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(共22张PPT)
沪科版（新教材）数学七年级上册
第3章 一次方程与方程组
3.5.2百分率与方案问题
百分率一般表示某部分占总体的多少，由此可以求出该部分的数量，再根据“总量 ＝ 各部分量的和”，可以列出方程组后求解.
3.5.2 百分率与方案问题 教案
一、教学重难点
重点：掌握百分率（增长率、利润率等）与方案设计问题中二元一次方程组的建立方法，能结合实际场景提炼等量关系并求解，初步形成方案优化意识。
难点：准确区分不同百分率的计算基数，突破方案问题中“多变量约束”的分析瓶颈，确保所列方程组与实际需求一致，能对求解结果进行方案合理性判断。
二、教学准备
多媒体课件（含生活场景案例、例题及表格模板）、预习任务单（提前布置百分率基础计算）、方案设计任务卡。
三、教学过程
（一）情境导入（8分钟）
展示超市促销海报：“A品牌洗衣液原价每桶50元，现增长定价后再打8折，最终售价48元；B品牌洗衣液先降价10%，再增长相同百分率，售价49.5元”。提问：“同学们，这里的‘增长定价’‘降价百分率’是什么意思？两个品牌的定价变化百分率相同吗？我们该如何算出这个百分率？”
结合学生回答引出核心：“生活中百分率无处不在，今天我们不仅要学会用二元一次方程组解决百分率问题，还要利用这种方法设计最优方案，解决实际决策问题。”
（二）新知探究——百分率问题（17分钟）
1. 基础回顾：带领学生明确核心公式——“变化后量=原量×（1+增长率）”“变化后量=原量×（1-降低率）”，强调“1”代表原量基数，增长率为正、降低率为负。
2. 例题讲解：出示例题1：某工厂去年生产甲、乙两种产品共1000件，今年甲产品产量比去年增长10%，乙产品产量比去年增长20%，两种产品总产量比去年增长15%。求去年甲、乙两种产品的产量各是多少件？
审题突破：引导学生画表格梳理关系：
| 产品 | 去年产量（件） | 增长率 | 今年产量（件） |
|------|----------------|--------|----------------|
| 甲 | x | 10% | 1.1x |
| 乙 | y | 20% | 1.2y |
| 合计 | 1000 | 15% | 1150 |
明确两个等量关系：“去年甲产量+去年乙产量=1000”“今年甲产量+今年乙产量=1150”。
设元列方程：设去年甲产品产量为x件，乙产品产量为y件，列出方程组：$\begin{cases}x + y = 1000 \\ 1.1x + 1.2y = 1000×(1+15\%)\end{cases}$，化简第二个方程为1.1x+1.2y=1150。用代入消元法求解，由第一个方程得x=1000-y，代入得1.1(1000-y)+1.2y=1150，解得y=500，x=500。检验：今年甲产量550件、乙产量600件，合计1150件，符合增长15%的条件。
3. 变式练习：给出“某商店购进A、B两种商品，A商品进价增长5%后为每件52.5元，B商品进价降低10%后为每件36元，两种商品原进价总和为150元”，让学生独立列方程组求解，指名板演并点评。
（三）新知探究——方案问题（17分钟）
1. 核心思路：强调方案问题需“明确约束条件（如总量限制、资金限制等）→列出方程组→求解所有可行解→对比最优解（如成本最低、利润最高）”。
2. 例题讲解：出示例题2：学校计划购买A、B两种型号的投影仪共10台，用于多媒体教学。已知A型投影仪每台1.2万元，B型投影仪每台0.8万元，且购买资金不超过10万元。求有多少种购买方案？哪种方案最省钱？
分析过程：设购买A型投影仪x台，B型投影仪y台。约束条件：①x+y=10（共10台）；②1.2x+0.8y≤10（资金限制）；③x、y为非负整数（台数为整数）。将y=10-x代入不等式，得1.2x+0.8(10-x)≤10，化简得0.4x≤2，x≤5。因此x可取0、1、2、3、4、5，对应6种方案。计算各方案资金：x=0时，资金8万元；x=1时，8.4万元……x=5时，10万元。得出“购买0台A型、10台B型最省钱”的结论。
3. 小组合作：发放任务卡“某农场需购买甲、乙两种化肥共20吨，甲化肥含氮量45%，乙化肥含氮量30%，要求总含氮量不低于7.8吨，甲化肥每吨3000元，乙化肥每吨2000元。设计购买方案并选出成本最低的方案”，小组内分工列方程、算方案、比成本，派代表分享成果。
教师点拨：提醒学生方案问题中“整数解”是关键，需结合实际排除非整数解，同时明确“最优”的判断标准（本题为成本最低，也可能是利润最高等）。
（四）巩固总结与拓展（8分钟）
1. 随堂检测：布置综合题“某公司去年营业额100万元，今年一季度营业额增长10%，二季度比一季度再增长x%，上半年总营业额225.5万元，求x的值；若该公司计划三季度营业额比二季度增长5%，需达到多少万元？”，学生独立完成后集体订正。
2. 课堂总结：引导学生梳理核心：①百分率问题抓“原量、增长率、变化后量”的关系，用表格梳理更清晰；②方案问题先找约束条件，再求可行解，最后定最优解。强调“数学源于生活，用于解决生活决策问题”。
四、板书设计
3.5.2 百分率与方案问题
一、百分率问题
核心公式：变化后量=原量×（1±百分率）
例题1 解：设去年甲x件，乙y件
$\begin{cases}x + y = 1000 \\ 1.1x + 1.2y = 1150\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x = 500 \\ y = 500\end{cases}$
二、方案问题
步骤：找约束条件→列方程→求可行解→选最优解
例题2 解：设A型x台，B型y台
$\begin{cases}x + y = 10 \\ 1.2x + 0.8y ≤ 10\end{cases}$ 可行解：x=0至5（6种方案）
最优方案：x=0，y=10（成本最低8万元）
例 3 玻璃厂熔炼玻璃液，原料是石英砂和长石粉混合而成，要求原料中含二氧化硅70%. 已知石英砂中含二氧化硅 99%，长石粉中含二氧化硅 67%. 在 3.2 t 原料中，石英砂和长石粉各多少？
原料成分 石英砂 长石粉 总量
质量/t x y
含二氧化硅量/t 99%x 67%y
3.2
70%×3.2
解 设原料中石英砂 x t，长石粉有 y t. 根据题意，得
x + y = 3.2，
99%x + 67%y = 70%×3.2.
解方程组，得
x = 0.3，
y = 2.9.
答：在 3.2 t 原料中，石英砂有 0.3 t，长石粉有 2.9 t.
百分比问题中常见的是增长（下降）率问题、与浓度有关的问题等，其中增长（下降）率问题中的等量关系如下：
（1）增长率 = ×100%；
增长后的量 – 增长前的量
增长前的量
（2）增长后的量 = 增长前的量×（1 + 增长率）；
（3）下降率 = ×100%；
下降前的量 – 下降后的量
下降前的量
（4）下降后的量 = 下降前的量×（1 – 下降率）.
巩固练习
某皮鞋厂前年的利润为 100 万元，去年的总产值比前年增加了 20％ ，总支出比前年减少了 5％ ，去年的利润为 400 万元，那么该皮鞋厂前年的总产值和总支出各是多少万元？
分析:设该皮鞋厂前年的总产值是 x 万元，总支出是 y 万元，
总产值/万元 总支出/万元 利润/万元
前年 x y 100
去年 (1+20%)x (1-5%)y 400
解: 设该皮鞋厂前年的总产值是 x 万元，总支出是 y 万元.
根据题意，得
x - y = 100，
(1+20%)x - (1-5%)y = 400.
解方程组，得
x = 1220，
y = 1120.
答: 该皮鞋厂前年的总产值是 1220 万元，总支出是 1120 万元.
1. 某乡今年春播作物的面积比秋播作物的面积多 630 hm2.
计划明年春播作物的面积增加 20%，秋播作物的面积减少 10%，这样明年春播、秋播作物的总面积将比今年增加 12%.这个乡今年春播与秋播作物的面积各是多少？
【教材P121 练习 第1题】
解: 设这个乡今年春播作物的面积为 x hm2，秋播作物的面积为 y hm2.
根据题意，得
x - y = 630，
x(1+20%) + y(1-10%) = (x+y)(1+12%).
解方程组，得
x = 990，
y = 360.
答: 这个乡今年春播作物的面积为 990 hm2，秋播作物的面积为 360 hm2.
2. 石岭村原有林地、旱地共 162 hm2. 村里把一部分旱地改造为林地，使旱地面积为林地面积的 20%.
求改造后的旱地面积和林地面积.
解: 设改造后的旱地面积为 x hm2，林地面积为 y hm2.
根据题意，得 解方程组，得
x + y = 162，
x = 20%y.
x = 27，
y = 135.
答: 改造后的旱地面积为 27 hm2，林地面积为 135 hm2.
【教材P121 练习 第2题】
知识点1 百分率问题
1.真实情境 某地推广智慧农业技术，将部分传统农田改造为智
能温室种植区.改造后，传统农田面积是智能温室面积的 ，
且传统农田与智能温室总面积为 .设改造后传统农田面
积为，智能温室面积为 ，则可列方程组为 ( )
B
A. B.
C. D.
2.有甲、乙两种铜和银的合金，甲种合金含银 ，乙种合
金含银，现在要熔制含银的合金 ，设需甲
合金的质量为，乙合金的质量为 ，则可列方程组为
_ _____________________________.
3.甲仓库和乙仓库共存粮450吨，现从甲仓库运出存粮的
，从乙仓库运出存粮的 ，结果乙仓库所余的粮食比
甲仓库所余的粮食多30吨.则甲仓库原来存粮_____吨,乙仓库
原来存粮_____吨.
240
210
4.(8分)某校去年有学生1 000名，今年比去年增加了 ，
其中寄宿学生增加了，走读学生减少了 ，问该校去年
有寄宿学生与走读学生各多少名？
解：设该校去年有寄宿学生名，走读学生 名.
根据题意，得
解得
答：该校去年有寄宿学生800名，走读学生200名.
知识点2 方案问题
5.［2025年1月合肥期末］已知1辆 型车载满货物一次可运
货1吨，1辆 型车载满货物一次可运货4吨.某公司有14吨货
物，计划同时租用型车和 型车，一次运完，且每辆车都
装满货物，共有租车方案( )
B
A.4种 B.3种 C.2种 D.1种
6.某校为加强爱读书、读好书、善读书的阅读氛围，准备用
720元购买图书展示架，可供选择的有 种展示架120元/个，
种展示架180元/个，在资金用尽且可以只买其中一种展示
架的情况下，一共有___种购买方案.
3
7.(8分)［2025·广州模拟］某公司组织员工去三星堆参观，现
有，两种客车可以租用.已知3辆种客车和2辆 种客车可
以坐260人，2辆种客车可坐的人数和3辆 种客车可坐的人
数一样多.
(1)请问， 两种客车每辆分别可坐多少人？
解：设种客车每辆可坐人，种客车每辆可坐 人，
根据题意，得解得
答：种客车每辆可坐60人， 种客车每辆可坐40人.
(2)已知该公司共有320名员工，请问如何安排租车方案，可
以使得所有员工恰好坐下？
设租用辆种客车，辆 种客车，根据题意，得
，所以 ，
又因为， 均为非负整数，
所以或或 所以共有3种租车方案，
方案1：租用8辆 种客车；
方案2：租用2辆种客车，5辆 种客车；
方案3：租用4辆种客车，2辆 种客车.
谢谢观看！

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