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(共42张PPT)
16.1 变量与函数
第十六章 函数及其图象
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
学习目标
课时讲解
1
课时流程
2
变量与常量
函数的定义及表示方法
函数自变量的取值范围
函数关系式
自变量的值与函数值
知1－讲
感悟新知
知识点
变量与常量
1
1.定义：在某一个变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量.取值始终保持不变的量，我们称之为常量 .
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说明：
(1) “常量”不等于“常数”，它可以是数值不变的字母 . 如在匀速运动中的速度 v 就是一个常量 .
(2)变量与常量是相对的，一个量在某一变化过程中是常量，而在另一个变化过程中，它可能是变量 . 如在 s=vt 中，当 s 一定时， v， t 为变量， s 为常量；当 t 一定时， s， v 为变量， t 为常量 .
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知1－讲
特别提醒
1. 指出一个变化过程中的常量时，应连同它前面的符号.
2. 在一个变化过程中，变量和常量可能不止一个.
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2. 判断一个量是常量还是变量的方法：
看这个量在某一变化过程中的值是否发生改变(或者说是否会取不同的数值) ，若在变化过程中此量的数值不变，则此量是常量，若此量可以取不同的数值，则此量是变量 .
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知1－练
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指出下列关系中的变量和常量：
(1)汽车以80 km/ h的速度匀速行驶，行驶距离为s km，行驶时间为t h；
(3)一个盛满30 t水的水箱，每小时流出0.5 t水，记流水时间为t(h)，水箱里剩余水量为Q(t)；
(3)用总长20 m的篱笆围成一个长方形场地，记长方形的一边长为a(m)，面积为S(m2).
例1
知1－练
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解： (1) t， s 是变量;80 是常量 .
(2) t， Q 是变量; 0.5，30 是常量 .
(3) a， S 是变量; 20 是常量 .
解题秘方：紧扣“常量与变量”的定义进行辨识 .
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1-1. [ 中考·广东 ] 水中涟漪(圆形水波)不断扩大， 记它的半径为 r，则圆的周长 C 与 r 的关系式为 C=2πr． 下列判断正确的是( )
A. 2 是变量
B. π 是变量
C. r 是变量
D. C 是常量
C
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知识点
函数的定义及表示方法
2
函数的定义：一般地，如果在一个变化过程中，有两个变量，例如 x和 y，对于 x 的每一个值， y 都有唯一的值与它对应，我们就说 x 是自变量，y 是因变量，此时也称y 是 x 的函数 .
知2－讲
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特别提醒
函数的定义中包括了对应值的存在性和唯一性两重意思，即对自变量的每一个确定的值，函数有且只有一个值与之对应，对自变量x的不同值，y的值可以相同.
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说明：
(1)在函数中定义的两个变量 x， y 是有主次之分的，变量 x 的变化是主动的，称之为自变量，而变量 y 是随 x 的变化而变化的，是被动的，称之为因变量(即自变量的函数) ；
(2)函数不是数，函数的实质是两个变量的对应关系 .
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知2－讲
2.表示函数关系的方法通常有三种：
(1) 解析法： 用表达式表示函数关系的方法；
(2) 列表法： 用表格表示函数关系的方法；
(3) 图象法： 用图象表示函数关系的方法 .
又称函数关系式.
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例2
判断下列变量之间是不是函数关系，若是，请指出自
变量与因变量；若不是，请说明理由 .
(1)y=± x； (2) y=x3； (3)2x2+y2=10； (4) y=|x|.
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解：(1)不是函数关系，，因为x每取一个不为0的值时，y都有两个对应值，不满足函数定义中的“y 都有唯一的值与之对应”.
(2) 是函数关系，其中 x 是自变量， y 是因变量.
解题秘方：紧扣函数定义的特征进行解答 .
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(3)不是函数关系，例如当 x=1 时， y 有两个对应值，不满足函数定义中的“y 都有唯一的值与之对应” ；
(4)是函数关系，其中 x 是自变量， y 是因变量 .
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2-1.有下列等式：①3x－2y=0；②x2－y2=1；③ y= ；④ y=|x＋2|；⑤ x=|y|. 其中， y 是 x 的函数的有________个 .
3
知2－练
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2-2.如图是某地区一天的气温 T 随时间 t 的变化曲线.
(1)图中有______个变量，分别是_________________ ；
(2)这个曲线能表示函数关系吗？
两
时间和气温
解：能．
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知识点
函数自变量的取值范围
3
1. 自变量的取值范围：使函数有意义的自变量取值的全体实数就是自变量的取值范围.
2. 确定自变量取值范围的方法：
其一，要使函数关系式有意义；
其二，对实际问题中的函数关系还应使实际问题有意义.
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知3－讲
特别提醒
1. 求自变量取值范围的过程，其实就是解不等式或不等式组的过程.
2. 注意：自变量的取值范围可以是无限的，也可以是有限的，甚至可以是几个数或单独一个数.
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3. 不同类型的函数自变量取值范围的确定
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类型 特征 举例 取值范围
整式型 等式右边是关于自变量的整式 y=2x2+3x-1 全体实数
分式型 等式右边是关于自变量的分式 y= 使分母不为0 的实数
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知3－讲
开方型 平方根 式型 等式右边是关于自变量的开平方的式子 y= 使根号下的式子为大于或等于0 的数
立方根 式型 等式右边是关于自变量的开立方的式子 y= 全体实数
幂型 等式右边是关于自变量的零指数幂(或负整数指数幂)的式子 y=(x-2)0 y=2(x-3)-1 使底数不为0 的实数
复合型 含有上述两种或多种形式 y= 使各部分都有意义的实数的公共部分
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求下列函数中自变量x 的取值范围：
(1)y=；(2)y= ；
(3)y= ；(4)y=(x-2)0；(5)y= .
例3
知3－练
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解：(1)在y =中，自变量x 的取值范围是全体实数.
(2)在y= 中，4x+8 ≠ 0，即x ≠ -2，
所以自变量x 的取值范围是x ≠ -2.
(3)在y= 中，x+3 ≥ 0，即x ≥ -3，
所以自变量x 的取值范围是x ≥ -3.
(4)在y=(x-2)0中，x-2 ≠ 0，即x ≠ 2，
所以自变量x 的取值范围是x ≠ 2.
(5)在y= 中，x+2>0，即x>-2，所以自变量x的取值范围是x>-2.
知3－练
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3-1.求下列函数中自变量的取值范围：
(1)y=2x-1；
(2)y= ；
解：自变量的取值范围是全体实数．
由题意得x－1≠0，解得x≠1.
所以自变量的取值范围是x≠1.
知3－练
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(3)y= + ；
(4)y=.
由题意得x－3≥0，5－x≥0，
解得3≤x≤5.所以自变量的取值范围是3≤x≤5.
由题意得4－2x>0，解得x<2.
所以自变量的取值范围是x<2.
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知4－讲
知识点
函数关系式
4
函数关系式：用来表示函数关系的等式叫做函数关系式(也叫表达式)，可从以下两个方面来理解函数关系式的概念：
(1) 函数关系式是等式. 例如：y=2x+3 就是一个函数关系式，我们可以说y 是x 的函数，但不能说2x+3 是函数关系式.
(2) 函数关系式中指明了哪个量是自变量，哪个量是因变量，通常等号右边的代数式中的变量是自变量，等号左边的一个变量是因变量.
知4－讲
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特别提醒
x是自变量，y是因变量，因变量是自变量的函数.
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知4－练
[母题 教材P33 例1] 等腰三角形ABC的周长为10 cm，底边BC的长为y cm，腰AB的长为x cm. 写出y 关于x 的函数关系式，并求自变量x的取值范围.
例4
知4－练
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解题秘方：：紧扣“函数关系式的特点”，结合几何相关知识求解.
解：由题意可得2x+y=10，所以y 关于x 的函数关系式为y=10-2x.
由x，y 均为线段长，可得x>0，y>0，即10-2x>0.
再由三角形的三边关系，得2x>y，即2x>10-2x.
所以自变量x 应满足
解得知4－练
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误区警示：确定几何问题中自变量的取值范围时，既要考虑使函数关系式有意义，又要注意使几何问题有意义.
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4-1.小军用50 元去买单价是8 元的笔记本，则他剩余的钱Q(元) 与他买这种笔记本的数量x(本)之间的函数关系式是_______________________________ . ( 写出自变量的取值范围)
Q＝50－8x(1≤x≤6，且x为整数)
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知5－讲
知识点
自变量的取值范围与函数值
5
对于一个函数，当自变量x=a 时，我们可以把x=a 代入函数关系式，求出与它对应的y 的值，我们就说这个值是x=a 时的函数值. 反之，当函数值确定时，可以把已知函数值代入函数关系式后，得到关于自变量的方程，解这个方程，即可得到与函数值对应的自变量的值．
知5－讲
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特别提醒
函数与函数值的区别：
函数表示的是两个变量之间的一种对应关系，而函数值是一个数值.
知5－练
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为了解某品牌小汽车的油耗量，我们对这种汽车在高速公路上做了油耗试验(汽车匀速行驶)，并把试验的数据记录下来，制成下表：
例5
汽车行驶时间t/h 0 1 2 3 …
油箱剩余油量Q/L 100 94 88 82 …
知5－练
感悟新知
解题秘方：根据表格数据确定函数关系，然后利用函数关系式求自变量的值和函数值.
知5－练
感悟新知
解：由表格中两个变量的变化规律可知，汽车每行驶1 h，油箱剩余油量就减少 6 L，
所以Q=100-6 t( 0≤t≤ ).
(1)根据表格中的数据，请写出Q与t 的关系式.
知5－练
感悟新知
解：当 t=5 时，Q=100-6×5= 70.
答：汽车行驶 5 h 时，油箱中的剩余油量是 70 L.
(2)汽车行驶5 h 时，油箱中的剩余油量是多少？
知5－练
感悟新知
解： 当Q=50 时，即 100-6t= 50，解得 t= .
答：当汽车油箱剩余油量为 50L 时，该车还能行驶 h.
(3)当汽车油箱剩余油量为50 L时，该车还能行驶多长时间？
知5－练
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5-1.已知一长方体无盖的水池的体积为800 m3，其底部是边长为10 m的正方形，经测得现有水的高度为 3 m，现打开进水阀，每小时可注入水50 m3.
(1)写出水池中水的体积V(m3)与时间 t(h) 之间的函数关系式 .
解：V＝102×3＋50t＝50t＋300，
∴V与t之间的函数关系式为V＝50t＋300(0≤t≤10)．
知5－练
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(2)5 h 后，水的体积是多少立方米？
(3)多长时间后，水池中有水 650 m3 ？
当t＝5时，V＝50×5＋300＝550，
∵550<800，∴5 h后，水的体积是550 m3.
当V＝650时，50t＋300＝650，解得t＝7，
∴7 h后，水池中有水650 m3.
变量与函数
自变量
函数值
函数
常量
变量

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