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沪科版（新教材）数学七年级上册
第1章 有理数
1.6.1有理数的乘方
问题：
若对折10次可裁成几张？请用一个算式表示（不用算出结果）
若对折100次，算式中有几个2相乘？
对折2次可裁成4张，即2×2张；
对折3次可裁成8张，即2×2×2张.
试一试：将一张纸按下列要求对折。
有理数的乘方
第一页：情境导入——倍增的力量
1. 趣味情境
故事：古印度国王为奖励国际象棋发明者，答应满足他一个要求。发明者说：“请在棋盘的第1格放1粒米，第2格放2粒米，第3格放4粒米，第4格放8粒米……以此类推，每一格的米粒数都是前一格的2倍，直到放满64格。”
思考：你觉得国王能满足这个要求吗？第5格、第6格的米粒数分别是多少？这样的重复乘法有没有更简便的表示方法？
2. 温故引新
回顾：我们已经学过有理数的乘法，计算3×3=？ 3×3×3=？ 3×3×3×3=？
发现：当相同因数重复相乘时，书写和计算都比较繁琐。今天我们就学习一种表示相同因数相乘的简便形式——有理数的乘方。
第二页：探究新知1——乘方的定义与表示
活动1：从具体到抽象，理解概念
观察下列相同因数的乘法算式，思考如何简化表示：
- （1）2×2 = ？ （2个2相乘）
- （2）2×2×2 = ？ （3个2相乘）
- （3）(-3)×(-3)×(-3)×(-3) = ？ （4个-3相乘）
- （4）\(\frac{1}{2}\)×\(\frac{1}{2}\)×\(\frac{1}{2}\)×\(\frac{1}{2}\)×\(\frac{1}{2}\) = ？ （5个\(\frac{1}{2}\)相乘）
活动2：乘方的定义
定义：求n个相同因数a的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。
表示方法：n个a相乘，记作\(a^n\)，即\(a \times a \times a \times \dots \times a\)（n个a）=\(a^n\)。
各部分名称：在\(a^n\)中，a叫做底数，n叫做指数，\(a^n\)读作“a的n次幂”或“a的n次方”。
举例：在\((-3)^4\)中，底数是-3，指数是4，读作“-3的4次幂”，表示4个-3相乘；特别地，指数为1时可省略，如\(5^1 = 5\)。
活动3：即时辨析
判断下列各式的底数、指数，并说出其意义：
- （1）\(3^5\)：底数____，指数____，表示________________
- （2）\((-2)^3\)：底数____，指数____，表示________________
- （3）\(-2^3\)：底数____，指数____，表示________________（注意：这里的负号不属于底数）
第三页：探究新知2——乘方的符号法则
活动1：计算对比，寻找规律
分组计算下列乘方，观察结果的符号与底数、指数的关系：
第一组（正数的乘方）：\(2^2 = \)____，\(2^3 = \)____，\(3^4 = \)____
第二组（负数的乘方）：\((-2)^2 = \)____，\((-2)^3 = \)____，\((-3)^4 = \)____，\((-3)^5 = \)____
第三组（0的乘方）：\(0^2 = \)____，\(0^3 = \)____，\(0^4 = \)____
活动2：归纳符号法则
- 1. 正数的任何次幂都是正数；
- 2. 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；
- 3. 0的任何正整数次幂都是0。
易错提醒：\((-a)^n\)与\(-a^n\)的区别——前者底数是-a，符号由n的奇偶性决定；后者底数是a，先算\(a^n\)再添负号，如\((-2)^4 = 16\)，\(-2^4 = -16\)。
例题1：计算下列乘方
（1）\(5^3\) （2）\((-4)^2\) （3）\(-3^4\) （4）\((-\frac{1}{2})^3\) （5）\(0^{2024}\)
解：（1）\(5^3 = 5×5×5 = 125\)（正数的奇次幂为正，直接计算）
（2）\((-4)^2 = (-4)×(-4) = 16\)（负数的偶次幂为正，绝对值相乘）
（3）\(-3^4 = - (3×3×3×3) = -81\)（先算\(3^4\)，再添负号）
（4）\((-\frac{1}{2})^3 = (-\frac{1}{2})×(-\frac{1}{2})×(-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{8}\)（负数的奇次幂为负，分数分子分母分别乘方）
（5）\(0^{2024} = 0\)（0的正整数次幂为0）
例题2：乘方与乘除混合运算
第四页：例题讲解——规范乘方运算
计算：\(2×(-3)^2 - 4÷(-2)^3\)
运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减。
解：原式 = 2×9 - 4÷(-8) （先算乘方：\((-3)^2=9\)，\((-2)^3=-8\)）
= 18 - (-0.5) （再算乘除：2×9=18，4÷(-8)=-0.5）
= 18 + 0.5 = 18.5 （最后算加减）
第五页：巩固练习——分层提升
（1）\(4^2 = \)____ （2）\((-5)^3 = \)____ （3）\(-2^5 = \)____ （4）\((\frac{2}{3})^2 = \)____
（5）\((-1)^{100} = \)____ （6）\((-1)^{99} = \)____ （7）\(1^{2025} = \)____ （8）\(0^{10} = \)____
1. 基础题：直接写出结果
2. 提高题：计算下列各题
（1）\(3^2 - (-2)^3\) （2）\((-4)×5^2 + (-3)^3÷3\)
（3）\(-2^2×(-\frac{1}{2})^2\) （4）\(10 - 2×(-3)^2÷(-\frac{1}{2})\)
某种细胞每30分钟分裂一次，每次分裂后细胞数量是原来的2倍。现有1个这样的细胞，1.5小时后细胞总数是多少？2小时后呢？（用乘方表示并计算）
第六页：课堂回顾与拓展
1. 核心知识梳理
内容
关键要点
乘方定义
\(a^n\)表示n个a相乘，a是底数，n是指数，结果叫幂
符号法则
正数的任何次幂为正；负数奇次幂为负，偶次幂为正；0的正整数次幂为0
运算顺序
先乘方，再乘除，后加减；同级运算从左到右
易错区分
\((-a)^n\)（底数为-a）与\(-a^n\)（底数为a）的符号差异
2. 拓展思考
1. 计算\(2^1 = 2\)，\(2^2 = 4\)，\(2^3 = 8\)，\(2^4 = 16\)……观察结果的个位数字，你能找出规律吗？\(2^{20}\)的个位数字是多少？
2. 回到导入问题，第64格的米粒数是\(2^{63}\)，这个数约为922亿亿粒，相当于全球几百年的粮食总产量，这就是乘方的“倍增力量”！
乘方是相同因数乘法的简便表示，掌握符号法则和运算顺序是核心。生活中很多现象都蕴含乘方的规律，希望大家能用数学眼光发现更多奥秘！
2. 易错点提醒
- 不要忽略符号：计算时先定符号，再算绝对值；
- 牢记0的特殊性：0不能作除数，0除以非0数得0；
- 倒数符号一致：负数的倒数还是负数，正数的倒数还是正数。
3. 拓展思考
若a、b互为倒数，c、d互为相反数，求(-a×b) + c + d的值。（提示：利用倒数和相反数的定义推导）
有理数的除法是乘法的逆运算，掌握“转化”思想（除法转乘法）是简化计算的关键，大家要多练多总结哦！
思 考
对折10次裁成的张数用以下算式计算2×2×2×2×2×2×2×2×2×2
是一个有10个2相乘的乘积式；
对折100次裁成的张数，可用算式
计算，在这个积中有100个2相乘。
这么长的算式有简单的记法吗？
探索新知
如图，边长为 5 的正方形，它的面积是 5×5 = 25，5×5 可记作_____.
如图，棱长为 2 的正方体，它的体积是 2×2×2 = 8，2×2×2 可记作_____.
52
23
a · a · a · … · a 可记作：____，即a · a · a · … · a=____.
猜想
2 ×2 × 2 × 2 可记作： ，
2 ×2 × 2 × 2 × 2 可记 作： ，
2×2×···×2
n个2
可记作： ，
n个a
n个a
24
25
2n
an
an
想一想：上面各式具有什么共同特征？
这种求n个 的积的运算，叫作乘方。
相同因数
n个相同的因数a相乘，即
我们把它记作an，
即
乘方的结果叫作幂。
在an中，a叫作底数，n叫作a的幂的指数，简称指数。
an 读作a的n次方，也可以读作a的n次幂。
相同因数
a
n
底数
幂
指数
a
n
读作a的n次方；
看作是a的n次方的结果时，也可读作a的n次幂.
（乘方的结果叫作幂）
在幂56中，底数是 ，指数是 ；读作： ；
在幂45中，底数是 ，指数是 ；
读作： .
说一说
5
6
5的6次方
4
5
4的5次方
一个数的一次方，就是这个数本身，指数1通常省略不写.
2次方又叫平方，3次方又叫立方。
例如：51就是5.
注意
议一议
(–3)4 与 –34 相同吗？
　　 是　的相反数，而
　　读作负三的四次方.　　　　　
（–3）4 = 81
–34
34
（–3）　
4
–34 = –81
例1 计算：
（1）(-4)3 ； (2)(-2)4.
解：(1)(-4)3=(-4)×(-4)×(-4)= .
(2)(-2)4= = .
(-2)×(-2)×(-2)×(-2)
-64
16
用计算器
怎么算呢？
非0有理数的乘方结果符号：正数的任何次乘方都取正号；负数的奇次乘方取负号，负数的偶次乘方取正号.
用计算器按下列顺序计算：
按键顺序 显示
-64
16
(
(-)
4
)
x3
=
(
(-)
2
)
^
=
4
把下列相同因数的乘积写成幂的形式，并说出底数和指数：
（1） (-6)×(-6) ×(-6)
底数是 –6，指数是 3
（2）
底数是
，指数是 4
温馨提示：幂的底数是分数或负数时，底数应该添上括号！
（3）在1210中，12是 数，10是___数，
读作 ；
（4） 的底数是 ，指数是 ，读作
；
7
底
指
12的10次方
的7次方
乘方运算实际上就是乘法运算，根据有理数的乘法法则，可得乘方运算的法则：
求非 0 有理数的乘方，将其绝对值乘方，并取符号：正数的任意次幂都取正号；负数的奇次幂取负号，负数的偶次幂取正号.
交 流
拉面师傅制作拉面时，按对折、拉伸的步骤，重复多次.
（1）先用乘法计算拉 12 次得到的面条数，再改用计算器计算幂，这两种方法哪种算得快？
用计算器计算幂算得快
212 = 4096
（2）如果拉面师傅每次拉伸面条的长度为 0.8 m，那么拉 12 次后，得到的面条总长是多少米？
0.8×212 = 3276.8 (m)
练 习
1. 举出用乘方计算的实例.
【教材P43 练习 第1题】
2. 填空：
（1）在 74 中，底数是_____，指数是_____；
（2）在 中，底数是_____，指数是_____.
7
4
5
【教材P44 练习 第2题】
3. 计算：
（1）(-1.5)2； （2）4×(-2)3；
（3）-(-2)4； （4）(-2)3×(-2)2.
2.25
-32
-16
-32
【教材P44 练习 第3题】
知识点1 有理数乘方的意义
1.把 写成乘方的形式是_ ______，
底数是____，指数是___.
4
2. 表示( )
B
A.3个 相乘 B.3个4相乘的相反数
C.4个 相乘 D.4个3相乘的相反数
知识点2 有理数乘方的运算法则
3.［知识初练］填表：
底数 指数 幂的符号 幂的绝对值 幂
3 4 ___ ____ ____
3 ___ ____ _____
2 ___ ___ ___
81
81
64
4
4
4.［2025年1月滁州期末］计算 的结果是( )
C
A. B. C. D.
5.下列各组数中，结果相等的是( )
D
A.与 B.与
C.与 D.与
6.填空：
(1) ____；
(2) ____；
(3) ______；
(4) ____.
2星题 中档练
7.［2024·安庆期中］计算： ( )
A
A. B. C. D.
谢谢观看！

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