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(共35张PPT)
人教版（2024）版数学8年级上册
第16章 整式的乘法
16.2.1单项式与单项式相乘
1. 单项式中的数字因数叫作这个单项式的______.
2. 单项式 –x2y 的系数是______.
3. 单项式的 (–2xy)2 的系数是______.
系数
–1
4
一、单项式
16.2.1 单项式与单项式相乘
16.2.1 单项式与单项式相乘
从指数运算到整式乘法的跨越
—— 人教版八年级数学上册 ——
一、复习旧知：夯实运算基础
1. 核心运算法则回顾（直接运用）
同底数幂的乘法
法则：a ·a = a^(m+n)（m、n为正整数）
示例：10 ×10 = 10^(3+5) = 10
幂的乘方
法则：(a ) = a^(mn)（m、n为正整数）
示例：(a ) = a^(4×3) = a
积的乘方
法则：(ab) = a b （n为正整数）
示例：(-2xy) = (-2) x y = -8x y
有理数乘法
法则：先定符号，再算绝对值
示例：(-3)×(+4) = -12；2×(-5)×(-3) = 30
2. 快速热身（检验掌握情况）
- ① (-2)×3×(-4) = ________ （有理数乘法）
- ② a ·a = ________ （同底数幂乘法）
- ③ (x ) = ________ （幂的乘方）
- ④ (2b) = ________ （积的乘方）
二、情境导入：发现新运算
问题1：一个长方形的电子屏，长为2a cm，宽为3b cm，它的面积是多少平方厘米？
分析：长方形面积 = 长×宽，因此面积表达式为：2a × 3b
问题2：若将这个电子屏的长扩大为原来的2a倍，宽不变，新的面积是多少？
分析：新长为2a×2a = 4a ，新面积表达式为：4a × 3b
长：2a
宽：3b
长方形电子屏示意图
思考：
2a×3b、4a ×3b中，2a、3b、4a 都是单项式，这样的运算就是“单项式与单项式相乘”，该如何计算呢？
三、探究活动：推导运算法则
步骤1：结合已有知识计算具体式子，拆解运算过程
例1：计算 2a × 3b
解：根据乘法交换律和结合律，重新组合因数
2a × 3b = (2×3) × (a×b) = 6ab
（将系数相乘，相同字母分别相乘）
例2：计算 4a × 3b × 2a
解：同样利用运算律组合因数
4a × 3b × 2a = (4×3×2) × (a ×a) × b = 24 × a^(2+1) × b = 24a b
（系数相乘，同底数幂相乘，单独字母保留）
步骤2：推广到一般形式，总结法则
设两个单项式分别为：k·a^m·b^n 和 l·a^p·b^q（k、l为系数，m、n、p、q为非负整数）
则它们的积为：
(k·a^m·b^n) × (l·a^p·b^q) = (k×l) × (a^m×a^p) × (b^n×b^q) = (kl)·a^(m+p)·b^(n+q)
小组讨论：从上述计算中，你认为单项式与单项式相乘的核心步骤是什么？
四、法则总结：单项式与单项式相乘
单项式与单项式相乘的法则
1. 系数相乘：把两个单项式的系数相乘，结果作为积的系数（注意符号）；
2. 同底数幂相乘：对于相同字母，按照同底数幂的乘法法则计算（底数不变，指数相加）；
3. 单独字母保留：只在一个单项式中出现的字母，连同它的指数一起作为积的一个因式。
口诀：系数相乘，同幂相加，独幂保留
特别提醒：
- ① 运算顺序：先定系数符号，再算系数绝对值，最后处理字母部分；
- ② 指数为1时省略不写，计算时需注意（如a = a ）；
- ③ 结果仍为单项式，且要化为最简形式（系数为整数，不含同类项）。
五、基础应用：分步拆解例题
例1：计算 (-2x) × (3x y)
解：分步运用法则
① 系数相乘：(-2) × 3 = -6；
② 同底数幂相乘：x × x = x^(1+2) = x ；
③ 单独字母保留：y 直接作为因式；
④ 合并结果：-6 × x × y = -6x y。
例2：计算 (4a b) × (-2ab ) × (5abc)
解：多个单项式相乘，法则同样适用
① 系数相乘：4 × (-2) × 5 = -40；
② 同底数幂相乘：a ×a×a = a^(2+1+1) = a ；b×b ×b = b^(1+3+1) = b ；
③ 单独字母保留：c 直接作为因式；
④ 合并结果：-40a b c。
例3：计算 (-3x y) × (2xy )
解：含乘方的混合运算，先算乘方，再算乘法
① 先算乘方：(-3x y) = (-3) ×(x ) ×y = 9x y ；
② 再算单项式相乘：9x y × 2xy = (9×2)×(x ×x)×(y ×y ) = 18x y 。
六、易错辨析与进阶练习
易错点警示（判断对错并改正）
- ① (-2a)×3a = 6a （ ） 改正：____________________
- ② 3x ×4x = 12x （ ） 改正：____________________
- ③ 2a ×(-3b) = -6a （ ） 改正：____________________
- ④ (2x y)×(-xy) = -2x y （ ） 改正：____________________
进阶练习（独立完成）
1. ① (5x ) × (-2x y) = ____________________
2. ② (-3ab) × (2a b) × (-a) = ____________________
3. ③ (2x y) × (-3xy ) = ____________________
4. ④ 已知单项式3a^m b 与-2a b^n的积为-6a b ，求m、n的值。
七、实际应用与法则逆用
应用1：解决实际问题
一个正方体零件的棱长为2×10 mm，现在要在它的表面镀一层厚度为3×10 mm的金属膜，求需要金属膜的体积（不计零件表面凸起）。
提示：金属膜体积 ≈ 正方体表面积 × 膜厚度
① 正方体表面积 = 6×(棱长) = 6×(2×10 ) = 6×4×10 = 24×10 = 2.4×10 mm ；
② 金属膜体积 = 2.4×10 × 3×10 = (2.4×3)×(10 ×10 ) = 7.2×10 mm 。
应用2：法则逆用（简便计算）
计算：(4×10 )×(5×10 )×(3×10 )
逆用乘法交换律和结合律，分组计算：
原式 = (4×5×3)×(10 ×10 ×10 ) = 60×10^(15) = 6×10^(16)。
八、课堂小结与拓展
核心步骤
1. 系数相乘（定符号）
2. 同底数幂相乘
3. 单独字母保留
易错点
- 系数符号出错
- 同底数幂指数相加错误
- 遗漏单独字母
知识链接
单项式×单项式 → 后续将学习：
单项式×多项式
多项式×多项式
掌握单项式乘法，是整式乘法的基础，牢记法则，细心运算！
1. 同底数幂相乘，底数______，指数______.
不变
相加
am·an = _______ (m、n都是正整数)
am+n
2. 幂的乘方，底数______，指数______.
不变
相乘
(am)n = _______ (m、n都是正整数)
amn
3. 积的乘方，等于把积的每一个因式分别_____，再把所得的幂______.
乘方
相乘
(ab)n = _______ (n是正整数)
anbn
二、幂的运算
单项式与单项式相乘
光的速度约是3×105km/s，太阳光照射到地球上需要的时间大约是5×102s，你知道地球与太阳的距离约是多少吗
根据乘法的意义，地球与太阳的距离约是(3×105)×(5×102)km.
知识点 1
(3×105)×(5×102)
=(3×5)×(105×102)
=15×107.
乘法交换律、结合律
同底数幂的乘法
这样书写规范吗？
不规范，应为1.5×108.
怎样计算(3 ×105)×(5 ×102)？计算过程中用到了哪些运算律及运算性质？
想一想
如果将上式中的数字改为字母，比如ac5 ·bc2，怎样计算这个式子？
根据以上计算，想一想如何计算单项式乘以单项式？
ac5 · bc2 =(a ·b) ·(c5·c2) (乘法的交换律、结合律)
=abc5+2 (同底数幂的乘法)
=abc7.
单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.
单项式与单项式的乘法法则
例1 计算：
(1)3xy2·2y3 ； (2)(–5a2b)(–3a)；
(3)(2x)3(–5xy2); (4)(-3x2y)2(-xy3)2.
(2) (–5a2b)(–3a)= [(–5)×(–3)](a2 a)b= 15a3b.
素养考点 1
单项式乘单项式的法则的应用
解:(1) 3xy2·2y3 =(3×2)x·(y2·y3)=6xy5.
(3) (2x)3(–5xy2) =8x3(–5xy2)=[8×(–5)](x3 x)y2= –40x4y2.
单项式与单项式相乘
有理数的乘法与同底数幂的乘法
乘法交换律和结合律
转化
单项式相乘的结果仍是单项式.
(4) (-3x2y)2(-xy3)2=9x4y2·x2y6=9(x4·x2)(y2·y6)=9x6y8.
由(ab)n=anbn,可知anbn=(ab)n,据此你能给出例1（4）的其他解法吗？
(4) (-3x2y)2(-xy3)2=[(-3x2y)(-xy3)]2={[(-3)×
(-1)](x2·x)(y·y3)}2=(3x3y4)2= 9x6y8.
方法点拨
1. 在计算时，应先确定积的符号，积的系数等于各因式系数的积；
2. 注意按顺序运算；
3. 不要漏掉只在一个单项式里含有的字母因式；
4. 此法则对三个及以上单项式相乘仍然适用．
下面各题的计算结果对不对？如果不对，应当怎样改正？
(1)3a3 ·2a2=6a6 ( ) 改正： .
(2)3x2 ·(-4x2) =-12x2 ( ) 改正： .
(3) 5y3·3y5=15y15 ( ) 改正： .
(4)x2·y2(-xy3)2=x4y8( )改正： .
3a3 ·2a2=6a5
3x2 ·(-4x2) =-12x4
5y3·3y5=15y8
×
×
巩固练习
×
√
计算：
(1) 3x2 ·5x3 ； (2)6x2·3xy；
(3) 4y ·(–2xy2)； (4)-2ab2·(-3ab).
解：(1)原式=(3×5)(x2·x3)=15x5；
(2)原式=(6×3)(x2·x)y=18x3y；
(3)原式=[4×(–2)](y·y2) ·x= –8xy3；
(4)原式=[(-2)×(-3)](a·a)(b2·b)=6a2b3.
单独因式x，y别漏乘、漏写
有乘方运算，先算乘方，再算单项式相乘.
巩固练习
例2 已知–2x3m＋1y2n与7xn–6y–3–m的积与x4y是同类项，求m2＋n的值．
解：∵–2x3m＋1y2n与7xn–6y–3–m的积与x4y是同类项，
∴m2＋n＝7.
解得
方法总结：单项式乘以单项式就是把它们的系数和同底数幂分别相乘，结合同类项的定义，列出二元一次方程组求出参数的值，然后代入求值即可．
素养考点 2
利用单项式乘单项式的法则求字母的值
解得
∴m、n的值分别是1，2.
已知 求 的值.
解：∵
巩固练习
∴
∴
单项式与多项式相乘
如图，试求出三块草坪的总面积是多少？
p
a
p
b
p
c
知识点 2
如果把它看成三个小长方形，那么它们的面积可分别表示为_____、_____、_____.
pa
pc
pb
pa+pb+pc
总面积可表示为_________.
p
a
p
b
p
c
如果把它看成一个大长方形，那么它的长为________，面积可表示为_________.
p(a+b+c)
(a+b+c)
c
b
a
p
pa+pb+pc
p(a+b+c)
pa+pb+pc
p(a+b+c)
p (a + b+ c)
pb
+
pc
pa
+
根据乘法的分配律
单项式与多项式相乘，就是用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加.
1. 依据是乘法分配律.
2. 积的项数与多项式的项数相同.
注意
P
b
p
a
p
c
单项式乘多项式的法则
例1 计算：
(1)(–4x)·(2x2+3x–1)；
解：(1)(–4x)·(2x2+3x–1)
＝
＝–8x3–12x2+4x.
(–4x)·(2x2)
(–4x)·3x
(–4x)·(–1)
+
+
(2)原式
单项式与多项式相乘
单项式与单项式相乘
乘法分配律
转化
素养考点 1
利用单项式乘多项式的法则进行运算
方法总结：1.用单项式去乘多项式的每一项，结果是一个多项式，项数与因式中多项式的项数相同.2.含有混合运算的应注意运算顺序，有同类项必须合并同类项，从而得到最简结果.
（2）（ab2-2ab）·ab.
①
②
③
下列各题的解法是否正确，如果错了，指出错在什么地方，并改正过来.
×
×
×
漏了字母c
漏乘1
符号没有变化
巩固练习
例2 先化简，再求值：3a(2a2–4a＋3)–2a2(3a＋4)，
其中a＝–2.
当a＝–2时，
解：3a(2a2–4a＋3)–2a2(3a＋4)
＝6a3–12a2＋9a–6a3–8a2
＝–20a2＋9a.
原式＝–20×(–2)2+9×(–2)
= –20×4–9×2
＝–98.
方法总结：按运算法则进行化简，然后代入求值，特别注意的是代入“负数”要用括号括起来．
素养考点 2
单项式乘多项式的化简求值问题
先化简再求值:
巩固练习
解:原式=
原式=
例3 如果(–3x)2(x2–2nx＋2)的展开式中不含x3项，求n的值．
方法总结：在整式乘法的混合运算中，要注意运算顺序.注意当要求多项式中不含有哪一项时，则表示这一项的系数为0.
解：(–3x)2(x2–2nx＋2)
＝9x2(x2–2nx＋2)
＝9x4–18nx3＋18x2.
∵展开式中不含x3项，
∴n＝0.
素养考点 3
利用单项式乘多项式的法则求字母的值
如果(x+a)x–2(x+a)的结果中不含x项，那么a的值为(　　)
A.2　　 B.–2　　 C.0.5　 　D.–0.5
解析：(x+a)x–2(x+a)=x2+ax–2x–2a
=x2+(a–2)x–2a.
∵ x2+(a–2)x–2a中不含x项，
∴ a–2=0，即a=2.
A
巩固练习
1. 计算 的结果是( )
C
A. 0 B.
C. D.
2. 母题教材P103思考 计算 的结果
用科学记数法表示正确的是( )
D
A. 180 000 000 B.
C. D.
返回
3.［2025南阳月考］已知单项式与 的积为
，则 的值为____.
【点拨】 ，
，， ，
.
返回
4.母题教材P104练习 计算：
（1） ；
【解】原式 .
（2） ；
原式 .
（3） .
原式 .
返回
5. ［2025重庆北碚区月考］若单项式 与
是同类项，则这两个单项式的积是( )
D
A. B.
C. D.
【点拨】由题意可得解得 这两
个单项式分别是， ，
.
返回
6. 设，则 的值为
( )
C
A. B. 1 C. D.
【点拨】 ，
, ，
， .
返回
7. 如果 表示 ， 表示
，那么 _________.（用含有， 的代数
式表示）
【点拨】根据题意，得 ×
.
返回
8. 小王购买了一套房子，
他准备将地面都铺上地砖，地面结构如
图所示，请根据图中的数据
（单位： ），解答下列问题：
（1）用含， 的代数式表示地面总面积.
【解】地面总面积为 .
（2）若，，铺 地砖的平
均费用为100元，则铺地砖的总费用为多
少元？
当，，铺 地砖的平均费
用为100元时，总费用为 （元）.
返回
单项式与单项式、多项式相乘
单项式乘单项式
实质上是转化为同底数幂的运算
单项式乘
多项式
实质上是转化为单项式×单项式
四点注意
(1)计算时，要注意符号问题，多项式中每一项都包括它前面的符号，单项式分别与多项式的每一项相乘时，同号相乘得正，异号相乘得负
(2)不要出现漏乘现象
(3)运算要有顺序：先乘方，再乘除，最后加减
(4)对于混合运算，注意最后应合并同类项
课堂小结
谢谢观看！

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