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人教版（2024）版数学8年级上册
第十三章 三角形
13.3.1.2直角三角形的性质与判定
老大的度数为90°，老二若是比老大的度数大，那么老二的度数要大于90°，而三角形的内角和为180°，相互矛盾，因而是不可能的.
在这个家里，我是永远的老大.
13.3.1.2 直角三角形的性质与判定
生活中的直角三角形
观察下列生活场景，你能发现其中的直角三角形吗？
1. 墙角的三角区域（墙面与地面垂直）
2. 楼梯的倾斜踏板与竖直栏杆组成的图形
3. 测量用的含30°角的三角尺
直角三角形是特殊的三角形，它既具有三角形的共性，又有自身独特的性质。今天我们就来系统学习直角三角形的性质与判定方法。
一、认识直角三角形
1. 定义
有一个角是直角（90°）的三角形，叫做直角三角形。
其中，直角所对的边叫做斜边，夹直角的两条边叫做直角边。如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，则AB为斜边，AC、BC为直角边。
2. 表示方法
直角三角形用符号“Rt△”表示，顶点为A、B、C且∠C为直角的三角形，记作“Rt△ABC”，读作“直角三角形ABC”。
3. 基本构成
- 1个直角（90°），2个锐角（互余关系，后续证明）；
- 3条边：2条直角边，1条斜边（斜边是直角三角形中最长的边）。
二、直角三角形的性质（1）：两锐角互余
回顾三角形内角和定理，我们来探究直角三角形的锐角关系：
1. 性质推导
已知：Rt△ABC中，∠C=90°。
求证：∠A + ∠B = 90°。
证明：∵ 三角形内角和为180°（定理），∴ ∠A + ∠B + ∠C = 180°。
又∵ ∠C=90°（已知），∴ ∠A + ∠B = 180° - 90° = 90°。
性质1：直角三角形的两个锐角互余。
2. 简单应用
例1：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=35°，求∠B的度数。
解：根据直角三角形两锐角互余，∠A + ∠B = 90°，∴ ∠B = 90° - 35° = 55°。
例2：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A = ∠B，求∠A、∠B的度数。
解：∵ ∠A + ∠B = 90°且∠A = ∠B，∴ ∠A = ∠B = 45°，此三角形为等腰直角三角形。
三、直角三角形的性质（2）：斜边中线等于斜边的一半
1. 实验探究
操作步骤：
1. 画一个Rt△ABC，∠C=90°；
2. 找到斜边AB的中点D，连接CD（CD为斜边AB的中线）；
3. 用圆规测量CD和AB的长度，观察二者的关系。
实验结论：CD = AB。
2. 定理证明
已知：Rt△ABC中，∠C=90°，D是AB中点。
求证：CD = AB。
证明：延长CD至点E，使DE=CD，连接AE、BE。
∵ D是AB中点，∴ AD=BD。又∵ CD=DE，∠ADC=∠BDE，∴ △ADC≌△BDE（SAS）。
∴ ∠ACD=∠BED，AC=BE，故AC∥BE，∠CBE=180°-∠ACB=90°。
∴ △ACB≌△EBC（SAS），∴ AB=CE。又∵ CD= CE，∴ CD= AB。
性质2（斜边中线定理）：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
3. 应用示例
例3：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，求斜边中线CD的长度。
解：根据斜边中线定理，CD= AB= ×10=5cm。
四、直角三角形的判定（1）：定义法
1. 判定方法
判定1（定义法）：有一个角是直角（90°）的三角形是直角三角形。
几何表示：在△ABC中，若∠C=90°，则△ABC是Rt△ABC。
2. 应用场景
当已知三角形的一个角为90°，或能证明一个角为90°时，可直接判定为直角三角形。
3. 示例
例4：在△ABC中，∠A=50°，∠B=40°，判断△ABC是否为直角三角形。
解：∠C=180°-∠A-∠B=180°-50°-40°=90°，∴ △ABC是直角三角形。
五、直角三角形的判定（2）：两锐角互余法
1. 判定推导
已知：在△ABC中，∠A + ∠B = 90°。
求证：△ABC是直角三角形。
证明：∵ ∠A + ∠B + ∠C = 180°（内角和定理），且∠A + ∠B = 90°，∴ ∠C=90°，故△ABC是直角三角形。
判定2：有两个角互余的三角形是直角三角形。
2. 判定优势
无需直接证明角为90°，只需证明两个锐角和为90°，即可判定为直角三角形，简化推理过程。
3. 应用示例
例5：在△ABC中，∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°，用判定2验证△ABC是否为直角三角形。
解：∠A + ∠B = 30° + 60° = 90°，根据判定2，△ABC是直角三角形。
六、综合应用：性质与判定的灵活运用
例6：在Rt△ABC中，∠C=90°，D是AB的中点，∠A=30°，BC=5cm，求：（1）AB的长度；（2）CD的长度。
解：（1）在Rt△ABC中，∠A=30°，根据直角三角形特殊角性质（后续学习），30°角所对的直角边等于斜边的一半，即BC= AB，∴ AB=2BC=2×5=10cm；
（2）∵ D是AB中点，根据斜边中线定理，CD= AB= ×10=5cm。
例7：如图，在△ABC中，CD是AB边上的中线，CD=AD=BD，判断△ABC是否为直角三角形，并说明理由。
解：△ABC是直角三角形。理由：
∵ CD=AD，∴ ∠A=∠ACD；∵ CD=BD，∴ ∠B=∠BCD；
又∵ ∠A + ∠ACD + ∠B + ∠BCD = 180°，∴ 2(∠ACD + ∠BCD)=180°，即∠ACB=90°，故△ABC是直角三角形。
拓展结论：若一个三角形一边上的中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形（此为斜边中线定理的逆定理，可作为判定方法）。
七、知识梳理与总结
1. 核心性质
- 性质1：两锐角互余（∠A + ∠B = 90°，∠C=90°）；
- 性质2：斜边中线等于斜边的一半（CD= AB，D为AB中点）。
2. 判定方法
- 判定1：定义法——有一个角是90°；
- 判定2：两锐角互余——∠A + ∠B = 90°；
- 判定3：中线法——一边中线等于这边的一半。
3. 思想方法
- 转化思想：将直角三角形问题转化为三角形内角和或全等三角形问题解决；
- 逆向思维：由“直角三角形斜边中线等于斜边一半”推出逆定理，用于判定直角三角形。
4. 易错点提醒
1. 斜边中线定理仅适用于直角三角形，不可用于普通三角形；
2. 判定直角三角形时，注意“两锐角互余”是充要条件，无需额外证明直角；
3. 计算时注意区分斜边和直角边，斜边是最长边，避免混淆。
如下图所示是我们常用的三角板，两锐角的度数之和为多少度
30°+60°=90°
45°+45°=90°
直角三角形的两个锐角互余
知识点 1
问题1：
如图，在直角三角形ABC中， ∠C=90°，两锐角的和等于多少呢？
在直角三角形ABC中，因为 ∠C=90°，由三角形内角和定理，得 ∠A +∠B+∠C=180°，
即 ∠A +∠B=90°.
由此，你可以得到直角三角形有什么性质呢？
问题2：
A
B
C
直角三角形的两个锐角互余．(直角三角形的性质定理）　　
应用格式：
在Rt△ABC 中，
∵　∠C =90°，
∴　∠A +∠B =90°．　
直角三角形的表示：直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC 可以写成Rt△ABC ．
归纳总结
方法一（利用平行的判定和性质）：
∵∠B=∠C=90°，
∴AB∥CD，
∴∠A=∠D.
方法二（利用直角三角形的性质）：
∵∠B=∠C=90°，
∴∠A+∠AOB=90°，∠D+∠COD=90°.
∵∠AOB=∠COD，
∴∠A=∠D.
例1（1）如图 ，∠B=∠C=90°，AD交BC于点O，∠A与∠D有什么关系？
图
素养考点 1
利用直角三角形的性质证明角相等或求角的度数
探究新知
解：∠A=∠C.
理由如下：
∵∠B=∠D=90°，
∴∠A+∠AOB=90°，∠C+∠COD=90°.
∵∠AOB=∠COD，
∴∠A=∠C.
（2）如图 ，∠B=∠D=90°，AD交BC于点O，∠A与∠C有什么关系？请说明理由.
图
与图 有哪些共同点与不同点？
探究新知
在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是(　　)
A．120° B．90° 　 C．60° 　 D．30°
D
如图，AB∥CD，EF与AB，CD分别相交于点E，F，EP⊥EF，与∠EFD的平分线FP相交于点P，且∠BEP＝50°，则∠EPF＝(　 　)度
A．70 B．65
C．60 D．55
A
巩固练习
例2 如图， ∠C=∠D=90 °， AD， BC相交于点E. 比较∠CAE与∠DBE的大小.
A
B
C
D
E
解：在Rt△ACE中，
∠CAE=90 °– ∠AEC.
在Rt△BDE中，
∠DBE=90 °– ∠BED.
∵ ∠AEC= ∠BED，
∴ ∠CAE= ∠DBE.
探究新知
如图，在△ABC中，已知∠ACB＝67°，BE是AC上的高，CD是AB上的高，F是BE和CD的交点，∠DCB＝45°.求∠ABE的度数．
解：∵CD是AB上的高，
∴∠DBC＝90°–∠DCB＝90°–45°＝45°.
∵BE是AC上的高，
∴∠EBC＝90°–∠ECB＝90°–67°＝23°.
∴∠ABE＝∠ABC–∠EBC＝45°–23°＝22°.
巩固练习
【思考】通过前面的例题，你能画出这些题型的基本图形吗？
基本图形
∠A=∠C
∠A=∠D
归纳总结
探究新知
有两个角互余的三角形是直角三角形吗？
如图，在△ABC中， ∠A +∠B=90° ， 那么△ABC是直角三角形吗？
在△ABC中，
因为 ∠A +∠B +∠C=180°，
又 ∠A +∠B=90°，
所以∠C=90°.
即△ABC是直角三角形.
有两个角互余的三角形是直角三角形
知识点 2
探究新知
A
B
C
A
B
C
应用格式：
在△ABC 中，
∵　∠A +∠B =90°，
∴　△ABC 是直角三角形．
有两个角互余的三角形是直角三角形.　(直角三角形的判定定理）　　
归纳总结
探究新知
例1 如图，∠C=90 °， ∠1= ∠2，△ADE是直角三
角形吗？为什么？
A
C
B
D
E
(
(
1
2
解：在Rt△ABC中，
∠2+ ∠A=90 °.
∵ ∠1= ∠2，
∴∠1 + ∠A=90 °.
即△ADE是直角三角形.
素养考点 2
利用直角三角形的判定定理识别直角三角形
探究新知
例2 如图，CE⊥AD，垂足为E，∠A=∠C，△ABD是
直角三角形吗？为什么？
解：△ABD是直角三角形.理由如下：
∵CE⊥AD，
∴∠CED=90°，
∴∠C+∠D=90°，
∵∠A=∠C，
∴∠A+∠D=90°，
∴△ABD是直角三角形.
探究新知
如图，BD平分∠ABC，∠ADB＝60°，∠BDC＝80°，∠C＝70°.试判断△ABD的形状．
解：在△DBC中，∠DBC＝180°–∠BDC–∠C
＝180°–80°–70°＝30°.
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC＝30°.
在△ABD中，
∵∠ADB＋∠ABD＝60°＋30°＝90°，
∴△ABD是直角三角形．
巩固练习
（2024·黑龙江齐齐哈尔中考）将一个含30°角的三角尺和直尺如图放置，若∠1=50°，则∠2的度数是（ ）
A.30° B.40° C.50° D.60°
B
链接中考
1. 在中， ，，则 等于( )
A
A. B. C. D.
（第2题）
2. ［2025重庆八中月考］如图，已知直
线，直线与直线， 分别交于点
，，交直线于点 .若
，则 的度数为( )
B
A. B. C. D.
返回
3. 将一个含 角的三角尺和直尺如图放置，若 ，
则 的度数是( )
B
（第3题）
A. B. C. D.
返回
（第4题）
4. 如图，点，分别在线段，
上，于点，于点 ，
若，则图中与 互余的角有
( )
D
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
返回
（第5题）
5. 如图，是的高，是 的
角平分线，，相交于点 ，已知
，则 的度数为( )
C
A. B. C. D.
返回
6. 在中， ，
则 的值是______.
2或6
【点拨】设,,的度数分别为,,.当 为直角
时，,解得；当 为直角时，
,解得.故 的值为2或6.
在没有确定三角形最大内角的情况下，应分类讨论
作答，做到不漏解不错解.
. .
返回
7.如图，小明在计算机上用“几何画板”画了一个 ,
,并画出了两锐角的平分线,及其交点 .小明
发现，无论怎样改变的形状和大小， 的度数
是定值.这个定值为______.
【点拨】 , . 平分
,平分,, ,
,
.
返回
8.如图，在中，是边上的高，点
是上一点，连接交于点 ，且
，求证： 是直角三角形.
【证明】是边上的高， .
， ，
， 是直角三角形.
返回
9. ［2025日照月考］已知的三个角分别是， ，
，下列式子中：
； ；
； ；
，
不能判断 是直角三角形的有( )
C
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
直角三角形的性质与判定
性质
直角三角形的两个锐角互余
判定
有两个角互余的三角形是直角三角形
课堂小结
谢谢观看！

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