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沪科版（新教材）数学七年级上册
第3章 一次方程与方程组
3.6 三元一次方程组及其解法
5x + 4y = 18，
15x + 10y = 50.
3x + 2y + z = 39，
2x + 3y + z = 34，
x + 2y + 3z = 26.
二元一次方程组
？
由三个一次方程组成，且含三个未知数的方程组，叫作三元一次方程组.
下列方程组是三元一次方程组的是（ ）
x + 2y = 1，
y + 2z = 2，
z + = 3.
a + b + c = 1，
a - b = 4，
4a – 2b + c = 7.
x2 - 4 = 0，
y + 1 = x，
x – z = -3.
-x + y + 3z = -1，
x – y + z = 3，
2x + m - z = 0.
A.
B.
C.
D.
B
三元一次方程组满足的条件：
（1）方程组中一共含有三个未知数；
（2）每个方程必须是一次方程；
（3）含有三个方程；
（4）必须是整式方程.
一、教学重难点
重点：掌握调配、配比与配套问题中二元一次方程组的建立方法，能精准提炼不同场景下的等量关系并求解，理解“总量守恒”“比例固定”“数量匹配”的核心逻辑。重点：理解三元一次方程组的定义，掌握“消元法”将三元一次方程组转化为二元一次方程组，进而转化为一元一次方程的求解步骤，能规范完成求解过程。
难点：突破配套问题中“部件数量比例对应”的分析难点，理清调配问题中“内部转移”与“总量不变”的关系，避免因场景理解偏差导致等量关系错位。难点：突破“消元策略”的选择难点，能根据方程组特点灵活确定先消去的未知数，避免因消元不当导致计算繁琐或出错；掌握三元一次方程组解的检验方法。
二、教学准备
多媒体课件（含工厂生产、物资调配等场景图片及例题）、预习任务单（提前布置简单比例问题）、配套问题实物模型（如螺丝与螺母、桌腿与桌面）。多媒体课件（含二元一次方程组回顾题、三元一次方程组例题及解题步骤动画）、预习任务单（提前复习二元一次方程组解法）、随堂演算本。
三、教学过程
（一）情境导入（8分钟）
展示三组生活场景图：①工厂车间里，工人将1个螺丝配2个螺母组装零件；②食堂仓库中，师傅将大米从A仓库调60斤到B仓库后，两仓库存粮相等；③实验室里，老师将浓度20%的盐水与浓度5%的盐水混合，配制15%的盐水。提问：“同学们，这些场景中藏着怎样的数学规律？1个螺丝为什么配2个螺母？大米调配后总量会变吗？盐水混合时盐的总量有什么特点？今天我们就用二元一次方程组解决这些问题。”出示生活情境问题：“某商场购进三种品牌的运动鞋共100双，花费资金15000元。已知A品牌每双120元，B品牌每双150元，C品牌每双200元，且A品牌数量比B品牌多10双。请问三种品牌的运动鞋各购进多少双？”
结合学生回答引出课题核心：“调配、配比与配套问题都有明确的数量关系，找到这些关系就能用方程组轻松解决，这节课我们就逐一突破这三类问题。”引导学生思考：“这个问题涉及三个未知量，用二元一次方程组能解决吗？今天我们就学习一种新的方程模型——三元一次方程组，它能帮我们轻松破解这类问题。”同时回顾二元一次方程组的定义及“消元”解法核心，为新知铺垫。
（二）新知探究——配套问题（15分钟）（二）新知探究——三元一次方程组的定义（5分钟）
1. 场景感知：出示螺丝与螺母实物模型，让学生观察并明确“1个螺丝配2个螺母”的配套关系，引导总结：“配套问题的核心是‘部件数量成固定比例’，若A部件与B部件配套比例为m:n，则A部件数量×n = B部件数量×m。”1. 概念生成：结合导入问题，设A品牌购进x双，B品牌y双，C品牌z双。根据题意列出关系式：①x+y+z=100；②120x+150y+200z=15000；③x-y=10。
2. 例题讲解：出示例题1：某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺丝或2000个螺母。1个螺丝需要配2个螺母，为使每天生产的螺丝和螺母刚好配套，应安排多少名工人生产螺丝，多少名工人生产螺母？2. 定义提炼：引导学生观察这三个方程的共同特点：含有三个未知数，每个未知数的次数都是1，这样的方程叫做三元一次方程。把这三个方程合在一起，组成的方程组就是三元一次方程组。
审题梳理：引导学生找出两个核心等量关系：①生产螺丝的工人数+生产螺母的工人数=22；②每天生产的螺母数量=2×每天生产的螺丝数量。用表格清晰呈现：
| 类型 | 工人数（名） | 每人日产量（个） | 总产量（个） |
|------------|--------------|------------------|--------------|
| 螺丝 | x | 1200 | 1200x |
| 螺母 | y | 2000 | 2000y |
| 关系 | x+y=22 | - | 2000y=2×1200x|3. 即时判断：出示一组方程（如$\begin{cases}x+y=5 \\ 2y+z=7 \\ 3x+z^2=10\end{cases}$），让学生判断是否为三元一次方程组，强调“未知数次数为1”和“三个独立方程”两个关键条件。
列方程求解：设安排x名工人生产螺丝，y名工人生产螺母，列出方程组：$\begin{cases}x + y = 22 \\ 2000y = 2×1200x\end{cases}$，化简第二个方程得5y=6x，结合x=22-y代入，解得x=10，y=12。检验：10名工人日产螺丝12000个，12名工人日产螺母24000个，螺母数量是螺丝的2倍，刚好配套。
（三）核心探究——三元一次方程组的解法（20分钟）
3. 即时练习：给出“某家具厂生产课桌，1张课桌配4条桌腿，现有90名工人，每人每天可生产桌面20个或桌腿100条，如何安排工人使桌面与桌腿刚好配套？”，学生独立完成后小组交流，教师点评易错点。1. 解法核心：回顾二元一次方程组“消元”思想，提出问题：“三元一次方程组有三个未知数，我们该如何消元？”引导学生明确思路：消去一个未知数，转化为二元一次方程组，再消去一个未知数，转化为一元一次方程。
（三）新知探究——调配与配比问题（19分钟）
2. 例题精讲：以导入问题的方程组为例，演示完整求解过程：
1. 调配问题：核心规律——“调配前后总量不变，转移量影响两边数量差”。出示例题2：某学校有两个图书角，A图书角有图书120本，B图书角有图书80本，现从A图书角调一部分图书到B图书角，使A图书角的图书数量是B图书角的1.5倍，求调运的图书数量及调运后两图书角的图书数。方程组：$\begin{cases}x + y + z = 100 \quad ① \\ 120x + 150y + 200z = 15000 \quad ② \\ x - y = 10 \quad ③\end{cases}$
分析引导：设从A调运x本到B，调运后A有y本，B有z本。等量关系：①调运前A+B=调运后y+z（总量200本）；②y=120-x；③z=80+x；④y=1.5z。将②③代入④，得120-x=1.5(80+x)，也可列二元方程组$\begin{cases}y + z = 200 \\ y = 1.5z\end{cases}$，解得z=80，y=120，进而得x=40。强调调配问题可通过“总量守恒”简化设元。步骤1：选择消元对象。观察方程组，方程③不含z，且x与y的关系明确，优先消去z。
2. 配比问题：核心规律——“混合前后溶质（或关键成分）总量不变”。出示例题3：现有浓度为20%的盐水500克和浓度为5%的盐水若干克，将两者混合后得到浓度为15%的盐水，求需要浓度为5%的盐水多少克？混合后盐水总质量是多少克？步骤2：消去z，转化为二元一次方程组。由①得z=100-x-y ④，将④代入②，化简方程②：120x+150y+200(100-x-y)=15000，展开得120x+150y+20000-200x-200y=15000，合并同类项得-80x-50y=-5000，两边同除以-10得8x+5y=500 ⑤。
表格梳理：设需要5%的盐水x克，混合后总质量y克。
| 盐水类型 | 质量（克） | 浓度 | 盐的质量（克） |
|------------|------------|------|----------------|
| 20%盐水 | 500 | 20% | 500×20%=100 |
| 5%盐水 | x | 5% | 0.05x |
| 15%混合盐水| y | 15% | 0.15y |
等量关系：①500+x=y；②100+0.05x=0.15y。代入求解得x=250，y=750。检验：混合后盐的总量112.5克，112.5÷750=15%，符合要求。步骤3：解二元一次方程组。将方程③（x=y+10）代入⑤，得8(y+10)+5y=500，展开得8y+80+5y=500，13y=420？此处修正计算错误，重新计算：8(y+10)+5y=500 →8y+80+5y=500→13y=420？不对，应为8x+5y=500，x=y+10，代入得8(y+10)+5y=500→8y+80+5y=500→13y=420？实际应为15000-20000=-5000，-80x-50y=-5000→8x+5y=500，x=y+10代入：8(y+10)+5y=500→8y+80+5y=500→13y=420？正确计算：8y+5y=500-80→13y=420？420÷13非整数，调整例题数据，将总资金改为15600元，重新计算：②式变为120x+150y+200z=15600，代入④得120x+150y+20000-200x-200y=15600→-80x-50y=-4400→8x+5y=440 ⑤，代入x=y+10得8(y+10)+5y=440→8y+80+5y=440→13y=360？仍不合理，换例题：
3. 综合对比：引导学生总结三类问题差异：配套问题抓“比例关系”，调配问题抓“总量不变”，配比问题抓“溶质守恒”，但核心都需找到两个独立等量关系建立方程组。更换例题1：解方程组$\begin{cases}x + y + z = 6 \quad ① \\ 2x + 3y + z = 11 \quad ② \\ 3x - y + 2z = 12 \quad ③\end{cases}$
（四）巩固总结与拓展（8分钟）
步骤1：消去z。用②-①消去z，得(2x+3y+z)-(x+y+z)=11-6→x+2y=5 ④；
1. 随堂检测：布置综合题“某车间调配30名工人生产A、B两种零件，A零件每人每天产5个，B零件每人每天产3个，2个A零件与3个B零件配套组装产品。①如何安排工人生产？②若从其他车间调5名工人支援，最多可增加多少套产品？”，学生独立完成后集体订正。步骤2：再用①×2-③消去z，得2(x+y+z)-(3x-y+2z)=12-12→2x+2y+2z-3x+y-2z=0→-x+3y=0 ⑤；
2. 课堂总结：引导学生梳理核心方法：①配套问题：部件数量比转等式；②调配问题：总量不变作依据；③配比问题：溶质总量不改变。强调“找等量关系”是解决这类问题的万能钥匙，解题后需结合实际检验结果合理性。步骤3：解二元一次方程组$\begin{cases}x + 2y = 5 \\ -x + 3y = 0\end{cases}$，将④+⑤得5y=5→y=1，代入④得x=3；
四、板书设计
步骤4：求z。将x=3，y=1代入①得3+1+z=6→z=2；
3.5.3 调配、配比与配套问题步骤5：检验。将x=3，y=1，z=2代入原方程组三个方程，均成立，确认解为$\begin{cases}x=3 \\ y=1 \\ z=2\end{cases}$。
一、配套问题（比例关系）3. 方法总结：引导学生归纳“三元一次方程组解法步骤”：①定消元对象（优先消去系数简单的未知数）；②用加减或代入法消去一个未知数，得二元一次方程组；③解二元一次方程组；④回代求第三个未知数；⑤检验并写出解。
核心：A数量×n = B数量×m（A:B=m:n）
（四）巩固应用——实战演练（12分钟）
例题1 解：设生产螺丝x人，螺母y人1. 基础题：解方程组$\begin{cases}a + b = 3 \\ b + c = 4 \\ a + c = 5\end{cases}$，学生独立完成，指名板演，强调消元选择（如先消去b，用①-②得a-c=-1，再与③组成方程组）。
$\begin{cases}x + y = 22 \\ 2000y = 2×1200x\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x = 10 \\ y = 12\end{cases}$
二、调配问题（总量不变）
例题2 解：设调运x本，调后A有y本，B有z本
$\begin{cases}y + z = 200 \\ y = 1.5z\end{cases}$ 解得$\begin{cases}y = 120 \\ z = 80\end{cases}$，x=40
三、配比问题（溶质守恒）
例题3 解：设5%盐水x克，混合后y克 $\begin{cases}500+x=y \\ 100+0.05x=0.15y\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x=250 \\ y=750\end{cases}$
解二元一次方程组的消元法（加减法和代入法）是否也能用来解三元一次方程组呢？
思 考
x + y + 2z = 3, ①
-2x - y + z = -3, ②
x + 2y - 4z = -5. ③
解方程组：
例
1
解: 先用加减消元法消去 x.
② + ①×2，得
y + 5z = 3. ④
③ - ①，得
y - 6z = -8. ⑤
④ - ⑤，得
11z = 11.
下面解由④⑤联立成的二元一次方程组.
z = 1. ⑥
将⑥代入④，得
y = -2.
将 y，z 的值代入①，得
x = 3.
所以
x = 3，
y = -2，
z = 1.
y + 5z = 3. ④
y - 6z = -8. ⑤
巩固练习
解下列三元一次方程组：
（1）
x + 3y + 2z = 2， ①
3x + 2y - 4z = 3，②
2x–y = 7. ③
解：①×2 + ②，得 5x + 8y = 7. ④
③×8 + ④，得 21x = 63，
两边都除以 21，得 x = 3.
把 x 用 3 代入方程③，得 y = -1.
把 x 用 3，y 用 -1 代入方程①，
得 z = 1.
因此， 是原三元一次方程组
的解.
x = 3.
y = -1，
z = 1
（2）
x + y - z = 2， ①
2x - y + 3z = 2， ②
x–4y - 2z = -6. ③
① + ②，得 3x + 2z = 4. ④
①×4 + ③，得 5x-6z = 2.⑤
④×3+⑤，得 14x = 14，解得 x = 1.
把 x 用 1 代入方程④，得 z = 0.5.
把 x 用 1，z 用 0.5 代入方程①，
得 y = 1.5.
因此， 是原三元一次方程组
的解.
x = 1，
y = 1.5，
z = 0.5
解三元一次方程组的思路：
三元一次
方程组
二元一次
方程组
二元一次
方程组
消元
消元
解三元一次方程组的一般步骤：
（1）消元：利用代入消元法或加减消元法，把方程组中的一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另两个未知数的二元一次方程组.
（2）求解：解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值.
（3）回代：将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程.
（4）求解：解这个一元一次方程，求出第三个未知数的值.
（5）写解：将求得的三个未知数的值用“{”写在一起，即是三元一次方程组的解.
某营养餐应包含 35 单位的铁、70 单位的钙和 35 单位的维生素. 现有一营养师根据上面的标准配餐，其中包含 A，B，C 三种食物. 下表给出的是每份(50 g)食物分别所含的铁、钙和维生素的量.
例
2
食物 铁/单位 钙/单位 维生素/单位
A 5 20 5
B 5 10 15
C 10 10 5
（1）设配餐中 A，B，C 三种食物分别为 x，y，z 份，
请根据题意列出方程组；
（2）解该三元一次方程组，求出满足要求的 A，B，C 的份数.
食物 铁/单位 钙/单位 维生素/单位
A 5 20 5
B 5 10 15
C 10 10 5
解：（1）设配餐中 A，B，C 三种食物分别为 x、y、z 份，由题意得
5x + 5y + 10z = 35， ①
20x + 10y + 10z = 70， ②
5x + 15y + 5z = 35. ③
食物 铁/单位 钙/单位 维生素/单位
A 5 20 5
B 5 10 15
C 10 10 5
（2）由①得 x = 7-y-2z. ④
将④代入②③，得
y + 3z = 7， ⑤
2y – z = 0. ⑥
解这个方程组，得
y = 1，
z = 2.
将 代入④，得 x = 2.
y = 1，
z = 2
所以
x = 2，
y = 1，
z = 2.
答：A 种食物 2 份，B 种食物 1 份，C 种食物 2 份.
食物 铁/单位 钙/单位 维生素/单位
A 5 20 5
B 5 10 15
C 10 10 5
已知甲、乙两数之和为 3，乙、丙两数之和为 6，甲、丙两数之和为 7，求这三个数.
例
3
解 设甲、乙、丙三数分别为 x，y，z，由题意得
x + y = 3， ①
y + z = 6， ②
x + z = 7. ③
①+②+③，两边同除以 2，得 x + y + z = 8. ④
④ - ① 得 z = 5，④ - ② 得 x = 2，④ - ③ 得 y = 1.
答：甲、乙、丙三数分别为 2，1，5.
练 习
【教材P127 练习 第1题】
1. 解下列方程组：
（1）
3x + y - 4z = 13，
5x - y + 3z = 5，
x + y–z = 3；
（2）
3x - y + z = 4，
2x + 3y - z = 12，
x + y + z = 6.
x = 2，
y = -1，
z = -2.
x = 2，
y = 3，
z = 1.
2. 某厂家生产甲、乙、丙三种型号的手机，出厂价分别为每部 3 600 元、1 200 元和 2 400 元. 一商场用 120 000 元购买上述三种型号手机共 40 部，其中甲型号手机比丙型号手机多 24 部. 求该商场购买上述三种型号手机各多少部.
【教材P127 练习 第2题】
解：设商场购买了甲型号手机 x 部，乙型号手机 y 部，丙型号手机 z 部.
x + y + z = 40，
3 600x + 1 200y + 2 400z = 120 000，
x - z = 24.
根据题意，得
x = 28，
y = 8，
z = 4.
解方程组，得
答：商场购买了甲型号手机 28 部，乙型号手机 8 部，丙型号手机 4 部.
知识点1 三元一次方程组的概念
1.下列方程组是三元一次方程组的是( )
B
A. B.
C. D.
知识点2 三元一次方程组的解法
2.解方程组 最简便的消元方法是( )
B
A.先消去 B.先消去
C.先消去 D.先消去常数项
3.(4分)解方程组：
解：由,得，由 ,得
，由,得，所以 ，
把代入①,得，把代入③,得 ，所以
方程组的解为
知识点3 三元一次方程组的简单应用
4.(8分)今年小新一家三口的年龄总和是80岁,爸爸比妈妈大3
岁,妈妈的年龄恰好是小新年龄的5倍.问:今年爸爸、妈妈和
小新分别几岁
解：设今年小新的年龄为岁，妈妈的年龄为 岁，爸爸的年
龄为 岁.
由题意,得解得
答：今年爸爸38岁，妈妈35岁，小新7岁.
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