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第十七章 因式分解
17.1 用提公因式法分解因式
第1课时 用提公因式法分解简单的因式
学习目标
了解因式分解的意义
一
会用提取公因式法将多项式分解因式
二
三
会利用因式分解进行简便计算
引言
某单人跳水选手完成了一个难度系数为 p 的动作，如果有7名裁判进行评分，按照评分规则，去掉两个最高分和两个最低分后，会剩下3个分数 a，b，c，选手的得分可以怎样计算？
pa + pb + pc
p(a + b + c)
=
一个多项式
两个整式的乘积
合作探究
（1）x2 + x = __________；
（2）x2 – 1 = ________________；
（3）x2 + 2x + 1 = __________.
请把下列多项式写成整式的乘积的形式：
x(x + 1)
(x + 1)(x – 1)
(x + 1)2
像这样，把一个多项式化成了几个整式的乘积的形式，叫作这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式.
x2–1 (x+1)(x–1)
因式分解
整式乘法
x2–1 = (x+1)(x–1)
等式的特征：左边是多项式，
右边是几个整式的乘积
整式乘法与因式分解有什么关系？
是互为相反的变形，即
观察
合作探究
在下列等式中，从左到右的变形是因式分解的有 .
① am + bm + c = m(a + b) + c
② 12x2y2 = 3x ·4xy2
③ x2 – 4 = (x + 2)(x – 2)
④ (x + 1)2 = x2 + 2x + 1
⑥ 2x + 4y + 6z = 2(x + 2y + 3z)
⑤ a2 – b2 – 1 = (a + b)(a – b) – 1
×
√
×
×
×
√
③⑥
巩固练习
下列多项式有什么共同特点？
相同因式 p
相同因式 x
它们的各项都有一个公共的因式 (p 或 x) ，我们把它叫作这个多项式各项的公因式.
观察
pa + pb + pc
p
x2 + x
x
p
p
x
合作探究
巩固练习
找出下列多项式的公因式.
(1) 3x + 6y
(2) ab – 2ac
(3) a2 – a3
(4) ma2 – 6mb
(5) 3xy2 – 4y2
3
a
a2
m
y2
(6)ax - ay
(7) a2 – 2a
(8) a2 + ab
(9)xy – y2 + yz
a
a
a
y
将它们写成几个因式的乘积
pa + pb + pc
x2 + x
= p(a + b + c)
= x(x + 1)
怎么得到的？
(pa + pb + pc)÷p
(x2 + x)÷x
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫作提公因式法.
合作探究
典例分析
例1　分解因式：　
(1) mx2 + my2；
(2) 3x2 – 4xy2 + x .
解：(1) mx2 + my2
= m(x2 + y2)
分析：(1) 公因式为____
(2)公因式为____
m
x
将 x 提出后，括号内的第三项为 1
(2) 3x2 – 4xy2 + x
= x·3x – x·4y2 + x·1
= x(3x – 4y2 + 1)
归纳
运用提公因式法时，如何确定各项的公因式？
= 2x2 ·1 + 2x2 ·3x
= 2x2 (1 + 3x)
①定系数：各项系数的最大公因数；
②定字母：各项的相同字母；
③定指数：相同字母最低次幂.
思考
2
x
2
2x2 + 6x3
注意：某项作为整体提出后，余项用 1 补充.
巩固练习
1.下列由左边到右边的式子变形，哪些是因式分解？哪些不是？为什么？
（1）4a(a + 2b) = 4a2 + 8ab；
（2）a2 – 4 = (a + 2)(a – 2)；
（3）x2 – 3x + 2 = x(x – 3) + 2 .
【教材P125练习 第1题】
是整式的乘法
仍为多项式的和的形式，没有分解成两个因数的积
X
√
X
2. 分解因式：
（1）ax – ay； （2）a2 – 2a；
【教材P125练习 第2题】
（3）a2 + ab； （4）xy – y2 + yz.
巩固练习
原式= a(x – y)
原式= a·a – a·2
= a(a – 2)
原式= a·a + a·b
= a(a + b)
原式= y·x – y·y + y·z
= y(x – y + z)
3. 利用分解因式计算：
（1）1.992 + 1.99×0.01；
【教材P125练习 第3题】
原式= 1.99×1.99 + 1.99×0.01
= 1.99×(1.99 + 0.01)
= 1.99×2
= 3.98
巩固练习
（2）49×20.22 + 52×20.22 – 20.22
原式= 20.22×(49 + 52 – 1)
= 20.22×100
（3）5×34 + 4×34 + 9×32
原式= 5×34 + 4×34 + 32×32
= 5×34 + 4×34 + 34
= 34×(5 + 4 + 1)
= 81×10
= 810
归纳总结
用提公因式法分解因式的步骤：
第一步，确定公因式；
第二步，确定各项的余项（某一项和公因式相同时余项是 1）；
第三步，提取公因式（把多项式化为两个因式的乘积）.
1、下列从左到右的变形中是因式分解的有(　　)
①x2–y2–1＝(x＋y)(x–y)–1；②x3＋x＝x(x2＋1)；
③(x–y)2＝x2–2xy＋y2；④x2–9y2＝(x＋3y)(x–3y)．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
B
素养考点
因式分解变形的识别
方法总结：因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解的右边是两个或几个因式积的形式，整式乘法的右边是多项式的形式．
x2+x=x2(1+ )
2、在下列等式中，从左到右的变形是因式分解的有 .不是因式分解的，请说明原因.
①
②
③
④
⑤
⑥
③
⑥
am+bm+c=m(a+b)+c
24x2y=3x ·8xy
x2–1=(x+1)(x–1)
(2x+1)2=4x2+4x+1
2x+4y+6z=2(x+2y+3z)
最后不是积的运算
因式分解的对象是多项式
是整式乘法
每个因式必须是整式
3. 下列从左到右的变形，属于因式分解的是( )
C
A
B
B
A. 20 B. 30 C. 35 D. 40
A
9. 根据如图所示的拼图过程，写出一个多
项式的因式分解：___________________________.

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