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人教版（2024）版数学8年级上册
第十三章 三角形
13.2.2 三角形的中线、角平分线、高
复习
1.三角形三边的关系：
2.三角形具有____________.
3.已知一个三角形的最小边为2cm，另两边分别为6cm和acm，
a的取值范围是什么？
稳定性
4三角形两边的和大于第三边，
三角形两边的差小于第三边.
13.2.2 三角形的中线、角平分线、高
三角形中的“特殊线段”
观察下列生活情境，思考三角形中特殊线段的作用：
1. 农民伯伯要将一块三角形菜地分成面积相等的两部分种植不同蔬菜，该怎么分割？
2. 工人师傅修理三角尺时，想把一个内角精确平分，需要借助什么几何线？
3. 建筑工人搭建三角形支架时，为了确定支架的高度，需要从顶点向对边作一条垂直线，这条线是什么？
这些问题涉及的线段分别是三角形的中线、角平分线和高，今天我们就来系统认识它们。
一、三角形的中线：“面积均分线”
1. 定义
在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段，叫做三角形的中线。
如图，在△ABC中，点D是BC边的中点（即BD=DC），则线段AD就是△ABC的一条中线。
2. 图形特征与表示
- 表示方法：∵ D是BC中点，∴ AD是△ABC的中线；反之，∵ AD是△ABC的中线，∴ BD=DC= BC。
- 数量：一个三角形有3条中线，分别从三个顶点向对边作中线。
3. 核心性质——中线与面积的关系
实验操作：用三角板画出△ABC的中线AD，分别测量△ABD和△ADC的面积。
结论：△ABD和△ADC的面积相等。
理由：两个三角形共用高（从A向BC作的高），且底边BD=DC，根据“三角形面积= ×底×高”，面积相等。
性质：三角形的一条中线将三角形分成面积相等的两部分。
二、三角形的角平分线：“内角分割线”
1. 定义
在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段，叫做三角形的角平分线。
如图，在△ABC中，∠BAC的平分线交BC于点D，则线段AD就是△ABC的一条角平分线。
2. 图形特征与表示
- 表示方法：∵ AD平分∠BAC，∴ ∠BAD=∠CAD= ∠BAC；反之，∵ AD是△ABC的角平分线，∴ ∠BAD=∠CAD。
- 数量：一个三角形有3条角平分线，分别平分三个内角。
- 注意：三角形的角平分线是“线段”，而角的平分线是“射线”，二者不可混淆。
3. 简单应用
例1：在△ABC中，AD是角平分线，已知∠BAC=80°，求∠BAD的度数。
解：∵ AD平分∠BAC，∴ ∠BAD= ∠BAC= ×80°=40°。
三、三角形的高：“垂直距离线”
1. 定义
从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段，叫做三角形的高。
如图，在△ABC中，从A向BC作垂线，垂足为D（即AD⊥BC），则线段AD就是△ABC的一条高。
2. 不同类型三角形高的位置特点
三角形的高的位置会因三角形类型不同而变化，需重点区分：
- 锐角三角形：3条高都在三角形内部，且相交于三角形内一点；
- 直角三角形：两条直角边互为高，第三条高在三角形内部（从直角顶点向斜边作），三条高相交于直角顶点；
- 钝角三角形：两条高在三角形外部（从钝角顶点向对边延长线作），一条高在内部，三条高的延长线相交于三角形外一点。
3. 表示方法与应用
表示方法：∵ AD是△ABC的高，∴ AD⊥BC（或∠ADB=∠ADC=90°）。
例2：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，求AB边上的高CD的长度。
解：先求AB长度（勾股定理）：AB=√(AC +BC )=√(3 +4 )=5；
再用面积法：△ABC面积= ×AC×BC= ×AB×CD，
即 ×3×4= ×5×CD，解得CD=12/5=2.4。
四、三种线段的对比与辨析
为了更清晰地掌握三者的区别与联系，我们从定义、作用、交点等方面进行对比：
1. 核心区别
- 中线：连接顶点与对边中点，核心作用是“均分面积”；
- 角平分线：平分内角并交对边于一点，核心作用是“均分内角”；
- 高：从顶点向对边作垂线，核心作用是“表示垂直距离”，常用于面积计算。
2. 共同特征
- 都是线段：且线段的两个端点分别是三角形的顶点和对边上的点；
- 数量固定：一个三角形都有3条中线、3条角平分线、3条高；
- 交于一点：3条中线交于“重心”，3条角平分线交于“内心”，3条高（或延长线）交于“垂心”（统称三角形的“五心”中的三个）。
3. 易混点辨析
判断：“三角形的角平分线和高都是射线”，这句话对吗？
答案：不对。二者都是线段，角的平分线是射线，而三角形的角平分线是线段；高是从顶点到垂足的线段，并非射线。
五、综合应用：线段关系与角度、长度计算
例3：在△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，AF是高，已知∠BAC=100°，BC=10cm，∠AFB=90°。
（1）求∠BAE的度数；（2）求BD的长度；（3）若∠B=30°，求∠CAF的度数。
解：（1）∵ AE是角平分线，∴ ∠BAE= ∠BAC= ×100°=50°；
（2）∵ AD是中线，∴ BD= BC= ×10=5cm；
（3）∵ AF是高，∴ ∠BAF=90°-∠B=90°-30°=60°，
∴ ∠CAF=∠BAC-∠BAF=100°-60°=40°。
例4：在△ABC中，AB=AC=5cm，AD是BC边上的中线，AD=4cm，求BC的长度。
解：∵ AB=AC，AD是中线，∴ AD也是高（等腰三角形“三线合一”性质），
在Rt△ABD中，BD=√(AB -AD )=√(5 -4 )=3cm，
∴ BC=2BD=6cm。
拓展：等腰三角形中，“中线、角平分线、高”三线合一（即从顶角顶点出发的中线同时也是角平分线和高），这是等腰三角形的重要性质。
六、知识梳理与总结
1. 三大核心线段
- 中线：定义→连接顶点与对边中点；性质→均分面积；
- 角平分线：定义→平分内角交对边；注意→与角的平分线区分；
- 高：定义→顶点向对边作垂线；特点→位置随三角形类型变化。
2. 关键思想方法
- 转化思想：利用中线将三角形面积转化为两个小三角形面积，简化计算；
- 面积法：利用高与底的乘积计算面积，或通过面积相等求高的长度；
- 分类讨论：判断钝角三角形高的位置时，需考虑“高在外部”的情况。
3. 易错点提醒
1. 混淆“线段”与“射线”：三角形的三种特殊线段均为线段；
2. 忽略高的位置：钝角三角形有两条高在外部，画图时需延长对边；
3. 忘记等腰三角形性质：“三线合一”可快速解决等腰三角形中的线段与角度问题。
4.如图，P为线段AB右上方一点，过点P作线段AB的垂线.
A
B
复习
知识点1 三角形中线的概念
P ●
5.如图，如果点C是线段AB的中点，你能得到什么结论？
A
C
B
AC=BC=AB
或AB=2AC=2BC
知识点1 三角形中线的概念
复习
在这些三角形中，除了边之外，还有一些特殊的线段，它们有着独特的性质和作用，大家想不想知道是什么呢？
连接三角形的一个顶点和它所对的边的中点，所得线段叫作三角形的这条边上的中线.
三角形的中线的定义
符号语言：
①AD是△ABC的边BC上的中线，
②点D是边BC的中点，
③BD=CD=BC.
D
C
B
A
如图，画出△ABC的另两条中线，观察三条中线，你有什么发现？
三角形的三条中线相交于一点.
E
F
O
画一个锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，再分别画出这三个三角形的三条中线.
三角形的三条中线相交于一点，三角形三条中线的交点叫作三角形的重心．
D
C
B
A
思考
被三角形的中线分成的两个小三角形的面积大小有什么关系？
三角形的中线将三角形分成面积相等的两个小三角形.
例1 如图，AD,BE,CF是△ABC的三条中线，下列结论一定正确的是（ ）
B
跟踪训练 如图，AD为△ABC的中线，AB=13cm，AC=10cm.若△ACD的周长为28cm，则△ABD的周长为_________.
解析：∵AD为△ABC的中线，∴BD=CD.
∵△ACD的周长为28cm,
∴AC+AD+CD=28cm.
∵AC=10cm,
∴AD+CD=18cm,即AD+BD=18cm.
∵AB=13cm，
∴△ABD的周长=AB+AD+BD=31cm.
31 cm
探究 在一张薄纸上任意画一个三角形，你能设法画出它的一个内角的平分线吗
B
C
A
方法一：
折纸：在一张纸上画出一个三角形并剪下，将它的一个角对折，使其两边重合.
折痕AD即为三角形的∠A的平分线.
B
C
A
方法二：
探究 在一张薄纸上任意画一个三角形，你能设法画出它的一个内角的平分线吗
符号语言：
如图，画△ABC的∠A的平分线AD，交∠A所对的边BC于点D，所得线段AD叫作△ABC的角平分线.
在三角形中，一个内角的平分线与这个角所对的边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫作三角形的角平分线.
1
2
A
B
C
D
①AD是△ABC的角平分线，
②AD平分∠BAC，交BC于点D，
③∠1=∠2∠BAC.
思考 用同样的方法，你能画出△ABC的另外两条角平分线吗？
1
2
A
B
C
D
三角形的三条角平分线都在三角形的内部，并且三条角平分线交于三角形内一点.
例2 如图，∠1=∠2，∠3=∠4，下列结论错误的是（ ）
A. BD是△ABC的角平分线
B. CE是△BCD的角平分线
C. ∠3=∠ACB
D. CE是△ABC的角平分线
D
从三角形的一个顶点向它所对的边所在直线画垂线，连接顶点和垂足的线段叫作三角形的这条边上的高.
思考 你还记得小学学过的“三角形的高”的定义吗？
高
底
A
B
C
D
A
B
C
D
如图，从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在直线画垂线，垂足为D，所得线段AD叫作△ABC的边BC上的高线. 三角形的高线，简称三角形的高.
几何语言：
①AD是△ABC的边BC上的高，
②AD⊥BC于点D.
探究
分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条高，你有什么发现？
A
B
C
D
E
F
B
A
C
F
A
B
C
D
E
F
三角形的三条高所在直线交于一点.
观察图形，不同三角形的三条高各有什么特点？
B
A
C
F
A
B
C
D
E
F
A
B
C
E
F
三角形三条高的位置
三角形 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形
三条高的位置 三条高都在三角形内部 有两条高恰好是它的两条直角边，另一条高在三角形内部 有两条高在三角形外部，另一条高在三角形内部
三条高的交点 三条高交于三角形内部一点 三条高交于三角形的直角顶点 三条高没有交点，但三条高所在的直线交于三角形外一点
例3 如图是一个钝角三角形ABC，利用一个直角三角板作边AC上的高，下列作法正确的是（ ）
A
知识点3 三角形的高
知识点1 三角形的中线
1.如图，已知是的中线，，则 的长为( )
B
（第1题）
A.4 B.5 C.6 D.8
返回
（第2题）
2.如图，小明用铅笔可以支起一张质地均匀的三角形卡片，
则他支起的这个点应是三角形__________的交点,即____心.
三条中线
重
（第3题）
3.［教材习题变式］如图，在中， 是
边上的中线，的面积是，则 的面
积为____ .
12
返回
4.［2025绍兴月考］如图，已知为的中线， ，
，的周长为，则的周长为____ .
22
（第4题）
返回
知识点2 三角形的角平分线
（第5题）
5.［2025北京朝阳区月考］如图，若是 的角平
分线，则下列结论不正确的是( )
C
A.平分 B.
C. D.
返回
6.如图，在中， ， ，是 的角平分
线，则 _____.
（第6题）
返回
7.［教材习题变式］如图，是 的角平
分线，交于点，交于点 ，
则图中与 有什么数量关系？
解：， .
， .
是 的角平分线，
.
返回
知识点3 三角形的高
8.下列图形中，线段是 的高的是( )
D
A. B. C. D.
返回
（第9题）
9.如图，是锐角三角形，过点作
于点，过点作，交的延长线于点 ，
则下列说法错误的是( )
B
A.是的高 B.是 的高
C.是的高 D.是 的高
返回
10.如果一个三角形两边上的高的交点在三角形的内部，那么这个三角
形是( )
A
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.任意三角形
返回
11. 如图，在三角形中，已知 ，
,,,则边上的高 的长为_ __.
（第11题）
返回
12.如图，画出 的三条高.
解：如图，线段，， 分别
是，， 边上的高.
返回
13.如图，，，分别是 的高、角平分线、中线，则下列结
论错误的是( )
C
（第13题）
A. B.
C. D.
返回
（第14题）
14.［2025温州期末］如图，是 的中
线，，，垂足分别是， .已
知，，则 的长为( )
C
A.3 B.4 C.6 D.8
返回
15.［2025天津和平区期末］在中，，中线 将这个三
角形的周长分为15和21两部分，则 的长为( )
C
A.16 B.11 C.16或8 D.11或1
返回
16.如图，是的中线，，分别为，的中点，若
的面积为3，则 的面积为____.
12
返回
17.如图①，在中，，为边上一点， 于点
，于点 .
（1）请作出边上的高 .
解：如图①， 即为所求.
（2）请你通过观察、测量找到，， 之间的数量关系：_______
________.
（3）为了说明，， 之间的数量关系，小嘉是这样做的：连接
，则__________，__________， ________
______________， 还可以表示为__________.
请你帮小嘉完成上述填空.
（4）当在如图②的位置时，上面，， 之间的数量关系是否
仍然成立？并说明理由.
解：仍然成立，理由：如图②，连接 ，
，， ，
，
， ，
.
返回
三角形
中线
连接三角形的一个顶点和它所对的边的中点的线段.
角平分线
高
一个内角的平分线与这个角所对的边相交，这个角的顶点和交点之间的线段.
从三角形的一个顶点向它所对的边所在直线画垂线，顶点和垂足之间的线段.
谢谢观看！

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