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沪科版（新教材）数学七年级上册
第3章 一次方程与方程组
3.5.1 比赛得分与行程问题
同学们，你喜欢踢足球吗？你知道足球联赛中球队的积分怎样计算的吗？
比赛积分问题的相等关系：
（1）比赛总场数 = 胜场数 + 负场数 + 平场数；
（2）比赛总积分 = 胜场积分 + 负场积分 + 平场积分.
3.5.1 比赛得分与行程问题 教案
一、教学重难点
重点：掌握比赛得分与行程问题中二元一次方程组的建立方法，能通过审题找出等量关系并列出方程求解。
难点：准确分析题目中的数量关系，尤其是行程问题中的相遇、追及场景，以及比赛得分中不同得分规则对应的等量关系，避免因题意理解偏差导致等量关系错误。
二、教学准备
多媒体课件（包含例题、练习题及动画演示）、随堂练习本、小组讨论任务单。
三、教学过程
（一）情境导入（10分钟）
播放一段简短的篮球比赛集锦，提问：“同学们，篮球比赛中得分有哪些方式？不同得分方式对应的分值是多少？如果一支球队打了10场比赛，赢一场得3分，平一场得1分，输一场得0分，最终积22分，大家能想到这支球队赢了几场、平了几场吗？”
引导学生初步思考得分与场次之间的关系，随后引出课题：“今天我们就通过二元一次方程组来解决这类比赛得分问题，同时还会探讨生活中常见的行程问题。”
（二）新知探究——比赛得分问题（15分钟）
出示例题1：某篮球联赛规定，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分。某队在10场比赛中得到16分，那么这个队胜、负场数分别是多少？
1. 审题引导：让学生找出题目中的关键信息，明确“胜场数+负场数=总场数”“胜场得分+负场得分=总得分”这两个核心关系。
2. 设元示范：设该队胜了x场，负了y场，根据上述关系列出方程组：$\begin{cases}x + y = 10 \\ 2x + y = 16\end{cases}$
3. 求解过程：带领学生用代入消元法求解，由第一个方程得y=10-x，代入第二个方程得2x+(10-x)=16，解得x=6，进而得y=4。强调检验结果的合理性，确保胜负场数之和为10，得分符合规则。
4. 小组练习：给出变式题“某足球赛，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分。某队参赛12场，积22分，且胜场数比负场数多2场，求胜、平、负场数”，小组内讨论设元及等量关系，派代表展示解题过程。
（三）新知探究——行程问题（15分钟）
1. 回顾公式：先带领学生复习行程问题基本公式“路程=速度×时间”，以及相遇问题“路程和=速度和×相遇时间”、追及问题“路程差=速度差×追及时间”。
2. 例题讲解：出示例题2：甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，经过3小时相遇。已知A、B两地相距360千米，甲车速度比乙车快10千米/时，求甲、乙两车的速度。
引导学生分析：设甲车速度为x千米/时，乙车速度为y千米/时，根据“甲车速度-乙车速度=10”“（甲车速度+乙车速度）×3=360”列出方程组：$\begin{cases}x - y = 10 \\ 3(x + y) = 360\end{cases}$，用加减消元法求解，解得x=65，y=55，验证路程和是否为360千米。
3. 动画演示：通过多媒体动画展示两车相遇过程，让学生直观理解“路程和”的含义。再出示追及问题例题3：一队学生从学校出发去博物馆，速度为5千米/时，走了1小时后，一名老师骑自行车从学校出发追赶，速度为15千米/时，问老师多久能追上学生？
让学生独立思考后，师生共同分析：设老师追上学生需t小时，学生先走1小时的路程为5×1=5千米，追及过程中“老师路程=学生先走路程+学生后续路程”，即15t=5+5t，也可通过二元一次方程组求解，设学生总行走时间为t小时，老师行走时间为s小时，列$\begin{cases}t - s = 1 \\ 5t = 15s\end{cases}$，对比两种方法的关联性。
（四）巩固练习与总结（10分钟）
1. 随堂练习：布置2道综合练习题，涵盖比赛得分与追及问题，学生独立完成后同桌互查，教师巡视指导。
2. 课堂总结：引导学生回顾本节课重点，强调解决这类问题的核心步骤：审题找等量关系→设未知数→列方程组→求解→检验。提醒学生注意区分不同场景下的数量关系，尤其是行程问题中相遇与追及的差异。
四、板书设计
3.5.1 比赛得分与行程问题
一、比赛得分问题
等量关系：总场数=胜场数+负场数（+平场数）
总得分=胜场得分+负场得分（+平场得分）
例题1 解：设胜x场，负y场 $\begin{cases}x + y = 10 \\ 2x + y = 16\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x = 6 \\ y = 4\end{cases}$
二、行程问题
基本公式：路程=速度×时间
相遇：路程和=速度和×时间
追及：路程差=速度差×时间
例题2 解：设甲速x，乙速y $\begin{cases}x - y = 10 \\ 3(x + y) = 360\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x = 65 \\ y = 55\end{cases}$
探索新知
例 1 某市举办中学生足球比赛，规定胜一场得 3 分，平一场得 1 分，负一场得 0 分. 在本次比赛中，该市第二中学足球队比赛 11 场，没有输过一场，共得 27 分.
该队胜几场，平几场？
解法一 如果设该市第二中学足球队胜 x 场，那么该队平 (11-x) 场. 根据得分规定，胜 x 场，得 3x 分，平(11-x) 场，得(11-x)分，共得 27 分，得方程
3x +（11 – x）= 27.
解方程，得 x = 8.
此时 11 – x = 11 – 8 = 3
答：该市第二中学足球队胜 8 场，平 3 场.
如果该市第二中学足球队胜的场数与平的场数分别用未知数 x，y 来表示，是否能列出方程组来求解呢？
思 考
解法二 设该市第二中学足球队胜 x 场，平 y 场.
由该队共比赛 11 场，得方程
x + y = 11. ①
又根据得分规定，胜 x 场，得 3x 分，平 y 场，得 y 分，共得 27 分，因而得方程
3x + y = 27. ②
解方程①②组成的方程组 ，得
x + y = 11，
3x + y = 27
x = 8，
y = 3.
答：该市第二中学足球队胜 8 场，平 3 场.
列二元一次方程组解应用题的一般步骤：
审题，分析题中已知什么、求什么，明确各数量之间的关系
设未知数
根据等量关系列出两个方程，组成方程组
解方程组，求出未知数的值
检验所求未知数的值是否符合题意及实际意义
写出答案（包括单位名称）
审
设
列
解
验
答
例 2 甲、乙两人相距 4 km，以各自的速度同时出发. 如果同向而行，甲 2 h 追上乙；如果相向而行，两人0.5 h 后相遇. 两人的速度各是多少？
甲追上乙
乙2 h行程
甲2 h行程
分析：甲、乙同时出发，同向而行
甲出发点
乙出发点
4 km
例 2 甲、乙两人相距 4 km，以各自的速度同时出发. 如果同向而行，甲 2 h 追上乙；如果相向而行，两人0.5 h 后相遇. 两人的速度各是多少？
甲出发点
乙出发点
4 km
行程
行程
相
遇
地
甲0.5h
乙0.5h
甲、乙同时出发，相向而行
解 设甲、乙的速度分别是 x km/h，y km/h.根据题意得
2x – 2y = 4，
x + y = 4.
1
2
1
2
解方程组，得
x = 5，
x = 3.
答：甲的速度是 5 km/h，乙的速度是 3 km/h.
①
②
行程问题中的相等关系：
（1）相遇问题：甲走的路程 + 乙走的路程 = 两出发地间的距离.
（2）追及问题：①同地不同时出发：前者走的路程 = 追者走的路程；②同时不同地出发：前者走的路程 + 两出发地间的距离 = 追者走的路程.
1. 某班课外活动小组买了 9 副象棋和 7 副跳棋，共计 700 元. 已知 2 副象棋的价格比 1 副跳棋的价格高 15 元. 1 副象棋和 1 副跳棋的价格各是多少元？
【教材P120 练习 第1题】
解：设 1 副象棋和 1 副跳棋的价格分别为 x 元、y 元.
根据题意，得 解方程组，得
9x + 7y = 700，
2x - y = 15.
x = 35，
y = 55.
答： 1 副象棋的价格为 35 元，1 副跳棋的价格为 55元.
2. 某人骑自行车，计划用同样时间往返于甲、乙两地. 来时每小时行 12 km，结果多用了 6 min；返回时每小时行 15 km，结果少用了 20 min. 试求甲、乙两地之间的路程和此人原来计划使用的时间.
【教材P120 练习 第2题】
解：设甲、乙两地之间的路程是 x km，此人原来计划使用的时间为 y h.
6 min = h，20 min = h.
根据题意，得 解方程组，得
答：甲、乙两地之间的路程是 26 km，此人原来计划使用的时间为 h.
3. 一艘江轮航行在相距 72 km 的两个港口之间，顺流需 4 h，逆流需 4 h 48 min，求江轮在静水中的速度.
（顺流航行的速度 = 静水中速度 + 水流速度；逆流航行的速度 = 静水中速度 - 水流速度）
【教材P120 练习 第3题】
解：设江轮在静水中的速度是 x km/h，水流速度为 y km/h.
4 h 48 min = h.
根据题意，得 解方程组，得
4(x + y) = 72，
答：江轮在静水中的速度是 km/h.
1.［2025年1月合肥期末］为激发同学们对围棋的热爱，学校
组织了围棋比赛，积分规则如下：胜1场记2分，负1场记1分，
且每场比赛都要分出胜负.小明在5场比赛中共得到8分，若设
小明胜场，负 场，则可列方程组为( )
B
A. B.
C. D.
2.学校为增进亲子关系，举办了“亲子投篮大挑战”活动，游
戏规则为：学生投中1个得2分，学生家长投中1个得1分，小
明与爸爸参加此活动，两人共投中了25个.经计算，发现小明
比爸爸多得2分，则小明投中了___个，爸爸投中了____个.
9
16
3.(8分)［2024·淮北期末］为丰富校园生活，减轻学生学习压
力，提高学生身体素质，小明学校举办了春季足球比赛.比赛
规定胜1场得3分，平1场得1分，负1场扣1分.某队在10场比赛
中胜了6场，共得20分，问该队负了几场？
解：设该队负了场，平了 场.
根据题意，得解得
答：该队负了1场.
知识点2 行程问题
4.甲、乙两地相距，小轿车从甲地出发， 后，大
客车从乙地出发相向而行，又经过 两车相遇.已知小轿车
比大客车每小时多行，设大客车每小时行 ，小轿
车每小时行 ，则可列方程组为( )
D
A. B.
C. D.
5.真实情境 点点家离学校 ，每天骑自行车上学和放学.
有一天上学时顺风，从家到学校共用时 ，放学时逆风，
从学校回家共用时 ，则点点在无风时骑自行车的平均
速度为____，平均风速为___ .
16
4
6.(8分)在 的环形跑道上，甲、乙两人从同一起点同时
出发匀速而行，若反向而行， 后两人第一次相遇；若同
向而行， 后甲第一次追上乙.求甲、乙两人的速度.
解：设甲、乙两人的速度分别为、 .根据题意，
得解得
答：甲、乙两人的速度分别为、 .
列二元一次方程组解应用题的一般步骤：
实际问题
数学问题
二元一次方程组
实际问题的答案
数学问题的解
二元一次方程组的解
解方
程组
代入法加减法
（消元）
设未知数、列方程组
转化
检验
谢谢观看！

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