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沪科版（新教材）数学七年级上册
第1章 有理数
1.6.2有理数的混合运算
在进行有理数的加、减、乘、除以及乘方混合运算时，一般应按下列顺序进行：
先乘方，再乘除，后加减；如果有括号，先进行括号里的运算.
第一页：情境导入——倍增的力量第一页：情境导入——运算顺序的重要性
1. 趣味情境1. 趣味冲突
故事：古印度国王为奖励国际象棋发明者，答应满足他一个要求。发明者说：“请在棋盘的第1格放1粒米，第2格放2粒米，第3格放4粒米，第4格放8粒米……以此类推，每一格的米粒数都是前一格的2倍，直到放满64格。”小明和小红在计算“10 - 2×3”时出现了不同结果：
小明：10 - 2×3 = 8×3 = 24；小红：10 - 2×3 = 10 - 6 = 4。
思考：谁的计算是正确的？为什么会出现两种结果？这说明有理数混合运算中，什么很重要？
思考：你觉得国王能满足这个要求吗？第5格、第6格的米粒数分别是多少？这样的重复乘法有没有更简便的表示方法？
2. 温故引新
2. 温故引新
回顾：我们已学过有理数的加、减、乘、除、乘方运算，当这些运算出现在同一个算式中时，就需要遵循特定的“运算顺序”。今天我们就系统学习有理数的混合运算。
回顾：我们已经学过有理数的乘法，计算3×3=？ 3×3×3=？ 3×3×3×3=？先完成一组基础运算，唤醒记忆：
（1）\((-3)^2 = \)____ （2）12 ÷ (-4) = ____ （3）-2 + 5 = ____ （4）7×(-3) = ____
发现：当相同因数重复相乘时，书写和计算都比较繁琐。今天我们就学习一种表示相同因数相乘的简便形式——有理数的乘方。
第二页：探究新知——有理数混合运算顺序
第二页：探究新知1——乘方的定义与表示
活动1：类比小学，归纳顺序
活动1：从具体到抽象，理解概念
小学阶段我们学过“先算乘除，后算加减；有括号先算括号里的”，有理数混合运算在此基础上，增加了“乘方”运算，顺序如下：
观察下列相同因数的乘法算式，思考如何简化表示：
有理数混合运算顺序：
1. 先算乘方，再算乘除，最后算加减；
2. 同级运算（只有加、减或只有乘、除），从左到右依次进行；
3. 如有括号，先算括号里面的（括号按小括号、中括号、大括号的顺序依次计算）。
- （1）2×2 = ？ （2个2相乘）
说出下列算式的运算顺序：
- （1）\(18 - 3^2 × 2\)：先算____，再算____，最后算____
- （2）\(2×(-3) + (-4) ÷ 2\)：先算____和____，再算____
- （3）\((-2)^3 + [10 - (1 - 3)]\)：先算____里的，再算____里的，接着算____，最后算____
- （2）2×2×2 = ？ （3个2相乘）
第三页：例题讲解1——不含括号的混合运算
- （3）(-3)×(-3)×(-3)×(-3) = ？ （4个-3相乘）
例题1：计算 \(18 - 3^2 × 2 + (-2)^3\)
- （4）\(\frac{1}{2}\)×\(\frac{1}{2}\)×\(\frac{1}{2}\)×\(\frac{1}{2}\)×\(\frac{1}{2}\) = ？ （5个\(\frac{1}{2}\)相乘）
活动2：即时应用——判断运算顺序
解题步骤：严格遵循“先乘方，再乘除，最后加减”的顺序。
解：原式 = 18 - 9×2 + (-8) （第一步：算乘方：\(3^2=9\)，\((-2)^3=-8\)）
= 18 - 18 + (-8) （第二步：算乘法：9×2=18）
= 0 + (-8) （第三步：从左到右算加减：18-18=0）
= -8 （第四步：得出结果）
活动2：乘方的定义例题2：计算 \(24 ÷ (-2)^3 - (-3) × 2\)
定义：求n个相同因数a的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。解：原式 = 24 ÷ (-8) - (-3)×2 （第一步：算乘方：\((-2)^3=-8\)）
= -3 - (-6) （第二步：算乘除：24÷(-8)=-3，(-3)×2=-6）
= -3 + 6 （第三步：将减法转化为加法）
= 3 （第四步：计算结果）
表示方法：n个a相乘，记作\(a^n\)，即\(a \times a \times a \times \dots \times a\)（n个a）=\(a^n\)。
方法总结：不含括号时，“乘方”优先，“乘除”次之，“加减”最后；同级运算从左到右，注意符号的转化和处理。
各部分名称：在\(a^n\)中，a叫做底数，n叫做指数，\(a^n\)读作“a的n次幂”或“a的n次方”。
第四页：例题讲解2——含括号的混合运算
举例：在\((-3)^4\)中，底数是-3，指数是4，读作“-3的4次幂”，表示4个-3相乘；特别地，指数为1时可省略，如\(5^1 = 5\)。
例题3：计算 \((-2)^2 + [10 - (1 - 3)] ÷ 2\)
活动3：即时辨析
判断下列各式的底数、指数，并说出其意义：
- （1）\(3^5\)：底数____，指数____，表示________________
- （2）\((-2)^3\)：底数____，指数____，表示________________
- （3）\(-2^3\)：底数____，指数____，表示________________（注意：这里的负号不属于底数）
第三页：探究新知2——乘方的符号法则
活动1：计算对比，寻找规律
分组计算下列乘方，观察结果的符号与底数、指数的关系：
第一组（正数的乘方）：\(2^2 = \)____，\(2^3 = \)____，\(3^4 = \)____
第二组（负数的乘方）：\((-2)^2 = \)____，\((-2)^3 = \)____，\((-3)^4 = \)____，\((-3)^5 = \)____
第三组（0的乘方）：\(0^2 = \)____，\(0^3 = \)____，\(0^4 = \)____
活动2：归纳符号法则
- 1. 正数的任何次幂都是正数；
- 2. 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；
- 3. 0的任何正整数次幂都是0。
易错提醒：\((-a)^n\)与\(-a^n\)的区别——前者底数是-a，符号由n的奇偶性决定；后者底数是a，先算\(a^n\)再添负号，如\((-2)^4 = 16\)，\(-2^4 = -16\)。
例题1：计算下列乘方
（1）\(5^3\) （2）\((-4)^2\) （3）\(-3^4\) （4）\((-\frac{1}{2})^3\) （5）\(0^{2024}\)
解：（1）\(5^3 = 5×5×5 = 125\)（正数的奇次幂为正，直接计算）
（2）\((-4)^2 = (-4)×(-4) = 16\)（负数的偶次幂为正，绝对值相乘）
（3）\(-3^4 = - (3×3×3×3) = -81\)（先算\(3^4\)，再添负号）
（4）\((-\frac{1}{2})^3 = (-\frac{1}{2})×(-\frac{1}{2})×(-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{8}\)（负数的奇次幂为负，分数分子分母分别乘方）
（5）\(0^{2024} = 0\)（0的正整数次幂为0）
例题2：乘方与乘除混合运算
第四页：例题讲解——规范乘方运算
计算：\(2×(-3)^2 - 4÷(-2)^3\)
运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减。
解：原式 = 2×9 - 4÷(-8) （先算乘方：\((-3)^2=9\)，\((-2)^3=-8\)）
= 18 - (-0.5) （再算乘除：2×9=18，4÷(-8)=-0.5）
= 18 + 0.5 = 18.5 （最后算加减）
第五页：巩固练习——分层提升
（1）\(4^2 = \)____ （2）\((-5)^3 = \)____ （3）\(-2^5 = \)____ （4）\((\frac{2}{3})^2 = \)____
（5）\((-1)^{100} = \)____ （6）\((-1)^{99} = \)____ （7）\(1^{2025} = \)____ （8）\(0^{10} = \)____
1. 基础题：直接写出结果
2. 提高题：计算下列各题
（1）\(3^2 - (-2)^3\) （2）\((-4)×5^2 + (-3)^3÷3\)
（3）\(-2^2×(-\frac{1}{2})^2\) （4）\(10 - 2×(-3)^2÷(-\frac{1}{2})\)
某种细胞每30分钟分裂一次，每次分裂后细胞数量是原来的2倍。现有1个这样的细胞，1.5小时后细胞总数是多少？2小时后呢？（用乘方表示并计算）
第六页：课堂回顾与拓展
1. 核心知识梳理
内容
关键要点
乘方定义
\(a^n\)表示n个a相乘，a是底数，n是指数，结果叫幂
符号法则
正数的任何次幂为正；负数奇次幂为负，偶次幂为正；0的正整数次幂为0
运算顺序
先乘方，再乘除，后加减；同级运算从左到右
易错区分
\((-a)^n\)（底数为-a）与\(-a^n\)（底数为a）的符号差异
2. 拓展思考
1. 计算\(2^1 = 2\)，\(2^2 = 4\)，\(2^3 = 8\)，\(2^4 = 16\)……观察结果的个位数字，你能找出规律吗？\(2^{20}\)的个位数字是多少？
2. 回到导入问题，第64格的米粒数是\(2^{63}\)，这个数约为922亿亿粒，相当于全球几百年的粮食总产量，这就是乘方的“倍增力量”！
乘方是相同因数乘法的简便表示，掌握符号法则和运算顺序是核心。生活中很多现象都蕴含乘方的规律，希望大家能用数学眼光发现更多奥秘！
2. 易错点提醒
- 不要忽略符号：计算时先定符号，再算绝对值；
- 牢记0的特殊性：0不能作除数，0除以非0数得0；
- 倒数符号一致：负数的倒数还是负数，正数的倒数还是正数。
3. 拓展思考
若a、b互为倒数，c、d互为相反数，求(-a×b) + c + d的值。（提示：利用倒数和相反数的定义推导）
有理数的除法是乘法的逆运算，掌握“转化”思想（除法转乘法）是简化计算的关键，大家要多练多总结哦！
计算：
例
2
（1）-10 + 8÷(-2)2-(-4)×(-3)；
解 （1） -10 + 8÷(-2)2-(-4)×(-3)
= -10 + 8÷4-4×3
= -10 + 2-12
= -20
（2） .
练 习
1. 计算：
（1）-23-3×(-1)3-(-1)4；
解 -23-3×(-1)3-(-1)4
= -8-3×(-1)-1
= - 8 + 3 - 1
= - 6
【教材P45 练习 第1题】
（2） .
2. 计算：
（1） ；
解
【教材P45 练习 第2题】
（2） .
知识点 有理数的混合运算
1.对于式子 ，有下列运算过程：①乘方；
②加法；③除法.其中排序正确的是( )
B
A.①②③ B.①③② C.②③① D.③①②
2.计算 的结果为( )
C
A.1 B.5 C. D.
3.［2025年1月淮北期末］下列四个式子中，计算结果最大的
是( )
C
A. B.
C. D.
4.［2024·合肥期中］下列计算正确的有( )
； ；
； .
B
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
5.中考趋势·过程性学习 下面是小明在作业本上记录的题目，
请补充完整.
(1)
__________________(先算______)
________________(再算______)
____.(最后算加减)
乘方
乘法
12
(2)
___________________(先算________里面的)
_______(再算________里面的)
_____.
小括号
中括号
6.(8分)教材改编题 计算：
(1) ；
解：原式 .
(2) .
解：原式 .
7.(8分)在“”“-”“×”“ ”中选一个自己喜欢的符号，填入
中的 里，并计算.
解：添加的符号为“ ”，则
；
添加的符号为“-”，则
；
添加的符号为“×”，则
；
添加的符号为“ ”，则
.
谢谢观看！

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