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(共32张PPT)
第五章一元一次方程
5.3.1一元一次方程的应用
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
新知探究
05
课堂小结
06
作业布置
01
教学目标
能识别实际问题中的关键量，找出等量关系；会用一元一次方程解决圆柱容积、图形周长/面积等实际问题。
01
通过独立研学、小组交流，体会“方程建模”思想，掌握“找不变量→列等量关系→建方程”的解题思路。
02
感受数学与生活的联系，提升用方程解决实际问题的信心。
03
02
新知导入
某饮料公司有一种底面直径和高分别为 6.6cm ， 12cm 的圆柱形易拉罐饮料。经市场调研决定对该产品外包装进行改造，计划将它的底面直径减少为6cm 。那么在容积不变的前提下，易拉罐的高度将变为多少厘米？
03
新知讲解
（1）这个问题中包含哪些量？它们之间有怎样的等量关系？
底面半径、高、容积
旧包装的容积 = 新包装的容积
（2）设新包装的高度为 ，你能借助下面的表格梳理问题中的信息吗？
有关量 旧包装 新包装
底面半径/cm
高/cm
容积/cm
12
（3）根据等量关系，你能列出怎样的方程？
列方程时，关键是找出问题中的等量关系。
03
新知讲解
设新包装的高度为 。
根据等量关系，列出方程：_________________________________。
解这个方程，得
因此，易拉罐的高度变为________ cm。
旧容积=新容积
铁丝围图形问题：
例1 用一根长为 的铁丝围成一个长方形。
（1）如果该长方形的长比宽多 ，那么此时长方形的长、宽各为多少米？
（2）如果该长方形的长比宽多 ，那么此时长方形的长、宽各为多少米？此时的长方形与（1）中的长方形相比，面积有什么变化？
（3）如果该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，那么此时正方形的边长是多少米？正方形的面积与（2）中长方形的面积相比又有什么变化？
03
新知讲解
铁丝围图形问题：
例1 用一根长为 的铁丝围成一个长方形。
03
新知讲解
本题涉及哪些量？它们之间有怎样的等量关系？
铁丝长度是不变的
铁丝围图形问题：
例1 用一根长为 的铁丝围成一个长方形。
（1）如果该长方形的长比宽多 ，那么此时长方形的长、宽各为多少米？
03
新知讲解
设宽为m，长怎么表示？周长公式是什么？
长是m，周长是。
方程：
解答：设此时长方形的宽为 ，则它的长为
根据题意，得
解这个方程，得
此时长方形的长为 ，宽为
03
新知讲解
铁丝围图形问题：
例1 用一根长为 的铁丝围成一个长方形。
（2）如果该长方形的长比宽多 ，那么此时长方形的长、宽各为多少米？
此时的长方形与（1）中的长方形相比，面积有什么变化？
03
新知讲解
请你自己试着做一做。
解答：设此时长方形的宽为 ，则它的长为
根据题意，得
解这个方程，得 宽
此时长方形的长为 ，宽为 ，面积为：
（1）中长方形的面积为
此时长方形的面积比（1）中长方形的面积增大
03
新知讲解
铁丝围图形问题：
例1 用一根长为 的铁丝围成一个长方形。
（3）如果该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，那么此时正方形的边长是多少米？正方形的面积与（2）中长方形的面积相比又有什么变化？
03
新知讲解
正方形的周长公式是什么？等量关系还是周长=10m吗？
解答：设正方形的边长为 。
根据题意，得
解这个方程，得
正方形的边长为 ，面积为
比（2）中长方形的面积增大
03
新知讲解
在上面的问题中，所列方程的两边分别表示什么量？列方程的思路是什么？与同伴进行交流。
思考·交流
① 方程两边表示同一个量：如易拉罐问题是“容积”，例1是“铁丝长度”；
② 列方程思路：先找不变量（容积、周长）作为等量关系，再用含未知数的式子表示等量关系的两边，进而列方程。
03
新知讲解
具体解题步骤
①审：审题，梳理题意。通读题目，找出问题中的已知量、未知量，明确各量之间的关系，重点确定等量关系（这是列方程的关键）。
②设：设未知数。根据题意选择直接设元（求什么设什么）或间接设元（设与所求量相关的量），通常用字母x表示。
③列：列方程。根据第一步找到的等量关系，用含未知数的代数式表示等量关系的两边，列出一元一次方程。
03
新知讲解
④解：解方程。运用一元一次方程的解法（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1）求出未知数的值。
⑤答：检验并作答。先验证所求未知数的值是否符合方程和实际问题的情境（如长度不能为负数），再写出完整的答案，注明单位。
03
新知讲解
练习题1一个圆柱底面直径8cm，高15cm，若将底面半径增加1cm，要使容积不变，高应变为多少厘米？
解析：
① 旧包装：半径，容积；
② 新包装：半径，设高为，容积；
③ 等量关系：旧容积=新容积，列方程：；
④ 解方程：；
答：高应变为9.6cm。
04
新知探究
练习题2.一个梯形上底4cm，下底是上底的2倍，面积是48cm ，求这个梯形的高。
解析：
① 下底长：，设高为；
② 等量关系：梯形面积公式，列方程：；
③ 解方程：；
答：梯形的高是8cm。
04
新知探究
05
课堂小结
一元一次方程的解
解题步骤
核心技巧
注意事项
审（找关键量+等量关系）→ 设（未知数）→ 列（方程）→ 解（方程）→ 答（验证合理性）；
找“不变量”作为等量关系（如容积、周长、面积等）；
区分题目中的量（如直径→半径），统一单位，确保等量关系贴合问题需求。
基础练习
1.《九章算术》中有这样一个问题：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步.今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之.”译文：“相同时间内，走路快的人走 100步，走路慢的人只走 60步.若走路慢的人先走100步，走路快的人要走多少步才能追上 (注：步为长度单位)”设走路快的人要走x步才能追上，由题意可列方程为( )
06
作业布置
B
2. 小韦同学周末坐爸爸的车去纪念馆，从家出发，行驶7 km后，进入高速公路，在高速公路上保持匀速行驶，小韦记录高速公路上行驶的时间t(h)和路程s(km)的数据如下表所示.按照这个速度行驶了 2 h进入高速路出口匝道，再行驶5k m到达纪念馆，则小 韦 家 到 纪 念 馆 的 路 程是 _________km.
06
作业布置
t(h) 0.2 0.6 0.8
s(km) 20 60 80
3. 一座铁路桥长1200 m，现有一列火车从桥上通过，测得火车从上桥到完全通过桥共用时50s，整个火车在桥上的时间为30s，求火车的长度和速度.
06
作业布置
火车过桥涉及两个路程状态：
火车“从上桥到完全通过桥”：行驶路程 = 桥长 + 火车长，用时50s；
火车“整个在桥上”：行驶路程 = 桥长 - 火车长，用时30s。
06
作业布置
解答过程：设火车长度为，速度为，根据速度不变列方程。
解：
去分母得 ，
去括号：，
移项：，
解得：。
求速度：
答案：火车长度为300m，速度为30m/s。
能力提升
4.古代名著《算学启蒙》中有一题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里.驽马先行一十二日，问良马几何追及之.意思是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里.慢马先走12天，快马几天可追上慢马 若设快马x天可追上慢马，则由题意，可列方程为( )
A. 240x=150x+12×150
B. 240x=150x-12×150
C. 240(x-12)=150x+150
D. 240x+150x=12×15
06
作业布置
A
06
作业布置
5. 要锻造一个直径为8cm，高为 4 cm的圆柱形毛坯，至少应截取直径为4 cm的圆柱形钢材的长为 ( )
12cm B. 16 cm C. 24 cm D. 32 cm
6. 用16 m长的铁丝围成一个长方形，使其长比宽多2m.设长为x(m)，则可列方程为( )
x+x-2=16 B. 2x+2(x-2)=16
C. 2x+2(x+2)=16 D. x+x+2=16
B
B
06
作业布置
7. 某村原有林地108公顷，旱地54公顷.为保护环境，需把一部分旱地改造为林地，使旱地的面积是林地面积的20%.设把x公顷旱地改为林地，则可列方程为 ( )
A.54-x=20%×108
B. 54-x=20%×(108+x)
C. 54+x=20%×(108-x)
D. 108-x=20%(54+x)
B
06
作业布置
8.某工程队承包了一段全长为 2000 m的河道清淤工程.甲、乙两个组分别从东、西两端同时清理，已知甲组比乙组每天多清淤10m，经过8天施工，甲、乙两组共清淤400 m.
(1)求甲、乙两个组平均每天各清淤多少米.
(2)为加快工程进度，通过改进施工技术，在剩余的工程中，甲组平均每天比原来多清淤18 m，乙组平均每天比原来多清淤12 m.按此施工进度，能够比原来少用多少天完成任务
06
作业布置
解：(1) 求甲、乙两个组平均每天各清淤的长度
设乙组平均每天清淤米，则甲组平均每天清淤米。
根据“8天共清淤400米”，列方程：
化简得：，解得。
因此：
乙组平均每天清淤20米；
甲组平均每天清淤米。
06
作业布置
(2) 求改进技术后比原来少用的天数
计算剩余工程量：总工程量2000m，已清淤400m，剩余：
m。
计算原来完成剩余工程的时间：
原来甲乙每天共清淤：m，
所需时间：天。
计算改进技术后完成剩余工程的时间：
改进后，甲组每天清淤m，乙组每天清淤
m，
每天共清淤：m，
所需时间：天。
计算少用的天数：天。
Thanks!
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5.3.1一元一次方程的应用
学科 数学 年级 七年级 课型 新授课 单元 第五单元
课题 一元一次方程的应用 课时 5.3.1
课标要求 本节课对应的课标要求聚焦于七年级数学 “数与代数” 领域的核心目标，要求学生能在实际情境中识别出一元一次方程的应用场景，从具体问题中抽象出数量关系，找出等量关系并列出一元一次方程求解；通过对圆柱容积、图形周长与面积等实际问题的解决，体会方程的建模思想，感受数学与现实生活的紧密联系；同时培养学生分析问题、解决问题的能力，提升其运用数学知识解决实际问题的意识与能力，为后续更复杂的方程与函数学习奠定基础。
教材分析 本节课是七年级数学第五单元 “一元一次方程” 的重要内容，是在学生掌握一元一次方程的解法后，对方程知识的实际应用拓展。教材以生活中常见的易拉罐包装改造、铁丝围图形等问题为载体，将圆柱容积公式、长方形与正方形的周长和面积公式与一元一次方程结合，突出 “找不变量→列等量关系→建方程” 的解题思路，既衔接了之前的几何公式与方程解法知识，又为后续学习二元一次方程、一元二次方程的应用积累了建模经验，是实现数学知识从 “理论” 到 “应用” 转化的关键环节，体现了教材 “源于生活、服务生活” 的设计理念。
学情分析 七年级学生已掌握一元一次方程的基本解法，对长方形、正方形的周长面积公式以及圆柱容积公式有初步认知，具备一定的自主阅读和简单分析问题的能力。但该阶段学生的抽象思维和建模能力仍较弱，在实际问题中难以快速识别关键量、找准等量关系，容易混淆直径与半径、周长与面积等几何概念，同时对 “用方程表示实际问题中的数量关系” 这一核心环节存在畏难情绪，需要教师通过具体实例引导、分层任务拆解来降低学习难度。
教学目标 1.能识别实际问题中的关键量，找出等量关系；会用一元一次方程解决圆柱容积、图形周长/面积等实际问题。 2.通过独立研学、小组交流，体会“方程建模”思想，掌握“找不变量→列等量关系→建方程”的解题思路。 3.感受数学与生活的联系，提升用方程解决实际问题的信心。
教学重点 找到实际问题中的等量关系，列一元一次方程求解。
教学难点 准确分析量的关系，建立方程模型。
教法与学法分析 本节课主要采用启发式讲授法与合作探究法相结合的教学方法。在新知讲解环节，教师通过提问、追问引导学生梳理实际问题中的量与等量关系，结合教具或实例直观展示易拉罐改造、铁丝围图形的过程，突破 “找不变量” 的难点；在延伸探究环节，组织学生小组讨论，鼓励学生分享思路，教师适时点拨总结，帮助学生提炼建模方法；同时通过分层的巩固拓展练习，采用讲练结合的方式，及时反馈学生的学习情况，确保学生掌握解题步骤。 学生以自主研学和合作交流为主要学习方式，在依标靠本环节通过独立阅读课本、填写表格、尝试列方程，培养自主分析问题的能力；在小组讨论 “思考 交流” 问题时，通过同伴间的思维碰撞，厘清方程两边的量的含义，深化对建模思路的理解；在巩固拓展环节，通过独立完成练习题、对比不同题型的解题方法，实现从 “模仿解题” 到 “自主建模” 的转变，同时在课堂小结中自主梳理知识脉络，形成 “审→设→列→解→答” 的解题思维框架。
教学过程
教学步骤 教学主要内容 教师活动 学生活动 设计意图
环节一：依标靠本，独立研学 请同学们阅读课本内容，思考： ① 这个问题包含哪些量？它们的等量关系是什么？ ② 填写课本中的表格（旧包装、新包装的底面半径、高、容积）。 ③ 尝试设未知数，列出方程（不用求解）。 课本： 某饮料公司有一种底面直径和高分别为 ， 的圆柱形易拉罐饮料。经市场调研决定对该产品外包装进行改造，计划将它的底面直径减少为 。那么在容积不变的前提下，易拉罐的高度将变为多少厘米？ （1）这个问题中包含哪些量？它们之间有怎样的等量关系？ 量： 等量关系： （2）设新包装的高度为 ，你能借助下面的表格梳理问题中的信息吗？ 有关量旧包装新包装底面半径/cm高/cm容积/cm
（3）根据等量关系，你能列出怎样的方程？ 【列方程时，关键是找出问题中的等量关系。】 设新包装的高度为 。
根据等量关系，列出方程：_________________________________。
解这个方程，得
因此，易拉罐的高度变为________ cm。 布置研学任务，明确思考方向，巡视并指导有困难的学生。 独立阅读课本，分析问题中的量，填写表格，尝试列出方程（不求解）。 培养学生自主研学能力，提前梳理问题核心，为新知讲解做好铺垫。
环节二：新知讲解 1. 易拉罐包装问题 师：谁来说说，易拉罐问题里有哪些“量”？ 生：底面半径、高、容积。 师：非常好！那这些量的等量关系是什么？ （引导学生关注“容积不变”） 生：旧包装的容积 = 新包装的容积。 填表格（师生共同完成）： 有关量旧包装新包装底面半径/cm高/cm12容积/
列方程求解： 师：根据“旧容积=新容积”，方程怎么列？ 生： 师：两边的π可以约掉，简化后计算： 师：所以新包装的高度要调整为14.52cm。 2. 例1：铁丝围图形问题 师：咱们再看这个题目 例1 用一根长为 的铁丝围成一个长方形。 师分析：本题涉及哪些量？它们之间有怎样的等量关系？ 生：铁丝长度（周长）不变！ 问题： （1）如果该长方形的长比宽多 ，那么此时长方形的长、宽各为多少米？ 师：设宽为m，长怎么表示？周长公式是什么？ 生：长是m，周长是。 方程： 解答：设此时长方形的宽为 ，则它的长为
根据题意，得
解这个方程，得 此时长方形的长为 ，宽为 （2）如果该长方形的长比宽多 ，那么此时长方形的长、宽各为多少米？此时的长方形与（1）中的长方形相比，面积有什么变化？ 师：类比第（1）问，自己列方程、求解，再算面积和（1）对比。（学生独立完成后汇报） 方程：，长m； 面积：，比（1）的增大了。 解答：设此时长方形的宽为 ，则它的长为
根据题意，得
解这个方程，得 此时长方形的长为 ，宽为 ，面积为 （1）中长方形的面积为 此时长方形的面积比（1）中长方形的面积增大 （3）如果该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，那么此时正方形的边长是多少米？正方形的面积与（2）中长方形的面积相比又有什么变化？ 师：正方形的周长公式是什么？等量关系还是周长=10m吗？ 生：是，正方形周长=4×边长。 方程：，面积，比（2）增大。 解答：设正方形的边长为 。 根据题意，得 解这个方程，得 正方形的边长为 ，面积为 比（2）中长方形的面积增大 通过提问引导学生识别量与等量关系，共同完成表格与方程求解，讲解例题时分层引导，点评学生解答。 回答教师提问，参与表格填写与方程推导，独立完成部分例题求解并汇报结果。 突破 “找等量关系、建方程” 的重难点，让学生掌握解题思路，体会方程建模思想。
环节三:延申探究 师：看课本“思考·交流”：这些方程的两边分别表示什么？列方程的思路是什么？（小组讨论2分钟） 思考·交流：在上面的问题中，所列方程的两边分别表示什么量？列方程的思路是什么？与同伴进行交流。 小组代表发言，教师总结： ① 方程两边表示同一个量（如易拉罐问题是“容积”，例1是“铁丝长度”）； ② 列方程思路：先找不变量（容积、周长）作为等量关系，再用含未知数的式子表示等量关系的两边，进而列方程。 具体解题步骤 ①审：审题，梳理题意。通读题目，找出问题中的已知量、未知量，明确各量之间的关系，重点确定等量关系（这是列方程的关键）。 ②设：设未知数。根据题意选择直接设元（求什么设什么）或间接设元（设与所求量相关的量），通常用字母表示。 ③列：列方程。根据第一步找到的等量关系，用含未知数的代数式表示等量关系的两边，列出一元一次方程。 ④解：解方程。运用一元一次方程的解法（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1）求出未知数的值。 ⑤答：检验并作答。先验证所求未知数的值是否符合方程和实际问题的情境（如长度不能为负数），再写出完整的答案，注明单位。 组织小组讨论（2 分钟），引导小组代表发言，总结列方程思路，补充生活中的 “不变量” 实例。 参与小组讨论，分享思路，代表发言，思考并列举生活中的 “不变量” 例子。 深化对建模思路的理解，联系生活实际，提升知识迁移与应用能力。
环节四：巩固拓展 1.一个圆柱底面直径8cm，高15cm，若将底面半径增加1cm，要使容积不变，高应变为多少厘米？ 解析： ① 旧包装：半径，容积； ② 新包装：半径，设高为，容积； ③ 等量关系：旧容积=新容积，列方程：； ④ 解方程：； 答：高应变为9.6cm。 2.梯形高的计算 一个梯形上底4cm，下底是上底的2倍，面积是48cm ，求这个梯形的高。 解析： ① 下底长：，设高为； ② 等量关系：梯形面积公式，列方程：； ③ 解方程：； 答：梯形的高是8cm。 布置巩固练习题，巡视指导学生解题，点评学生的解答过程与结果。 独立完成练习题，部分学生上台板书解题过程，核对答案并纠正错误。 巩固本节课所学知识与解题方法，检验学习效果，强化 “审→设→列→解→答” 步骤。
课堂小结 通过本节课的学习你收获了什么？ 这节课我们用一元一次方程解决了生活中的实际问题： ①解题步骤： 审（找关键量+等量关系）→ 设（未知数）→ 列（方程）→ 解（方程）→ 答（验证合理性）； ②核心技巧： 找“不变量”作为等量关系（如容积、周长、面积等）； ③注意事项： 区分题目中的量（如直径→半径），统一单位，确保等量关系贴合问题需求。 引导学生梳理本节课的知识收获与所学数学思想、方法 引导学生梳理知识脉络，提炼方程本质与建模价值 自主总结学习收获与困惑，尝试绘制知识树
板书设计 《5.3.1 一元一次方程的应用》板书设计 一、标题：5.3.1 一元一次方程的应用 二、核心思路 找“不变量” → 列等量关系 三、例题1：易拉罐包装改造问题 关键量：直径、半径、高、容积 等量关系：旧包装容积 = 新包装容积 表格梳理： 有关量旧包装新包装底面半径(cm)3.33高(cm)12
方程： 结果：（新包装高度） 四、例题2：铁丝围图形问题 等量关系：铁丝长度 = 图形周长 长方形（长比宽多1.4m）： 方程： 结果：长3.2m，宽1.8m 正方形： 方程： 结果：边长2.5m 既梳理了一元一次方程应用的知识框架、突出 “找不变量列等量关系” 的重难点与 “审设列解答” 的解题流程，又能辅助课堂互动、为课后复习提供可视化参考，最终帮助学生构建方程应用逻辑体系、培养严谨习惯并强化知识记忆。
作业设计 基础练习 1.《九章算术》中有这样一个问题：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步.今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之.”译文：“相同时间内，走路快的人走 100步，走路慢的人只走 60步.若走路慢的人先走100步，走路快的人要走多少步才能追上？ (注：步为长度单位)”设走路快的人要走x步才能追上，由题意可列方程为( ) 2. 小韦同学周末坐爸爸的车去纪念馆，从家出发，行驶7 km后，进入高速公路，在高速公路上保持匀速行驶，小韦记录高速公路上行驶的时间t(h)和路程s(km)的数据如下表所示.按照这个速度行驶了 2 h进入高速路出口匝道，再行驶5k m到达纪念馆，则小 韦 家 到 纪 念 馆 的 路 程是 km. t(h)0.20.60.8s(km)206080
3. 一座铁路桥长1200 m，现有一列火车从桥上通过，测得火车从上桥到完全通过桥共用时50s，整个火车在桥上的时间为30s，求火车的长度和速度. 能力提升 4.古代名著《算学启蒙》中有一题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里.驽马先行一十二日，问良马几何追及之.意思是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里.慢马先走12天，快马几天可追上慢马？ 若设快马x天可追上慢马，则由题意，可列方程为( ) A. 240x=150x+12×150 B. 240x=150x-12×150 C. 240(x-12)=150x+150 D. 240x+150x=12×15 5. 要锻造一个直径为8cm，高为 4 cm的圆柱形毛坯，至少应截取直径为4 cm的圆柱形钢材的长为 ( ) A. 12cm B. 16 cm C. 24 cm D. 32 cm 6. 用16 m长的铁丝围成一个长方形，使其长比宽多2m.设长为x(m)，则可列方程为( ) A. x+x-2=16 B. 2x+2(x-2)=16 C. 2x+2(x+2)=16 D. x+x+2=16 7. 某村原有林地108公顷，旱地54公顷.为保护环境，需把一部分旱地改造为林地，使旱地的面积是林地面积的20%.设把x公顷旱地改为林地，则可列方程为 ( ) A.54-x=20%×108 B. 54-x=20%×(108+x) C. 54+x=20%×(108-x) D. 108-x=20%(54+x) 拓展提升 8.某工程队承包了一段全长为 2000 m的河道清淤工程.甲、乙两个组分别从东、西两端同时清理，已知甲组比乙组每天多清淤10m，经过8天施工，甲、乙两组共清淤400 m. (1)求甲、乙两个组平均每天各清淤多少米. (2)为加快工程进度，通过改进施工技术，在剩余的工程中，甲组平均每天比原来多清淤18 m，乙组平均每天比原来多清淤12 m.按此施工进度，能够比原来少用多少天完成任务？
教学反思 本节课通过“依标靠本研学—新知分层讲解—延伸探究建模—巩固拓展落实”的环节设计，基本达成了教学目标。以生活中的易拉罐改造、铁丝围图形为载体，既贴合七年级学生的认知水平，又能让学生直观感受“不变量”的存在，有效降低了“找等量关系”的难度；小组讨论“方程两边的量及建模思路”时，多数学生能主动分享想法，在同伴互助中深化了对“审设列解答”步骤的理解，课堂练习中80%以上的学生能独立完成梯形面积、圆柱容积类题目，规范解题习惯得到初步培养，方程建模思想的渗透也通过实例逐步落地，实现了从“知识理解”到“应用实践”的过渡。
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分课时学案
课题 5.3.1一元一次方程的应用 单元 第五单元 学科 数学 年级 七年级上册
学习 目标 1.能识别实际问题中的关键量，找出等量关系；会用一元一次方程解决圆柱容积、图形周长/面积等实际问题。 2.通过独立研学、小组交流，体会“方程建模”思想，掌握“找不变量→列等量关系→建方程”的解题思路。 3.感受数学与生活的联系，提升用方程解决实际问题的信心。
重点 找到实际问题中的等量关系，列一元一次方程求解。
难点 准确分析量的关系，建立方程模型。
教学过程
导入新课 请同学们阅读课本内容，思考： ① 这个问题包含哪些量？它们的等量关系是什么？ ② 填写课本中的表格（旧包装、新包装的底面半径、高、容积）。 ③ 尝试设未知数，列出方程（不用求解）。 某饮料公司有一种底面直径和高分别为 ， 的圆柱形易拉罐饮料。经市场调研决定对该产品外包装进行改造，计划将它的底面直径减少为 。那么在容积不变的前提下，易拉罐的高度将变为多少厘米？ （1）这个问题中包含哪些量？它们之间有怎样的等量关系？ 量： 等量关系： （2）设新包装的高度为 ，你能借助下面的表格梳理问题中的信息吗？ 有关量旧包装新包装底面半径/cm高/cm容积/cm
（3）根据等量关系，你能列出怎样的方程？ 【列方程时，关键是找出问题中的等量关系。】 设新包装的高度为 。
根据等量关系，列出方程：_________________________________。
解这个方程，得
因此，易拉罐的高度变为________ cm。
新知讲解 2. 例1：铁丝围图形问题 例1 用一根长为 的铁丝围成一个长方形。 请问：本题涉及哪些量？它们之间有怎样的等量关系？ （1）如果该长方形的长比宽多 ，那么此时长方形的长、宽各为多少米？ 设： 解答：设此时长方形的宽为 ，则它的长为 根据题意，得 _____________
解这个方程，得__________ 答： （2）如果该长方形的长比宽多 ，那么此时长方形的长、宽各为多少米？此时的长方形与（1）中的长方形相比，面积有什么变化？ 师： 方程： 面积： 解答：设此时长方形的宽为________，则它的长为__________ 根据题意，得 __________ __________ 解这个方程，得 __________ 面积为 （1）中长方形的面积为 此时长方形的面积比（1）中长方形的面积增大： （3）如果该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，那么此时正方形的边长是多少米？正方形的面积与（2）中长方形的面积相比又有什么变化？ 请问：正方形的周长公式是什么？等量关系还是周长=10m吗？ 解答：设正方形的边长为 __________ 根据题意，得 __________ 解这个方程，得 __________ 正方形的边长为 __________ ，面积为：： 比（2）中长方形的面积增大：： 思考·交流：在上面的问题中，所列方程的两边分别表示什么量？列方程的思路是什么？与同伴进行交流。
课堂小结 1.本节课你认为自己解决的最好的问题是什么？ 2.本节课你有哪些收获？有什么体会？请你和同学分享交流。 3.你想进一步探究的问题是什么？
课堂练习 练习题1一个圆柱底面直径8cm，高15cm，若将底面半径增加1cm，要使容积不变，高应变为多少厘米？ 练习题2一个梯形上底4cm，下底是上底的2倍，面积是48cm ，求这个梯形的高。
课后作业 基础练习 1.《九章算术》中有这样一个问题：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步.今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之.”译文：“相同时间内，走路快的人走 100步，走路慢的人只走 60步.若走路慢的人先走100步，走路快的人要走多少步才能追上？ (注：步为长度单位)”设走路快的人要走x步才能追上，由题意可列方程为( ) 2. 小韦同学周末坐爸爸的车去纪念馆，从家出发，行驶7 km后，进入高速公路，在高速公路上保持匀速行驶，小韦记录高速公路上行驶的时间t(h)和路程s(km)的数据如下表所示.按照这个速度行驶了 2 h进入高速路出口匝道，再行驶5k m到达纪念馆，则小 韦 家 到 纪 念 馆 的 路 程是 km. t(h)0.20.60.8s(km)206080
3. 一座铁路桥长1200 m，现有一列火车从桥上通过，测得火车从上桥到完全通过桥共用时50s，整个火车在桥上的时间为30s，求火车的长度和速度. 能力提升 4.古代名著《算学启蒙》中有一题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里.驽马先行一十二日，问良马几何追及之.意思是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里.慢马先走12天，快马几天可追上慢马？ 若设快马x天可追上慢马，则由题意，可列方程为( ) A. 240x=150x+12×150 B. 240x=150x-12×150 C. 240(x-12)=150x+150 D. 240x+150x=12×15 5. 要锻造一个直径为8cm，高为 4 cm的圆柱形毛坯，至少应截取直径为4 cm的圆柱形钢材的长为 ( ) A. 12cm B. 16 cm C. 24 cm D. 32 cm 6. 用16 m长的铁丝围成一个长方形，使其长比宽多2m.设长为x(m)，则可列方程为( ) A. x+x-2=16 B. 2x+2(x-2)=16 C. 2x+2(x+2)=16 D. x+x+2=16 7. 某村原有林地108公顷，旱地54公顷.为保护环境，需把一部分旱地改造为林地，使旱地的面积是林地面积的20%.设把x公顷旱地改为林地，则可列方程为 ( ) A.54-x=20%×108 B. 54-x=20%×(108+x) C. 54+x=20%×(108-x) D. 108-x=20%(54+x) 拓展提升 8.某工程队承包了一段全长为 2000 m的河道清淤工程.甲、乙两个组分别从东、西两端同时清理，已知甲组比乙组每天多清淤10m，经过8天施工，甲、乙两组共清淤400 m. (1)求甲、乙两个组平均每天各清淤多少米. (2)为加快工程进度，通过改进施工技术，在剩余的工程中，甲组平均每天比原来多清淤18 m，乙组平均每天比原来多清淤12 m.按此施工进度，能够比原来少用多少天完成任务？
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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