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沪科版（新教材）数学七年级上册
第1章 有理数
1.2.3绝对值
1.知道绝对值的概念，用数轴体会绝对值的实际意义.
2.会求一个数的绝对值，能解决与绝对值相关的问题.
◎重点:求一个数的绝对值.
◎难点:绝对值的实际意义.
沪科版七年级上册 1.2.3 绝对值
数轴示意：← -3 -2 -1 0 1 2 3 →
思考1：表示2的点到原点的距离是多少？表示-2的点到原点的距离又是多少？
答案：都是2个单位长度
思考2：出租车从车站出发，向东行驶3km记作+3km，向西行驶3km记作-3km，两种情况出租车到车站的距离相同吗？
答案：相同，都是3km
在数学中，我们把这种“数轴上点到原点的距离”或“实际情境中的距离”称为这个数的“绝对值”。今天我们就来研究这个重要概念。
新知探究一：绝对值的定义
绝对值的定义分为几何意义和代数意义，从“形”和“数”两个角度理解：
定义类型
具体内容
表示方法
几何意义（形）
在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值
数a的绝对值记作|a|，读作“a的绝对值”
代数意义（数）
① 正数的绝对值是它本身；② 负数的绝对值是它的相反数；③ 0的绝对值是0
|a|={ a (a>0)；0 (a=0)；-a (a<0) }
关键点：距离是非负数（不会是负数），因此任何数的绝对值都大于或等于0，即|a|≥0。
试一试：用几何意义解释|5|=5，|-3|=3，并说出|0|的含义。
新知探究二：绝对值的计算方法
根据绝对值的代数意义，我们可以总结出求一个数绝对值的步骤：
1. 判断符号：确定这个数是正数、负数还是0；
1. 套用规则：正数和0的绝对值直接取本身，负数的绝对值取其相反数；
1. 得出结果：确保结果是非负数。
示例计算：
（1）求|+8|的值
解：+8是正数，绝对值是本身，故|+8|=8
（2）求|-1.5|的值
解：-1.5是负数，绝对值是其相反数，故|-1.5|=1.5
（3）求|0|的值
解：0的绝对值是0，故|0|=0
动手练：计算下列各数的绝对值：|3|、|-7/2|、|0.6|、|-0|、|-(+4)|
新知探究三：绝对值的重要性质
通过计算和观察，我们可以总结出绝对值的核心性质：
- 性质1：非负性 任何有理数的绝对值都是非负数，即|a|≥0。
例：|5|=5≥0，|-3|=3≥0，|0|=0≥0，不存在绝对值为负数的数。
- 性质2：相反数的绝对值相等 若a和b互为相反数，则|a|=|b|。
例：|2|=|-2|=2，|1/3|=|-1/3|=1/3。
- 性质3：绝对值与本身的关系 ① 若|a|=a，则a≥0（正数或0）；② 若|a|=-a，则a≤0（负数或0）。
例：|x|=x → x是正数或0；|y|=-y → y是负数或0。
- 性质4：绝对值为某正数的数有两个 若|a|=k（k>0），则a=k或a=-k，这两个数互为相反数。
例：|x|=4 → x=4或x=-4。
易错提醒：绝对值为0的数只有一个，就是0；绝对值为正数的数有两个，且互为相反数。
易错点辨析：避开绝对值的“陷阱”
陷阱1：认为“绝对值越大，数越大”
反例：|-5|=5，|3|=3，5>3但-5<3。
纠正：绝对值反映的是“距离”，不是数的大小，负数的绝对值越大，数本身越小。
陷阱2：认为“|a|=a，则a是正数”
反例：|0|=0，满足|a|=a，但0不是正数。
纠正：|a|=a时，a是正数或0（非负数），不要漏掉0。
陷阱3：认为“若|a|=|b|，则a=b”
反例：|2|=|-2|，但2≠-2。
纠正：|a|=|b|时，a=b或a=-b（两数相等或互为相反数）。
陷阱4：计算含字母的绝对值时忽略分类讨论
反例：求|x-1|的值，直接写成x-1（错误，未考虑x-1的正负）。
纠正：需分x>1、x=1、x<1三种情况讨论，结果分别为x-1、0、1-x。
典例剖析一：绝对值的基础计算
例1：计算下列各式的值，并说明依据：
1. |-3| + |+5| ； 2. |-12| - |-8| ； 3. |-0.5| × |-4| ； 4. |-24| ÷ |-6|
解题过程：
1. |-3| + |+5| = 3 + 5 = 8（依据：负数的绝对值是相反数，正数的绝对值是本身，再按有理数加法计算）；
1. |-12| - |-8| = 12 - 8 = 4（依据：先求绝对值，再按有理数减法计算）；
1. |-0.5| × |-4| = 0.5 × 4 = 2（依据：先求绝对值，再按有理数乘法计算）；
1. |-24| ÷ |-6| = 24 ÷ 6 = 4（依据：先求绝对值，再按有理数除法计算）。
方法总结：含绝对值的运算，先算绝对值，再按有理数运算法则计算。
典例剖析二：绝对值性质的综合应用
例2：解决下列问题：
1. 已知|x|=5，|y|=3，且x1. 若|a-2| + |b+3|=0，求a+b的值；
1. 已知数轴上点A表示的数为m，且|m-3|=2，求点A表示的数。
1. 由|x|=5得x=5或x=-5；由|y|=3得y=3或y=-3。因x2. 由非负性可知|a-2|≥0，|b+3|≥0，和为0则各自为0：a-2=0→a=2；b+3=0→b=-3，故a+b=2+(-3)=-1；
3. 由|m-3|=2得m-3=2或m-3=-2，解得m=5或m=1，故点A表示5或1。
核心思路：利用“绝对值为正数的数有两个”和“非负性（和为0则各部分为0）”是解题关键。
课堂练习一：基础达标
1. 下列说法正确的是（ ）
A. 绝对值等于它本身的数是正数 B. 绝对值最小的数是0 C. 若|a|=|b|，则a=b D. 负数的绝对值是负数
1. 计算：|+7|=______，|-3/4|=______，|0|=______，-|-5|=______，|-(+2.8)|=______
1. 若|x|=7，则x=______；若|-x|=4，则x=______；若|a|=a，则a______0。
1. 比较大小：|-6| ______ 5，|-2/3| ______ |-3/2|，-|+1| ______ -|-1|
参考答案：1.B 2.7、3/4、0、-5、2.8 3.±7、±4、≥ 4.>、<、=
课堂练习二：能力提升
1. 已知|a|=3，|b|=5，且a>b，求a-b的值；
1. 若|x-1| + |y+2|=0，求x-y的相反数；
1. 有理数a、b在数轴上的位置如图所示，比较|a|与|b|的大小：（数轴示意：← a 0 b →）
1. a=±3，b=±5，a>b则a=3、b=-5或a=-3、b=-5，故a-b=8或2；
2. x=1，y=-2，x-y=3，其相反数为-3；
a在原点左侧，b在右侧，a到原点距离大于b到原点距离，故|a|>|b|。
课堂小结：知识梳理
- 核心概念：绝对值（几何意义：点到原点的距离；代数意义：正数/0的绝对值是本身，负数的绝对值是相反数）
- 关键技能：① 求一个数（含字母、代数式）的绝对值；② 利用绝对值性质（非负性、相反数绝对值相等）解题；③ 结合数轴比较绝对值大小
- 重要性质：① 非负性（|a|≥0）；② 绝对值为正数的数有两个（互为相反数）；③ |a|=|b| a=b或a=-b
- 数学思想：数形结合（用数轴理解绝对值的几何意义）、分类讨论（求含字母的绝对值时）
绝对值是有理数运算的基础，为后续学习有理数大小比较、加减运算提供支撑
课后作业
基础作业
1. 教材P18练习第1、2、3、4题
1. 计算：|1-2| + |3-4| + |5-6| + |7-8| + |9-10|
拓展作业
1. 探究：若a为有理数，|a+1| + |a-2|的最小值是多少？此时a的取值范围是什么？
1. 预习：结合本节课绝对值的知识，思考如何比较两个有理数的大小（下节课内容）。
谢谢观看！
疑问反馈：XXX@
下节课预告：1.3.1 有理数的大小比较
激趣导入
激趣导入
0
－ 10
10
O
东
小红和小明从同一处O出发，分别向东、西方向行走10米，他们行走的方向相同吗？他们行走的路程相同吗？
10
10
上述这个问题反映了什么数学知识？
推进新课
观 察
在数轴上，表示 4 与 -4 的点与原点的距离各是多少？表示 与 的点与原点的距离各是多少？
在数轴上，表示数 a 的点与原点的距离叫作数 a 的绝对值，记作|a|.
这里的数a可以是正数、负数和0.
0
1
2
3
﹣1
﹣2
﹣3
﹣4
﹣5
4
5
|-4|
|4|
+4和-4符号相反，表示它们的点位于原点的两侧，但与原点的距离都等于4，即它们的绝对值都是4，记作|+4|=4，|-4|=4.
由绝对值的定义可知：
（1）一个正数的绝对值是它本身；
（2）一个负数的绝对值是它的相反数；
（3）0 的绝对值是 0.
即
a， a > 0，
0， a = 0，
- a， a < 0.
| a | =
讨论下面 3 个问题：
（1）有没有绝对值等于﹣2 的数？
（2）一个数的绝对值会是负数吗？为什么？
（3）不论有理数 a 取何值，它的绝对值总是什么数？
不论有理数 a 取何值，它的绝对值总是正数或 0（非负数），即对任意有理数 a，总有 | a | ≥ 0.
判断：
Ⅰ.若 a = ﹣a，则a＜0. （ ）
Ⅱ.绝对值等于它本身的数一定是正数. （ ）
Ⅲ.绝对值最小的数是 1. （ ）
Ⅳ.任何有理数的绝对值都是正数. （ ）
×
×
a = 0
还有 0
×
×
0 的绝对值是 0，但 0 不是正数
互为相反数的两个数的绝对值有什么关系？
分析：一对相反数虽然分别在原点两边，但它们到原点的距离是相等的．
结论：互为相反数的两个数的绝对值相等．
例 4 求下列各数的绝对值：
，﹢1，﹣0.1，4.5.
解：
|﹢1|=1，
|﹣0.1|=0.1，
|4.5|=4.5.
练 习
6，﹣8，﹣0.9， ， ， 100， 0.
|6|=6；
|﹣8|=8；
|﹣0.9|=0.9；
|100|=100；
|0|=0.
解：
写出下列各数的绝对值：
随堂练习
1.在数轴上画出表示出下列各数的点，并指出它们的绝对值：
，﹣2，0，﹣0.5，7.
0
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
-0.5
【教材P12 练习 第1题】
|-2|=2；
|7|=7.
|﹣0.5|=0.5；
|0|=0；
2.填空
| -3 |=____，| 1.5 | =____，| 0 | =____，
| -0.02 | =_____，| | =____，| | =____.
3
1.5
0
0.02
【教材P12 练习 第2题】
3.下列等式中不成立的是（ ）
（A）｜﹣5｜= 5 （B）﹣｜5｜= ﹣｜﹣5｜
（C）｜﹣5｜=｜5｜（D）﹣｜﹣5｜= 5
D
【教材P12 练习 第3题】
4. 计算
（1）｜﹣8｜+｜9｜
（2）｜﹣12｜÷｜12｜
（3）｜0.6｜－｜ ｜
（4）｜﹣3｜×｜﹣2｜
=17
=1
=0
=6
【教材P12 练习 第4题】
（1）若a＞0，则 = 1，若 =_____，则a是_______.
（2）若|x| = 3，则x =______；若|﹣x| = 4，则 x =______.
拓展延伸
1
±3
正数
±4
知识点1 绝对值的几何意义
1.［知识初练］在数轴上，表示数10的点到原点的距离是
____，记作____；表示数 的点到原点的距离是___，
记作___；表示数0的点是原点，故 ___.
10
10
2
2
0
2.［2024·六安期中］如图，下列数轴上的点表示的数，其中
绝对值相等的是( )
C
A.点和点 B.点和点 C.点和点 D.点和点
知识点2 绝对值的计算
3.2 025的绝对值是( )
B
A. B.2 025 C. D.
4.下列各式正确的是( )
A
A. B.
C. D.
5.［2025年1月芜湖期末］若，则 的值是( )
B
A.11 B. C. D.
【变式题】 若，则 _______.
或
6.教材改编题 化简：
(1) __；
(2) ______；
(3) __;
(4) ____.
7.(16分)教材改编题 计算：
(1) ；
解：原式 .
(2) ；
解：原式 .
(3) ；
解：原式 .
(4) .
解：原式 .
知识点3 绝对值的性质
8. 对任意有理数，总有___0； 的最小值为___.
探究 归纳
____ 当时， ___
____ 当时， ____
___ 当时， ___
0
20
20
0
0
9.［2025·天津模拟］若，则 一定是( )
C
A.正数 B.负数 C.非正数 D.非负数
2星题 中档练
10.如果，那么， ( )
D
A.相等 B.互为相反数
C.都是0 D.互为相反数或相等
11.如图，数轴的单位长度为1，如果点， 表示的数互为相
反数，那么图中的4个点中，点___表示的数的绝对值最大.
12.易错题 若，，则在数轴上表示， 的点之
间的距离是______.
3或1
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