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沪科版（新教材）数学七年级上册
第3章 一次方程与方程组
3.4.1二元一次方程组
只含有_______未知数（元），未知数的次数都是____，且等式两边都是_______的方程叫作一元一次方程.
下列式子中，是一元一次方程的是_______（填序号）.
① x-2= ；② 0.3x=1；③ =5x+1；④ x2-4x=3；
⑤ x=6；⑥ x+2y=0.
一个
1
整式
②③⑤
3.4.1 二元一次方程组 教案
一、教学基本信息
1. 授课年级：七年级上册
2. 课时安排：1课时（45分钟）
3. 授课内容：二元一次方程、二元一次方程组的概念，二元一次方程的解与方程组的解的定义，初步掌握用代入法解简单二元一次方程组
4. 授课教师：[教师姓名]
二、教学目标
（一）知识与技能
1. 理解二元一次方程、二元一次方程组的定义，能准确识别二元一次方程及方程组。
2. 明确二元一次方程的解与二元一次方程组的解的含义，能判断一组数值是否为方程或方程组的解。
3. 初步掌握代入消元法的基本思路，能运用代入法解简单的二元一次方程组。
（二）过程与方法
1. 通过对比一元一次方程，经历“问题情境—引入新元—定义概念—探究解法”的过程，培养抽象概括能力和转化思想。
2. 在探究代入消元法的过程中，体会“化二元为一元”的转化思想，提升逻辑推理能力。
（三）情感态度与价值观
1. 感受二元一次方程组在解决含两个未知数问题中的优越性，激发学习兴趣。
2. 在概念辨析和解题过程中，培养严谨的数学思维和勇于探索的精神。
三、教学重难点
1. 教学重点：二元一次方程及方程组的概念；二元一次方程组的解的定义；代入消元法解简单二元一次方程组的步骤。
2. 教学难点：理解二元一次方程的解的不确定性；掌握代入消元法中“用一个未知数表示另一个未知数”的技巧；明确方程组的解与方程的解的区别与联系。
四、教学准备
多媒体课件（含问题情境、概念辨析题）、一元一次方程复习素材、例题卡片、练习题单
五、教学过程
（一）情境导入，引出新知（5分钟）
1. 复习旧知：回顾一元一次方程的概念（只含一个未知数，未知数次数为1的整式方程），并解方程：2x + 5 = 15（学生口述，教师板书）。
2. 呈现新问题：篮球联赛中，每场比赛都要分胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分。某队在10场比赛中得到16分，那么这个队胜了多少场？负了多少场？
3. 引导思考：这个问题中有几个未知数？（胜的场数和负的场数，两个未知数）如果设胜x场，负y场，能列出怎样的式子？
4. 引出课题：像这样含有两个未知数的问题，需要用新的数学工具来解决，今天我们就来学习“二元一次方程组”。
（二）探究新知一：二元一次方程的概念（8分钟）
1. 概念推导
结合导入问题，引导学生列出式子：
① 胜的场数+负的场数=总场数：x + y = 10；
② 胜场得分+负场得分=总得分：2x + y = 16。
对比一元一次方程2x + 5 = 15，分析这两个式子的特点：含有两个未知数x、y，未知数的次数都是1，等号两边都是整式。
归纳定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程，叫做二元一次方程。
2. 概念辨析
判断下列方程是否为二元一次方程，若不是请说明理由：
（1）3x + 2y = 5（是）；（2）xy = 6（不是，未知数的项的次数是2）；（3）3x + y + z = 8（不是，含有三个未知数）；（4）x + 3 = 7（不是，只含一个未知数）；（5）2x + 3y = （不是，不是整式方程）。
3. 二元一次方程的解
提问：对于方程x + y = 10，x和y的值有哪些可能？（如x=5，y=5；x=6，y=4等）
定义：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。
强调：二元一次方程的解有无数组，它的解通常表示为$\begin{cases} x = a \\ y = b \end{cases}$的形式（如方程x + y = 10的解可表示为$\begin{cases} x = 7 \\ y = 3 \end{cases}$）。
（三）探究新知二：二元一次方程组的概念（10分钟）
1. 方程组的定义
回到导入问题，两个方程x + y = 10和2x + y = 16都反映了该队胜、负场数与得分的关系，需要将这两个方程结合起来，才能确定x和y的具体值。
归纳定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。形式如：$\begin{cases} x + y = 10 \\ 2x + y = 16 \end{cases}$
补充：方程组中未知数的个数与方程的个数不一定相等，但二元一次方程组通常由两个二元一次方程组成。
2. 方程组的解
提问：哪些x、y的值能同时满足x + y = 10和2x + y = 16？
引导学生尝试：当x=6时，由x + y = 10得y=4，代入2x + y = 16，左边=2×6 + 4=16，右边=16，两边相等。
定义：二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。
强调：二元一次方程组的解通常只有一组（也可能无解或有无数组解，后续学习），它是两个方程解的公共部分。
3. 解的判断
例1：判断下列各组数值是否为方程组$\begin{cases} 2x + y = 5 \\ x - 3y = 6 \end{cases}$的解：
（1）$\begin{cases} x = 3 \\ y = -1 \end{cases}$；（2）$\begin{cases} x = 0 \\ y = 5 \end{cases}$。
解答：（1）将x=3，y=-1代入两个方程，2×3 + (-1)=5，3 - 3×(-1)=6，均成立，是方程组的解；（2）代入第一个方程成立，代入第二个方程0 - 3×5=-15≠6，不是方程组的解。
（四）探究新知三：代入消元法解二元一次方程组（15分钟）
1. 核心思路：化二元为一元
提问：如何求出方程组$\begin{cases} x + y = 10 ① \\ 2x + y = 16 ② \end{cases}$的解？
引导分析：两个方程都含有y，且y的系数都是1，可由方程①用x表示y，再代入方程②，将二元一次方程转化为一元一次方程求解。
这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想，这里用到的方法是代入消元法（简称代入法）。
2. 代入法解题步骤
例2：用代入法解方程组$\begin{cases} x + y = 10 ① \\ 2x + y = 16 ② \end{cases}$
讲解步骤：
① 变：将其中一个方程变形，用含一个未知数的式子表示另一个未知数。由①得：y = 10 - x ③（选择系数简单的方程变形，简化计算）；
② 代：把③代入另一个方程，消去一个未知数，得到一元一次方程。将③代入②得：2x + (10 - x) = 16；
③ 解：解这个一元一次方程。2x + 10 - x = 16 → x = 6；
④ 回代：将求得的未知数的值代入③，求出另一个未知数的值。把x=6代入③得：y = 10 - 6 = 4；
⑤ 验：检验求得的解是否满足原方程组的两个方程（口算或笔算）；
⑥ 写：写出方程组的解。方程组的解为$\begin{cases} x = 6 \\ y = 4 \end{cases}$。
3. 变式例题：系数不为1的情况
例3：用代入法解方程组$\begin{cases} 3x + 4y = 19 ① \\ x - y = 4 ② \end{cases}$
引导解题：由②得x = y + 4 ③（选择含未知数系数为1的方程变形），将③代入①得3(y + 4) + 4y = 19 → 3y + 12 + 4y = 19 → 7y = 7 → y=1，把y=1代入③得x=5，方程组的解为$\begin{cases} x = 5 \\ y = 1 \end{cases}$。
4. 易错点提醒
（1）变形方程时，要注意符号变化（如由x - y = 4得x = y + 4，不是x = y - 4）；
（2）代入时，要代入另一个未变形的方程，避免代入原方程导致恒等式；
（3）解完后需检验，确保解的正确性。
（五）巩固练习，强化提升（5分钟）
1. 基础题：（1）判断方程3x - 2y = 7是否为二元一次方程，并写出它的两组解；（2）用代入法解方程组$\begin{cases} y = 2x - 3 \\ 3x + 2y = 8 \end{cases}$。
2. 提高题：用代入法解方程组$\begin{cases} 2x + 3y = 16 \\ x + 4y = 13 \end{cases}$（提示：将第二个方程变形为x = 13 - 4y）。
学生独立完成，指名板演，集体订正时重点讲解代入法的步骤和符号问题。
（六）课堂小结，梳理知识（1分钟）
1. 核心概念：二元一次方程、二元一次方程组的定义；方程及方程组的解的含义。
2. 核心方法：代入消元法，步骤为“变—代—解—回代—验—写”，核心思想是化二元为一元。
（七）布置作业，拓展延伸（1分钟）
1. 必做题：教材对应习题，巩固二元一次方程组的概念及代入法求解。
2. 选做题：编写一道含有两个未知数的实际问题，列出二元一次方程组并运用代入法求解。
六、板书设计
3.4.1 二元一次方程组
一、核心概念
1. 二元一次方程：两个未知数，次数1，整式方程
2. 二元一次方程组：含相同未知数的两个二元一次方程的组合
3. 解：公共解（方程组）、无数组（方程）
二、代入消元法
1. 思路：化二元为一元
2. 步骤：变→代→解→回代→验→写
3. 例2：$\begin{cases} x + y = 10 ① \\ 2x + y = 16 ② \end{cases}$
①变：y=10 - x ③；②代：2x + 10 - x = 16→x=6；③回代：y=4；④解：$\begin{cases} x=6 \\ y=4 \end{cases}$
七、教学反思
本节课通过实际问题引入二元一次方程组，自然衔接了一元一次方程的知识，让学生体会到新知识点的必要性。在概念教学中，通过对比和辨析，帮助学生准确把握二元一次方程及方程组的特征；代入消元法的讲解遵循“思路引导—步骤分解—例题示范”的流程，降低了学生的理解难度。但部分学生在“用一个未知数表示另一个未知数”时，仍存在符号错误和变形困难的问题，尤其是当未知数系数为负数或分数时。后续教学中，需增加“方程变形专项训练”，引导学生掌握“移项变号”的技巧；同时，通过更多简单例题的练习，让学生熟练代入法的步骤，逐步提升解题的准确性和速度。
问题1：“鸡兔同笼”是我国古代数学著作《孙子算经》上的一道题. 今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何.
思考1：如何列一元一次方程？
解：设鸡有x只，则兔有(35-x)只.
2x+4(35-x)=94
思考2：问题中有两个未知数，能不能根据题意直接设两个未知数，使列方程变得容易呢？
分析：
鸡的只数+兔的只数=总头数
鸡的脚数+兔的脚数=总脚数
解：设鸡有x只，兔有y只.
鸡 兔 合计
头数 x y 35
脚数 2x 4y 94
x+y=35
2x+4y=94
x+y=35
2x+4y=94
观察下面的方程：
2.它与你学过的一元一次方程比较有什么区别？
1.它们有什么共同特征？
3.你能给它起个名字吗？
定义：含有两个未知数的一次方程叫作二元一次方程.
注意：
1.是整式方程；
2.只含有两个未知数，且未知数的系数不为0；
3. “一次”是指含未知数的项的次数是1，而不是未知数的次数.
x+y=35
2x+4y=94
二元一次方程
三者缺一不可！
下列式子中，是二元一次方程的是_______（填序号）.
① 8x-y=3y；② 3x-z=y；③ 2x-5=3；④ +y=2；
⑤ xy=2；⑥ 3x2+1=y；⑦ x-y= .
练一练
判断一个方程是否为二元一次方程的方法：
1.原方程是否是整式方程且只含有两个未知数；
2.整理化简后的方程中两个未知数的系数都不为0，且含未知数的项的次数都是1.
①⑦
x+y=35
2x+4y=94
①
②
几个方程联立在一起，称为方程组.
两个或两个以上
定义：由两个一次方程组成，且含两个未知数的方程组叫作二元一次方程组.
注意：
1.组成方程组的方程都是整式方程；
2.两个方程共含有两个未知数；
3.方程组中含有未知数的项的次数必须都是1.
下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
练一练
A. B. C. D.
看两个方程是否为整式方程
看方程组是否一共含有两个未知数
看含未知数的项的次数是否都是1
C
问题2：某班同学在植树节时植樟树和白杨树共50棵. 已知樟树苗每棵10元，白杨树苗每棵3元，购买这些树苗用了290元.樟树苗、白杨树苗各买了多少棵
设樟树苗买了x棵，白杨树苗买了y棵，可得二元一次方程组
x+y=50，
10x+3y=290.
①
②
1.已知2xa-5-(b-2)y|b|-1=4是关于x，y的二元一次方程，则
a-2b=________.
10
2.若 是关于x，y的二元一次方程组，则
a=________，b=________.
﹣1
5
3.根据题意，列出二元一次方程组：
（1）小华买了60分与80分的邮票共10枚，花了7元2角，那么60分和80分的邮票各买了多少枚
【教材P109 练习 第1题】
解：设买了x枚60分的邮票和y枚80分的邮票.
根据题意，得
（2）植树节七(1)班和七(2)班共植树138棵，七(1)班植树数量比七(2)班的 多8棵. 两班分别植树多少棵
解：设七(1)班植树x棵，七(2)班植树y棵.
根据题意，得
（3）将一摞笔记本分给若干同学. 每个同学5本，则剩下8本；每个同学8本，又差了7本. 共有多少本笔记本、多少个同学
解：设共有x本笔记本，y个同学.
根据题意，得
4.请你根据生活实例，编一道应用二元一次方程组的问题，并列出方程组.
解：答案不唯一，如：某船的载重为260t，容积为1000m3. 现有甲、乙两种货物要运，其中甲种货物每吨体积为8m3，乙种货物每吨体积为2m3，若要充分利用这艘船的载重与容积，则甲、乙两种货物应各装多少吨（装运货物时不留空隙）？
设甲、乙两种货物应各装x t，y t.
根据题意，得
【教材P109 练习 第2题】
知识点1 二元一次方程
1.［2025·杭州月考］下列方程是二元一次方程的是( )
C
A. B.
C. D.
2.关于，的方程是二元一次方程，则
的取值范围是( )
C
A. B. C. D.
3.若方程是关于， 的二元一次方程，则
___.
3
知识点2 二元一次方程组
4.下列方程组是二元一次方程组的是( )
C
A. B.
C. D.
5.创新题·新考法 若方程组 是二元一次方程组，
则“……”不可能是( )
C
A. B. C. D.
6.［2025年1月安庆期末］若是关于,
的二元一次方程组，则___， ____.
1
知识点3 建立二元一次方程组模型
7.某班35名学生共种87棵树苗.其中男生每人种3棵，女生每
人种2棵，设该班男生有人，女生有 人.根据题意，所列方
程组正确的是( )
D
A. B.
C. D.
二元一次方程组
二元一次方程及二元一次方程组的定义
根据实际问题列二元一次方程组
含有两个未知数的一次方程叫作二元一次方程.
由两个一次方程组成，且含两个未知数的方程组叫作二元一次方程组.
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