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沪科版（新教材）数学七年级上册
第2章 整式及其加减
2.1.2.2整式
1.能叙述并理解单项式及单项式的系数、次数的意义，能确定一个单项式的系数和次数.
2.理解多项式、多项式的项和次数、整式的概念.
3.会用整式解决简单的实际问题.
科学记数法
第一页：情境导入——大数据的烦恼
1. 生活中的“天文数字”
下列是生活中常见的大数据：
- （1）地球与太阳的平均距离约为150000000千米；
- （2）我国人口总数约为1400000000人；
- （3）光的速度约为300000000米/秒；
- （4）一个水分子的质量约为0.00000000000000000000003千克。
思考：这些数字有什么特点？书写和阅读时容易出现什么问题？有没有一种简便的表示方法？
2. 温故引新
回顾乘方知识：\(10^1 = 10\)，\(10^2 = 100\)，\(10^3 = 1000\)，\(10^n\)表示1后面有n个0。利用这一特点，我们可以将大数据或小数据简化表示，这就是今天要学的——科学记数法。
小练习：用10的乘方表示下列数：10000 = \(10^4\)，1000000 = \(10^6\)，0.01 = \(10^{-2}\)，0.0001 = \(10^{-4}\)。
第二页：探究新知1——科学记数法的定义与表示
活动1：从具体到抽象，构建定义
尝试用“a×10 ”的形式表示导入中的大数据：
- 150000000 = 1.5 × 100000000 = 1.5 × \(10^8\)；
- 1400000000 = 1.4 × 1000000000 = 1.4 × \(10^9\)；
- 300000000 = 3 × 100000000 = 3 × \(10^8\)。
活动2：科学记数法的定义
定义：把一个大于10的数表示成\(a × 10^n\)的形式（其中\(1 ≤ a ＜ 10\)，n是正整数），这种记数方法叫做科学记数法。
关键要素：① a的取值范围：\(1 ≤ a ＜ 10\)（a是整数位只有一位的数）；② 10的指数n：等于原数的整数位数减1。
活动3：即时应用——确定a和n
拓展定义：小于1的正数可以表示为\(a × 10^{-n}\)的形式（其中\(1 ≤ a ＜ 10\)，n是正整数）。
小数据指数规律：n等于原数中左起第一个非0数字前所有0的个数（包括小数点前的0）。如0.0012左起第一个非0数字是1，前面有3个0，所以n=3，表示为1.2×\(10^{-3}\)。
用科学记数法表示下列小数：
- （1）0.0005 = ____×\(10^{-n}\)，a=____，n=____；
- （2）0.0000008 = ____×\(10^{-n}\)，a=____，n=____；
- （3）0.0123 = ____×\(10^{-n}\)，a=____，n=____。
第四页：例题讲解——科学记数法的读写与应用
活动3：即时练习——小数据表示
例题1：科学记数法的表示（大数据）
用科学记数法表示下列各数：（1）230000；（2）15800000000。
解：（1）230000 是6位整数，n=6-1=5，a=2.3，所以230000 = 2.3 × \(10^5\)；
（2）15800000000 是11位整数，n=11-1=10，a=1.58，所以15800000000 = 1.58 × \(10^{10}\)。
例题2：科学记数法的表示（小数据）
用科学记数法表示下列各数：（1）0.000006；（2）0.0000000045。
解：（1）0.000006 左起第一个非0数字前有6个0，n=6，a=6，所以0.000006 = 6 × \(10^{-6}\)；
（2）0.0000000045 左起第一个非0数字前有9个0，n=9，a=4.5，所以0.0000000045 = 4.5 × \(10^{-9}\)。
例题3：科学记数法的还原
将下列用科学记数法表示的数还原成原数：（1）3.2 × \(10^5\)；（2）5.1 × \(10^{-4}\)。
解：（1）3.2 × \(10^5\) = 3.2 × 100000 = 320000（指数为正，小数点向右移5位）；
（2）5.1 × \(10^{-4}\) = 5.1 × 0.0001 = 0.00051（指数为负，小数点向左移4位）。
第五页：巩固练习——分层提升
1. 基础题：科学记数法的表示
（1）用科学记数法表示大数据：① 45000 = ____；② 7800000 = ____；③ 123400000 = ____。
（2）用科学记数法表示小数据：① 0.0007 = ____；② 0.0000002 = ____；③ 0.00105 = ____。
2. 提高题：科学记数法的还原与判断
（1）还原下列数：① 6.8 × \(10^6\) = ____；② 2.3 × \(10^{-5}\) = ____；③ 9.01 × \(10^8\) = ____。
（2）判断对错（对的打“√”，错的打“×”）：① 36000 = 36 × \(10^3\)（ ）；② 0.00002 = 2 × \(10^{-5}\)（ ）；③ 5.2 × \(10^4\) = 520000（ ）。
3. 应用题：实际数据应用
（1）某省的耕地面积约为8000000公顷，用科学记数法表示为多少公顷？
（2）一种微小零件的长度约为0.0000005米，用科学记数法表示为多少米？若10个这样的零件排成一排，总长度是多少米（用科学记数法表示）？
第六页：课堂回顾与拓展
1. 核心知识梳理
2. 易错点提醒
- a的范围错误：如将23000表示为23×\(10^3\)，此时a=23不符合\(1 ≤ a ＜ 10\)；
- n的确定错误：大数据漏减1，小数据漏数小数点前的0；
- 还原时方向错误：指数为正却向左移小数点，指数为负却向右移。
3. 拓展思考
（1）比较大小：3.2×\(10^5\)与320000；5.1×\(10^{-4}\)与0.0005。
（2）已知一个数用科学记数法表示为a×\(10^8\)，且a是整数，求a的取值范围。
科学记数法的核心是“简化表示，方便读写”，它在科学研究、工程技术、生活数据等领域应用广泛。掌握a和n的确定方法是关键，大家要多结合实际数据练习哦！
即时练习：识别整式、单项式与多项式
代数式 \(\begin{cases} 整式 \begin{cases} 单项式（数与字母的积，单独的数/字母） \\ 多项式（几个单项式的和） \end{cases} \\ 非整式（分母含字母的代数式） \end{cases}\)
代数式包含整式和非整式（如分母含字母的代数式\(\frac{1}{x}\)、\(\frac{x}{y+1}\)等），关系如下：
代数式与整式的关系
4. 整式的概念与分类
易错提醒：
- 多项式的项包含前面的符号，如\(3x^2 - 2y\)的项是\(3x^2\)和\(-2y\)，不是\(3x^2\)和\(2y\)；
- 常数项的次数是0，如多项式\(a + 5\)中，常数项5的次数是0，多项式的次数由a（次数1）决定，是一次多项式；
- π是常数，不是字母，如\(πr^2\)是单项式，系数是π，次数是2。
通常我们把多项式按某一字母的指数从大到小排列，叫做多项式的降幂排列，如上述多项式就是按x的降幂排列。
解：项为\(2x^3\)、\(-5x^2\)、\(x\)、\(-7\)；常数项为\(-7\)；次数最高的项是\(2x^3\)（次数3），所以多项式的次数是3。
指出多项式\(2x^3 - 5x^2 + x - 7\)的项、常数项和次数。
例题：分析多项式的项、常数项与次数
多项式中，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。多项式的次数是由“次数最高的项”决定的，而不是所有项的次数之和。
多项式的次数
多项式定义：几个单项式的和叫做多项式。其中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。
观察代数式：\(a+2\)、\(3x^2 - 2y + 1\)、\(-m^2n + 5mn - 3\)。它们都是由几个单项式相加组成的。
3. 多项式的概念与相关概念
- （4）\(-a^3b\)：系数____，次数____。
- （3）\(7\)：系数____，次数____；
- （2）\(\frac{3}{4}xyz\)：系数____，次数____；
- （1）\(-2x^2\)：系数____，次数____；
即时练习：确定单项式的系数与次数
概念
定义
示例解析
系数
单项式中的数字因数叫做单项式的系数，包括前面的符号
① \(3x\)：系数是3；② \(-0.8y\)：系数是-0.8；③ \(\frac{1}{2}ab\)：系数是\(\frac{1}{2}\)；④ 单独的数“-5”：系数是-5；⑤ 字母“a”：系数是1（省略不写）
次数
一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数
① \(3x\)：x的指数是1，次数是1；② \(\frac{1}{2}ab\)：a的指数1+ b的指数1=2，次数是2；③ \(-5\)（常数项）：次数是0（不含字母，指数和为0）；④ \(x^2y\)：x的指数2+ y的指数1=3，次数是3
为了进一步研究单项式，我们定义两个重要概念：系数和次数。
2. 单项式的系数与次数
答案：（1）（3）（4）（6）是单项式；（2）含加法，（5）分母含字母，都不是单项式。
（1）\(5xy\) （2）\(a+b\) （3）\(-6\) （4）\(\frac{x}{4}\) （5）\(\frac{2}{x}\) （6）\(m\)
即时判断：下列代数式是单项式吗？
- 单独的数/字母：如“-8”“a”“π”（π是常数）都是单项式。
- 分母中不含字母（如\(\frac{1}{x}\)不是单项式，因分母含字母x）；
- 不含加法、减法运算（是“积”的形式）；
单项式的核心特征
单项式定义：由数与字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或者一个字母也叫做单项式。
先观察一组特殊的代数式：\(3x\)、\(-5\)、\(\frac{1}{2}ab\)、\(-0.8y\)。它们有共同的特点——都是数与字母的积，或单独的一个数。
关键词
运算
示例（a表示一个数）
和、加、与、共
+
a与3的和：a+3
差、减、比……小
-
比a小4的数：a-4
倍、乘
×
a的5倍：5a
商、除
÷（分数形式）
a与2的商：\(\frac{a}{2}\)
平方、立方
乘方
a的平方：a
（1）常见关键词与运算对应
列代数式是代数式应用的基础，核心是准确理解数量关系，抓住关键词转化为运算符号：
3. 列代数式——将语言转化为式子
- （1）x与8的和：____；（2）m的3倍与n的差：____；（3）a除以6的商：____；（4）比y的2倍小5的数：____；（5）3与（x+2）的积：____。
即时练习：规范书写代数式
规范类别
具体要求
正确示例
错误示例
数字与字母
用代数式表示：
（1）正方形边长为a，则周长为_____，面积为_____；
（2）长为a，宽为 a的长方形的面积为______；
（3）半径为r的圆的面积为______；
（4）若m表示一个有理数，则它的相反数是______.
4a
a2
πr2
-m
观察上述代数式，它们有什么特点？
4 a
π r2
- m
知识点一
单项式的概念
数
字母
×
数
字母
×
数
字母
×
数
字母
×
π是圆周率，是数字，不是字母
-1
a×a
这些式子都是数与字母的积，像这样的代数式叫作单项式.
练一练：下列各式哪些是单项式？哪些不是单项式？
点拨：①单项式中只有乘除法，没有加减法;
②单项式的分母中只含数，不含字母；
③单个的字母或数也是单项式.
知识点二
单项式的系数与次数
- m
系数
1次
1+2=3次
次数
单项式的系数：单项式中的数字因数
单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数之和
-1
单项式的系数包括它前面的符号；
当系数是“1”或“-1”时，“1”通常省略.
没有写指数的字母，实际其指数是“1”；
不要把系数的指数当做字母的指数.
写出下列单项式的系数与次数：
单项式
系数
次数
-1
2
3
1
1
-15
4
2
例
4
用代数式表示：
（1）长方形的长为x，宽为y，则周长为________；
（2）一个三位数的百位数字为a，十位数字是b，个位数字是c，则这个三位数字是______________；
（3）如图的三角尺的面积
为____________.
知识点三
多项式的概念
2x＋2y
100a＋10b＋c
a
b
r
观察这些代数式，它们有什么特点？
2x＋2y
单项式
单项式
＋
单项式
单项式
＋
＋
多项式：几个单项式的和叫作多项式.
注意：多项式中含有运算符号，且分母中不含字母.
4a2 -a+ 7
在多项式里，每个单项式（连同符号）叫作多项式的项.
不含字母的项叫作常数项.
项：4a2，-a，7
常数项
注意：多项式的每一项都是单项式，每一项都包括它前面的符号.
练一练：指出下列各式中的多项式，并指出多项式的项.
知识点四
多项式的项数与次数
4a2 -a +7
一个多项式含有几项，这个多项式就叫作几项式.
一个多项式里，次数最高的项的次数叫作这个多项式的次数.
次数是2
多项式的次数是2
次数最高项的次数
次数是1
常数项
三项式
二次
下列多项式分别是几次几项式？
例
5
知识点五
整式
整式：单项式与多项式统称为整式.
注意：所有的单项式与多项式都是整式；
既不是单项式也不是多项式的式子一定不是整式.
随堂演练
1.判断正误:
（1）x是一次单项式. （ ）
（2）-1不是单项式. （ ）
（3）单项式xy没有系数. （ ）
（4）23x2是五次单项式. （ ）
（5）3x+y是二次二项式. （ ）
【选自教材P68练习 第1题】
√
×
×
×
×
2.填表：
【选自教材P68练习第2题】
单项式
系数
次数
-7
1
5
1
1
0.3
2
2
2
-1
3
【选自教材P68练习第3题】
3.下列多项式是几次几项式？指出它们的最高次项和常数项.
（1）-2x+1；
（2）3x-4x2-1；
（3）x2-xy+y2；
（4）-mn-m+2.
一次二项式；最高次项为-2x，常数项为1
二次三项式；最高次项为-4x2，常数项为-1
二次三项式；最高次项为x2，-xy，y2，无常数项
二次三项式；最高次项为-mn，常数项为2
4.已知2x4-my是关于x，y的三次单项式，则m的值为_______.
5.当m=______时，代数式 是关于x的一次单项式.
2
-3
知识点1 单项式及其相关概念
1.下列代数式：，，，，4，， ，其
中单项式有( )
C
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
2.单项式 的系数和次数分别为( )
C
A.，3 B.，4 C. ，3 D. ，4
3.填表：
单项式
系数 ____ ____ __ ___ _ ___ ___
次数 ___ ___ __ ___ ___ ___
30
1
1
8
1
3
1
6
4
3
4.创新题·开放题 [2025年1月北京期末] 请写出一个系数为负
数且只含有字母 的二次单项式：_________________.
(答案不唯一)
5.若与的次数相等，则 的值为___.
2
【变式题】 若是关于、 的四次单项式，且系数为7，
则 ____.
知识点2 多项式及其相关概念
6.下列式子中，多项式是( )
C
A. B. C. D.
7.［2025年1月芜湖期末］多项式 的各项分别是
( )
A
A.，，5 B.， ，5
C.， ，5 D.3，2，5
次数: 所有字母的指数的和.
系数：单项式中的数字因数.
项：式中的每个单项式叫多项式的项.
（其中不含字母的项叫做常数项）
次数：多项式中次数最高的项的次数.
整 式
单项式
多项式
谢谢观看！

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