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沪科版（新教材）数学七年级上册
第3章 一次方程与方程组
3.3.1几何问题与行程问题
常见几何体的体积、面积公式：
（1）长方体的体积=长×宽×高；
（2）正方体的体积=棱长×棱长×棱长；
（3）圆柱的体积=底面积×高；
（4）长方形的面积=长×宽；
（5）正方形的面积=边长×边长；
（6）梯形的面积= (上底+下底)×高.
一、教学基本信息
1. 授课年级：七年级上册
2. 课时安排：1课时（45分钟）
3. 授课内容：运用一元一次方程解决几何图形的边长、周长、面积相关问题，以及行程问题中的相遇、追及问题
4. 授课教师：[教师姓名]
二、教学目标
（一）知识与技能
1. 能准确分析几何问题（如长方形、正方形、三角形等）中的数量关系，熟练运用图形的周长、面积公式建立一元一次方程。
2. 掌握行程问题的核心数量关系（路程=速度×时间），能区分相遇问题和追及问题的不同特征，并列方程求解。
3. 提升“审、设、列、解、验、答”的应用题解题能力，强化方程建模思想。
（二）过程与方法
1. 通过实例分析，经历“实际问题—提炼等量关系—建立方程—求解验证”的完整过程，培养抽象概括和逻辑推理能力。
2. 在对比几何问题与行程问题的解题思路中，总结一元一次方程应用的通用方法，养成有序思考的习惯。
（三）情感态度与价值观
1. 感受方程在解决实际问题中的工具性作用，体会数学与生活、几何与代数的紧密联系，激发学习兴趣。
2. 在复杂问题的分析与解决中，培养耐心和严谨的思维品质，提升克服困难的信心。
三、教学重难点
1. 教学重点：几何问题中周长、面积公式的准确运用及等量关系提炼；行程问题中相遇、追及模型的建立与方程列写。
2. 教学难点：几何问题中图形变形后的数量关系分析；行程问题中“同时出发”“不同时出发”“相遇后继续行驶”等复杂情境的梳理。
四、教学准备
多媒体课件（含几何图形示意图、行程问题线段图）、几何公式卡片、行程问题情境动画、练习题单
五、教学过程
（一）情境导入，激活经验（5分钟）
1. 呈现两个生活情境：
（1）几何情境：小明用一根长36cm的铁丝围成一个长方形，已知长比宽多2cm，这个长方形的长和宽各是多少？
（2）行程情境：小红和小丽分别从相距1200米的两地同时出发，相向而行，小红每分钟走60米，小丽每分钟走40米，几分钟后两人相遇？
2. 引导提问：“这两个问题分别涉及什么数学知识？能否用我们学过的一元一次方程解决？”
3. 引出课题：今天我们就来学习一元一次方程在几何问题和行程问题中的应用，掌握用方程解决这类实际问题的方法。
（二）探究新知，突破几何问题（12分钟）
1. 回顾几何公式，明确等量关系
出示常用几何公式卡片：长方形周长=2×(长+宽)，正方形周长=4×边长，长方形面积=长×宽，三角形面积=底×高÷2。强调：几何问题的等量关系通常隐藏在“周长不变”“面积相等”“边长关系”等条件中。
2. 典型例题讲解：周长问题
例1：用一根长48cm的铁丝围成一个正方形，若将这根铁丝重新围成一个长比宽多6cm的长方形，求长方形的长和宽。
引导学生分析“审、设、列、解、验、答”步骤：
① 审：明确已知条件（铁丝长48cm，即长方形周长=48cm；长-宽=6cm），未知量（长方形的长和宽）。
② 设：设长方形的宽为x cm，则长为(x + 6)cm（设较小量为x，简化计算）。
③ 列：根据长方形周长公式列方程，等量关系：2×(长+宽)=周长，即2[x + (x + 6)] = 48。
④ 解：解方程：2(2x + 6) = 48 → 4x + 12 = 48 → 4x = 36 → x = 9。则长为9 + 6 = 15(cm)。
⑤ 验：验证周长：2×(15 + 9)=48cm，与铁丝长度一致，符合题意。
⑥ 答：长方形的长为15cm，宽为9cm。
3. 变式练习：面积问题
例2：一个长方形花园，长是宽的2倍，若将长减少3m，宽增加3m，就变成一个正方形。求原来长方形花园的面积。
引导画图分析：设宽为x m，则长为2x m，根据“长-3=宽+3”（正方形边长相等）列方程：2x - 3 = x + 3，解得x=6，长=12m，面积=12×6=72(m )。
强调：几何问题中，画图是梳理数量关系的重要工具，能直观呈现边长、周长、面积的联系。
（三）探究新知，突破行程问题（15分钟）
1. 明确核心关系，分类建模
核心公式：路程=速度×时间（变形：速度=路程÷时间，时间=路程÷速度）。
分类梳理：
（1）相遇问题：两人从两地相向而行，总路程=甲走的路程+乙走的路程；若同时出发，两人行驶时间相等。
（2）追及问题：两人同向而行，追及路程=快者走的路程-慢者走的路程；若同地不同时出发，慢者行驶时间=快者行驶时间+先出发时间。
强调：行程问题常用“线段图”表示路程关系，清晰直观。
2. 典型例题1：相遇问题
例3：A、B两地相距240km，甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，甲车每小时行65km，乙车每小时行55km，几小时后两车相遇？
线段图辅助：画线段表示A、B两地距离240km，甲从A出发，乙从B出发，相遇时两人路程和为240km。
解题步骤：
① 设：设x小时后两车相遇。
② 列：甲车路程=65x，乙车路程=55x，等量关系：65x + 55x = 240。
③ 解：120x = 240 → x = 2。
④ 验：2小时甲车走130km，乙车走110km，和为240km，符合题意。
⑤ 答：2小时后两车相遇。
3. 典型例题2：追及问题
例4：小明和小亮在环形跑道上跑步，跑道一圈长400m，小明每分钟跑200m，小亮每分钟跑160m，两人同时从同一地点同向出发，经过几分钟小明第一次追上小亮？
分析：追及时，小明比小亮多跑一圈（400m），等量关系：小明路程 - 小亮路程 = 400。
解题步骤：
① 设：设经过x分钟小明第一次追上小亮。
② 列：200x - 160x = 400。
③ 解：40x = 400 → x = 10。
④ 答：经过10分钟小明第一次追上小亮。
4. 变式练习：不同时出发的相遇问题
例5：A、B两地相距180km，甲车从A地出发，每小时行60km，1小时后乙车从B地出发，每小时行40km，乙车出发后几小时与甲车相遇？
引导分析：甲车先出发1小时，行驶了60km，剩余路程120km为两车同时行驶的路程和。设乙车出发后x小时相遇，方程：60x + 40x = 180 - 60，解得x=1.2。
（四）巩固练习，强化提升（10分钟）
1. 几何题：一个正方形的边长增加3cm，面积就增加39cm ，求原正方形的边长。（提示：画图表示面积变化）
2. 相遇问题：甲、乙两人分别从相距900米的两地出发，相向而行，甲每分钟走50米，乙每分钟走40米，甲先出发2分钟后乙才出发，乙出发后多久两人相遇？
3. 追及问题：一辆客车从甲地开往乙地，每小时行70km，同时一辆货车从乙地开往甲地，每小时行50km，经过3小时两车相距120km（未相遇），求甲、乙两地的距离。
学生独立完成，指名板演，集体订正时重点讲解几何图形变形的面积关系、行程问题中“先出发”“未相遇”等情境的等量关系梳理。
（五）课堂小结，梳理方法（2分钟）
1. 几何问题解题关键：牢记图形公式，通过画图梳理边长、周长、面积的数量关系，找准等量关系（如周长不变、边长相等）。
2. 行程问题解题关键：抓住“路程=速度×时间”，用线段图分析，区分相遇（路程和=总路程）和追及（路程差=追及距离）模型。
3. 通用步骤：审（找条件）→ 设（未知数）→ 列（方程）→ 解（方程）→ 验（题意）→ 答（规范）。
（六）布置作业，拓展延伸（1分钟）
1. 必做题：教材对应习题，巩固几何问题和行程问题的方程求解。
2. 选做题：设计一个包含几何或行程问题的生活场景，写出题目，画出示意图（线段图或几何图形），列方程并求解，说明你提炼等量关系的思路。
六、板书设计
3.3.1 几何问题与行程问题
一、几何问题
1. 核心公式：长方形周长=2(长+宽)，面积=长×宽
2. 例1：设宽x cm，长(x+6)cm → 2[x+(x+6)]=48 → x=9，长=15
二、行程问题
1. 核心公式：路程=速度×时间
2. 相遇问题：甲路程+乙路程=总路程（例3：65x+55x=240→x=2）
3. 追及问题：快路程-慢路程=追及距离（例4：200x-160x=400→x=10）
三、通用步骤：审→设→列→解→验→答
七、教学反思
本节课通过生活情境导入，结合画图和线段图辅助分析，有效降低了几何问题和行程问题的抽象性。在例题设计上，从基础模型到变式练习，梯度清晰，帮助学生逐步掌握解题方法。但部分学生在复杂情境（如不同时出发的相遇、图形面积变形）中，仍存在等量关系找不准的问题。后续教学中，需增加“情境拆解”专项训练，引导学生将复杂问题分解为简单要素；同时，强化画图能力的培养，让学生养成“遇几何、行程问题先画图”的习惯，通过直观图形提升等量关系提炼的准确性。
例1：如图，李明同学从一张正方形纸片上剪去一张宽为4cm的长方形纸条，再从剩下的长方形纸片上剪去一张宽5cm的长方形纸条．如果两次剪下的长方形纸条面积正好相等，那么原正方形的边长为多少
4
5
（单位：cm）
【教材P103 例1】
思考：1.本题中有什么等量关系？
4
5
（单位：cm）
宽为4cm的长方形面积=宽为5cm的长方形面积
2.设正方形的边长是 x cm，完成下表：
宽 长 面积
图形1 4 x 4x
图形2 5 x-4 5(x-4)
4x
5(x-4)
4
5
（单位：cm）
解：设正方形的边长是 x cm，根据题意，得
4x = 5(x-4).
解方程，得x=20.
答：原正方形的边长为20cm.
4x
5(x-4)
宽为4cm的长方形面积=宽为5cm的长方形面积
形积变化中的等量关系
①形状发生了变化，体积/面积不变. 其相等关系是：
变化前图形的体积/面积=变化后图形的体积/面积
②形状、面积发生了变化，周长不变. 其相等关系是：
变化前图形的周长=变化后图形的周长
③形状、体积不同，面积相同．根据题意找出面积之间的关系，即相等关系．
如图，长方形纸片的长是15cm，现从 长、宽上各剪去一个宽为3cm的长条，剩下的面积是原长方形面积的 .求原长方形纸片的宽.
练一练
解：设原长方形纸片的宽为x cm，则剩下的长方形的长为15-3=12(cm)，宽为(x-3)cm.
根据题意，得12(x-3)= ×15x，解得x=12.
答：原长方形纸片的宽为12cm.
例2：某县举办越野赛. 选手从起点出发，先沿着山区公路跑步到达补给站，再登山到达比赛终点. 张老师参加了这个比赛，他的相关数据如下表：
总距离/km 跑步平均速度/km·h-1 登山平均速度/km·h-1
8.2 10 3
已知张老师在补给站休息了10min，用时1.5h完成了比赛.求补给站与起点的距离.
8.2km
起点
补给站
终点
跑步距离+登山距离=总距离
【教材P103 例2】
8.2km
起点
补给站
终点
x km
8.2-x km
跑步时间+登山时间=总用时-休息时间
解：设补给站离起点x km. 根据题意，得
注意单位换算!
解方程，得x=6.
答：补给站与起点的距离为6km.
交流：运用一元一次方程解决实际问题的基本过程是怎样的？
实际问题
找等量关系，列方程
数学问题
（一元一次方程）
解方程
数学问题的解
（一元一次方程的解）
检验
实际问题的答案
“读万卷书，行万里路”，经历是最好的学习，研学是最美的相遇. 11月中旬七年级的学生开启了以“溯源千年谯城·浸润万缕药香”为主题的亳州研学之旅. 已知①号车和②号车同时从合肥出发沿同一路线开往亳州，①号车的行驶速度是 80km/h，②号车的行驶速度是72km/h，①号车比②号车早到
h，求合肥与亳州相距多少千米
练一练
解：设合肥与亳州相距x km.
根据题意，得 ，解得x=320.
答：合肥与亳州相距320km.
归纳总结
列方程解应用题的一般步骤如下：
⑴弄清题意和题中的数量关系，用字母（如x，y）表示问题涉及的未知数；
⑵分析题意，找出等量关系（可借助示意图、表格等）；
⑶根据等量关系，列出需要的代数式，并列出方程；
⑷解这个方程，求出未知数的值；
⑸检查所得的值是否正确和符合实际情形，并写出答案（包括单位）.
1.列方程，解下列各题：
（1）一种小麦磨成面粉，出粉率为80%（即20%成为麸子）．为了得到4500 kg面粉，至少需要多少小麦
【教材P104 练习】
解：设至少需要x kg小麦.
根据题意，得x·80％ = 4500.
解方程，得x=5625.
答：至少需要 5625 kg小麦.
（2）甲厂有钢材432t，乙厂有钢材96t．如果每天从甲厂运出20t，乙厂运出4t，几天后甲厂剩余的钢材是乙厂的2倍
解：设x天后，甲厂剩余的钢材是乙厂的2倍.
根据题意，得432-20x=2(96-4x).
解方程，得x=20.
答：20天后，甲厂剩余的钢材是乙厂的2倍.
（3）甲、乙两地相距180km．一人骑自行车从甲地出发，每小时骑行15km．另一人骑摩托车从乙地同时出发．两人相向而行．已知摩托车车速是自行车车速的3倍．多少时间后两人相遇？
解：设x h后两人相遇.
根据题意，得x(15+15×3)=180.
解方程，得x=3.
答：3h后两人相遇.
2.有一根合金圆柱，底面半径为1 dm，高为64 cm，若将其锻造成长方体工件，使长方体工件的长为20π cm，高为32 cm，则长方体工件的宽是多少
解：设长方体工件的宽是x cm.
1 dm=10 cm，
根据题意，得π×102×64=20π×32x，
解得x=10.
答：长方体工件的宽是10cm.
3. 甲、乙两人从相距200km的两地相向而行，甲乘汽车每小时行60km，乙骑自行车每小时行20km. 如果乙先行2h，那么甲出发多长时间后两人相遇
解：设甲出发x h后两人相遇.
根据题意，得60x+20(x+2)=200，解得x=2.
答：甲出发2h后两人相遇.
1.为增加展示作品的质感，需要准备一些相框进行展示，现
将一根木条进行切割制作相框，原计划制作正方形的相框，
现改为制作长方形的相框，若新的长方形相框的宽比原正方
形相框的边长少 ，新的长方形相框的长等于原正方形相
框的边长，且新的长方形相框需要用 长的木条，若设
原正方形相框的边长为 ，则可列方程为______________
_____.
2.为增加展示作品的美感，学校打算用彩纸包装相框.如图，
将一张正方形彩纸剪下一个宽为 的长条后，再从剩下的
长方形彩纸上剪去一个宽为 的长条.如果两次剪下的长
条面积相等，那么每一个长条的面积为_____ .
150
3.(8分)为增加展示现场的氛围感，学校决定购买彩色的地垫，
进行地面装饰.如图，其中一部分图案为用8个相同的小长方
形拼成的大长方形，求1个小长方形的面积.
解：设1个小长方形的宽为 ，根
据题图可知1个小长方形的长为
，则 ，解得
，则
答：1个小长方形的面积为 .
知识点2 行程问题
4.［2025年1月滁州期末］一艘轮船在， 两个码头之间航
行，顺水航行需,逆水航行需.已知水流速度为 ,
求轮船在静水中的航行速度.若设轮船在静水中的航行速度为
,则可列一元一次方程为( )
B
A. B.
C. D.
用一元一次方程解决实际问题的基本过程
实际问题
找等量关系，列方程
数学问题
（一元一次方程）
解方程
数学问题的解
（一元一次方程的解）
检验
实际问题的答案
谢谢观看！

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