资源简介

(共15张PPT)
5.6.1 匀速圆周运动的数学模型
学习目标
1. 经历匀速圆周运动数学建模的过程，了解正弦型函数的现实背景，体会三角函数与现实世界的紧密联系.
2. 掌握匀速圆周运动的数学模型，会用其解决相关的实际建模问题，进一步巩固三角函数的图像与性质.
新课导入
数学模型是将现实问题转化为数学语言进行描述和分析的工具，通过抽象简化复杂现象，建立数学表达式或逻辑框架，便于研究规律、预测结果或优化决策。数学模型的核心在于对现实问题的数学抽象。
实际问题
数学语言
数学模型
解决
根据实际问题建立数学模型，对数学模型进行求解、检验、分析，再利用该数学模型去解决实际问题，叫做数学建模
新课导入
我们知道，单位圆上的点，以（1，0）为起点，以单位速度按逆时针方向运动，其运动规律可用三角函数刻画.
对于一个一般匀速圆周运动可以用怎样的数学模型刻画呢？
？
新课学习
筒车又称 “天车” 、“竹车” 、“水轮”、“水车”，是中国古代发明的一种灌溉工具，它省时、省力，环保、经济.
明朝科学家徐光启在《农政全书》用图画描绘了筒车的工作原理
新课学习
假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.你能用一个合适的函数模型来刻画盛水桶（视为质点）距离水面的相对高度与时间的关系吗？
因筒车上盛水筒的运动具有周期性，可以考虑利用三角函数模型刻画它的运动规律.
水面
思考
与盛水筒运动相关的量有哪些？它们之间有怎样的关系？
？
将筒车抽象为一个几何图形，设经过后，盛水筒从点运动到点．
水面
由筒车的工作原理可知，这个盛水筒距离水面的高度H，由以下量所决定：
新课学习
水面
筒车转轮的中心到水面的距离，筒车的半径，
筒转动的角速度，盛水筒的初始位置以及所经过的时间．
以为原点，以与水面平行的直线为轴建立直角坐标系.
设时，盛水筒位于，以为始边，为终边的角为，
经过后运动到点则为终边的角为
水面
新课学习
所以. ①
所以，盛水筒距离水面的高度
与时间的关系是
②
函数②就是要建立的数学模型.
例题剖析
例1 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．某摩天轮最高点距地面高度为，转盘直径为，设置有个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到离地面最近的位置进舱，转一周大约需要．
（1）游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动后离地面的高度为，求在转动一周的过程中，关于的函数解析式；
（2）求游客甲在开始转动后离地面的高度；
（3）若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差关于的函数解析式，并求高度差的最大值（精确到0.1）.
例题剖析
分析：摩天轮上的座舱运动可以近似的看作是质点在圆周上做匀速旋转.在旋转过程中，游客距离地面的高度呈现周而复始的变化，因此可以考虑用三角函数来刻画.
解：设座舱距离地面最近的位置为点以轴心为原点，与地面平行的直线为轴建立直角坐标系
A
B
(1)设时，游客甲位于点，以为终边的角为； 根据摩天轮转一周大约需要30，可知座舱转动的角速度约为，由题意可得：.
(2)当时，.
所以，游客甲在开始转动后离地面的高度约为37.5
(3)甲、乙两人的位置分别用点A,B表示，则∠.经过后甲距离地面高度为，点B相对于点A始终落后，乙距离地面高度为.
例题剖析
甲、乙距离地面的高度差
利用,得
，.
当的最大值为110.
所以，甲、乙两人距离地面的高度差的最大值约为7.2.
课堂总结
转化
构建
匀速圆周运的
数学模型

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