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沪科版（新教材）数学七年级上册
第3章 一次方程与方程组
3.5.3调配、配比与配套问题
例4 某村 18 位农民筹集 50 万元资金，承包了一些低产田地. 根据市场调查，他们计划对种植作物的品种进行调整，改种蔬菜和荞麦. 种植这两种作物每公顷所需的人数和投入的资金如下表.
作物品种 每公顷所需人数 每公顷投入资金/万元
蔬菜 5 15
荞麦 4 10
在现有的条件下，这 18 位农民应承包多少公顷田地，怎样安排种植才能使所有的人都有工作，且资金正好够用？
3.5.3 调配、配比与配套问题 教案
一、教学重难点
重点：掌握调配、配比与配套问题中二元一次方程组的建立方法，能精准提炼不同场景下的等量关系并求解，理解“总量守恒”“比例固定”“数量匹配”的核心逻辑。
难点：突破配套问题中“部件数量比例对应”的分析难点，理清调配问题中“内部转移”与“总量不变”的关系，避免因场景理解偏差导致等量关系错位。
二、教学准备
多媒体课件（含工厂生产、物资调配等场景图片及例题）、预习任务单（提前布置简单比例问题）、配套问题实物模型（如螺丝与螺母、桌腿与桌面）。
三、教学过程
（一）情境导入（8分钟）
展示三组生活场景图：①工厂车间里，工人将1个螺丝配2个螺母组装零件；②食堂仓库中，师傅将大米从A仓库调60斤到B仓库后，两仓库存粮相等；③实验室里，老师将浓度20%的盐水与浓度5%的盐水混合，配制15%的盐水。提问：“同学们，这些场景中藏着怎样的数学规律？1个螺丝为什么配2个螺母？大米调配后总量会变吗？盐水混合时盐的总量有什么特点？今天我们就用二元一次方程组解决这些问题。”
结合学生回答引出课题核心：“调配、配比与配套问题都有明确的数量关系，找到这些关系就能用方程组轻松解决，这节课我们就逐一突破这三类问题。”
（二）新知探究——配套问题（15分钟）
1. 场景感知：出示螺丝与螺母实物模型，让学生观察并明确“1个螺丝配2个螺母”的配套关系，引导总结：“配套问题的核心是‘部件数量成固定比例’，若A部件与B部件配套比例为m:n，则A部件数量×n = B部件数量×m。”
2. 例题讲解：出示例题1：某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺丝或2000个螺母。1个螺丝需要配2个螺母，为使每天生产的螺丝和螺母刚好配套，应安排多少名工人生产螺丝，多少名工人生产螺母？
审题梳理：引导学生找出两个核心等量关系：①生产螺丝的工人数+生产螺母的工人数=22；②每天生产的螺母数量=2×每天生产的螺丝数量。用表格清晰呈现：
| 类型 | 工人数（名） | 每人日产量（个） | 总产量（个） |
|------------|--------------|------------------|--------------|
| 螺丝 | x | 1200 | 1200x |
| 螺母 | y | 2000 | 2000y |
| 关系 | x+y=22 | - | 2000y=2×1200x|
列方程求解：设安排x名工人生产螺丝，y名工人生产螺母，列出方程组：$\begin{cases}x + y = 22 \\ 2000y = 2×1200x\end{cases}$，化简第二个方程得5y=6x，结合x=22-y代入，解得x=10，y=12。检验：10名工人日产螺丝12000个，12名工人日产螺母24000个，螺母数量是螺丝的2倍，刚好配套。
3. 即时练习：给出“某家具厂生产课桌，1张课桌配4条桌腿，现有90名工人，每人每天可生产桌面20个或桌腿100条，如何安排工人使桌面与桌腿刚好配套？”，学生独立完成后小组交流，教师点评易错点。
（三）新知探究——调配与配比问题（19分钟）
1. 调配问题：核心规律——“调配前后总量不变，转移量影响两边数量差”。出示例题2：某学校有两个图书角，A图书角有图书120本，B图书角有图书80本，现从A图书角调一部分图书到B图书角，使A图书角的图书数量是B图书角的1.5倍，求调运的图书数量及调运后两图书角的图书数。
分析引导：设从A调运x本到B，调运后A有y本，B有z本。等量关系：①调运前A+B=调运后y+z（总量200本）；②y=120-x；③z=80+x；④y=1.5z。将②③代入④，得120-x=1.5(80+x)，也可列二元方程组$\begin{cases}y + z = 200 \\ y = 1.5z\end{cases}$，解得z=80，y=120，进而得x=40。强调调配问题可通过“总量守恒”简化设元。
2. 配比问题：核心规律——“混合前后溶质（或关键成分）总量不变”。出示例题3：现有浓度为20%的盐水500克和浓度为5%的盐水若干克，将两者混合后得到浓度为15%的盐水，求需要浓度为5%的盐水多少克？混合后盐水总质量是多少克？
表格梳理：设需要5%的盐水x克，混合后总质量y克。
| 盐水类型 | 质量（克） | 浓度 | 盐的质量（克） |
|------------|------------|------|----------------|
| 20%盐水 | 500 | 20% | 500×20%=100 |
| 5%盐水 | x | 5% | 0.05x |
| 15%混合盐水| y | 15% | 0.15y |
等量关系：①500+x=y；②100+0.05x=0.15y。代入求解得x=250，y=750。检验：混合后盐的总量112.5克，112.5÷750=15%，符合要求。
3. 综合对比：引导学生总结三类问题差异：配套问题抓“比例关系”，调配问题抓“总量不变”，配比问题抓“溶质守恒”，但核心都需找到两个独立等量关系建立方程组。
（四）巩固总结与拓展（8分钟）
1. 随堂检测：布置综合题“某车间调配30名工人生产A、B两种零件，A零件每人每天产5个，B零件每人每天产3个，2个A零件与3个B零件配套组装产品。①如何安排工人生产？②若从其他车间调5名工人支援，最多可增加多少套产品？”，学生独立完成后集体订正。
2. 课堂总结：引导学生梳理核心方法：①配套问题：部件数量比转等式；②调配问题：总量不变作依据；③配比问题：溶质总量不改变。强调“找等量关系”是解决这类问题的万能钥匙，解题后需结合实际检验结果合理性。
四、板书设计
3.5.3 调配、配比与配套问题
一、配套问题（比例关系）
核心：A数量×n = B数量×m（A:B=m:n）
例题1 解：设生产螺丝x人，螺母y人
$\begin{cases}x + y = 22 \\ 2000y = 2×1200x\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x = 10 \\ y = 12\end{cases}$
二、调配问题（总量不变）
例题2 解：设调运x本，调后A有y本，B有z本
$\begin{cases}y + z = 200 \\ y = 1.5z\end{cases}$ 解得$\begin{cases}y = 120 \\ z = 80\end{cases}$，x=40
三、配比问题（溶质守恒）
例题3 解：设5%盐水x克，混合后y克 $\begin{cases}500+x=y \\ 100+0.05x=0.15y\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x=250 \\ y=750\end{cases}$
分析：怎样理解“所有的人都有工作”及“资金正好够用”？能用等式来表示它们吗？根据题意列表如下.
作物品种 种植面积 S/hm2 需要人数 投入资金/万元
蔬菜 x 5x 15x
荞麦 y 4y 10y
合计 18 50
解 设蔬菜的种植面积为 x hm2，荞麦的种植面积为 y hm2. 根据题意，得
5x + 4y = 18，
15x + 10y = 50.
解方程组，得
x = 2，
y = 2.
答：这 18 位农民应承包 4 hm2 的田地，种植蔬菜和荞麦各 2 hm2，并安排 10 人种蔬菜，8 人种荞麦，这样能使所有的人都有工作，且资金正好够用.
则 x + y = 4. 此时 5x = 5×2 = 10，4y = 4×2 = 8.
表格能够将复杂的数量关系明朗化，而且更容易分析出等量关系.
知识点睛
巩固练习
1. 星期天，七年级（1）（2）两班部分同学相约去某公园玩碰碰车或划船. 已知玩碰碰车的同学每人租用一辆车，划船的同学每 4 人合租一条船，两班各花了115 元. 活动人数如下表:
碰碰车每辆车租金多少元？游船每条船租金多少元？
班级 玩碰碰车的同学 划船的同学
（1）班 11 人 16 人
（2）班 8 人 20 人
分析：
班级 租碰碰车的数量 租船的数量 租金
（1）班 11 4 115
（2）班 8 5 115
解: 设碰碰车每辆车租金 x 元，游船每条船租金 y 元.
则
解得
x = 5，
y = 15.
解: 碰碰车每辆车租金 5 元，游船每条船租金 15 元.
2. 如图，塑料凳子轻便实用，在日常生活中随处可见. 若 3 个塑料凳子叠放在一起的高度如图①所示，5 个塑料凳子叠放在一起的高度如图②所示，则当 10 个塑料凳子整齐地叠放在一起时，其高度是多少厘米？
思路分析
图形 等量关系
图① 一个塑料凳子的高度 + 多叠放 2 个塑料凳子增加的高度 = 55 cm
图② 一个塑料凳子的高度 + 多叠放 4 个塑料凳子增加的高度 = 65 cm
解: 设 1 个塑料凳子的高度为 x cm，每叠放 1 个塑料凳子高度增加 y cm.
根据题意，得
x + 2y = 55，
x + 4y = 65.
解方程组，得
x = 45，
y = 5.
于是，x + 9y = 45 + 9×5 = 90.
答：10 个塑料凳子整齐地叠放在一起的高度为 90 cm.
3. 某电视机厂生产甲、乙、丙三种不同型号的电视机，每台出厂价分别为 1 200 元、2 000 元、2 200元. 某商场同时从该厂购进其中两种不同型号的电视机共 50 台，正好用去 80 000 元.
（1）该商场有几种进货方案？（写出演算步骤）
（2）若该商场销售甲、乙、丙三种电视机每台可分别获得 200 元、250 元、300 元，如何进货可使售完后获利最大？ 最大利润是多少？
思路分析
解:（1）设甲、乙、丙三种电视机分别购进 x 台、y 台、z 台.
根据题意，得
x + y = 50，
1200x + 2000y = 80000.
解方程组，得
x = 25，
y = 25.
①若购进甲、乙两种型号的电视机，
根据题意，得
x + z = 50，
1200x + 2200z = 80000.
解方程组，得
x = 30，
z = 20.
②若购进甲、丙两种型号的电视机，
根据题意，得
y + z = 50，
2000y + 2200z = 80000.
解方程组，得
y = 150，
z = -100.
③若购进乙、丙两种型号的电视机，
（不合题意，舍去）
故该商场有两种进货方案：
①购进 25 台甲种电视机和 25 台乙种电视机；
②购进 30 台甲种电视机和 20 台丙种电视机.
（2）方案①的利润为 200×25 + 250×25 ＝11250（元），
方案②的利润为 200×30＋300×20 ＝12000（元）.
因为 12000 > 11250，所以购进 30 台甲种电视机和 20 台
丙种电视机可使售完后获利最大，最大利润为 12000 元.
1. 某医院利用甲、乙两种原料为患者配制营养品. 已知每克甲原料含 0.6 单位蛋白质和 0.08 单位铁质，每克乙原料含 0.5 单位蛋白质和 0.04 单位铁质，如果患者每餐需 34 单位蛋白质和 4 单位铁质，那么每餐甲、乙两种原料各多少克恰好满足患者的需要？
【教材P122 练习 第1题】
解: 设每餐需要甲种原料 x g，乙种原料 y g.
根据题意，得
0.6x + 0.5y = 34，
0.08x + 0.04y = 4.
解方程组，得
x = 40，
y = 20.
答:每餐需要甲种原料 40 g，乙种原料 20 g 恰好满足患者的需要.
2. 向某地运送物资. 第一批 480 t，用 8 节火车车厢和20 辆卡车正好装完. 第二批 540 t，用 10 节火车车厢和 5 辆卡车正好装完，求每节火车车厢和每辆卡车分别能装多少吨.
【教材P122 练习 第2题】
解: 设每节火车车厢能装 x t，每辆卡车能装 y t.
根据题意，得
8x + 20y = 480，
10x + 5y = 540.
解方程组，得
x = 52.5，
y = 3.
解: 每节火车车厢能装 52.5 t，每辆卡车能装 3 t.
知识点1 调配问题
1.学校组织植树活动，已知在甲处植树的有23人，在乙处植树
的有17人，现调20人去支援，使在甲处植树的人数是乙处植
树人数的2倍.设调往甲处人，调往乙处 人，则可列方程组
为( )
B
A. B.
C. D.
2.(8分)［2025·滁州月考］甲、乙两车间各有工人若干名，若
从甲车间调100人给乙车间，则甲车间人数是乙车间人数的 ，
若从乙车间调100人给甲车间，则甲车间人数与乙车间人数
相同.甲、乙两车间分别原有多少名工人
解：设甲车间原有名工人，乙车间原有 名工人，
根据题意，得解得
答：甲车间原有180名工人，乙车间原有380名工人.
知识点2 配比问题
3.(8分)跨学科·化学 为了使某植物的长势更好，张叔叔决定
利用甲、乙两种肥料配制营养肥料.已知每克甲种肥料中含有
0.6单位镁元素和0.08单位铁元素，每克乙种肥料中含有0.5单
位镁元素和0.04单位铁元素.如果每次施肥需要34单位镁元素
和4单位铁元素，那么每次施肥需要甲、乙两种肥料各多少
克才能使该植物长势更好？
解：设每次施肥需要甲种肥料克、乙种肥料 克，根据题意
得解得
答：每次施肥需要甲种肥料40克、乙种肥料20克.
谢谢观看！

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