资源简介

(共48张PPT)
人教版（2024）版数学8年级上册
第十三章 三角形
13.3.1.1三角形的内角和
复习
1.三角形三边的关系：
2.三角形具有____________.
3.已知一个三角形的最小边为2cm，另两边分别为6cm和acm，
a的取值范围是什么？
稳定性
4三角形两边的和大于第三边，
三角形两边的差小于第三边.
13.3.1.1 三角形的内角和
神秘的“角度密码”
观察生活中的三角形物体，思考下列问题：
1. 木工师傅制作三角形窗框时，会测量三个角的度数，他最关注什么？
2. 将两个三角尺（含30°、60°、90°和45°、45°、90°）的三个角分别相加，结果都是多少？
3. 一张三角形纸片，剪掉一个角后，剩下的图形内角和还是180°吗？
今天我们就来揭开三角形内角和的神秘面纱，掌握这个重要的“角度密码”。
一、相关概念回顾
在探究内角和之前，我们先明确几个基础概念：
1. 三角形的内角：三角形相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角。如图，△ABC的三个内角分别是∠A、∠B、∠C。
2. 按角分类的三角形：我们曾按内角大小将三角形分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，这三类三角形的内角和是否存在共性？
3. 平角的性质：平角的度数是180°，这一性质将帮助我们推导三角形的内角和。
二、动手实验：初探内角和
请同学们分组合作，用以下方法探究三角形内角和，记录实验结果：
方法1：测量法
1. 任意画一个锐角三角形、一个直角三角形、一个钝角三角形；
2. 用量角器分别测量三个内角的度数；
3. 计算每个三角形三个内角的和，填入下表：
（示例：锐角三角形∠A=50°，∠B=60°，∠C=70°，和为180°；直角三角形∠A=90°，∠B=45°，∠C=45°，和为180°）
方法2：剪拼法
1. 把三角形纸片的三个角分别剪下来；
2. 将三个角的顶点重合，拼在一起（如图）；
观察结果：三个角恰好能拼成一个平角，即180°。
方法3：折叠法
1. 将三角形纸片的∠A和∠B向内折叠，使它们的顶点与∠C的顶点重合；
观察结果：∠A和∠B的边与∠C的边重合，三个角组成一个平角。
注意：测量法可能因误差导致结果接近180°而非精确值，剪拼法和折叠法更直观地体现了内角和的本质。
三、严谨证明：确认内角和定理
实验只能给出猜想，我们需要用几何推理证明：三角形三个内角的和等于180°。
已知：如图，△ABC。
求证：∠A + ∠B + ∠ACB = 180°。
证明方法1：作平行线（常用方法）
1. 过点C作直线DE ∥ AB；
2. 因为DE ∥ AB（已作），所以∠A = ∠ACD（两直线平行，内错角相等），∠B = ∠BCE（两直线平行，内错角相等）；
3. 因为∠ACD + ∠ACB + ∠BCE = 180°（平角定义）；
4. 所以∠A + ∠ACB + ∠B = 180°（等量代换）。
证明方法2：延长边作平行线
1. 延长BC至点D，过点C作CE ∥ AB；
2. 因为CE ∥ AB，所以∠B = ∠ECD（两直线平行，同位角相等），∠A = ∠ACE（两直线平行，内错角相等）；
3. 因为∠ACB + ∠ACE + ∠ECD = 180°（平角定义）；
4. 所以∠ACB + ∠A + ∠B = 180°（等量代换）。
三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°。这是三角形的基本性质，适用于所有三角形。
四、基础应用：求未知内角的度数
利用内角和定理，已知三角形两个角的度数，可直接求出第三个角的度数。
例1：在△ABC中，已知∠A = 35°，∠B = 65°，求∠C的度数。
解：根据三角形内角和定理，∠A + ∠B + ∠C = 180°，所以：
∠C = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 35° - 65° = 80°
例2：在Rt△ABC中，∠C = 90°，∠A = 40°，求∠B的度数。
分析：直角三角形有一个角是90°，因此另外两个锐角的和为90°（内角和定理推论）。
解：∠B = 90° - ∠A = 90° - 40° = 50°
推论：直角三角形的两个锐角互余。这一结论可直接用于直角三角形的角度计算，简化步骤。
练习：在△ABC中，∠A = ∠B = 2∠C，求∠C的度数。
解：设∠C = x，则∠A = ∠B = 2x，由内角和定理得：2x + 2x + x = 180° → 5x = 180° → x = 36°，所以∠C = 36°。
五、进阶应用：根据角度判断三角形类型
已知三角形的内角关系，可先求出各角度数，再根据最大内角的类型判断三角形的类型。
例3：已知△ABC的三个内角满足∠A : ∠B : ∠C = 2 : 3 : 5，判断△ABC的形状。
解：1. 设∠A = 2x，∠B = 3x，∠C = 5x；
2. 由内角和定理得：2x + 3x + 5x = 180° → 10x = 180° → x = 18°；
3. 计算最大角：∠C = 5x = 5×18° = 90°；
4. 结论：△ABC是直角三角形。
例4：在△ABC中，∠A = 20°，∠B = 70°，判断△ABC的形状，并说明理由。
解：∠C = 180° - 20° - 70° = 90°，所以△ABC是直角三角形。
练习：已知△ABC中，∠A = 1/2∠B = 1/3∠C，判断△ABC的形状。
解：设∠A = x，则∠B = 2x，∠C = 3x，x + 2x + 3x = 180° → x = 30°，∠C = 90°，故△ABC是直角三角形。
六、实际应用：结合生活场景计算角度
三角形内角和定理在生活中有着广泛应用，如测量、建筑、机械设计等领域。
例5：如图，建筑工人在建造房屋时，需要固定一个三角形钢架，已知钢架的两个角分别为50°和60°，求第三个角的度数，以确保钢架符合设计要求。
解：第三个角的度数 = 180° - 50° - 60° = 70°，因此工人需将第三个角调整为70°。
例6：一块三角形玻璃被打碎，只剩下两个角的碎片（分别为40°和60°），请你帮忙算出打碎的那个角的度数，并判断这块玻璃原来是什么类型的三角形。
解：打碎的角 = 180° - 40° - 60° = 80°，三个角均为锐角，因此原来的玻璃是锐角三角形。
七、拓展与总结
1. 拓展思考：多边形内角和初探
将四边形沿一条对角线剪开，可分成2个三角形，因此四边形内角和 = 2×180° = 360°；五边形可分成3个三角形，内角和 = 3×180° = 540°。你能推出n边形的内角和公式吗？（提示：n边形可分成n-2个三角形）
2. 知识梳理
- 核心定理：三角形内角和为180°，适用于所有三角形；
- 重要推论：直角三角形的两个锐角互余；
- 核心应用：求未知内角、判断三角形类型、解决实际角度问题；
- 思想方法：转化思想（将三角形内角和转化为平角）、方程思想（设未知数求角度）。
3. 易错点提醒
计算角度时，注意统一单位；判断三角形类型时，需关注最大内角的度数，而非单个内角。
我的形状最小，那我的内角和最小.
我的形状最大，那我的内角和最大.
不对，我有一个钝角，所以我的内角和才是最大的.
一天，三类三角形通过对自身的特点，讲出了自己对三角形内角和的理解，请同学们作为小判官给它们评判一下吧.
导入新知
我们在小学已经知道，任意一个三角形的内角和等于180°.与三角形的形状、大小无关.
【思考】你有什么办法可以验证三角形的内角和为180°呢
折叠
还可以用拼接的方法，你知道怎样操作吗？
探究新知
知识点
三角形的内角和
剪拼
A
B
C
2
1
探究新知
测量
48°
72°
60°
60°＋48°＋72°＝180°
探究新知
锐角三角形
三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角.
观测的结果不一定可靠，还需要通过数学知识来说明.从上面的操作过程，你能发现证明的思路吗？
三角形的内角和定理的证明
在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起.
探究新知
还有其他的拼接方法吗？
三角形三个内角的和等于180°.
求证：∠A+∠B+∠C=180°.
已知：△ABC.
证法1：过点A作l∥BC，
∴∠B=∠1.(两直线平行，内错角相等)
∠C=∠2.(两直线平行，内错角相等)
∵∠2+∠1+∠BAC=180°，
∴∠B+∠C+∠BAC=180°.
1
2
探究新知
证法2：延长BC到D，过点C作CE∥BA，
∴ ∠A=∠1 .(两直线平行，内错角相等)
∠B=∠2.(两直线平行，同位角相等)
又∵∠1+∠2+∠ACB=180°，
∴∠A+∠B+∠ACB=180°.
C
B
A
E
D
1
2
探究新知
C
B
A
E
D
F
证法3：过D作DE∥AC，作DF∥AB.
∴ ∠C=∠EDB，∠B=∠FDC.
(两直线平行，同位角相等)
∠A+∠AED=180°，
∠AED+∠EDF=180°，
(两直线平行，同旁内角相补)
∴ ∠A=∠EDF.
∵∠EDB+∠EDF+∠FDC=180°，
∴∠A+∠B+∠C=180°.
探究新知
同学们还有其他的方法吗？
【思考】 多种方法证明三角形内角和等于180°的核心是什么？
借助平行线的“移角”的功能，将三个角转化成一个平角.
探究新知
1
2
C
B
A
E
D
1
2
C
B
A
E
D
F
C
2
4
A
B
3
E
Q
D
F
P
G
H
1
B
G
C
2
4
A
3
E
D
F
H
1
同学们按照上图中的辅助线，给出证明步骤.
探究新知
试一试
为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫作辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线.
思路总结
为了证明三个角的和为180°，通过作平行线，利用平行线的性质，把所证问题转化为一个平角或同旁内角互补等，这种转化思想是数学中的常用方法.
作辅助线
探究新知
例1 如图，在△ABC中， ∠BAC=40 °， ∠B=75 °， AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数.
A
B
C
D
解：由∠BAC=40 °， AD是△ABC的角平分线，得
∠BAD= ∠BAC=20 °.
在△ABD中，
∠ADB=180°–∠B –∠BAD
=180°–75°–20°
=85°.
利用三角形的内角和定理求角的度数
素养考点 1
探究新知
如图，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，∠A＝50°，∠B＝70°，求∠EDC，∠BDC的度数．
解：∵∠A＝50°，∠B＝70°，
∴∠ACB＝180°–∠A–∠B＝60°.
∵CD是∠ACB的平分线，
∴∠BCD＝ ∠ACB＝30°.
∵DE∥BC，
∴∠EDC＝∠BCD＝30°，
在△BDC中，∠BDC＝180°–∠B –∠BCD=80°.
变式题
探究新知
如图，一种滑翔伞的形状是左右对称的四边形ABCD，其中∠A = 150°，∠B= ∠D=40°.求∠C的度数.
解：∠C＝180°×2–(40°＋40°＋150°)
＝130°.
在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝80°，则∠A的度数为(　　)
A．30°　　B．40°　 C．50° 　D．60°
D
巩固练习
如图，在△ABC中，∠B＝46°，∠C＝54°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE∥AB，交AC于点E，则∠ADE的大小是(　　)
A．45° B．54° C．40° D．50°
C
巩固练习
例2 如图，△ABC中，D在BC的延长线上，过D作
DE⊥AB于E，交AC于F.已知∠A＝30°，∠FCD＝80°， 求∠D.
解：∵DE⊥AB，∴∠FEA＝90°．
∵在△AEF中，∠FEA＝90°，∠A＝30°，
∴∠AFE＝180°–∠FEA–∠A＝60°.
又∵∠CFD＝∠AFE，
∴∠CFD＝60°.
∴在△CDF中，∠CFD＝60°，∠FCD＝80°，
∠D＝180°–∠CFD–∠FCD＝40°.
探究新知
直线l1∥l2，一块含45°角的直角三角尺如图放置，∠1＝85°，
则∠2＝________．
40°
巩固练习
l1
l2
基本图形
由三角形的内角和定理易得
∠A+∠B=∠C+∠D.
由三角形的内角和定理易得∠1+∠2=∠3+∠4.
归纳总结
探究新知
3
4
例3 在△ABC 中， ∠A 的度数是∠B 的度数的3倍，∠C 比∠B 大15°，求∠A，∠B，∠C的度数.
解: 设∠B度数为x，则∠A度数为3x，∠C度数为(x ＋ 15)， 从而有
3x ＋ x ＋(x ＋ 15)＝ 180.
解得 x ＝ 33.
所以 3x ＝ 99 ， x ＋ 15 ＝ 48.
答： ∠A， ∠B， ∠C的度数分别为99°， 33°，48°.
素养考点 2
方程的思想与三角形内角和定理的综合应用
探究新知
方法点拨： 三角形中求角的度数问题，当角之间存在数量关系时，一般根据三角形内角和为180°，列方程求解.
在△ABC中，∠A＝ ∠B＝ ∠ACB，CD是△ABC的高，CE是∠ACB的平分线，求∠DCE的度数．
分析：根据已知条件用∠A表示出∠B和∠ACB，利用三角形的内角和求出∠A，再求出∠ACB，∠ACD，最后根据角平分线的定义求出∠ACE即可求得∠DCE的度数．
比例关系可考虑用方程思想求角度.
变式题
探究新知
解：∵∠A＝ ∠B＝ ∠ACB，
设∠A＝x，∴∠B＝2x，∠ACB＝3x.
∵∠A＋∠B＋∠ACB＝180°，
∴x＋2x＋3x＝180°，得x＝30°，
∴∠A＝30°，∠ACB＝90°.
∵CD是△ABC的高，∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD＝180°–90°–30°＝60°.
∵CE是∠ACB的平分线，
∴∠ACE＝ ×90°＝45°，
∴∠DCE＝∠ACD–∠ACE＝60°–45°＝15°.
探究新知
②在△ABC中，∠A :∠B:∠C=1:2:3，则△ABC是
_________三角形 .
①在△ABC中，∠A=35°，∠ B=43 °，则∠ C= .
③在△ABC中， ∠A= ∠B+10°， ∠C= ∠A + 10°， 则 ∠A= ， ∠ B= ，∠ C= .
102°
直角
60°
50°
70°
巩固练习
完成下列各题.
解析：设∠A=x，∠B=2x，∠C=3x，由三角形的内角和定理得：x+2x+3x=180°，解得x=30°，3x=90°.
北
.
A
D
北
.
C
B
.
东
E
例4 如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80 °方向，C岛在B岛的北偏西40 °方向.从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是多少度？从C岛看A、
B两岛的视角∠ACB呢？
利用三角形的内角和定理解决实际问题(方位问题）
素养考点 3
探究新知
解： ∠CAB= ∠BAD– ∠CAD=80 °– 50°=30°.
由AD//BE，得∠BAD+ ∠ABE=180 °.
所以∠ABE=180 °– ∠BAD=180°–80°=100°，
∠ABC= ∠ABE– ∠EBC=100°–40°=60°.
在△ABC中，
∠ACB =180 °– ∠ABC– ∠ CAB
=180°–60°–30° =90°，
答：从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是60 °，从C岛看A，B两岛的视角∠ACB是90°.
北
.
A
D
北
.
C
B
.
东
E
探究新知
如图，一艘渔船在B处测得灯塔A在北偏东60°的方向，另一艘货轮在C处测得灯塔A在北偏东40°的方向，那么在灯塔A处观看B和C处时的视角∠BAC是多少度？
巩固练习
解：∵在B处测得灯塔A在北偏东60°的方向，
∴ ∠ABD＝60°.
又∵ ∠DBE＝90°，
∴ ∠ABE＝90°–∠ABD＝90°–60°＝30°.
∵在C处测得灯塔A在北偏东40°的方向，
∴ ∠ACE＝90°–40°＝50°.
∴ ∠BAC＝∠ACE–∠ABE＝50°–30°＝20°.
即在灯塔A处观看B和C处时的视角∠BAC是20°.
巩固练习
（2024·四川凉山州中考）如图，在△ABC中，∠BCD=30°，∠ACB=80°，CD是边AB上的高，AE是∠CAB的平分线，则∠AEB的度数是______．
解析：∵CD是边AB上的高，
∴∠CDB=∠CDA=90°.
∵∠BCD=30°，∠ACB=80°，
∴∠ACD=∠ACB-∠BCD=50°，∠CBD=90°-∠BCD=60°.
∴∠CAB=90°-∠ACD=40°.
∵AE是∠CAB的平分线 ，∴∠EAB= ∠CAB=20°.
∴∠AEB=180°-∠EAB-∠EBA=100°．
100°
链接中考
1.求出下列各图中的x值．
x=70
x=60
x=30
x=50
课堂检测
基础巩固题
3. 如图，则∠1+∠2+∠3+∠4=___________ .
B
A
C
D
4
1
3
2
E
40°
（
280 °
2. 在△ABC中，若∠A=30°，∠B=50°，则∠C=　　　　．
100°
课堂检测
1. 如图，四边形ABCD中，点E在BC上，∠A+∠ADE=180°，∠B=78°，∠C=60°，求∠EDC的度数．
解：∵∠A+∠ADE=180°，
∴AB∥DE，
∴∠CED=∠B=78°．
又∵∠C=60°，
∴∠EDC=180°–（∠CED+∠C）
=180°–（78°+60°）
=42°．
能力提升题
课堂检测
2.如图，在△ABC中，∠B=42°，∠C=78°，AD平分∠BAC．求∠ADC的度数.
解：∵∠B=42°，∠C=78°，
∴∠BAC=180°–∠B –∠C=60°.
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD= ∠BAC=30°，
∴∠ADC=180°–∠B–∠CAD=72°.
课堂检测
如图，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，若∠BAC=60°，求∠BPC的度数．
解：∵△ABC中，∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=120°．
∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，
∴∠PBC+∠PCB= （∠ABC+∠ACB）=60°．
∵∠PBC+∠PCB+∠BPC=180°，
∴∠BPC=180°–60°=120°．
拓广探索题
课堂检测
【思考】你能直接写出∠BPC与∠A 之间的数量关系吗？
解：∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，
∴∠PBC+∠PCB= （∠ABC+∠ACB）．
∵∠PBC+∠PCB+∠BPC=180°，
∴∠BPC=180°– （∠ABC+∠ACB）
=180°– （180°–∠A）=90°+ ∠A ．
课堂检测
（第1题）
1. 母题教材P12例1 如图，在 中，
， ，平分 ，
交于点，则 的大小是( )
C
A. B. C. D.
返回
（第2题）
2. 如图，点，分别在，
上，若 ， ，
则 的度数为( )
A. B. C. D.
A
3. 在中，，则 ( )
B
A. 是锐角三角形 B. 是直角三角形
C. 是钝角三角形 D. 不存在
返回
（第4题）
4. 母题教材P17习题 如图，
，，分别平分 和
，则 的度数是( )
A
A. B. C. D.
（第4题）
【点拨】，分别平分 和
，
， .在
中，
， ，
.
（第4题）
两内角平分线的夹角公式：如图，在 中，
，分别平分和，则 .
返回
（第5题）
5. 如图，考古学家发
现在地下 处有一座古墓，古墓上方是
燃气管道，为了不影响管道，准备在
处和处开工挖出“ ”字形通道.若
， ，则
的度数是____.
【点拨】 ， ，
， ，
.
返回
6.母题教材P17习题 如图，点在点 的
北偏西 方向上，点在点的北偏西
方向上，点在点的北偏东 方向上.
（1）求 的大小；
【解】如图，根据题意可得 ,
., ,
.
（2）求 的大小.
, , ,
.
返回
（第7题）
7. 如图，两面镜子
，的夹角为 ，当光线经过镜子反
射后，，.若 ，
则 的度数是( )
A
A. B. C. D.
求角度
证法
应用
转化为一个平角
或同旁内角互补
辅助线
三角形的内角和等于180 °
作平行线
转化思想
课堂小结
谢谢观看！

展开更多......

收起↑