资源简介

(共17张PPT)
4.1（第1课时）
单项式
老师昨天去了盒马超市买小零嘴，准备课后奖励给大家。发现一块士力架的价格是一块脆香米的1.15倍。如果已经知道一块脆香米的价格是x元，那么一块士力架的价格 元.
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1.15x
今天早上老师从一初中观新校区来到一初中本部，如果已经知道行进的速度为vkm/h，所需的时间为th，那么两校之间的路程可以表示为 km.
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vt
幻灯片 1：封面
课程名称：4.1.1 单项式
学科：数学
年级：七年级
授课教师：[教师姓名]
幻灯片 2：学习目标
理解单项式的概念，能准确判断一个代数式是否为单项式。
掌握单项式的系数和次数的定义，能正确求出单项式的系数与次数。
能根据单项式的系数和次数的要求，写出符合条件的单项式，提升对代数式的认知能力。
幻灯片 3：情境引入（生活中的单项式实例）
场景 1：每支钢笔的价格是 5 元，购买 n 支钢笔需要花费多少钱？（引导学生列出代数式：5n 元）
场景 2：一个正方形的边长为 a 厘米，这个正方形的面积是多少平方厘米？（引导学生列出代数式：a 平方厘米）
场景 3：一辆汽车以每小时 v 千米的速度行驶，t 小时行驶的路程是多少千米？（引导学生列出代数式：vt 千米）
场景 4：仓库里原有 200 吨货物，运走 x 吨后，还剩下多少吨货物？（列出代数式：(200 - x) 吨，为后续区分单项式做铺垫）
提问：观察 5n、a 、vt 这些代数式，它们的结构有什么共同特点？与 (200 - x) 相比，又有什么不同？
幻灯片 4：单项式的概念
定义：由数与字母的积组成的代数式叫做单项式。此外，单独的一个数或一个字母也叫做单项式。
例如：5n（数 5 与字母 n 的积）、a （字母 a 与 a 的积，可看作 1×a ）、vt（字母 v 与 t 的积）、-3（单独的一个数）、m（单独的一个字母）都是单项式。
非单项式举例：200 - x（数与字母的差，不是积）、(a + b)/2（数与字母的和除以 2，不是积）、1/x（字母在分母，不是数与字母的积）都不是单项式。
判断标准（核心）：
代数式的运算形式只能是 “乘法”（包括数与字母、字母与字母的乘法），不能含有加法、减法、除法（除数为字母）运算。
单独的数（如 0、-8、π，π 是常数）或单独的字母（如 x、y）均符合单项式定义。
判断练习：下列代数式中，哪些是单项式？
① 3x ② 2 + y ③ -5 ④ a/b ⑤ x ⑥ 0
（答案：①③⑤⑥是单项式，②含加法、④含除法且除数为字母，均不是单项式）
幻灯片 5：单项式的系数
定义：单项式中的数字因数叫做单项式的系数。
例如：
单项式 5n 的数字因数是 5，因此系数是 5；
单项式 - 3x 的数字因数是 - 3，因此系数是 - 3；
单项式 a 的数字因数是 1（可看作 1×a），因此系数是 1；
单项式 - m 的数字因数是 - 1（可看作 - 1×m），因此系数是 - 1；
单项式 πr （π 是常数）的数字因数是 π，因此系数是 π。
注意事项：
系数包括前面的符号，正数的 “+” 号可省略，但负数的 “-” 号不能省略。
当单项式的系数是 1 或 - 1 时，“1” 通常省略不写（如 1×a 写作 a，-1×b 写作 - b）。
单独的一个数作为单项式时，它的系数就是它本身（如单项式 8 的系数是 8，单项式 - 0.5 的系数是 - 0.5）。
幻灯片 6：单项式的次数
定义：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。
例如：
单项式 5n 中，字母 n 的指数是 1，因此次数是 1（称为一次单项式）；
单项式 x 中，字母 x 的指数是 2，因此次数是 2（称为二次单项式）；
单项式 vt 中，字母 v 的指数是 1，字母 t 的指数是 1，指数和为 1 + 1 = 2，因此次数是 2（称为二次单项式）；
单项式 - 3x y 中，字母 x 的指数是 2，字母 y 的指数是 3，指数和为 2 + 3 = 5，因此次数是 5（称为五次单项式）；
单独的一个数（不含字母）作为单项式时，它的次数视为 0（如单项式 7 的次数是 0，称为零次单项式）。
注意事项：
计算次数时，只看 “字母的指数”，不包括数字的指数（如单项式 2 x 中，2 是数字因数，次数由 x 的指数 2 决定，次数为 2）。
若单项式中含有多个字母，需将所有字母的指数相加，不能遗漏任何一个字母的指数。
幻灯片 7：例题讲解 1（识别单项式并求系数与次数）
例 1：指出下列单项式的系数和次数：
（1）-4x （2）a b （3）(2/3) xy （4）-πr （5）7
解答与分析：
（1）① 是单项式；② 系数：-4（数字因数为 - 4）；③ 次数：1（字母 x 的指数为 1）。
（2）① 是单项式；② 系数：1（可看作 1×a b）；③ 次数：3（字母 a 的指数 2 + 字母 b 的指数 1 = 3）。
（3）① 是单项式；② 系数：2/3（数字因数为 2/3）；③ 次数：4（字母 x 的指数 1 + 字母 y 的指数 3 = 4）。
（4）① 是单项式；② 系数：-π（π 是常数，数字因数为 -π）；③ 次数：2（字母 r 的指数为 2）。
（5）① 是单项式（单独的数）；② 系数：7（数字本身）；③ 次数：0（不含字母，次数为 0）。
幻灯片 8：例题讲解 2（根据要求写单项式）
例 2：根据下列要求写出相应的单项式：
（1）写出一个系数为 - 2，次数为 3 的单项式；
（2）写出一个含有两个字母，系数为 1/5，次数为 4 的单项式；
（3）写出一个只含有字母 m，次数为 5，系数为 - 1 的单项式。
解答与分析：
（1）满足条件的单项式：-2x （或 - 2y 、-2ab 等，只要系数为 - 2，所有字母指数和为 3 即可）。
（2）满足条件的单项式：(1/5) a b（或 (1/5) a b 、(1/5) ab 等，含有两个字母，系数为 1/5，字母指数和为 4 即可）。
（3）满足条件的单项式：-m （只含字母 m，系数为 - 1，指数为 5）。
幻灯片 9：课堂练习（分层巩固）
基础题
判断下列代数式是否为单项式，若是，求出其系数和次数：
（1）5ab （2）-x （3）x + 1 （4）0.6y （5）1/x
填空：
（1）单项式 - 3x y 的系数是______，次数是______；
（2）单项式 πa 的系数是______，次数是______；
（3）单项式 8 的系数是______，次数是______。
提升题
下列说法正确的是（ ）
A. 单项式 x 的系数是 0，次数是 1
B. 单项式 - 5y 的系数是 5，次数是 1
C. 单项式 - 2x y 的系数是 - 2，次数是 4
D. 单项式 3 的系数是 3，次数是 2
写出一个系数为 - 1，含有字母 x、y，且次数为 4 的单项式。
拓展题
已知单项式 - 2x^(m) y 的次数是 5，求 m 的值。
幻灯片 10：易错点深度剖析
忽略系数的符号：
错误案例：认为单项式 - 7x 的系数是 7（正确系数应为 - 7）；认为单项式 - xy 的系数是 1（正确系数应为 - 1）。
规避方法：确定单项式系数时，先看单项式前面的符号，再找数字因数，符号与数字因数共同构成系数。
误算单项式的次数：
错误案例：计算单项式 2x y 的次数时，错算为 2（仅看 x 的指数，正确应为 2 + 1 = 3）；计算单项式 5 a 的次数时，错算为 3 + 1 = 4（5 是数字，次数由 a 的指数 1 决定，正确次数为 1）。
规避方法：计算次数时，只关注 “字母的指数”，多个字母则求和，数字的指数（如 2 、5 ）不参与次数计算。
混淆 “单独的数” 的次数：
错误案例：认为单项式 - 9 的次数是 1（正确次数为 0，因不含字母）；认为单项式 π 的次数是 1（π 是常数，不含字母，次数为 0）。
规避方法：牢记 “单独的数（不含字母）作为单项式，次数为 0”，π 是特殊常数，不属于字母。
幻灯片 11：课堂总结
核心知识梳理：
单项式定义：数与字母的积，或单独的一个数、一个字母（不含加、减、字母作除数的运算）。
系数：单项式中的数字因数（含符号，1 或 - 1 可省略，π 是常数）。
次数：所有字母的指数和（单独的数次数为 0，数字的指数不参与计算）。
方法提炼：
单项式判断 “两步法”：① 看运算形式（是否只有乘法，无加减、字母作除数）；② 看是否为单独的数或字母。
系数与次数求解 “关键法”：找系数先定符号再找数字，算次数只加字母指数，忽略数字指数。
幻灯片 12：作业布置
课本第 [具体页码] 页习题 [具体题号]（单项式判断、系数与次数求解题目）。
拓展练习：
（1）已知单项式 (2k - 1) x y 的系数是 3，求 k 的值。
（2）写出 3 个不同的单项式，要求它们的系数都是 - 2，次数都是 3，且含有不同的字母。
实践思考：结合生活中的数量关系（如购物、几何图形），自编 3 个单项式的实例，并指出每个单项式的系数和次数。
走入学校，发现我们学校的广场是正方形的，如果已经测得广场的边长为am，那么它的周长为 m，它的面积为 m2.
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4a
a2
a
幻灯片 1：封面
课程名称：4.1.1 单项式
学科：数学
年级：七年级
授课教师：[教师姓名]
幻灯片 2：学习目标
理解单项式的概念，能准确判断一个代数式是否为单项式。
掌握单项式的系数和次数的定义，能正确求出单项式的系数与次数。
能根据单项式的系数和次数的要求，写出符合条件的单项式，提升对代数式的认知能力。
幻灯片 3：情境引入（生活中的单项式实例）
场景 1：每支钢笔的价格是 5 元，购买 n 支钢笔需要花费多少钱？（引导学生列出代数式：5n 元）
场景 2：一个正方形的边长为 a 厘米，这个正方形的面积是多少平方厘米？（引导学生列出代数式：a 平方厘米）
场景 3：一辆汽车以每小时 v 千米的速度行驶，t 小时行驶的路程是多少千米？（引导学生列出代数式：vt 千米）
场景 4：仓库里原有 200 吨货物，运走 x 吨后，还剩下多少吨货物？（列出代数式：(200 - x) 吨，为后续区分单项式做铺垫）
提问：观察 5n、a 、vt 这些代数式，它们的结构有什么共同特点？与 (200 - x) 相比，又有什么不同？
幻灯片 4：单项式的概念
定义：由数与字母的积组成的代数式叫做单项式。此外，单独的一个数或一个字母也叫做单项式。
例如：5n（数 5 与字母 n 的积）、a （字母 a 与 a 的积，可看作 1×a ）、vt（字母 v 与 t 的积）、-3（单独的一个数）、m（单独的一个字母）都是单项式。
非单项式举例：200 - x（数与字母的差，不是积）、(a + b)/2（数与字母的和除以 2，不是积）、1/x（字母在分母，不是数与字母的积）都不是单项式。
判断标准（核心）：
代数式的运算形式只能是 “乘法”（包括数与字母、字母与字母的乘法），不能含有加法、减法、除法（除数为字母）运算。
单独的数（如 0、-8、π，π 是常数）或单独的字母（如 x、y）均符合单项式定义。
判断练习：下列代数式中，哪些是单项式？
① 3x ② 2 + y ③ -5 ④ a/b ⑤ x ⑥ 0
（答案：①③⑤⑥是单项式，②含加法、④含除法且除数为字母，均不是单项式）
幻灯片 5：单项式的系数
定义：单项式中的数字因数叫做单项式的系数。
例如：
单项式 5n 的数字因数是 5，因此系数是 5；
单项式 - 3x 的数字因数是 - 3，因此系数是 - 3；
单项式 a 的数字因数是 1（可看作 1×a），因此系数是 1；
单项式 - m 的数字因数是 - 1（可看作 - 1×m），因此系数是 - 1；
单项式 πr （π 是常数）的数字因数是 π，因此系数是 π。
注意事项：
系数包括前面的符号，正数的 “+” 号可省略，但负数的 “-” 号不能省略。
当单项式的系数是 1 或 - 1 时，“1” 通常省略不写（如 1×a 写作 a，-1×b 写作 - b）。
单独的一个数作为单项式时，它的系数就是它本身（如单项式 8 的系数是 8，单项式 - 0.5 的系数是 - 0.5）。
幻灯片 6：单项式的次数
定义：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。
例如：
单项式 5n 中，字母 n 的指数是 1，因此次数是 1（称为一次单项式）；
单项式 x 中，字母 x 的指数是 2，因此次数是 2（称为二次单项式）；
单项式 vt 中，字母 v 的指数是 1，字母 t 的指数是 1，指数和为 1 + 1 = 2，因此次数是 2（称为二次单项式）；
单项式 - 3x y 中，字母 x 的指数是 2，字母 y 的指数是 3，指数和为 2 + 3 = 5，因此次数是 5（称为五次单项式）；
单独的一个数（不含字母）作为单项式时，它的次数视为 0（如单项式 7 的次数是 0，称为零次单项式）。
注意事项：
计算次数时，只看 “字母的指数”，不包括数字的指数（如单项式 2 x 中，2 是数字因数，次数由 x 的指数 2 决定，次数为 2）。
若单项式中含有多个字母，需将所有字母的指数相加，不能遗漏任何一个字母的指数。
幻灯片 7：例题讲解 1（识别单项式并求系数与次数）
例 1：指出下列单项式的系数和次数：
（1）-4x （2）a b （3）(2/3) xy （4）-πr （5）7
解答与分析：
（1）① 是单项式；② 系数：-4（数字因数为 - 4）；③ 次数：1（字母 x 的指数为 1）。
（2）① 是单项式；② 系数：1（可看作 1×a b）；③ 次数：3（字母 a 的指数 2 + 字母 b 的指数 1 = 3）。
（3）① 是单项式；② 系数：2/3（数字因数为 2/3）；③ 次数：4（字母 x 的指数 1 + 字母 y 的指数 3 = 4）。
（4）① 是单项式；② 系数：-π（π 是常数，数字因数为 -π）；③ 次数：2（字母 r 的指数为 2）。
（5）① 是单项式（单独的数）；② 系数：7（数字本身）；③ 次数：0（不含字母，次数为 0）。
幻灯片 8：例题讲解 2（根据要求写单项式）
例 2：根据下列要求写出相应的单项式：
（1）写出一个系数为 - 2，次数为 3 的单项式；
（2）写出一个含有两个字母，系数为 1/5，次数为 4 的单项式；
（3）写出一个只含有字母 m，次数为 5，系数为 - 1 的单项式。
解答与分析：
（1）满足条件的单项式：-2x （或 - 2y 、-2ab 等，只要系数为 - 2，所有字母指数和为 3 即可）。
（2）满足条件的单项式：(1/5) a b（或 (1/5) a b 、(1/5) ab 等，含有两个字母，系数为 1/5，字母指数和为 4 即可）。
（3）满足条件的单项式：-m （只含字母 m，系数为 - 1，指数为 5）。
幻灯片 9：课堂练习（分层巩固）
基础题
判断下列代数式是否为单项式，若是，求出其系数和次数：
（1）5ab （2）-x （3）x + 1 （4）0.6y （5）1/x
填空：
（1）单项式 - 3x y 的系数是______，次数是______；
（2）单项式 πa 的系数是______，次数是______；
（3）单项式 8 的系数是______，次数是______。
提升题
下列说法正确的是（ ）
A. 单项式 x 的系数是 0，次数是 1
B. 单项式 - 5y 的系数是 5，次数是 1
C. 单项式 - 2x y 的系数是 - 2，次数是 4
D. 单项式 3 的系数是 3，次数是 2
写出一个系数为 - 1，含有字母 x、y，且次数为 4 的单项式。
拓展题
已知单项式 - 2x^(m) y 的次数是 5，求 m 的值。
幻灯片 10：易错点深度剖析
忽略系数的符号：
错误案例：认为单项式 - 7x 的系数是 7（正确系数应为 - 7）；认为单项式 - xy 的系数是 1（正确系数应为 - 1）。
规避方法：确定单项式系数时，先看单项式前面的符号，再找数字因数，符号与数字因数共同构成系数。
误算单项式的次数：
错误案例：计算单项式 2x y 的次数时，错算为 2（仅看 x 的指数，正确应为 2 + 1 = 3）；计算单项式 5 a 的次数时，错算为 3 + 1 = 4（5 是数字，次数由 a 的指数 1 决定，正确次数为 1）。
规避方法：计算次数时，只关注 “字母的指数”，多个字母则求和，数字的指数（如 2 、5 ）不参与次数计算。
混淆 “单独的数” 的次数：
错误案例：认为单项式 - 9 的次数是 1（正确次数为 0，因不含字母）；认为单项式 π 的次数是 1（π 是常数，不含字母，次数为 0）。
规避方法：牢记 “单独的数（不含字母）作为单项式，次数为 0”，π 是特殊常数，不属于字母。
幻灯片 11：课堂总结
核心知识梳理：
单项式定义：数与字母的积，或单独的一个数、一个字母（不含加、减、字母作除数的运算）。
系数：单项式中的数字因数（含符号，1 或 - 1 可省略，π 是常数）。
次数：所有字母的指数和（单独的数次数为 0，数字的指数不参与计算）。
方法提炼：
单项式判断 “两步法”：① 看运算形式（是否只有乘法，无加减、字母作除数）；② 看是否为单独的数或字母。
系数与次数求解 “关键法”：找系数先定符号再找数字，算次数只加字母指数，忽略数字指数。
幻灯片 12：作业布置
课本第 [具体页码] 页习题 [具体题号]（单项式判断、系数与次数求解题目）。
拓展练习：
（1）已知单项式 (2k - 1) x y 的系数是 3，求 k 的值。
（2）写出 3 个不同的单项式，要求它们的系数都是 - 2，次数都是 3，且含有不同的字母。
实践思考：结合生活中的数量关系（如购物、几何图形），自编 3 个单项式的实例，并指出每个单项式的系数和次数。
老师来的比较早，就去操场转了一圈。发现跑道的两端都是一个半圆。如果这两个半圆的半径都是rm，那么由这两个半圆组成的圆的周长为为 m，面积为 m2.
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2πr
πr2
1.15×x
v×t
4×a
a×a
2×π×r
π×r×r
★共同特征：
1.都只含有一种运算——乘法运算；
2.都是数或字母乘积的形式.
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★注意：π是圆周率的表示符号，不是字母。
一、单项式的定义
上面列出的代数式都是由数与字母的乘积组成的，
这样的代数式叫做单项式．
单项式特征：
1.一种运算----乘法运算；
2.四种形式：（1）单独一个数，如-5.
（2）单独一个字母，如n.
（3）数与字母的乘积，如4a.
（4）字母与字母的乘积，如vt.
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一、单项式的定义
单独一个数或一个字母也是单项式.
例1.判断下列代数式中，哪些是单项式，如果不是请说明理由.
√
√
√
√
√
×
×
×
【小技巧】
如何判断一个式子是否是单项式？
（1）单独的一个数或字母是单项式.
（2）不含运算符号“+”或“-”号.
（3）分母中不含字母.
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游戏规则：判断下列代数式是不是单项式，如果是单项式则拍拍手，如果不是单项式则挥挥手.
（1）2.5
（3）-9x2y3
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小游戏：
-9x2y3
数字因数叫做这个单项式的系数
所有字母的指数的和
叫做这个单项式的次数
次数为2+3=5，叫做五次单项式
5
4
2
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二、单项式的系数和次数
★在研究单项式的系数问题时，要注意以下几点：
12
1
0.9
-1
22π
例2.指出下列单项式的系数和次数.
1. 单项式的系数应包括它前面的符号，分子、分母中的数字；
2. 当单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写；
3. π是数，不是字母.
1
3
2
0
1
1
4
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12
1
0.9
-1
22π
例2.指出下列单项式的系数和次数.
1
3
2
0
1
1
4
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★在研究单项式的次数问题时，要注意以下几点：
1.只与字母的指数有关；
2.单独一个字母的次数是1，不能漏掉；
3.规定单独一个非零数字的次数是0.
例3.用单项式填空，并指出它们的系数和次数:
（1）每包书有12册，n包书有 册；
（2）底边长为 a cm，高为hcm的三角形的面积是 cm2；
（3）棱长为 a cm的正方体的体积是 cm3；
（4）一台电视机原价b元，现按原价的9折出售，这台电视机现在的售价是 元；
（5）一个长方形的长是0.9m，宽是bm，这个长方形的面积是 m2.
一次
三次
一次
一次
二次
1
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游戏规则：每人写一个单项式，让组内其他成员指出其系数和次数.
小游戏：
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1.你能写出所有只含有x、y，而且系数是-3，次数是5的单项式吗？
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能力提升：
2.如果－2mxny2是关于x，y的5次单项式，且系数是4，求m，n的值．
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能力提升：
变题：如果－2mxny2是关于x，y的5次单项式，求m，n满足的条件．
因为n+2=5, -2m=4
所以n=3, m=-2
因为n+2=5, -2m≠0
所以n=3, m≠0
单项式
定义
像0.8p，a2h这样表示数或字母的积的式子叫做单项式.
单独的一个数或一个字母也是单项式，
如-3，x.
相关概念
单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数.一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数.
注意
对于单独一个非 0 的数，规定它的次数为 0.
......
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