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沪科版（新教材）数学七年级上册
第3章 一次方程与方程组
3.4.2代入消元法
根据已知的x或y的值，求另一个未知数的值，并填入下表.
x+y=10 x … -2 0 2 5 8 …
y … 12 10 8 5 2 …
y-2x=4 x … -2 0 2 5 8 …
y … 0 4 8 14 20 …
二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值.
二元一次方程有无数组解！
一、教学基本信息
1. 授课年级：七年级上册
2. 课时安排：1课时（45分钟）
3. 授课内容：二元一次方程、二元一次方程组的概念，二元一次方程的解与方程组的解的定义，初步掌握用代入法解简单二元一次方程组3. 授课内容：代入消元法的核心思想，掌握代入消元法解二元一次方程组的完整步骤，能运用代入法解决含系数为分数、负数及未知数缺失项的二元一次方程组，提升消元建模能力
4. 授课教师：[教师姓名]
二、教学目标
（一）知识与技能
1. 理解二元一次方程、二元一次方程组的定义，能准确识别二元一次方程及方程组。1. 深化对代入消元法“化二元为一元”核心思想的理解，熟练掌握其解题步骤。
2. 明确二元一次方程的解与二元一次方程组的解的含义，能判断一组数值是否为方程或方程组的解。2. 能灵活运用代入法解含系数为分数、负数及未知数缺失项的二元一次方程组，提高解题准确性与速度。
3. 初步掌握代入消元法的基本思路，能运用代入法解简单的二元一次方程组。3. 能运用代入消元法解决简单的二元一次方程组实际应用问题，强化数学建模意识。
（二）过程与方法
1. 通过对比一元一次方程，经历“问题情境—引入新元—定义概念—探究解法”的过程，培养抽象概括能力和转化思想。1. 通过典型例题变式、小组合作探究，经历“基础应用—复杂拓展—实际建模”的过程，完善代入消元法的知识体系，培养分类讨论与转化能力。
2. 在探究代入消元法的过程中，体会“化二元为一元”的转化思想，提升逻辑推理能力。
（三）情感态度与价值观
1. 感受二元一次方程组在解决含两个未知数问题中的优越性，激发学习兴趣。
2. 在概念辨析和解题过程中，培养严谨的数学思维和勇于探索的精神。
三、教学重难点
1. 教学重点：二元一次方程及方程组的概念；二元一次方程组的解的定义；代入消元法解简单二元一次方程组的步骤。1. 教学重点：代入消元法解各类二元一次方程组的完整步骤；含特殊系数（分数、负数）及特殊形式（缺项）方程组的代入技巧；用代入法解决简单实际问题。
2. 教学难点：理解二元一次方程的解的不确定性；掌握代入消元法中“用一个未知数表示另一个未知数”的技巧；明确方程组的解与方程的解的区别与联系。2. 教学难点：含分数系数的方程变形技巧；当两个方程未知数系数均不为1或-1时的代入策略选择；实际问题中二元一次方程组的建立与求解。
四、教学准备
多媒体课件（含问题情境、概念辨析题）、一元一次方程复习素材、例题卡片、练习题单多媒体课件（含各类变式例题、易错点对比图）、代入法步骤卡片、小组探究任务单、练习题单
五、教学过程
（一）情境导入，引出新知（5分钟）（一）复习回顾，衔接新知（5分钟）
1. 复习旧知：回顾一元一次方程的概念（只含一个未知数，未知数次数为1的整式方程），并解方程：2x + 5 = 15（学生口述，教师板书）。1. 快速抢答：回顾代入消元法的核心思想与步骤，提问“代入法的关键是什么？”“解方程组的基本思路是什么？”（学生回答：消元，化二元为一元；步骤：变—代—解—回代—验—写）。
2. 呈现新问题：篮球联赛中，每场比赛都要分胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分。某队在10场比赛中得到16分，那么这个队胜了多少场？负了多少场？2. 热身练习：用代入法解方程组$\begin{cases} y = 2x - 1 \\ 3x + 2y = 5 \end{cases}$（指名板演，师生点评，强调符号与代入准确性）。
3. 引导思考：这个问题中有几个未知数？（胜的场数和负的场数，两个未知数）如果设胜x场，负y场，能列出怎样的式子？3. 提出新问题：若方程组变为$\begin{cases} 2x - 3y = 1 \\ 4x + y = 7 \end{cases}$或$\begin{cases} \frac{1}{2}x + y = 3 \\ x - \frac{1}{3}y = 2 \end{cases}$，该如何用代入法求解？
4. 引出课题：像这样含有两个未知数的问题，需要用新的数学工具来解决，今天我们就来学习“二元一次方程组”。4. 引出课题：今天我们将深入学习代入消元法，解决各类复杂的二元一次方程组及实际问题，让“消元”思想更灵活实用。
（二）探究新知一：二元一次方程的概念（8分钟）（二）探究新知一：含特殊系数的方程组求解（12分钟）
1. 概念推导1. 系数为负数的方程组
结合导入问题，引导学生列出式子：例1：用代入法解方程组$\begin{cases} 2x - 3y = 1 ① \\ 4x + y = 7 ② \end{cases}$
① 胜的场数+负的场数=总场数：x + y = 10；引导分析：观察两个方程，方程②中y的系数为1，变形更简便，注意移项变号。
② 胜场得分+负场得分=总得分：2x + y = 16。解题步骤：
① 变：由②得y = 7 - 4x ③（移项时4x变号，避免出现“y = 4x - 7”的错误）；
② 代：将③代入①，消去y：2x - 3(7 - 4x) = 1；
③ 解：去括号（注意负号分配）：2x - 21 + 12x = 1 → 14x = 22 → x = $\frac{11}{7}$；
④ 回代：将x = $\frac{11}{7}$代入③，得y = 7 - 4×$\frac{11}{7}$ = $\frac{49 - 44}{7}$ = $\frac{5}{7}$；
⑤ 验：将x = $\frac{11}{7}$，y = $\frac{5}{7}$代入①，左边=2×$\frac{11}{7}$ - 3×$\frac{5}{7}$ = $\frac{22 - 15}{7}$ = 1=右边；代入②，左边=4×$\frac{11}{7}$ + $\frac{5}{7}$ = $\frac{44 + 5}{7}$ = 7=右边；
⑥ 写：方程组的解为$\begin{cases} x = \frac{11}{7} \\ y = \frac{5}{7} \end{cases}$。
技巧总结：选择未知数系数绝对值最小的方程变形，可减少计算量；去括号时，若括号前是负号，需逐项变号。
对比一元一次方程2x + 5 = 15，分析这两个式子的特点：含有两个未知数x、y，未知数的次数都是1，等号两边都是整式。
2. 系数为分数的方程组
例2：用代入法解方程组$\begin{cases} \frac{1}{2}x + y = 3 ① \\ x - \frac{1}{3}y = 2 ② \end{cases}$
引导分析：方程含分数系数，可先去分母简化，再变形代入。
归纳定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程，叫做二元一次方程。
2. 概念辨析
判断下列方程是否为二元一次方程，若不是请说明理由：
（1）3x + 2y = 5（是）；（2）xy = 6（不是，未知数的项的次数是2）；（3）3x + y + z = 8（不是，含有三个未知数）；（4）x + 3 = 7（不是，只含一个未知数）；（5）2x + 3y = （不是，不是整式方程）。
3. 二元一次方程的解
提问：对于方程x + y = 10，x和y的值有哪些可能？（如x=5，y=5；x=6，y=4等）
定义：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。
强调：二元一次方程的解有无数组，它的解通常表示为$\begin{cases} x = a \\ y = b \end{cases}$的形式（如方程x + y = 10的解可表示为$\begin{cases} x = 7 \\ y = 3 \end{cases}$）。
（三）探究新知二：二元一次方程组的概念（10分钟）
1. 方程组的定义
回到导入问题，两个方程x + y = 10和2x + y = 16都反映了该队胜、负场数与得分的关系，需要将这两个方程结合起来，才能确定x和y的具体值。
归纳定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。形式如：$\begin{cases} x + y = 10 \\ 2x + y = 16 \end{cases}$
补充：方程组中未知数的个数与方程的个数不一定相等，但二元一次方程组通常由两个二元一次方程组成。
2. 方程组的解
提问：哪些x、y的值能同时满足x + y = 10和2x + y = 16？
引导学生尝试：当x=6时，由x + y = 10得y=4，代入2x + y = 16，左边=2×6 + 4=16，右边=16，两边相等。
定义：二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。
强调：二元一次方程组的解通常只有一组（也可能无解或有无数组解，后续学习），它是两个方程解的公共部分。
3. 解的判断
例1：判断下列各组数值是否为方程组$\begin{cases} 2x + y = 5 \\ x - 3y = 6 \end{cases}$的解：
（1）$\begin{cases} x = 3 \\ y = -1 \end{cases}$；（2）$\begin{cases} x = 0 \\ y = 5 \end{cases}$。
解答：（1）将x=3，y=-1代入两个方程，2×3 + (-1)=5，3 - 3×(-1)=6，均成立，是方程组的解；（2）代入第一个方程成立，代入第二个方程0 - 3×5=-15≠6，不是方程组的解。
（四）探究新知三：代入消元法解二元一次方程组（15分钟）
1. 核心思路：化二元为一元
提问：如何求出方程组$\begin{cases} x + y = 10 ① \\ 2x + y = 16 ② \end{cases}$的解？
引导分析：两个方程都含有y，且y的系数都是1，可由方程①用x表示y，再代入方程②，将二元一次方程转化为一元一次方程求解。
这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想，这里用到的方法是代入消元法（简称代入法）。
2. 代入法解题步骤
例2：用代入法解方程组$\begin{cases} x + y = 10 ① \\ 2x + y = 16 ② \end{cases}$
讲解步骤：
① 变：将其中一个方程变形，用含一个未知数的式子表示另一个未知数。由①得：y = 10 - x ③（选择系数简单的方程变形，简化计算）；
② 代：把③代入另一个方程，消去一个未知数，得到一元一次方程。将③代入②得：2x + (10 - x) = 16；
③ 解：解这个一元一次方程。2x + 10 - x = 16 → x = 6；
④ 回代：将求得的未知数的值代入③，求出另一个未知数的值。把x=6代入③得：y = 10 - 6 = 4；
⑤ 验：检验求得的解是否满足原方程组的两个方程（口算或笔算）；
⑥ 写：写出方程组的解。方程组的解为$\begin{cases} x = 6 \\ y = 4 \end{cases}$。
3. 变式例题：系数不为1的情况
例3：用代入法解方程组$\begin{cases} 3x + 4y = 19 ① \\ x - y = 4 ② \end{cases}$
引导解题：由②得x = y + 4 ③（选择含未知数系数为1的方程变形），将③代入①得3(y + 4) + 4y = 19 → 3y + 12 + 4y = 19 → 7y = 7 → y=1，把y=1代入③得x=5，方程组的解为$\begin{cases} x = 5 \\ y = 1 \end{cases}$。
4. 易错点提醒
（1）变形方程时，要注意符号变化（如由x - y = 4得x = y + 4，不是x = y - 4）；
（2）代入时，要代入另一个未变形的方程，避免代入原方程导致恒等式；
（3）解完后需检验，确保解的正确性。
（五）巩固练习，强化提升（5分钟）
1. 基础题：（1）判断方程3x - 2y = 7是否为二元一次方程，并写出它的两组解；（2）用代入法解方程组$\begin{cases} y = 2x - 3 \\ 3x + 2y = 8 \end{cases}$。
2. 提高题：用代入法解方程组$\begin{cases} 2x + 3y = 16 \\ x + 4y = 13 \end{cases}$（提示：将第二个方程变形为x = 13 - 4y）。
学生独立完成，指名板演，集体订正时重点讲解代入法的步骤和符号问题。
（六）课堂小结，梳理知识（1分钟）
1. 核心概念：二元一次方程、二元一次方程组的定义；方程及方程组的解的含义。
2. 核心方法：代入消元法，步骤为“变—代—解—回代—验—写”，核心思想是化二元为一元。
（七）布置作业，拓展延伸（1分钟）
1. 必做题：教材对应习题，巩固二元一次方程组的概念及代入法求解。
2. 选做题：编写一道含有两个未知数的实际问题，列出二元一次方程组并运用代入法求解。
六、板书设计
3.4.1 二元一次方程组
一、核心概念
1. 二元一次方程：两个未知数，次数1，整式方程
2. 二元一次方程组：含相同未知数的两个二元一次方程的组合
3. 解：公共解（方程组）、无数组（方程）
二、代入消元法
1. 思路：化二元为一元
2. 步骤：变→代→解→回代→验→写
3. 例2：$\begin{cases} x + y = 10 ① \\ 2x + y = 16 ② \end{cases}$
①变：y=10 - x ③；②代：2x + 10 - x = 16→x=6；③回代：y=4；④解：$\begin{cases} x=6 \\ y=4 \end{cases}$
七、教学反思
本节课通过实际问题引入二元一次方程组，自然衔接了一元一次方程的知识，让学生体会到新知识点的必要性。在概念教学中，通过对比和辨析，帮助学生准确把握二元一次方程及方程组的特征；代入消元法的讲解遵循“思路引导—步骤分解—例题示范”的流程，降低了学生的理解难度。但部分学生在“用一个未知数表示另一个未知数”时，仍存在符号错误和变形困难的问题，尤其是当未知数系数为负数或分数时。后续教学中，需增加“方程变形专项训练”，引导学生掌握“移项变号”的技巧；同时，通过更多简单例题的练习，让学生熟练代入法的步骤，逐步提升解题的准确性和速度。
x+y=10 x … -2 0 2 5 8 …
y … 12 10 8 5 2 …
y-2x=4 x … -2 0 2 5 8 …
y … 0 4 8 14 20 …
观察表格可知， 同时满足两个二元一次方程.
所以 是此二元一次方程组的解.
使二元一次方程组中每个方程都成立的两个未知数的值.
探索新知
思考：问题1（“鸡兔同笼”）中，我们得到方程组
x+y=35
①
②
怎样求出其中x，y的值呢？
解：设鸡有x只，则兔有(35-x)只.
2x+4(35-x)=94
2x+4y=94
x+y=35
2x+4y=94
①
②
由①，得 y=35-x， ③
把③代入②，得2x+4(35-x)=94，
解方程，得x=23.
把x=23代入③，得y=12.
所以这个二元一次方程组的解是 .
二元一次方程组
一元一次方程
代入消元
转化
代入
消元法
二元一次方程组
一元一次方程
代入消元
转化
代入消元法：从一个方程中求出某一个未知数的表达式， 再把它“代入”另一个方程，进行求解，这种方法叫作代入消元法，简称代入法.
代入
消元法
例1：解方程组.
2x+3y=-7，
①
②
x+2y=3.
解：由②，得x=3-2y，③
把③代入①，得2(3-2y)+3y=-7.
-y=-13.
y=13.
把y=13代入③，得x=3-2×13.
x=-23.
所以
变形
代入
求解
回代
写解
可以用x表示y吗 试试看.
解题步骤：
变
代
解
回
写
【教材P110 例1】
例1：解方程组.
2x+3y=-7，
①
②
x+2y=3.
解：由②，得y= (3-x)，③
把③代入①，得2x+ (3-x)=-7.
x= .
x=-23.
把x=-23代入③，得y= (3+23).
y=13.
所以
用代入消元法解二元一次方程组：
练一练
（1） （2）
①
②
（1）解：把①代入②，得3x+2(2x-3)=8.
x=2.
把x=2代入①，得y=2×2-3=1.
所以
用代入消元法解二元一次方程组：
练一练
（1） （2）
①
②
（2）解：由①，得x=2y-1，③
把③代入②，得2(2y-1)+y=3.
y=1.
把y=1代入③，得x=1.
所以
1.把下列方程写成用含x的代数式表示y的形式：
（1）3x-2y=4； （2）5x-y=5； （3）5x+2y+1=0.
【教材P111 练习 第1题】
解：（1） ；
（3） .
（2）y=5x-5；
（1）
（2）
2.用代入法解下列方程组：
（3）
（4）
解：（1）
（2）
（3）
（4）
【教材P111 练习 第2题】
3.已知关于x，y的二元一次方程组 的解为
求a，b的值.
【教材P111 练习 第3题】
解：由 是二元一次方程组 的解，
得
由②，得a=9-3b.③
把③代入①，得3(9-3b)+2b=13.
-7b=-14.
b=2.
把b=2代入③，得a=9-3×2=3.
所以
4.已知关于x，y的二元一次方程组 的解也是二元一次方程3x+2y=17的解，求m的值.
解：将方程②移项，得x=y+9m.③
把③式代入方程①中，得y+9m+2y=3m，所以 y=-2m.
把y用-2m代入③式，得x=7m.
把x用7m，y用-2m代入3x+2y=17中，得21m-4m=17，
解得m=1.
知识点1 二元一次方程(组)的解
1.［知识初练］在 中，
______是方程的解，____是方程 的解，
所以____是方程组 的解.(填序号)
③
③
2.若是关于，的方程的一个解，则 的
值为( )
D
A.3 B. C.1 D.
3.［2025·嘉兴模拟］下列方程可以与 组成方程组的
解为 的是( )
C
A. B.
C. D.
4.创新题·开放题 写出一个解为 的二元一次方程组：
_ ________________________.
(答案不唯一)
知识点2 用含一个未知数的代数式表示另一个未知数
5.［知识初练］已知方程，改写成用含 的代
数式表示的形式，则 ______.
6.已知二元一次方程，用含的代数式表示 ，
正确的是( )
C
A. B. C. D.
知识点3 代入消元法解二元一次方程组
7.［2025年1月合肥期末］用代入消元法解方程组
将①代入②可得( )
B
A. B.
C. D.
8.用代入法解方程组： 较为简便的方法是
先消去___，具体是将方程____(填“①”或“②”)变形为______
______，再代入方程____(填“①”或“②”).
②
①
9. 代入消元法
10.(4分)用代入法解方程组：
解：由②，得 ,③
将③代入①，得,解得.将 代
入③，得,所以方程组的解为
用一个未知数表示另一个未知数
代入消元
解一元一次方程得到一个未知数的值
求另一个未知数的值
代入法的核心思想是消元
谢谢观看！

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