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人教版（2024）版数学8年级上册
第16章 整式的乘法
16.2.2单项式与多项式相乘
一个长方形工件相邻的两边长分别为 4m2n 和 3m2n2(其中m，n均为正数)，则它的面积是多少？
①长方形的面积 = ________
长×宽
②列式：________________
(4m2n)·(3m2n2)
③计算——单项式乘单项式：
(4m2n)·(3m2n2)
= 12m4n3
= 4×3×(m2·m2)×(n·n2)
16.2.2 单项式与多项式相乘
16.2.2 单项式与多项式相乘
从单项式乘法到整式乘法的延伸
—— 人教版八年级数学上册 ——
一、复习回顾：筑牢前置基础
1. 核心法则回顾
单项式×单项式法则
系数相乘，同幂相加，独幂保留
示例：(-2x y)×3xy = -6x y
乘法分配律
a(b+c+d) = ab + ac + ad（a、b、c、d为有理数）
示例：2×(3+4-5) = 2×3 + 2×4 - 2×5 = 6+8-10=4
2. 快速计算（检验掌握情况）
- ① 3x × (-4x ) = ________ （单项式×单项式）
- ② (-5)×(2 - 3 + 1) = ________ （乘法分配律）
- ③ 2a b × (-3ab c) = ________ （单项式×单项式）
- ④ (-1/2)×(4x - 6y) = ________ （尝试用分配律计算）
二、情境导入：发现新运算
问题1：为美化校园，学校要在一块长方形草坪上种植花卉，草坪长为(3a + 2b)米，宽为2a米，这块草坪的面积是多少平方米？
分析：长方形面积 = 长×宽，因此面积表达式为：2a × (3a + 2b)
问题2：若将草坪的宽增加b米，形成新的长方形，新面积又该如何表示？
分析：新宽为(2a + b)，新面积表达式为：(3a + 2b) × (2a + b)（后续学习），而原面积2a×(3a+2b)中，2a是单项式，3a+2b是多项式。
长：3a + 2b
宽：2a
长方形草坪示意图
思考：
2a×(3a + 2b)这样“单项式×多项式”的运算，该如何借助已有知识计算？能否用乘法分配律解决？
三、探究活动：推导运算法则
步骤1：借助乘法分配律，将多项式转化为单项式
例1：计算 2a × (3a + 2b)
解：把多项式(3a + 2b)看成“3a”和“+2b”两个单项式的和，运用乘法分配律
2a × (3a + 2b) = 2a × 3a + 2a × 2b （用单项式乘多项式的每一项）
= 6a + 4ab （分别计算单项式×单项式，结果相加）
步骤2：拓展到含负号的多项式，强化符号意识
例2：计算 (-2x) × (x - 3x + 1)
解：多项式的每一项都要包括符号，分配律同样适用
(-2x) × (x - 3x + 1) = (-2x)×x + (-2x)×(-3x) + (-2x)×1
= -2x + 6x - 2x （注意符号的正负）
步骤3：总结一般法则
小组讨论：结合上述计算，单项式与多项式相乘的核心是什么？
核心：转化思想——将“单项式×多项式”转化为“单项式×单项式”，再把结果相加。
四、法则总结：单项式与多项式相乘
单项式与多项式相乘的法则
1. 分配相乘：用单项式去乘多项式的每一项（包括符号）；
2. 计算积：再把所得的积相加。
字母表示：m(a + b + c) = ma + mb + mc （m为单项式，a、b、c为多项式的项）
口诀：单乘每一项，积后再相加，符号要紧跟，结果最简化
特别提醒：
- ① 多项式有几项，积就有几项，不可漏乘任何一项；
- ② 单项式的符号要与多项式每一项的符号同时参与运算，准确判断积的符号；
- ③ 最终结果要合并同类项（若有），化为最简形式。
五、基础应用：分步拆解例题
例1：计算 3x × (2x - x + 5)
解：按法则分步运算，注意符号和指数
① 单乘第一项：3x × 2x = 6x^(2+3) = 6x ；
② 单乘第二项：3x × (-x ) = -3x^(2+2) = -3x ；
③ 单乘第三项：3x × 5 = 15x ；
④ 积相加：6x - 3x + 15x （无同类项，直接保留）。
例2：计算 (-4ab) × (1/2a b - ab + 3/4b)
解：单项式含负号，每一项相乘都要注意符号
① 单乘第一项：(-4ab)×(1/2a b) = (-4×1/2)a^(1+2)b^(1+1) = -2a b ；
② 单乘第二项：(-4ab)×(-ab ) = (-4×(-1))a^(1+1)b^(1+2) = 4a b ；
③ 单乘第三项：(-4ab)×(3/4b) = (-4×3/4)a b^(1+1) = -3ab ；
④ 积相加：-2a b + 4a b - 3ab 。
例3：计算 2a × (3ab - 5ab) - 4a b × (b - 2)
解：含混合运算，先算乘法，再算减法
① 先算第一个乘法：2a ×3ab - 2a ×5ab = 6a b - 10a b；
② 再算第二个乘法：4a b×b - 4a b×2 = 4a b - 8a b；
③ 最后算减法：(6a b - 10a b) - (4a b - 8a b) = 6a b - 10a b - 4a b + 8a b = 2a b - 2a b（合并同类项）。
六、易错辨析与进阶练习
易错点警示（判断对错并改正）
- ① 2x×(x + y) = 2x + y （ ） 改正：____________________
- ② (-3a)×(a - 2a) = -3a - 6a （ ） 改正：____________________
- ③ x ×(2x - 1) = 2x - 1 （ ） 改正：____________________
- ④ 2a×(3a + 2b - 1) = 6a + 4ab （ ） 改正：____________________
进阶练习（独立完成）
1. ① (-2x)×(3x - 4x + 2) = ____________________
2. ② 3ab×(a b - ab + ab) - ab ×(2a - 3ab) = ____________________
3. ③ 已知多项式x + ax - b与单项式2x的积中，不含x 项和x项，求a、b的值。
七、实际应用与法则逆用
应用1：解决几何问题
一个梯形的上底为(2x + y)cm，下底为(3x - 2y)cm，高为4x cm，求这个梯形的面积。（梯形面积 = 1/2×(上底+下底)×高）
解：① 先算上底+下底：(2x + y) + (3x - 2y) = 5x - y；
② 再算面积：1/2×(5x - y)×4x = (1/2×4x)×(5x - y) = 2x×(5x - y) = 10x - 2xy（cm ）。
应用2：法则逆用（分解单项式）
已知ma + mb + mc = 6a b + 3ab - 9abc，且m为单项式，求m的值。
解：逆用法则，m是各项的公因式
6a b = 3ab×2a，3ab = 3ab×b，-9abc = 3ab×(-3c)；
因此m = 3ab，原式 = 3ab×(2a + b - 3c)。
八、课堂小结与拓展
核心逻辑
转化思想：
单项式×多项式 → 单项式×单项式 → 积相加
易错点汇总
- 漏乘多项式的常数项或符号项
- 单项式与多项式各项相乘时符号错误
- 同底数幂相乘时指数计算错误
- 结果中同类项未合并或合并错误
知识脉络
已学：有理数乘法 → 幂的运算 → 单项式×单项式 → 单项式×多项式
后续：多项式×多项式（继续用转化思想）
牢记转化思想，精准把握符号和指数运算，为后续学习奠定基础！
　为了扩大绿地面积，要把街心花园的一块长为 p m，宽为 b m 的长方形绿地，向两边分别加宽 a m 和 c m，你能用几种方法表示扩大后的绿地面积？
p
b
p
p
p
a
c
b
c
p
a
b
①
②
两个式子表示同一个数量，所以
=
你能通过怎样的推理得到这个等式？
p(a + b + c)
pa
pb
pc
+
+
=
乘法分配律
c
pb
pa
pc
p
a
b
数形结合
一般地，单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.
上面的等式提供了单项式和多项式相乘的方法：
①不能漏乘；
②注意符号，“每一项”包括其前面的符号；
③单项式与多项式相乘的结果是一个多项式，且项数与因数中多项式的项数相同，可据此检验是否有漏乘.
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
1
2
3
4
(a+b)(m+n)
=
am
1
2
3
4
+an
+bm
+bn
“多乘多” 顺口溜：
多乘多，来计算，多项式各项都见面，
乘后结果要相加，化简、排列才算完.
多项式乘多项式
例1 计算: （1）(a+3)(a-2)； (2)(3x+1)(x+2)；
解： (1)原式=a·a+a·(-2)+3a+3×(-2)
=a2-2a+3a-6
=a2+a-6.
(2)原式=3x·x+3x·2+1·x+1×2
=3x2+6x+x+2
=3x2+7x+2.
素养考点 1
用多项式乘多项式的法则进行计算
结果中有同类项的要合并同类项.
(4)原式=a·a2–a·ab+ab2+a2b–ab2+b·b2
=a3–a2b+ab2+a2b–ab2+b3
= a3+b3.
需要注意的几个问题：(1)漏乘；(2)符号问题；
(3)最后结果应化成最简形式.
(3)(x–8y)(x–y)； (4) (a+b)(a2–ab+b2).
(3)原式=x·x–xy–8xy+8y2
=x2–9xy+8y2.
计算时不能漏乘.
计算时要注意符号问题.
快速训练:
(1) (2x+1)(x+3); (2) (m+2n)(3n-m)；
(3) ( a – 1)2 ； (4) (a+3b)(a –3b )；
(5) (x+2)(x+3); (6) (x–4)(x+1)；
(7) (x+4)(x–2); (8) (x–5)(x–3).
a2–9b2
巩固练习
2x2+7x+3
-m2+mn+6n2
a2–2a+1
x2+5x+6
x2–3x–4
x2+2x–8
x2–8x+15
例2 先化简，再求值：(a–2b)(a2＋2ab＋4b2)–a(a–5b)(a＋3b)，其中a＝–1，b＝1.
当a＝–1，b＝1时，
解：原式＝a3–8b3–(a2–5ab)(a＋3b)
＝a3–8b3–a3–3a2b＋5a2b＋15ab2
＝–8b3＋2a2b＋15ab2.
原式＝–8＋2–15＝–21.
素养考点 2
用多项式乘多项式的法则进行化简求值
先化简，再求值.
(x–y)(x–2y) – (2x–3y)(x+2y)，其中 .
x= –2，y=
解：(x–y)(x–2y) – (2x–3y)(x+2y)
=x2–2xy–xy+2y2–(2x2+4xy–3xy–6y2)
=x2–2xy–xy+2y2–2x2–xy+6y2
= –x2–4xy+8y2.
当x= –2，y= 时，
原式= –6.
巩固练习
例3 已知ax2＋bx＋1(a≠0)与3x–2的积不含x2项，也不含x项，求系数a、b的值．
解：(ax2＋bx＋1)(3x–2)
＝3ax3–2ax2＋3bx2–2bx＋3x–2
=3ax3+(-2a+3b) x2+(-2b+3)x-2.
∵积不含x2项，也不含x项，
方法总结：解决此类问题首先要利用多项式乘多项式法则计算出展开式，合并同类项后，再根据不含某一项，可得这一项系数等于零，再列出方程(组)解答．
(1)计算m2–(m+1)(m–5)的结果正确的是( )
A.–4m–5 B.4m+5
C.m2–4m+5 D.m2+4m–5
(2)(1+x)(2x2+ax+1)的结果中x2项的系数为–2，则a的值为( )
A.–2 B.1
C.–4 D.以上都不对
B
C
1. 化简： ( )
A
A. B.
C. D.
2. 方程 的解是( )
D
A. B. C. D.
返回
3. 一个长方体的长、宽、高分别为,和 ,则它的体积
等于( )
C
A. B. C. D.
4. ［2025南阳月考］已知 ，则代数式
的值为( )
B
A. 3 B. C. D. 8
返回
5. 数学课上，老师讲了单项式与多项式相
乘，回到家，小丽拿出课堂笔记复习，突然发现一道题：
,“ ”的地方被墨水
污染了，则“ ”上应是( )
A
A. B. 1 C. D.
返回
6.母题教材P105例2 计算：
（1） ；
【解】原式 .
（2） ；
原式
.
（3） .
原式 .
返回
7.为自然数，那么式子 能否被3整除？
【解】原式 ，则代数式
能被3整除.
返回
8.已知有理数,,满足 ，
先化简，再求值： .
【解】 .
由,得
解得 原式 .
返回
9. 已知，当 为任意数时
该等式都成立，则 的值为( )
B
A. 17 B. C. D.
【点拨】先把原等式变形为
，根据当 为任意数时该
等式都成立，可得, ，然后代入，即可求解.
返回
10. 如图所示的运算程序中，甲输入的为 ，乙输入
的为，丙输入的为.若 ，则输出
结果相同的是( )
B
A. 甲和乙 B. 甲和丙
C. 乙和丙 D. 三人均不相同
多项式乘多项式
运算法则
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn
注意
不要漏乘；正确确定各项符号；结果要最简.
实质上是转化为单项式乘多项式的运算.
(x–1)2在一般情况下不等于x2–12.
课堂小结
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