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沪科版（新教材）数学七年级上册
第1章 有理数
1.4.2 有理数的减法
某地某天气温是﹣3℃～3℃，这天的温差是多少摄氏度呢？你是怎样算的？
温差是指最高气温减最低气温.
1.4.1 有理数的加法
沪科版七年级上册数学
授课人：XXX
情境导入：生活中的“正负相加”
我们已经会比较有理数的大小，今天来解决有理数的加法问题。生活中很多场景都涉及正负数相加，比如：
足球比赛净胜球：某队第一场比赛赢2球（记为+2），第二场赢1球（记为+1），两场总净胜球是多少？若第一场赢2球，第二场输1球（记为-1），总净胜球又如何？
电梯升降：电梯从1楼上升5层（记为+5），再上升3层（记为+3），最终位置是多少？若上升5层后再下降2层（记为-2），最终位置又在哪里？
思考：这些问题本质是“正数+正数”“正数+负数”的运算，如何根据有理数的符号特征总结加法规律？
新知探究一：同号两数相加（都正或都负）
先研究“正数+正数”和“负数+负数”的情况，结合数轴理解运算过程：
1. 正数+正数：以“+2 + (+1)”为例
数轴解释：从原点出发，先向右移动2个单位（表示+2），再向右移动1个单位（表示+1），最终停在3的位置，即+2 + (+1) = +3。
2. 负数+负数：以“(-2) + (-1)”为例
数轴解释：从原点出发，先向左移动2个单位（表示-2），再向左移动1个单位（表示-1），最终停在-3的位置，即(-2) + (-1) = -3。
同号相加法则：取相同的符号，并把绝对值相加。
试一试：计算① (+3) + (+5) ② (-4) + (-6) ③ (+0.7) + (+0.3)
新知探究二：异号两数相加（一正一负）
异号相加是重点，分“正数绝对值大”和“负数绝对值大”两种情况，结合数轴分析：
1. 正数绝对值大：以“(+5) + (-2)”为例
数轴解释：从原点向右移5个单位（+5），再向左移2个单位（-2），最终停在3的位置，即(+5) + (-2) = +3。核心：5的绝对值（5）大于2的绝对值（2），取正数符号，用5-2=3。
2. 负数绝对值大：以“(+2) + (-5)”为例
数轴解释：从原点向右移2个单位（+2），再向左移5个单位（-5），最终停在-3的位置，即(+2) + (-5) = -3。核心：5的绝对值（5）大于2的绝对值（2），取负数符号，用5-2=3。
异号相加法则：取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
试一试：计算① (+7) + (-3) ② (-8) + (+5) ③ (+1.2) + (-2.5)
新知探究三：一个数与0相加及法则总结
先看特殊情况——与0相加，再整合所有规律：
1. 与0相加：例：(+4) + 0 = +4；(-3) + 0 = -3；0 + 0 = 0。
结论：一个数与0相加，仍得这个数。
2. 有理数加法法则总表
加数符号特征
和的符号
和的绝对值
举例
两数同正
正
两数绝对值相加
3+2=5
两数同负
负
两数绝对值相加
(-3)+(-2)=-5
一正一负（正绝对值大）
正
大绝对值减小绝对值
3+(-2)=1
一正一负（负绝对值大）
负
大绝对值减小绝对值
2+(-3)=-1
一个数与0
与原数相同
与原数绝对值相同
0+(-3)=-3
易错点辨析：避开加法运算的“陷阱”
陷阱1：异号相加时，符号判断错误
反例：(-5) + 3 = 2（错误，负绝对值大，应取负号）
纠正：先比绝对值大小，5>3，取“-”，5-3=2，正确结果为-2。
陷阱2：同号相加时，漏加绝对值
反例：(-4) + (-1) = -4（错误，未将绝对值相加）
纠正：同号取相同符号，绝对值相加4+1=5，正确结果为-5。
陷阱3：忽略“+”号的省略规则
反例：3 + -2 = 1（书写错误，异号相加需规范括号）
纠正：应写成3 + (-2)，运算时明确加数符号，避免混淆。
陷阱4：与0相加时，错误改变原数
反例：(-6) + 0 = 6（错误，与0相加应保持原数）
纠正：一个数与0相加得原数，正确结果为-6。
典例剖析一：基础加法运算（分步演示）
例1：计算下列各式，写出详细步骤：
1. (-12) + (-8)
解：① 类型：同号两数相加；② 符号：取负号；③ 绝对值：12+8=20；④ 结果：-20
2. (+15) + (-7)
解：① 类型：异号两数相加；② 绝对值比较：15>7；③ 符号：取正号；④ 绝对值：15-7=8；⑤ 结果：+8（即8）
3. (-0.9) + (+1.5)
解：① 类型：异号两数相加；② 绝对值比较：1.5>0.9；③ 符号：取正号；④ 绝对值：1.5-0.9=0.6；⑤ 结果：0.6
4. (-3/4) + 0
解：① 类型：与0相加；② 结果：-3/4
方法总结：先定类型，再判符号，最后算绝对值，步骤清晰可避免错误。
典例剖析二：有理数加法的实际应用
例2：某超市一周内的盈亏情况如下（盈余为正，亏损为负，单位：元）：+1200、-800、+1500、-500、+2000、-1000、+300。该超市这一周总的盈亏情况如何？
解题过程：
总盈亏 = (+1200) + (-800) + (+1500) + (-500) + (+2000) + (-1000) + (+300)
分步计算：① 1200-800=400；② 400+1500=1900；③ 1900-500=1400；④ 1400+2000=3400；⑤ 3400-1000=2400；⑥ 2400+300=2700
结果为正数，说明该超市这一周盈余2700元。
例3：数轴上点A表示的数是-4，将点A先向右移动6个单位，再向左移动3个单位，求移动后点A表示的数。
解：-4 + (+6) + (-3) = (-4-3) + 6 = -7 + 6 = -1，移动后点A表示-1。
课堂练习一：基础达标
1. 计算下列各式：
① (+5) + (+7) = ______ ② (-6) + (-9) = ______ ③ (+8) + (-3) = ______④ (-10) + (+6) = ______ ⑤ (-0.5) + (+0.5) = ______ ⑥ (-2.3) + 0 = ______
2. 下列计算正确的是（ ）
A. (-3) + (-5) = 8 B. (+3) + (-8) = 5 C. (-4) + (+6) = 2 D. (-6) + 0 = 6
参考答案：1.①12 ②-15 ③5 ④-4 ⑤0 ⑥-2.3 2.C
课堂练习二：能力提升
1. 已知|a|=3，|b|=5，且a、b同号，求a+b的值；
2. 一口井深10米，一只蜗牛从井底向上爬，白天爬3米（记为+3），夜间下滑2米（记为-2），蜗牛第几天能爬出井口？
3. 探究：若a与b互为相反数，c与d互为相反数，求a + b + c + d的值。
1. a=3、b=5时，a+b=8；a=-3、b=-5时，a+b=-8，故a+b=±8；
2. 前7天每天净爬1米（3-2=1），第8天白天爬3米，7+3=10米，故第8天爬出；
3. 因a+b=0，c+d=0，故a+b+c+d=0。
课堂小结：知识梳理
- 核心法则：有理数加法分三类——同号相加“取同号，加绝对值”；异号相加“取大符号，减绝对值”；与0相加“得原数”。
- 关键步骤：一判类型（同号/异号/与0）→ 二定符号 → 三算绝对值。
- 易错提醒：异号相加先比绝对值大小再定符号，避免符号错误；书写时规范括号，如“+(-2)”而非“+-2”。
- 数学思想：数形结合（用数轴理解加法意义）、分类讨论（按符号分情况探究法则）。
有理数加法是有理数运算的基础，掌握法则是后续学习减法、乘法的关键
1.4.1.2 有理数的加法运算律
情境引入：运算顺序的影响
回顾小学所学的加法运算律，思考：在有理数加法中，这些运算律是否仍然适用？先看两个问题：
1. 计算：(+3) + (-5) 和 (-5) + (+3)，两次结果相同吗？
2. 计算：[(+2) + (-3)] + (-7) 和 (+2) + [(-3) + (-7)]，两次结果相同吗？
观察计算结果，你能发现什么规律？
新知探究一：加法交换律
通过多组实例验证规律：
第一组加数
第二组加数
a + b
b + a
结果是否相等
+5
-2
5 + (-2)=3
-2 + 5=3
是
-4
-3
-4 + (-3)=-7
-3 + (-4)=-7
是
0
-6
0 + (-6)=-6
-6 + 0=-6
是
加法交换律：两个有理数相加，交换加数的位置，和不变。
字母表示：a + b = b + a（a、b为任意有理数）
结论：有理数加法中，交换律依然成立，与加数的符号无关。
新知探究二：加法结合律
同样通过实例验证结合律的适用性：
1. 计算[(+8) + (-5)] + (-4) 和 (+8) + [(-5) + (-4)]
解：[(+8) + (-5)] + (-4)=3 + (-4)=-1；(+8) + [(-5) + (-4)]=8 + (-9)=-1，结果相等。
2. 计算[(-12) + (+3)] + (+7) 和 (-12) + [(+3) + (+7)]
解：[(-12) + (+3)] + (+7)=-9 + 7=-2；(-12) + [(+3) + (+7)]=-12 + 10=-2，结果相等。
加法结合律：三个有理数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。
字母表示：(a + b) + c = a + (b + c)（a、b、c为任意有理数）
易错点辨析：运算律应用的“误区”
误区1：交换加数位置时漏带符号
反例：(-3) + 5 - 2 = (-3) + 2 - 5（错误，-2的符号未随位置移动）
纠正：(-3) + 5 + (-2) = (-3) + (-2) + 5，符号与数字绑定，不可拆分。
误区2：结合时忽略符号导致计算错误
反例：(+7) + (-5) + (-7) = [(+7) + (+7)] + (-5)（错误，-7符号判断失误）
纠正：应结合相反数，(+7) + (-7) + (-5)=0 + (-5)=-5。
典例剖析：运算律的简便应用
核心技巧：利用运算律凑“整数”“相反数”“同号数”，简化计算。
例1：用简便方法计算下列各式：
1. (-13) + (+25) + (+13) + (-15)
解：结合相反数和同号数 → [(-13) + (+13)] + [(+25) + (-15)] = 0 + 10 = 10
2. (+1.2) + (-0.8) + (-3.5) + (+0.8) + (+2.5)
解：结合相同小数和凑整 → (+1.2) + [(-0.8) + (+0.8)] + [(-3.5) + (+2.5)] = 1.2 + 0 + (-1) = 0.2
3. (-2/3) + (+1/2) + (+4/3) + (-1/2)
解：结合同分母和相反数 → [(-2/3) + (+4/3)] + [(+1/2) + (-1/2)] = 2/3 + 0 = 2/3
简便运算思路：① 互为相反数的先加（和为0）；② 同号数先加（减少符号变化）；③ 能凑整的先加（简化绝对值计算）。
课堂练习：运算律应用
1. 基础题：用运算律计算
① (-5) + (+8) + (+5) + (-2) ② (-0.5) + (+3.25) + (+2.75) + (-5.5)
2. 提升题：某仓库一周内货物进出情况如下（进为正，单位：吨）：+12、-15、+18、-10、-20、+17、-8。用简便方法计算一周内货物的净变化量。
1. ① [(-5)+(+5)] + [(+8)+(-2)]=0+6=6；② [(-0.5)+(-5.5)] + [(+3.25)+(+2.75)]=-6+6=0；
2. (+12+18+17) + (-15-10-20-8)=47 + (-53)=-6，净变化量为减少6吨。
运算律小结
- 核心内容：交换律a+b=b+a，结合律(a+b)+c=a+(b+c)，有理数中普遍适用；
- 核心作用：改变运算顺序，简化计算，减少错误；
- 关键技巧：优先结合相反数、同号数、凑整数的加数。
谢谢观看！
疑问反馈：XXX@
下节课预告：1.4.2 有理数的减法
1.4.2 有理数的减法
情境导入：从“加法”到“减法”的思考
我们已经掌握了有理数的加法运算，生活中还会遇到这样的问题：
气温变化：某日最高气温是5℃，最低气温是-2℃，该日最高气温比最低气温高多少摄氏度？如何列式计算？
海拔差异：泰山海拔1545米，死海海拔-430.5米，泰山比死海高出多少米？列式后该如何运算？
这些问题都需要计算“5 - (-2)”“1545 - (-430.5)”，即有理数的减法。思考：有理数减法能否转化为我们熟悉的加法运算？
小学中“减法是加法的逆运算”，在有理数中这个关系还成立吗？
新知探究一：有理数减法法则的推导
从逆运算角度和实例分析，推导减法法则：
1. 逆运算角度：已知加法算式“(-2) + 7 = 5”，根据逆运算可得减法算式“5 - (-2) = 7”。观察发现：5 + (+2) = 7，即5 - (-2) = 5 + (+2)。
2. 实例验证：① 计算3 - 2和3 + (-2)，结果均为1，故3 - 2 = 3 + (-2)；② 计算(-5) - (-3)和(-5) + (+3)，结果均为-2，故(-5) - (-3) = (-5) + (+3)；③ 计算0 - (-4)和0 + (+4)，结果均为4，故0 - (-4) = 0 + (+4)。
有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。
字母表示：a - b = a + (-b)（a、b为任意有理数）
核心转化：① 减号变加号；② 减数变为它的相反数。被减数的符号和绝对值保持不变。
新知探究二：减法法则的基础应用步骤
应用法则计算时，遵循“一转化、二计算”的步骤：
1. 步骤1：转化 把减法算式转化为加法算式，即“减号变加号，减数变相反数”；
2. 步骤2：计算 按照有理数加法法则计算转化后的加法算式。
示例演示：计算(-8) - (-5) 解：① 转化：(-8) - (-5) = (-8) + (+5)；② 计算：异号相加，| -8 | = 8 > | +5 | = 5，取负号，8 - 5 = 3，结果为-3。
试一试：按步骤计算① 7 - (-3) ② (-10) - 4 ③ (-6) - (-6) ④ 0 - 8
易错点辨析：减法运算的“常见错误”
错误1：只变符号，不变减数
反例：(-7) - 3 = (-7) + 3（错误，减数3的相反数应为-3）
纠正：(-7) - 3 = (-7) + (-3) = -10，需同时改变减号和减数的符号。
错误2：混淆被减数与减数
反例：3 - (-2) = (-3) + 2（错误，被减数3的符号不应改变）
纠正：3 - (-2) = 3 + (+2) = 5，仅改变减数的符号，被减数保持不变。
错误3：转化后加法计算失误
反例：(-4) - (-6) = (-4) + 6 = -2（错误，异号相加符号判断错误）
纠正：6的绝对值大，取正号，6 - 4 = 2，正确结果为2。
错误4：忽略“减去0”的特殊性
反例：5 - 0 = 5 + 0 = 0（错误，0的相反数仍是0，结果应为原数）
纠正：5 - 0 = 5 + 0 = 5，减去0等于加上0，结果与被减数相同。
典例剖析一：基础减法运算与混合运算
例1：计算下列各式，写出转化过程：
1. 12 - (-18) 解：12 - (-18) = 12 + (+18) = 30（同号相加，取正号，绝对值相加）
2. (-15) - 20 解：(-15) - 20 = (-15) + (-20) = -35（同号相加，取负号，绝对值相加）
3. (-0.6) - (+0.4) 解：(-0.6) - (+0.4) = (-0.6) + (-0.4) = -1（同号相加，取负号，绝对值相加）
4. 3/4 - (-1/4) 解：3/4 - (-1/4) = 3/4 + (+1/4) = 1（同号相加，取正号，绝对值相加）
例2：计算混合运算：(-7) - (+5) + (-4) - (-10) 解：转化为加法 → (-7) + (-5) + (-4) + (+10)，结合运算律 → [(-7) + (-5) + (-4)] + 10 = (-16) + 10 = -6。
典例剖析二：减法的实际应用
例3：某地区一周的气温记录如下（单位：℃）：周一3~10℃，周二2~8℃，周三1~7℃，周四-1~5℃，周五-2~4℃，周六0~6℃，周日2~9℃。该周最高气温与最低气温的差值是多少？
解题过程：① 找出最高气温10℃（周一），最低气温-2℃（周五）；② 计算差值：10 - (-2) = 10 + 2 = 12℃。
结果：该周最高气温与最低气温相差12℃。
例4：小明的银行账户资金变动情况如下：月初余额为1200元，本月存入800元，支出1500元，又存入300元，最后支出200元。月末账户余额比月初多多少元？
解：月末余额 = 1200 + 800 - 1500 + 300 - 200 = 600元，差值 = 600 - 1200 = 600 + (-1200) = -600元，即月末比月初少600元。
课堂练习一：基础达标
1. 计算下列各式：① 8 - (-5) = ______ ② (-9) - 6 = ______ ③ (-3) - (-7) = ______ ④ 0 - (-6) = ______ ⑤ 1 - (+5) = ______ ⑥ (-2.5) - (-1.5) = ______
2. 下列计算正确的是（ ）A. (-3) - (-4) = -7 B. 5 - (-2) = 3 C. (-6) - 0 = -6 D. 7 - 5 = -2
参考答案：1.①13 ②-15 ③4 ④6 ⑤-4 ⑥-1 2.C
课堂练习二：能力提升
1. 计算：(-12) - (+8) + (-6) - (-5)；
2. 已知|a|=7，|b|=4，且a3. 数轴上点A表示的数是-3，点B表示的数是5，求A、B两点间的距离（提示：距离为两点表示的数的差的绝对值）。
1. (-12) + (-8) + (-6) + 5 = -21；2. a=-7，b=±4，a-b=-11或-3；3. |5 - (-3)|=8，距离为8。
课堂小结：有理数减法知识梳理
- 核心法则：a - b = a + (-b)，将减法转化为加法是核心思路；
- 关键步骤：减号变加号 → 减数变相反数 → 按加法法则计算；
- 易错提醒：仅改变减数符号，被减数不变；转化后注意加法的符号判断；
新课推进
下表记录了某地某年2月1日至2月10日每天气温情况：
月/日 2/1 2/2 2/3 2/4 2/5 2/6 2/7 2/8 2/9 2/10
最高气温/℃ 12 10 5 5 3 5 6 6 8 9
最低气温/℃ 3 2 -4 -5 -4 -3 -3 -1 0 -2
怎样求出该地 2月 3 日最高气温与最低气温的差呢？
观察左图，5 ℃ 比0 ℃ 高 5 ℃，0 ℃ 比 -4 ℃ 高 4 ℃，因此 5 ℃ 比 -4 ℃ 高 9℃.
解决这里的问题，就是做减法
5-(-4) = ？
由于加减法互为逆运算，上式可变为
？+(-4) = 5
因为 9+(-4)=5，所以上式中的 ？= 9，即 5-(-4) = 9.
又 5 + 4 = 9
可见 5-(-4) = 5 + (+4)
比较上式两边：
5﹣（﹣4）＝ 5 +（+4）
有何变化？
有何关系？
这些数减﹣4的结果与它们加+4的结果相同吗？
将上式中的5换成0，﹣1，﹣5，用上面的方法考虑：
0﹣(﹣4)，
探究
(﹣1)﹣(﹣4)，
(﹣5)﹣(﹣4)，
从中又能有新的发现吗？
计算：
减去一个正数，等于加上这个数的相反数．
1
1
8
8
可以发现，有理数的减法可以转化为加法来进行.
有理数的减法法则也可以表示为
减去一个数，等于加上这个数的相反数．
归纳法则
有理数减法法则：
a－b＝a＋ (﹣b)
减法运算转化成加法运算要点：两变一不变.
变成相反数
不变
减号变加号
a－b＝a＋ (﹣b)
请你计算出上表中2月4日至2月10日每天最高气温与最低气温的差.
月/日 2/1 2/2 2/3 2/4 2/5 2/6 2/7 2/8 2/9 2/10
最高气温/℃ 12 10 5 5 3 5 6 6 8 9
最低气温/℃ 3 2 ﹣4 ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣3 ﹣1 0 ﹣2
试一试
9
8
9
10
7
8
9
7
8
11
例5 计算：
(1)（﹣16）－（﹣9）； (2) 2－7；
(3) 0－（﹣2.5）； (4)（﹣2.8）－（+1.7）.
解
(1)（﹣16）－（ ﹣ 9）=（ ﹣ 16）+（ ﹢ 9）=﹣7.
(2) 2－7=2+（﹣ 7）= -5.
(3) 0－（﹣2.5）= 0+（+2.5）=2.5.
(4)（﹣2.8）－（+1.7）=（﹣2.8）+（﹣1.7）=﹣4.5.
例6 某次法律知识竞赛中规定：抢答题答对一题得20分，答错一题扣10分. 答对一题与答错一题得分相差多少分？
解 20﹣（﹣10）＝20+10＝30（分）
即答对一题与答错一题相差30分.
1. 减去一个数，等于加上这个数的相反数；
2. 减法运算转化成加法的过程中，必须同时改变减号和减数的符号.
归纳小结
1. 填空：
（1）(-8)-(-14) = (-8) + ( ) = ( )；
（2）(-7)-(+16) = (-7) + ( ) = ( ).
14
6
-16
-23
【教材P26 练习 第1题】
2. 计算：
（1）(-19)-(-7)； （2）4-6；
（3）(-2.5)-(+2.5)； （4）0-(-5).
-12
-2
-5
5
【教材P26 练习 第2题】
3. 计算：
（1）12-17； （2）(-10)-4；
（3）32-(-18)； （4）0-12；
（5） ； （6） ；
（7） ； （8） ；
-5
-14
50
-12
0
【教材P26 练习 第3题】
4.巴黎、东京与北京的时差如下表（“+”号表示同一时刻比北京时间早的时数）:
城市 巴黎 东京
与北京的时差/h -7 +1
（1）求巴黎与东京的时差；
（2）巴黎时间 8：00 时，东京时间是多少？
-7-(+1) = -8
东京时间是 0:00
【教材P26 练习 第4题】
知识点1 有理数的减法法则
1.［知识初练］在下列横线上填上适当的数.
(1) _______;
(2) ____;
(3) ______;
(4) ___.
12
5
2.计算 的结果是( )
D
A. B. C.1 D.5
3.已知算式( ) ，则括号里应填( )
A
A.2 B. C. D.12
4.［2024·淮北期中］下列选项中，计算结果与其他三项不同
的是( )
A
A. B. C. D.
5.(24分)教材改编题 计算：
(1) ；
解： .
(2) ；
.
(3) ；
解： .
(4) ；
.
(5) ；
解： .
(6) .
.
知识点2 有理数减法法则的应用
6.［2025年1月芜湖期末］某天黄山的最高气温是 ，最低
气温比最高气温低 ，那么这天的最低气温是( )
C
A. B. C. D.
谢谢观看！

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