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沪科版（新教材）数学七年级上册
第3章 一次方程与方程组
3.4.3加减消元法
思考：解问题1中的方程组，除代入消元法外，是否还有别的消元方法
x+y=35
2x+4y=94
x+y=35
①
②
x+2y=47
等式的基本性质
此方程组中各个未知数的系数有什么特点？
思考：解问题1中的方程组，除代入消元法外，是否还有别的消元方法
3.4.3 加减消元法 教案
一、教学基本信息
1. 授课年级：七年级上册
2. 课时安排：1课时（45分钟）
3. 授课内容：理解加减消元法的核心思想，掌握用加减消元法解二元一次方程组的步骤，能根据方程组特征选择合适的消元方法
4. 授课教师：[教师姓名]
二、教学目标
（一）知识与技能
1. 深化对代入消元法“化二元为一元”核心思想的理解，熟练掌握其解题步骤。
2. 能灵活运用代入法解含系数为分数、负数及未知数缺失项的二元一次方程组，提高解题准确性与速度。
3. 掌握加减消元法的核心思想，能运用加减消元法解二元一次方程组，能根据方程组特点选择代入法或加减消元法。
（二）过程与方法
1. 通过典型例题变式、小组合作探究，经历“基础应用—复杂拓展—实际建模”的过程，完善代入消元法的知识体系，培养分类讨论与转化能力。
2. 在探究加减消元法的过程中，进一步体会“化二元为一元”的转化思想，提升根据方程组特征选择解题方法的能力。
（三）情感态度与价值观
1. 感受二元一次方程组在解决含两个未知数问题中的优越性，激发学习兴趣。
2. 在概念辨析和解题过程中，培养严谨的数学思维和勇于探索的精神。
三、教学重难点
1. 教学重点：加减消元法的核心思想及解二元一次方程组的步骤；根据方程组特征选择合适的消元方法。
2. 教学难点：当方程组中未知数系数既不相等也不互为相反数时，通过调整系数实现消元；灵活选择代入法与加减消元法解决问题。
四、教学准备
多媒体课件（含各类变式例题、易错点对比图）、代入法步骤卡片、小组探究任务单、练习题单
五、教学过程
（一）复习回顾，衔接新知（5分钟）
1. 快速抢答：回顾代入消元法的核心思想与步骤，提问“代入法的关键是什么？”“解方程组的基本思路是什么？”（学生回答：消元，化二元为一元；步骤：变—代—解—回代—验—写）。
2. 热身练习：用代入法解方程组$\begin{cases} y = 2x - 1 \\ 3x + 2y = 5 \end{cases}$（指名板演，师生点评，强调符号与代入准确性）。
3. 提出新问题：若方程组变为$\begin{cases} 2x - 3y = 1 \\ 4x + y = 7 \end{cases}$或$\begin{cases} \frac{1}{2}x + y = 3 \\ x - \frac{1}{3}y = 2 \end{cases}$，该如何用代入法求解？
4. 引出课题：上节课我们用代入消元法解决了二元一次方程组，当方程组中未知数系数有特殊关系时，还有更简便的方法吗？今天我们就来学习“加减消元法”。
（二）探究新知一：含特殊系数的方程组求解（12分钟）
1. 系数为负数的方程组
例1：用代入法解方程组$\begin{cases} 2x - 3y = 1 ① \\ 4x + y = 7 ② \end{cases}$
引导分析：观察两个方程，方程②中y的系数为1，变形更简便，注意移项变号。
解题步骤：
① 变：由②得y = 7 - 4x ③（移项时4x变号，避免出现“y = 4x - 7”的错误）；
② 代：将③代入①，消去y：2x - 3(7 - 4x) = 1；
③ 解：去括号（注意负号分配）：2x - 21 + 12x = 1 → 14x = 22 → x = $\frac{11}{7}$；
④ 回代：将x = $\frac{11}{7}$代入③，得y = 7 - 4×$\frac{11}{7}$ = $\frac{49 - 44}{7}$ = $\frac{5}{7}$；
⑤ 验：将x = $\frac{11}{7}$，y = $\frac{5}{7}$代入①，左边=2×$\frac{11}{7}$ - 3×$\frac{5}{7}$ = $\frac{22 - 15}{7}$ = 1=右边；代入②，左边=4×$\frac{11}{7}$ + $\frac{5}{7}$ = $\frac{44 + 5}{7}$ = 7=右边；
⑥ 写：方程组的解为$\begin{cases} x = \frac{11}{7} \\ y = \frac{5}{7} \end{cases}$。
技巧总结：选择未知数系数绝对值最小的方程变形，可减少计算量；去括号时，若括号前是负号，需逐项变号。
2. 系数为分数的方程组
例2：用代入法解方程组$\begin{cases} \frac{1}{2}x + y = 3 ① \\ x - \frac{1}{3}y = 2 ② \end{cases}$
引导分析：方程含分数系数，可先去分母简化，再变形代入。
解题步骤：
① 去分母：由①×2得x + 2y = 6 ③；由②×3得3x - y = 6 ④；
② 变：由④得y = 3x - 6 ⑤（选择系数简单的方程变形）；
③ 代：将⑤代入③得x + 2(3x - 6) = 6；
④ 解：x + 6x - 12 = 6 → 7x = 18 → x = $\frac{18}{7}$；
⑤ 回代：将x = $\frac{18}{7}$代入⑤得y = 3×$\frac{18}{7}$ - 6 = $\frac{54 - 42}{7}$ = $\frac{12}{7}$；
⑥ 写：方程组的解为$\begin{cases} x = \frac{18}{7} \\ y = \frac{12}{7} \end{cases}$。
技巧总结：含分数系数时，先给方程两边同乘分母最小公倍数去分母，转化为整数系数方程，再按常规步骤求解。
3. 含缺失项的方程组
例3：用代入法解方程组$\begin{cases} 3x = 12 - 2y ① \\ 5x - 3y = 2 ② \end{cases}$（方程①缺常数项在左边）
解题步骤：
① 变：由①得x = $\frac{12 - 2y}{3}$ ③（将x的系数化为1）；
② 代：将③代入②得5×$\frac{12 - 2y}{3}$ - 3y = 2；
③ 解：去分母（同乘3）：5(12 - 2y) - 9y = 6 → 60 - 10y - 9y = 6 → -19y = -54 → y = $\frac{54}{19}$；
④ 回代：将y = $\frac{54}{19}$代入③得x = $\frac{12 - 2×\frac{54}{19}}{3}$ = $\frac{228 - 108}{57}$ = $\frac{120}{57}$ = $\frac{40}{19}$；
⑤ 写：方程组的解为$\begin{cases} x = \frac{40}{19} \\ y = \frac{54}{19} \end{cases}$。
即时小练：小组竞赛
分组解不同类型方程组，每组派代表板演，师生共同点评：
A组：$\begin{cases} -x + 2y = 3 \\ 2x - 3y = 1 \end{cases}$（系数为负）；B组：$\begin{cases} \frac{1}{3}x - \frac{1}{2}y = 1 \\ 2x + 3y = 12 \end{cases}$（分数系数）；C组：$\begin{cases} 4y = 2x - 5 \\ 3x - 8y = 11 \end{cases}$（缺项）。
（三）探究新知二：代入法解决实际问题（10分钟）
1. 实际问题建模步骤
回顾：实际问题→设未知数→列方程组→解方程组→检验→答。
关键：找准两个等量关系，用两个未知数表示相关量。
2. 典型例题
例4：某车间有28名工人，生产一种螺栓和螺母，每人每天平均能生产螺栓12个或螺母18个，一个螺栓配两个螺母。为了使每天生产的产品刚好配套，应安排多少名工人生产螺栓，多少名工人生产螺母？
引导分析：
① 设未知数：设安排x名工人生产螺栓，y名工人生产螺母；
② 找等量关系：工人总数=28（x + y = 28）；螺母数量=2×螺栓数量（18y = 2×12x）；
③ 列方程组：$\begin{cases} x + y = 28 ① \\ 18y = 24x ② \end{cases}$；
④ 用代入法求解：由①得y = 28 - x ③，将③代入②得18(28 - x) = 24x → 504 - 18x = 24x → 42x = 504 → x = 12，y = 16；
⑤ 检验：12名工人生产螺栓144个，16名工人生产螺母288个，288=2×144，刚好配套；
⑥ 答：应安排12名工人生产螺栓，16名工人生产螺母。
3. 变式练习
例5：甲、乙两种商品的进价和为100元，若甲商品按30%的利润定价，乙商品按20%的利润定价，共获利24元。甲、乙两种商品的进价各是多少元？（学生独立列方程组并求解，指名汇报）
（四）探究新知三：易错点辨析与技巧总结（8分钟）
1. 易错点对比分析
展示学生常见错误解法，师生共同辨析：
错误1：变形时移项不变号，如由x - 2y = 3得x = 3 - 2y（正确：x = 3 + 2y）；
错误2：代入时漏乘系数，如将y = 2x - 1代入3x + 2y = 5得3x + 2x - 1 = 5（正确：3x + 2(2x - 1) = 5）；
错误3：去分母时漏乘常数项，如方程$\frac{1}{2}x + y = 3$去分母得x + y = 6（正确：x + 2y = 6）；
错误4：实际问题检验仅看方程解，忽略实际意义（如人数为负数）。
2. 解题技巧总结
师生共同梳理，形成口诀：
“消元先找系数简，变形务必变号全；代入莫忘括号添，去括号要符号辨；
分数系数先化简，实际问题验关联；步骤清晰是关键，细心才能算周全。”
强调：当两个方程未知数系数均不为1或-1时，选择系数绝对值最小的未知数变形，减少分数运算。
（五）巩固练习，强化提升（7分钟
回到导入问题，两个方程x + y = 10和2x + y = 16都反映了该队胜、负场数与得分的关系，需要将这两个方程结合起来，才能确定x和y的具体值。
归纳定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。形式如：$\begin{cases} x + y = 10 \\ 2x + y = 16 \end{cases}$
补充：方程组中未知数的个数与方程的个数不一定相等，但二元一次方程组通常由两个二元一次方程组成。
2. 方程组的解
提问：哪些x、y的值能同时满足x + y = 10和2x + y = 16？
引导学生尝试：当x=6时，由x + y = 10得y=4，代入2x + y = 16，左边=2×6 + 4=16，右边=16，两边相等。
定义：二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。
强调：二元一次方程组的解通常只有一组（也可能无解或有无数组解，后续学习），它是两个方程解的公共部分。
小组讨论：代入法与加减消元法的适用场景有何不同？
5. 方法对比与选择技巧
解题过程：①-③得：$(2x + 3y) - (2x + 8y) = 16 - 26$ → $-5y = -10$ → $y = 2$，回代①得$2x + 6 = 16$ → $x = 5$，解为$\begin{cases} x = 5 \\ y = 2 \end{cases}$。
引导分析：两个方程中x、y的系数均不相等也不互为相反数，可将②×2，使x的系数变为2（与①中x系数相等），得到新方程③：$2x + 8y = 26$。
例3：用加减消元法解方程组$\begin{cases} 2x + 3y = 16 ① \\ x + 4y = 13 ② \end{cases}$
4. 进阶例题：系数需调整的情况
速记步骤：观系数→定加减→解一元→回代求→验解→写结果。
⑥ 写：方程组的解为$\begin{cases} x = 5 \\ y = 2 \end{cases}$。
⑤ 验：将$\begin{cases} x = 5 \\ y = 2 \end{cases}$代入②，$15 - 4 = 11$，符合方程；
④ 回代：将$x = 5$代入①，得$15 + 2y = 19$ → $2y = 4$ → $y = 2$；
③ 解：化简求解一元一次方程，$6x = 30$ → $x = 5$；
② 加：将两个方程左右两边分别相加，消去y。①+②得：$(3x + 2y) + (3x - 2y) = 19 + 11$；
① 观：观察未知数系数，x的系数均为3（相等），y的系数为2和-2（互为相反数），可选择消去y；
步骤分解：
例2：用加减消元法解方程组$\begin{cases} 3x + 2y = 19 ① \\ 3x - 2y = 11 ② \end{cases}$
3. 基本步骤与例题讲解
适用场景：方程组中某一未知数的系数相等或互为相反数时，优先使用加减消元法。
核心思想：利用等式的基本性质，将方程组中两个方程相加或相减，消去其中一个未知数，把二元一次方程组转化为一元一次方程求解，本质仍是“化二元为一元”。
2. 核心思想与适用场景
计算发现：②-①得$(2x + y) - (x + y) = 16 - 10$，化简后$x = 6$，再代入①得$y = 4$。这种通过方程加减消去一个未知数的方法，就是加减消元法。
回顾上节课的方程组$\begin{cases} x + y = 10 ① \\ 2x + y = 16 ② \end{cases}$，除了代入法，观察两个方程中y的系数均为1，若用②-①，会出现什么结果？
1. 情境引思，提出方法
3. 解的判断
总结：当某一未知数系数为1或-1时，优先用代入法；当未知数系数相等或互为相反数，或调整后易相等时，优先用加减消元法。
例1：判断下列各组数值是否为方程组$\begin{cases} 2x + y = 5 \\ x - 3y = 6 \end{cases}$的解：
（1）$\begin{cases} x = 3 \\ y = -1 \end{cases}$；（2）$\begin{cases} x = 0 \\ y = 5 \end{cases}$。
解答：（1）将x=3，y=-1代入两个方程，2×3 + (-1)=5，3 - 3×(-1)=6，均成立，是方程组的解；（2）代入第一个方程成立，代入第二个方程0 - 3×5=-15≠6，不是方程组的解。
（四）探究新知三：加减消元法解二元一次方程组（188分钟）
1. 代入消元法回顾（3分钟）
1. 核心思路：化二元为一元
核心思路：化二元为一元，通过“用一个未知数表示另一个未知数”实现消元。
提问：如何求出方程组$\begin{cases} x + y = 10 ① \\ 2x + y = 16 ② \end{cases}$的解？
列表对比：当某未知数系数为1或-1时，优先用代入法；当未知数系数相等或相反时，优先用加减法，灵活选择提升效率。
5. 两种消元法对比与选择（3分钟）
引导分析：无系数相等或相反的未知数，将②×2得$\begin{cases} 2x + 3y = 16 ① \\ 2x + 8y = 26 ③ \end{cases}$，此时x系数相等，①-③消去x：-5y=-10→y=2，回代得x=5，解为$\begin{cases} x=5 \\ y=2 \end{cases}$。
例5：用加减法解方程组$\begin{cases} 2x + 3y = 16 ① \\ x + 4y = 13 ② \end{cases}$
4. 变式例题：系数需调整的情况（3分钟）
速记步骤：观→加/减→解→回代→验→写。
⑥ 写：方程组的解为$\begin{cases} x=5 \\ y=2 \end{cases}$。
⑤ 验：代入②，3×5 - 4=11，成立；
④ 回代：将y=2代入①得3x + 4=19→3x=15→x=5；
③ 解：3x+2y-3x+2y=8→4y=8→y=2；
② 减：①-②得：(3x + 2y) - (3x - 2y) = 19 - 11；
① 观：x的系数均为3，可通过相减消去x；
修正例4：用加减法解方程组$\begin{cases} 3x + 2y = 19 ① \\ 3x - 2y = 11 ② \end{cases}$
③ 解：化简求解一元一次方程。3x = 20？不，计算修正：16+4=20？16+4=20，3x=20？重新计算：2x+x=3x，y+(-y)=0，16+4=20→3x=20？不对，导入问题中例2解为x=6，此处换例题更合理，调整例题为$\begin{cases} 3x + 2y = 19 ① \\ 3x - 2y = 11 ② \end{cases}$
② 加/减：将两个方程相加或相减，消去一个未知数。①+②得：(2x + y) + (x - y) = 16 + 4；
① 观：观察未知数系数，确定消去的未知数（y的系数互为相反数，消去y）；
讲解步骤：
例4：用加减法解方程组$\begin{cases} 2x + y = 16 ① \\ x - y = 4 ② \end{cases}$
3. 加减消元法解题步骤（6分钟）
核心思路：当方程组中某一未知数的系数互为相反数或相等时，通过将方程两边相加或相减，消去该未知数，转化为一元一次方程，这种方法称为加减消元法（简称加减法），本质仍是“化二元为一元”的消元思想。
引导观察：方程①中y的系数为1，方程②中y的系数为-1，若将两个方程左右两边分别相加，y的项会抵消。
提出新问题：对于方程组$\begin{cases} 2x + y = 16 ① \\ x - y = 4 ② \end{cases}$，除了代入法，还有更简便的方法吗？
2. 加减消元法引入与核心思路（3分钟）
速记步骤：变→代→解→回代→验→写（结合例2成果快速回顾，强化记忆）。
引导分析：两个方程都含有y，且y的系数都是1，可由方程①用x表示y，再代入方程②，将二元一次方程转化为一元一次方程求解。
这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想，这里用到的方法是代入消元法（简称代入法）。
2. 代入法解题步骤
例2：用代入法解方程组$\begin{cases} x + y = 10 ① \\ 2x + y = 16 ② \end{cases}$
讲解步骤：
① 变：将其中一个方程变形，用含一个未知数的式子表示另一个未知数。由①得：y = 10 - x ③（选择系数简单的方程变形，简化计算）；
② 代：把③代入另一个方程，消去一个未知数，得到一元一次方程。将③代入②得：2x + (10 - x) = 16；
③ 解：解这个一元一次方程。2x + 10 - x = 16 → x = 6；
④ 回代：将求得的未知数的值代入③，求出另一个未知数的值。把x=6代入③得：y = 10 - 6 = 4；
⑤ 验：检验求得的解是否满足原方程组的两个方程（口算或笔算）；
⑥ 写：写出方程组的解。方程组的解为$\begin{cases} x = 6 \\ y = 4 \end{cases}$。
3. 变式例题：系数不为1的情况
例3：用代入法解方程组$\begin{cases} 3x + 4y = 19 ① \\ x - y = 4 ② \end{cases}$
引导解题：由②得x = y + 4 ③（选择含未知数系数为1的方程变形），将③代入①得3(y + 4) + 4y = 19 → 3y + 12 + 4y = 19 → 7y = 7 → y=1，把y=1代入③得x=5，方程组的解为$\begin{cases} x = 5 \\ y = 1 \end{cases}$。
学生独立完成，指名板演，集体订正时重点讲解系数调整技巧和方法选择思路。
3. 拓展题：已知方程组$\begin{cases} ax + by = 4 \\ bx + ay = 5 \end{cases}$的解为$\begin{cases} x = 2 \\ y = 1 \end{cases}$，求a、b的值。
2. 提高题：选择合适方法解方程组$\begin{cases} 3x - 2y = 7 \\ 2x + 3y = 17 \end{cases}$（提示：可调整系数用加减消元法）。
（1）$\begin{cases} x + y = 12 \\ x - y = 8 \end{cases}$；（2）$\begin{cases} 4x + 3y = 5 \\ 4x - y = 3 \end{cases}$。
1. 基础题：用加减消元法解下列方程组
4. 易错点提醒
（1）变形方程时，要注意符号变化（如由x - y = 4得x = y + 4，不是x = y - 4）；
（2）代入时，要代入另一个未变形的方程，避免代入原方程导致恒等式；
（3）解完后需检验，确保解的正确性。
（五）巩固练习，强化提升（7分钟）
1. 基础题：（1）判断方程3x - 2y = 7是否为二元一次方程，并写出它的两组解；（2）用代入法解方程组$\begin{cases} y = 2x - 3 \\ 3x + 2y = 8 \end{cases}$。
2. 提高题：用代入法解方程组$\begin{cases} 2x + 3y = 16 \\ x + 4y = 13 \end{cases}$（提示：将第二个方程变形为x = 13 - 4y）。
学生独立完成，指名板演，集体订正时对比不同解法的优劣，强化方法选择意识。
2. 提高题：用合适方法解方程组$\begin{cases} 2x - y = 5 \\ 3x + 4y = 2 \end{cases}$（选择代入法，或调整系数用加减法）。
1. 基础题：用加减法解方程组$\begin{cases} x + y = 10 \\ x - y = 2 \end{cases}$（巩固系数相反情况）。
学生独立完成，指名板演，集体订正时重点讲解代入法的步骤和符号问题。
（六）课堂小结，梳理知识（1分钟）
1. 核心概念：二元一次方程、二元一次方程组的定义；方程及方程组的解的含义。
2. 核心方法：①代入消元法（步骤：变—代—解—回代—验—写）；②加减消元法（步骤：观—加/减—解—回代—验—写），核心思想均为化二元为一元。2. 核心方法：①加减消元法（步骤：观系数→定加减→解一元→回代求→验解→写结果）；②方法选择：系数为1或-1用代入法，系数易调整相等/相反用加减消元法。
（七）布置作业，拓展延伸（1分钟）
1. 必做题：教材对应习题，巩固二元一次方程组的概念及代入法求解。
三、方法选择：系数为1/-1用代入法，系数易调整用加减法
②×2得2x+8y=26③，①-③得-5y=-10→y=2，回代得x=5
4. 例3（系数调整）：$\begin{cases} 2x + 3y = 16 ① \\ x + 4y = 13 ② \end{cases}$
①+②得6x=30→x=5，回代①得y=2，解为$\begin{cases} x=5 \\ y=2 \end{cases}$
3. 例2（系数相反）：$\begin{cases} 3x + 2y = 19 ① \\ 3x - 2y = 11 ② \end{cases}$
2. 步骤：观系数→定加减→解一元→回代求→验解→写结果
1. 核心思想：化二元为一元（加减消去一个未知数）
2. 选做题：对比代入法与加减法，分别用两种方法解同一方程组$\begin{cases} 3x + y = 7 \\ 2x - 3y = 1 \end{cases}$，并总结两种方法的适用场景。2. 选做题：分别用代入法和加减消元法解方程组$\begin{cases} 2x + 5y = 13 \\ 3x - 5y = 7 \end{cases}$，比较两种方法的优劣，并总结适用场景。
六、板书设计
3.4.3 加减消元法
一、核心概念
1. 二元一次方程：两个未知数，次数1，整式方程
2. 二元一次方程组：含相同未知数的两个二元一次方程的组合
3. 解：公共解（方程组）、无数组（方程）
二、消元法解方程组二、加减消元法
3. 加减法：观→加/减→解→回代→验→写
例2：$\begin{cases} x + y = 10 ① \\ 2x + y = 16 ② \end{cases}$→$\begin{cases} x=6 \\ y=4 \end{cases}$
2. 代入法：变→代→解→回代→验→写
1. 核心思想：化二元为一元
1. 思路：化二元为一元
例4：$\begin{cases} 3x + 2y = 19 ① \\ 3x - 2y = 11 ② \end{cases}$→①-②得4y=8→y=2→x=5
2. 步骤：变→代→解→回代→验→写
3. 例2：$\begin{cases} x + y = 10 ① \\ 2x + y = 16 ② \end{cases}$
①变：y=10 - x ③；②代：2x + 10 - x = 16→x=6；③回代：y=4；④解：$\begin{cases} x=6 \\ y=4 \end{cases}$
七、教学反思
本节课在代入法基础上引入加减消元法，通过对比与实例探究，让学生掌握两种消元技巧。教学中结合系数特征引导方法选择，降低了加减法的理解难度。但部分学生在“调整系数使某未知数系数相等/相反”时，存在计算失误；在两种方法的灵活切换上仍需加强。后续教学中，需增加“系数调整专项练习”，强化等式性质的应用；同时设计“一题多解”任务，让学生在实践中体会不同方法的适用场景，提升解题灵活性。本节课通过旧知迁移引入加减消元法，聚焦“系数特征”突破消元难点，通过基础与进阶例题的梯度训练，帮助学生掌握方法步骤。但部分学生在系数调整时，易出现漏乘常数项的问题；在方法选择上，对复杂方程组的判断仍需加强。后续教学中，需增加“系数调整专项练习”，强化等式性质的应用；设计“一题多解”任务，让学生在对比中深化方法选择意识，提升解题灵活性与准确性。
x+y=35
①
②
x+2y=47
方程②的两边分别减去方程①的两边，得
2y-y=47-35.
一元一次方程
解方程，得y=12.
把y=12代入①，得x+12=35.
解方程，得x=23.
所以
联系上面的解法，想─想怎样解下列方程组：
3x+10y=2.8
①
②
15x-10y=8
1.未知数的系数有什么关系
2.如何消元
方程②的两边分别加上方程①的两边，得
3x+15x=2.8+8.
解方程，得x=0.6.
把x=0.6代入①，得1.8+10y=2.8.
解方程，得y=0.1.
所以
x+y=35
x+2y=47
3x+10y=2.8
15x-10y=8
1.这两个方程组是如何消元的？
思考：
方程的两边分别相加或相减.
2.两个方程相加或相减的依据是什么？
3.两个方程加减后能够实现消元的前提条件是什么？
等式的基本性质.
两个二元一次方程中同一未知数的系数相等或互为相反数.
加减
消元法
加减消元法：把两个方程的两边分别相加或相减消去一个未知数的方法叫作加减消元法，简称加减法.
二元一次方程组
一元一次方程
转化
例2：解方程组：
4x+y=14，
①
②
8x+3y=30.
在这个方程组中，直接将两个方程相加或相减，都不能消去未知数x或y，怎么办
解：①×2，得8x+2y=28. ③
②-③，得 y=2.
把y=2代入①，得4x+2=14.
x=3.
所以
【教材P113 例2】
如果消去y，如何求解？
例2：解方程组：
4x+y=14，
①
②
8x+3y=30.
【教材P113 例2】
解：①×3，得12x+3y=42. ③
③-②，得4x=12.
x=3.
把x=3代入①，得12+y=14.
解方程，得y=2.
所以
变形
加减
求解
回代
写解
例3：解方程组：
4x+2y=-5，
①
②
5x-3y=-9.
【教材P113 例3】
1.方程组符合加减消元法的条件吗
2.此方程组如何使用加减消元法
分析：比较方程组中的两个方程，y的系数的绝对值比较小，①×3，②×2，就可使y的系数绝对值相等，再用加减法即可消去y.
y
y
找系数的最小公倍数.
例3：解方程组：
4x+2y=-5，
①
②
5x-3y=-9.
【教材P113 例3】
解：①×3，得12x+6y=-15. ③
②×2，得10x-6y=-18. ④
③+④，得22x=-33.
x= .
把x= 代入①，得
-6+2y=-5.
y= .
所以
1.用加减法解方程组 时，方程①+②得（ ）
A. 2y=2 B. 3x=6 C. x-2y=-2 D. x+y=6
B
2.利用加减消元法解方程组 ，下列做法正确的是（ ）
A.要消去y，可以将①×5+②×2
B.要消去x，可以将①×3+②×(﹣5)
C.要消去y，可以将①×5+②×3
D.要消去x，可以将①×(﹣5)+②×2
D
3.用加减法解下列方程组：
【教材P114 练习 第1题】
（1）
①
②
（1）解：①-②，得-y=6. y=-6.
把y=-6代入②，得2x-2×(-6)=-1. x=-8.
所以
（2）
3.用加减法解下列方程组：
【教材P114 练习 第1题】
（1）
（2）
（2）解：②×2，得6x－2z+2=0.③
①+③，得7x-7=0. x=1.
把x=1代入①，得 1+2z-9=0. z=4.
所以
①
②
（3）
①
②
（3）解：①×2，得8x-4y=78.③
③-②，得5x=60. x=12.
把x=12代入②，得3×12-4y=18. y= .
（4）
所以
（3）
（4）
（4）解：②×9，得3y+27x=99.③
③-①，得 x=80. x=3.
把x=3代入①，得 ×3+3y=19. y=6.
①
②
所以
4.*解方程组：
解：①+②，得60(x+y)=180，即x+y=3.③
②-①，得14(x-y)=-14，即x-y=-1.④
③+④，得2x=2，解得x=1.
把x=1代入③，得1+y=3，解得y=2.
所以
①
②
知识点1 直接利用加减消元法解二元一次方程组
1.［知识初练］方程组中，未知数 的系数
的关系是______，未知数 的系数的关系是____________.把
方程①②的两边分别相加，就能消去未知数___；把方程①
②的两边分别相减，就能消去未知数___.
相等
互为相反数
2.用“加减法”消去方程组中的 后得到的方程
是( )
D
A. B. C. D.
3.(4分)解方程组：
解：,得，解得 .
将代入①,得，解得 .
所以原方程组的解为
知识点2 变系数后用加减消元法解二元一次方程组
4.［2024·合肥期中］解方程组 用加减消元法
消去 ，需要用( )
C
A. B.
C. D.
5. 加减消元法
6.(8分)解方程组：
(1)
解：，得，解得 .
将代入①，得，解得 .
所以原方程组的解为
(2)
，得 ，③
，得 ，④
，得，解得 .
将代入①，得，解得 ，
所以原方程组的解为
加减消元法
条件：
步骤：
两个二元一次方程中同一未知数的系数相等或互为相反数
变形 加减 求解 回代 写解
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