 0)
不能忽略．
a可以是不为零的单项式或多项式．
感悟新知
知1－讲
特别解读
1. 零指数幂在同底数幂的除法中，是除式与被除式的指数相同时的特殊情况．
2. 指数为0，但底数不能为0．
知1－练
感悟新知
计算：(1)(－1) 2 026＋ (π－3.14) 0；
(2)( a－b) 0( a ≠ b) .
例1
解题秘方：紧扣零指数幂的运算法则进行计算 .
知1－练
感悟新知
解：∵ π ≈ 3.142 ，∴ π －3.14 ≠ 0.
∴(－1) 2 026+(π －3.14) 0=1＋1=2.
(1)(－1) 2 026＋ (π－3.14) 0
(2)( a－b) 0( a ≠ b)
∵ a ≠ b，∴ a－b ≠ 0 .
∴(a－b) 0=1.
知1－练
感悟新知
1-1. 计算：
(1)[ 中考·深圳] +| － 3 | +(π － 3 .14)0 +(－ 1)2 025；
(2)[中考·连云港] (－ 2)× (－ 5) － －( )0．
解：原式＝4＋3＋1－1＝7.
原式＝10－3－1＝6.
感悟新知
知2－讲
知识点
负整数指数幂
2
1. 负整数指数幂： 任何不等于零的数的－ n( n 为正整数)次幂，等于这个数的n次幂的倒数，即a － n= ( a≠ 0， n是正整数).
感悟新知
知2－讲
2. 整数指数幂的运算性质：
(1) am· an=am+n(m， n 是整数)；
(2) am÷ an=am-n( a ≠ 0， m， n 是整数)；
(3) ( am) n=amn( m， n 是整数)；
(4)( ab) n=anbn( n 是整数).
知2－讲
感悟新知
特别解读
1. 负整数指数幂的运算，既可以等于正整数指数幂的倒数，也可以等于倒数的正整数指数幂，即 a-p= =()p.
2. 整数指数幂的运算结果要化成正整数指数幂的形式 .
感悟新知
知2－练
[中考·雅安] 计算： － ( ) -1 +( － 5) × ｜ － ｜.
例2
解题秘方：根据实数的运算性质和运算法则进行计算.
解： 原式=3 － 2+ ( － 5) ×=3 － 2 － 1=0．
知2－练
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2-1. [ 中考·浙江]计算： () － 1－ +｜ － 5｜ .
感悟新知
知2－练
[母题 教材P23 习题T2 ]计算下列各式，要求在结果中不出现负整数指数幂：
(1)(2a － 2) 3b2÷ 4a － 8b3；
(2)(3x2y － 1) － 2· (2x － 2y3) 2；
(3) () － 2·( )－ 3÷ (－ )－ 4.
例3
解题秘方：按照先算乘方，再算乘除的顺序进行计算 .
感悟新知
知2－练
知2－练
感悟新知
解：原式 =8a － 6b2÷ 4a － 8b3=2a2b － 1= .
(1)(2a － 2) 3b2÷ 4a － 8b3；
(2)(3x2y － 1) － 2· (2x － 2y3) 2；
(3) () － 2·( )－ 3÷ (－ )－ 4.
原式 = x － 4y2· 4x － 4y6= x － 8y8= .
原式 =x － 4y2· y － 6x3÷ x4y － 4=x － 4y2· x3y － 6· x － 4y4=
x － 5y0= .
知2－练
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3-1.利用负整数指数幂把下列各式化成分母不含字母的式子： (1)；
(2) .
知2－练
感悟新知
3-2.计算： (1)( a － 1b2c － 3) 3；
(2)a － 2b3·( a2b － 2) － 3；
(3)(2ab2c － 3) － 2÷ ( a － 2b) 3.
感悟新知
知3－讲
知识点
科学记数法
3
1. 用科学记数法表示绝对值较小的数：
利用 10 的负整数指数幂，用科学记数法表示一些绝对值较小的数，即将它们表示成 a× 10－n 的形式，其中 n 是正整数，1 ≤ |a|<10.
感悟新知
知3－讲
2. 用科学记数法表示绝对值小于 1 的数的一般步骤：
(1)确定 a： 1 ≤ |a|<10， a可为正数，也可为负数.
(2)确定 n：确定 n 的方法有两种：① n 等于原数中左起第一个非 0 的数字前面 0 的个数(包括小数点前的那个0)；②小数点向右移到第一个非 0 的数字后，小数点移动了几位， n 就等于几 .
(3)将原数用科学记数法表示为 a× 10－n 的形式(其中1 ≤ a<10， n 是正整数) .
知3－讲
感悟新知
特别解读
科学记数法是一种记数方法，不改变原数的性质和大小．用科学记数法表示一个带有单位的数时，其表示结果也应带有单位．
知3－练
感悟新知
[母题 教材P21 练习T3]用科学记数法表示下列各数：
(1)0.000 003；
(2) － 0.000 020 8；
(3)0.000 000 004 67.
例4
知3－练
感悟新知
解题秘方：按照科学记数法的要求，将各数写成 a× 10－n 的形式，其中 1 ≤ |a|<10， n 是正整数 .
(1)0.000 003； (2) － 0.000 020 8；
(3)0.000 000 004 67.
知3－练
感悟新知
解： 0.000 003=3× 10－6.
3 前面有 6 个 0
n 是原数中左起第一个
不为 0 的数字前面 0 的个数 .
科学记数法不改变
数的性质 .
－0.000 020 8=－2.08× 10－5.
2 前面有 5 个 0
0.000 000 004 67=4.67× 10－9.
4 前面有 9 个 0
知3－练
感悟新知
4-1. [ 中考·威海] 据央视网2025年4月19日消息，复旦大学集成芯片与系统全国重点实验室、片与系统前沿技术研究院科研团队成功研制出半导体电荷存储器“破晓”． “破晓”存储器擦写速度提升至400 皮秒实现一次擦或者写．一皮秒仅相当于一万亿分之一秒．400皮秒用科学记数法表示为( )
A. 4×10-10 秒 B. 4×10-11 秒
C. 4×10-12 秒 D. 40×10-12 秒
A
知3－练
感悟新知
将下列用科学记数法表示的数还原成原数 .
(1)6×10－4；(2) －7.2×10－5；(3)5.68×10－6.
例5
解题秘方：把用科学记数法表示的绝对值小于1的数还原时，指数的绝对值是几，小数点就向左移动几位 .
(1)6×10－4
(2) －7.2×10－5
(3)5.68×10－6.
知3－练
感悟新知
解： 6× 10－4=0.000 6.
－7.2× 10－5=－0.000 072.
5.68× 10－6=0.000 005 68.
知3－练
感悟新知
教你一招：把用科学记数法表示的绝对值小于 1 的数还原的思路
把a× 10－n (其中1≤｜ a｜ <10， n是正整数)还原成原数时，只要把 a 的小数点向左移动 n 位即可 .
知3－练
感悟新知
5-1.把下列用科学记数法表示的数还原：
(1) 3.3 × 10 －4 =________；
(2) －1.5 × 10 －4=___________.
0.000 33
－0.000 15
知3－练
感悟新知
计算：
(1)(3×10－4) 2×(2×10－6) 3； (2)(8×10－7) 2÷ (2×10－3) 3.
例6
解题秘方：先计算乘方，再计算乘除 .
解：原式 =9× 10－8× 8× 10－18=
(9× 8)×(10－8× 10－18) =7.2× 10－25；
原式 =(64× 10－14)÷(8× 10－9) =
( 64÷ 8)×(10－14÷10－9) =8× 10－5.
知3－练
感悟新知
6-1. 计算(结果用科学记数法表示)：
(1)( 2× 107)×(8×10－9)；
(2)( 5.2× 10 －9)÷(－4× 103) .
解：原式＝16×10－2＝1.6×10－1.
原式＝－1.3×10－12.
零指数幂与负整数指数幂
零指数幂
科学记数法
整数
指数幂
正整数指数幂
负整数指数幂

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