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沪科版（新教材）数学七年级上册
第2章 整式及其加减
章末复习
知识体系
代数式
整式
相关概念
加减运算
单项式
多项式
合并同类项
去（添）括号
第1章 有理数 章末复习
本章作为初中数学的开篇，奠定了整个代数学习的基础。我们从实际情境出发，引入了负数的概念，将数的范围从小学所学的非负数扩展到有理数，同时学习了有理数的相关概念、运算及应用。通过本章复习，需理清知识脉络，夯实基础，突破易错点，提升运用有理数解决问题的能力。
一、知识框架总览
有理数的知识体系紧密关联，核心围绕“概念—表示—运算—应用”展开，具体框架如下：
- 有理数的概念：正数与负数、有理数的定义及分类、数轴、相反数、绝对值、倒数
- 有理数的表示：数轴上的点与有理数一一对应，利用数轴表示数的大小关系
- 有理数的运算：加、减、乘、除、乘方五种运算的法则、运算律及混合运算顺序
- 有理数的应用：用正负数表示相反意义的量，解决实际生活中的温度、海拔、收支等问题
二、核心知识点梳理
（一）有理数的相关概念
1. 正数与负数正数：大于0的数，如3、$+\frac{1}{2}$、5.2等（“+”号可省略）；
2. 负数：在正数前面加上“-”号的数，如-2、$-\frac{3}{4}$、-0.8等（“-”号不可省略）；
3. 0的特殊性：0既不是正数，也不是负数，是正数与负数的分界，具有实际意义（如表示“没有”“基准量”等）。
4. 应用：用正负数表示相反意义的量，需先规定正方向，如“上升3米记为+3米，则下降2米记为-2米”。
5. 有理数的定义与分类定义：整数和分数统称为有理数（一切可以表示为$\frac{m}{n}$的形式，其中m、n为整数，且n≠0）；
6. 两种分类方式：
按定义分：$\text{有理数}\begin{cases}\text{整数}\begin{cases}\text{正整数（如1、2）} \\ 0 \\ \text{负整数（如-1、-2）}\end{cases} \\ \text{分数}\begin{cases}\text{正分数（如}\frac{1}{2}\text{、3.5）} \\ \text{负分数（如}-\frac{2}{3}\text{、-0.6）}\end{cases}\end{cases}$
7. 按性质分：$\text{有理数}\begin{cases}\text{正有理数}\begin{cases}\text{正整数} \\ \text{正分数}\end{cases} \\ 0 \\ \text{负有理数}\begin{cases}\text{负整数} \\ \text{负分数}\end{cases}\end{cases}$
注意：小数的归属——有限小数和无限循环小数可化为分数，属于有理数；无限不循环小数（如π）不是有理数。
数轴三要素：原点（表示0的点）、正方向（通常规定向右为正）、单位长度（统一的长度标准），三者缺一不可；
性质：数轴上的点与有理数一一对应，即每个有理数都可以用数轴上唯一的点表示，反之，数轴上的每个点都表示一个有理数；
应用：利用数轴比较有理数大小——数轴上右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。
相反数定义：只有符号不同的两个数互为相反数（0的相反数是0），如2与-2、$-\frac{1}{3}$与$\frac{1}{3}$互为相反数；
几何意义：数轴上，表示互为相反数的两个点关于原点对称；
符号表示：若a表示一个数，则它的相反数为-a（若a=0，则-a=0；若a为正数，则-a为负数；若a为负数，则-a为正数）；
性质：互为相反数的两个数的和为0，即若a与b互为相反数，则a+b=0，反之亦然。
绝对值定义：数轴上表示一个数的点与原点的距离，叫做这个数的绝对值，记为|a|（距离具有非负性，故绝对值一定是非负数）；
代数意义（绝对值的化简规则）：
当a>0时，|a|=a；
当a=0时，|a|=0；
当a<0时，|a|=-a（此处“-a”表示a的相反数，实际为正数）。
核心性质：
非负性：|a|≥0，即任何数的绝对值都大于或等于0；
若|a|=|b|，则a=b或a=-b（互为相反数的两个数绝对值相等）；
比较两个负数大小：绝对值大的反而小，如|-5|=5，|-3|=3，因为5>3，所以-5<-3。
倒数定义：乘积为1的两个数互为倒数（0没有倒数，因为0与任何数相乘都为0，无法得1）；
特征：
正数的倒数是正数，负数的倒数是负数；
倒数是它本身的数是1和-1（因为1×1=1，(-1)×(-1)=1）；
若a与b互为倒数，则ab=1，反之亦然。
（二）有理数的运算
1. 有理数的加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两数相加得0；一个数与0相加，仍得这个数。
2. 运算律：
加法交换律：a+b=b+a；
3. 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。
技巧：多个有理数相加时，可先把正数、负数分别结合，或把互为相反数的数结合，简化运算，如(+3)+(-5)+(-3)+(+5)=[(+3)+(-3)]+[(-5)+(+5)]=0+0=0。
有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数，即a-b=a+(-b)；
本质：将减法转化为加法，再按加法法则计算，关键是“变号”——变减号为加号，变减数为它的相反数。
有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0相乘都得0；几个不为0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定——负因数的个数为偶数时，积为正；负因数的个数为奇数时，积为负，再把绝对值相乘。
运算律：
乘法交换律：a×b=b×a；
乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c)；
乘法分配律：a×(b+c)=a×b+a×c（反向运用：a×b+a×c=a×(b+c)，可简化运算）。
有理数的除法法则1：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何不为0的数都得0（0不能作除数）；
回顾思考
考点一
代数式
1.代数式的概念
（1）用加、减、乘、除及乘方等运算符号把____或______________连接而成的式子，叫作代数式.
（2）单个的____或_____也是代数式.
数
表示数的字母
数
字母
（2）数字与字母相乘，数字写在字母_____.
（3）字母与字母相乘时，相同字母写成____的形式.
（4）数字与数字相乘时，乘号“×”_____省略.
（5）如果式中出现除法，如s÷v，一般写成______的形式.
前面
幂
不能
2.代数式的书写要求
（1）如果出现乘号，可以写成“·”或_____.
不写
例1 《九章算术》中记载一问题：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四. 问人数、物价各几何？意思是：今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7 钱，又差 4 钱. 问人数、物价各多少？设人数为x，则表示物价的代数式是（ ）
A.8x-3 B.8x+3 C.7x-4 D.7(x+4)
A
例2 下面四个整式中，不能表示图中阴影部分面积的是（ ）
A.x2+5x
B.x(x+3)+6
C.3(x+2)+x2
D.(x+3)(x+2)-2x
A
考点二
整式
1.单项式
（1）概念：由数字与字母的积组成的式子.
（2）系数：单项式中的__________.
（3）次数：所有字母的指数______.
数字因数
之和
单个数或字母也是单项式.
包括前面的符号
没有指数的字母，其指数为1
2.多项式
（1）概念：几个单项式的___叫作多项式.
（2）项：每个________叫作多项式的项，其中不含字母的项叫作________.
（3）次数：一个多项式里，次数_____的项的次数.
单项式
和
3.整式
_______和_______统称为整式.
常数项
最高
单项式
多项式
每一项都包括它前面的符号
例3 （1）单项式 的系数与次数分别是（ ）
D
（2）下列各组属于同类项的是（ ）
D
（3）多项式3x2y-7x4y2-xy4-10是_____次_____项式.
六
四
（4）若单项式2xm-1y2与单项式 是同类项，则m+n=_______.
4
考点三
整式加减
1.合并同类项
（1）同类项：所含字母相同，并且相同字母的_____也分别相同的项.
（2）法则：同类项的系数_____，所得结果作为系数，字母和字母的指数_____.
指数
相加
不变
常数项与常数项是同类项.
2.去括号
（1）如果括号前面是“+”号，去括号时把括号连同它前面的“+”号去掉，括号内的各项______________.
（2）如果括号前面是“-”号，去括号时把括号连同它前面的“-”号去掉，括号内的各项______________.
都不改变符号
都改变符号
3.添括号
（1）所添括号前面是“+”号，括到括号内的各项_____________.
（2）所添括号前面是“-”号，括到括号内的各项_____________.
都不改变符号
都改变符号
添括号是否正确，可以用去括号法则检验
4.整式加减
（1）整式加减运算可归结为_______、______________.
（2）运算结果常将多项式按某个字母（如x）的指数从大到小（或从小到大）依次排列，这种排列叫作关于这个字母（如x）的降（升）幂排列.
去括号
合并同类项
例4 计算：
例4 计算：
例5 先化简，再求值：
其中
例6 若(2x2+ax-y+6)-(2bx2-3x+5y-1)的值与字母x的取值无关，求5ab2-[a2b+2(a2b-3ab2)]的值.
解：(2x2+ax-y+6)-(2bx2-3x+5y-1)
=2x2+ax-y+6-2bx2+3x-5y+1
=(2-2b)x2+(a+3)x-6y+7
由该式的值与x的取值无关，得2-2b=0，a+3=0，
所以a= -3，b=1.
例6 若(2x2+ax-y+6)-(2bx2-3x+5y-1)的值与字母x的取值无关，求5ab2-[a2b+2(a2b-3ab2)]的值.
5ab2-[a2b+2(a2b-3ab2)]
=5ab2-(a2b+2a2b-6ab2)
=5ab2-a2b-2a2b+6ab2
=11ab2-3a2b
当a= -3，b=1时，原式=11ab2-3a2b
=11×(-3)×12-3×(-3)2×1
= -33-27= -60
例7 有下面一系列等式：
第1个：52-12=8×3；
第2个：92-52=8×7；
第3个：132-92=8×11；
第4个：172-132=8×15；
……
（1）第5个等式应为：___________________.
（2）结合你发现的规律，请直接写出第n个等式：__________________________.
（3）根据上述规律，计算：8×3+8×7+8×11+…+
8×95+8×99=_________.
212-172=8×19
(4n+1)2-(4n-3)2=8×(4n-1)
10200
整合1 代数式及其值
1.下列各式中，不是代数式的是( )
B
A.7 B. C. D.
2.下列各式中，符合代数式书写规则的是( )
A
A. B. C. D.
3.下列关于代数式“ ”的意义叙述正确的有( )
的4倍与的2倍的和是 ；
②小明以的速度跑了，再以 的速度
步行了，则小明一共走了 ；
③苹果元/，橘子元/，买橘子和 苹果一共花
费 元.
B
A.3个 B.2个 C.1个 D.0个
4.［2025年1月上海期末］当时，代数式
__.
整合2 整式的相关概念
5.［2025·芜湖月考］单项式 的系数和次数分别是
( )
C
A. ，5 B.，6 C. ，6 D. ，7
6.［2024·杭州期中］关于多项式 ，以下说法不
正确的是( )
D
A.是二次三项式 B.二次项是
C.常数项是2 D.一次项是
7.在代数式，，，，，， 中，整
式有( )
C
A.4个 B.5个 C.6个 D.7个
8.如果与是同类项，那么 的值是( )
A
A. B. C.2 D.
整合3 整式的加减
9.［2024·广东期中］下列等式中正确的是( )
A
A. B.
C. D.
10.若多项式化简后不含项，则 等
于( )
A
A.2 B. C.0 D.3
11.已知，，则 的值为
( )
B
A.1 B.5 C. D.
12.(8分)先化简，再求值：
,其中, .
解：原式 ，
当，时，原式 .
整合4 整式加减的应用
13.(8分)［2025年1月江苏期末］【数学魔术】
(1)魔术师请观众在心中想好一个数，然后将这个数按以下步
骤计算，最后将计算结果告诉魔术师，魔术师能立刻说出观
众想的那个数.
如果小明想的数是 ，那么他告诉魔术师的数是____；
如果小明告诉魔术师的数是 ，那么他想的数是______.
【魔术创新】
(2)小明对数学魔术很感兴趣，他对小丽说：“请你任意想一
个两位数，把这个两位数的十位数字先乘2，再加3，然后把
所得的和乘5，最后加上个位数字，所得的结果告诉我，我
就能准确说出你想的那个数.”请用代数式的有关知识解释此
魔术的奥秘.
解：设这个两位数为 ，
由题意知， ，
即将所得结果减去15即为原数.
整合5 规律探究
14.如图，填在下面每个正方形中的四个数之间都有相同的规
律，按照这种规律排列，最后一个正方形中 的值是_____.
158
整合6 数学思想
15.整体思想 [2024· 中山期中] 已知当 时，代数式
的值是5，则当 时，该代数式的值是
____.
整合7 易错题
16.下列去括号错误的是( )
B
A.
B.
C.
D.
整合8 聚焦安徽中考
17.［2024·安徽中考节选］数学兴趣小组开展探究活动，研
究了“正整数能否表示为，均为自然数 ”的问题.
指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下 为正整数
奇数 4的倍数
表示结果
… …
一般结论 ____
按上表规律，解答下列问题：
(1)___-___ ；
(2) ___________________.
7
5
谢谢观看！

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