资源简介

(共44张PPT)
人教版（2024）版数学8年级上册
第16章 整式的乘法
16.2.3多项式与多项式相乘
计算：（1）m(m – 1) – 3m(m+1) – 2m(5m – 4)；
解：（1）原式 = m2 – m – 3m2 – 3m – 10m2 + 8m
（2）[xy(x2 – xy) – x2y(x – y)]·3xy2.
= – 12m2 + 4m
（2）原式 = [(x3y – x2y2) – (x3y – x2y2)]·3xy2
= 0·3xy2
= 0
16.2.3 多项式与多项式相乘
16.2.3 多项式与多项式相乘
整式乘法的完整探索
—— 人教版八年级数学上册 ——
一、复习回顾：衔接前置知识
1. 核心运算法则回顾
单项式×单项式
系数相乘，同幂相加，独幂保留
示例：2x ·(-3xy) = -6x y
单项式×多项式
单乘每一项，积后再相加
示例：3x·(2x - y) = 6x - 3xy
2. 快速热身（检验掌握情况）
- ① (-a)·(2a ) = ________ （单项式×单项式）
- ② 2y·(y - 3y + 1) = ________ （单项式×多项式）
- ③ (-4x)·(x - 2) = ________ （单项式×多项式）
- ④ 思考：若将2y·(y - 3y + 1)中“2y”换成“(y + 1)”，即(y + 1)(y - 3y + 1)，该如何计算？
二、情境导入：发现新运算
问题1：为规划校园布局，学校拟新建一块长方形活动区，长为(a + b)米，宽为(m + n)米，这块活动区的面积是多少平方米？
分析：长方形面积 = 长×宽，因此面积表达式为：(a + b)(m + n)
问题2：若a=10，b=5，m=8，n=4，你能通过两种方法计算面积，验证表达式的合理性吗？
a
b
n
m
长方形活动区示意图
思考：
(a + b)(m + n)中，(a + b)和(m + n)都是多项式，这样的“多项式×多项式”运算，能否借助已有知识转化为熟悉的运算？
三、探究活动：推导运算法则
步骤1：借助图形分割，直观理解面积组成
将长(a + b)、宽(m + n)的长方形分割为4个小长方形，面积分别为：
① 长a、宽m：面积 = am；② 长a、宽n：面积 = an；
③ 长b、宽m：面积 = bm；④ 长b、宽n：面积 = bn；
因此，大长方形面积 = am + an + bm + bn，即(a + b)(m + n) = am + an + bm + bn。
步骤2：借助转化思想，代数推导法则
把多项式(a + b)看成一个整体（单项式），运用单项式×多项式法则：
(a + b)(m + n) = (a + b)·m + (a + b)·n （用“单项式”乘多项式的每一项）
= a·m + b·m + a·n + b·n （再分别运用单项式×多项式法则）
= am + bm + an + bn （整理结果，可按字母顺序排列）
步骤3：拓展到含负号的多项式，强化符号意识
例：计算(x - 2)(y + 3)，将“-2”“+3”看作项的符号：
(x - 2)(y + 3) = x·y + x·3 + (-2)·y + (-2)·3
= xy + 3x - 2y - 6
四、法则总结：多项式与多项式相乘
多项式与多项式相乘的法则
1. 分配相乘：先用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项（包括符号）；
2. 合并同类项：再把所得的积相加，并合并其中的同类项。
口诀：逐项相乘，符号紧跟，积相加，再合并
特别提醒：
- ① 两个多项式相乘，积的项数最多为两个多项式项数的乘积（如二项式×三项式，最多6项），最少为1项（合并后）；
- ② 每一项相乘时，要准确判断积的符号（同号得正，异号得负）；
- ③ 结果必须化为最简形式，即合并所有同类项。
五、基础应用：分步拆解例题
例1：计算(x + 2)(x + 3)（二项式×二项式，无同类项）
解：按法则逐项相乘，再相加
① 第一个多项式的x乘第二个多项式的每一项：x·x + x·3 = x + 3x；
② 第一个多项式的2乘第二个多项式的每一项：2·x + 2·3 = 2x + 6；
③ 积相加：x + 3x + 2x + 6 = x + 5x + 6（合并同类项3x+2x）。
例2：计算(2x - 1)(x - 4)（二项式×二项式，含负号）
解：注意项的符号，逐项相乘
① 2x乘每一项：2x·x + 2x·(-4) = 2x - 8x；
② (-1)乘每一项：(-1)·x + (-1)·(-4) = -x + 4；
③ 积相加：2x - 8x - x + 4 = 2x - 9x + 4（合并同类项-8x -x）。
例3：计算(x + y)(x - xy + y )（二项式×三项式）
解：按顺序相乘，避免漏项
① x乘每一项：x·x + x·(-xy) + x·y = x - x y + xy ；
② y乘每一项：y·x + y·(-xy) + y·y = x y - xy + y ；
③ 积相加：x - x y + xy + x y - xy + y = x + y （同类项全部抵消）。
六、易错辨析与进阶练习
易错点警示（判断对错并改正）
- ① (x + 1)(x - 2) = x - 2x + 1 （ ） 改正：____________________
- ② (2x + 3)(x - 1) = 2x - 2x + 3x = 2x + x （ ） 改正：____________________
- ③ (a - b)(a - b) = a - ab - ab = a - 2ab （ ） 改正：____________________
- ④ (x - 2)(3x + 1) = 3x + x - 6x - 2 = 3x - 5x - 2 （ ） 改正：____________________
进阶练习（独立完成）
1. ① (m - 3)(m + 5) = ____________________
2. ② (2a + b)(a - 2b) = ____________________
3. ③ (x - 1)(x + x + 1) = ____________________
4. ④ 已知(x + 2)(x + ax + b)的积中不含x 项和x项，求a、b的值。
七、实际应用与特殊公式铺垫
应用1：解决几何面积问题
一个长方形花坛，长比宽多2米，若宽为(x - 1)米，求花坛的面积（用含x的代数式表示）。
解：① 长 = 宽 + 2 = (x - 1) + 2 = x + 1；
② 面积 = 长×宽 = (x + 1)(x - 1) = x·x + x·(-1) + 1·x + 1·(-1) = x - x + x - 1 = x - 1（平方米）。
应用2：特殊形式的多项式乘法（铺垫平方差公式）
计算下列各组式子，观察结果特点：
① (a + b)(a - b) = a - ab + ab - b = a - b ；
② (2x + 3)(2x - 3) = 4x - 6x + 6x - 9 = 4x - 9；
规律：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差（后续将专门学习）。
八、课堂小结与整式乘法体系梳理
多项式乘法核心
转化思想：
多项式×多项式 → 单项式×多项式 → 单项式×单项式 → 积相加并合并同类项
易错点汇总
- 漏乘多项式中的某一项（尤其是常数项）
- 项的符号判断错误
- 同底数幂相乘时指数计算错误
- 结果中同类项未合并或合并错误
整式乘法体系
1. 幂的运算（基础）：同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方；
2. 整式乘法（核心）：单项式×单项式 → 单项式×多项式 → 多项式×多项式；
3. 后续拓展：乘法公式（平方差、完全平方公式）。
掌握转化思想，构建完整的整式乘法知识体系，为后续学习奠定坚实基础！
　已知某街心花园有一块长方形绿地，长为 a m，宽为 p m. 则它的面积是多少？
a
p
ap
为了扩大街心花园的绿地面积，将这块长方形绿地加长了 b m，加宽了 q m.
你能用几种方法求出扩大后的绿地面积？
b
q
方法一：看作一个长方形，计算它的面积.
扩大后的绿地面积为：
a
p
ap
b
q
p+q
a+b
(a+b)(p+q)
方法二：看作两个长方形，计算它们的面积和.
a
p
ap
b
q
a
p
ap
b
q
p+q
a+b
扩大后的绿地面积为：
a(p+q)+b(p+q)
扩大后的绿地面积为：
p(a+b)+q(a+b)
方法三：看作四个长方形，计算它们的面积和.
扩大后的绿地面积为：
a
p
ap
b
q
ap+bp+aq+bq
bp
bq
aq
不同的表示方法：
(a+b)(p+q)
a(p+q)+b(p+q)
p(a+b)+q(a+b)
ap+bp+aq+bq
它们都表示这块绿地扩大后的面积，因此有：
a
p
ap
b
q
(a+b)(p+q)
a(p+q)+b(p+q)
p(a+b)+q(a+b)
ap+bp+aq+bq
=
=
=
你能通过怎样的推理得到这个等式？
(a+b)(p+q)
+
+
=
=
(a + b)(p + q) = ap + bp + aq + bq
将多项式(p+q)看成一个整体
a(p+q)
b(p+q)
再利用单项式乘多项式的法则
ap
bp
aq
bq
+
+
(a + b)(p + q) 的结果可以看作由 a + b 的每一项乘 p + q 的每一项，再把所得的积相加而得到的.
(a + b)(p + q) = ap + bp + aq + bq
一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
①注意符号：“每一项”包括其前面的符号；
②合并同类项之前，积的项数等于两个多项式项数的积.
例3　计算：　
(1) (a + 3)(a – 2)；
(2) (3x + 1)(x + 2)；
解：(1) (a + 3)(a – 2)
= a·a + a·(–2) + 3·a +
3×(–2)
= a2 – 2a + 3a – 6
= a2 + a – 6
(2) (3x + 1)(x + 2)
= (3x)·x + (3x)·2 + 1·x +
1×2
= 3x2 + 6x + x + 2
= 3x2 + 7x + 2
(3) (x – 8y)(x – y)；
(4) (a + b) (a2 – ab + b2)；
(3) (x – 8y)(x – y)
= x2 – xy – 8xy + 8y2
= x2 – 9xy + 8y2
(4) (a + b) (a2 – ab + b2)
= a3 – a2b + ab2 + a2b –
ab2 + b3
= a3 + b3
例3　计算：　
练习
计算：
解：（1）原式 = x2 + 2xy + xy + 2y2
（1）(x + y)(x + 2y)；
= x2 + 3xy + 2y2
（2）原式 = 2m·3m + 2m·(–4n) + (–n)·3m + (–n)·(–4n)
= 6m2 – 11mn + 4n2
（2）(2m – n)(3m – 4n)；
（3）(2x2 + 1)(2x – 3)；
（4）(2a – b)(3a2 + 4ab + 2b2).
（3）原式 = 2x2·2x + 2x2·(–3) + 2x + 1×(–3)
= 4x3 – 6x2 + 2x – 3
（4）原式 = 2a·3a2 + 2a·4ab + 2a·2b2 + (–b)·3a2 +
(–b)·4ab + (–b)·2b2
= 6a3 + 8a2b + 4ab2 – 3a2b – 4ab2 – 2b3
= 6a3 +5a2b – 2b3
随堂练习
1. 通过计算，比较图①、图②中阴影部分的面积，可以验证的算式是（ ）
A. a(b – x) = ab – ax
B. (a – x)(b – x) = ab – ax – bx + x2
C. (a – x)(b – x) = ab – ax – bx
D. b(a – x) = ab – bx
B
2. 若 (x + m)(x2 – 3x + n) 的展开式中不含有 x2 项和 x 项，则 m = ____，n = ____.
原式 = x3 – 3x2 + nx + mx2 – 3mx + mn
= x3 + (m – 3)x2 + (n – 3m)x + mn
因为展开式中不含有 x2 项和 x 项，所以 m – 3 = 0， n – 3m = 0
所以 m = 3，n = 9.
3
9
3. 计算：
（1）(2x + 1)(x + 3)； （2）(m + 2n)(3n – m)；
【教材P107练习 第1题】
解： (2x + 1)(x + 3)
= 2x·x + 2x·3 + 1·x +
1×3
= 2x2 + 6x + x + 3
= 2x2 + 7x + 3
解： (m + 2n)(3n – m)
= m·3n + m·(–m) +
2n·3n + 2n·(–m)
= 3mn – m2 + 6n2 – 2mn
= – m2 + mn + 6n2
解： (a – 1)2
（3）(a – 1)2； （4）(a + 3b)(a – 3b)；
= (a – 1)(a – 1)
= a·a + a·(–1) + (–1)·a
+ (–1)×(–1)
= a2 – a – a + 1
= a2 – 2a + 1
解： (a + 3b)(a – 3b)
= a·a + a·(–3b) + 3b·a
+ 3b·(–3b)
= a2 –3ab + 3ab – 9b2
= a2 – 9b2
解： (2x2 – 1)(x – 4)
（5）(2x2 – 1)(x – 4)；
= 2x2·x + 2x2·(–4) + (–1)·x + (–1)×(–4)
= 2x3 – 8x2 – x + 4
解： (x2 + 2x + 3)(2x – 5)
= x2·2x + x2·(–5) + 2x·2x +2x·(–5) + 3·2x + 3×(–5)
= 2x3 – 5x2 + 4x2 – 10x + 6x – 15
= 2x3 – x2 – 4x – 15
（6）(x2 + 2x + 3)(2x – 5).
4. 计算：
（1）(x + 2)(x + 3)； （2）(x – 4)(x + 1)；
【教材P107练习 第2题】
解： (x + 2)(x + 3)
= x·x + x·3 + 2·x + 2×3
= x2 + 3x + 2x + 6
= x2 + 5x + 6
解： (x – 4)(x + 1)
= x·x + x·1+ (–4)·x +
(–4)×1
= x2 + x – 4x – 4
= x2 – 3x – 4
（3）(x + 4)(x – 2)；
【教材P107练习 第2题】
解： (x + 4)(x – 2)
= x·x + x·(–2) + 4·x +
4×(–2)
= x2 + –2x + 4x – 8
= x2 + 2x – 8
解： (x – 5)(x – 3)
= x·x + x·(–3) + (–5)·x +
(–5)×(–3)
= x2 – 3x – 5x + 15
= x2 – 8x + 15
4. 计算：
（4）(x – 5)(x – 3).
（1）(x + 2)(x + 3)；
= x2 + 5x + 6
= x2 – 3x – 4
（2）(x – 4)(x + 1)；
（3）(x + 4)(x – 2)；
= x2 + 2x – 8
= x2 – 8x + 15
（4）(x – 5)(x – 3)；
由上面计算的结果找规律，观察右图，填空：
(x + p)(x + q) = ( )2 + ( )x + ( ).
x2
x
x
p
q
qx
px
pq
x
p+q
pq
5. 求值： (x – y)(x2 + xy + y2) – (x + y)(x2 – y2) ，其中 x = ，y = 5.
【教材P107练习 第3题】
解： 原式 = x·x2 + x·xy + x·y2 + (–y)·x2 + (–y)·xy + (–y)·y2 – [x·x2 + x·(–y2) + y·x2 + y·(–y2)]
= x3 + x2y + xy2 –x2y – xy2 – y3 –x3 + xy2 –x2y + y3
= xy2 –x2y
当 x = ，y = 5 时，原式 =
知识点1 多项式与多项式相乘
1.填空：
（1） _________ __________
____.
（2） _______ ____
_______ __________________ .
1
返回
2.［2025西安模拟］计算 的结果正确的是( )
C
A. B. C. D.
返回
3.已知，则与 的值分别是( )
C
A.1， B.1，6 C.， D. ，6
返回
4.下列多项式相乘的结果为 的是( )
D
A. B. C. D.
返回
5. 如图，利用图形的面积可以说明下列多项式乘法运
算正确的是( )
D
A.
B.
C.
D.
返回
6.［教材P练习T 变式］计算：
（1） ;
解：原式 .
（2） ；
解：原式
.
（3） ；
解：原式 .
（4） ；
解：原式 .
（5） ；
解：原式 .
（6） .
解：原式 .
返回
7.先化简，再求值：，其中 .
解：原式 .
当时，原式 .
返回
知识点2 多项式与多项式相乘的应用
8.三个连续奇数，若中间一个数为 ，则它们的积是( )
C
A. B. C. D.
返回
9. ［2025东莞期末］某学校的广
场上有一块长为，宽为 的
长方形地.中间有一个底座边长为 的正方形
雕像，空余部分（阴影部分）为绿化区域，其
俯视图如图所示.则绿化区域的面积为__________________ .
返回
10.若的化简结果中不含的一次项，则常数 的值为
( )
A
A. B. C.0 D.2
返回
11.［2025温州月考］小黄同学计算一道整式乘法： ，由
于他抄错了前面的符号，把“”写成“-”，得到的结果为 ，
则 的值为( )
B
A.0 B.2 C.4 D.6
返回
12.观察下图两个多项式相乘的运算过程，根据你发现的规律，若
，则， 的值可能分别是( )
A
A.， B.，7 C.2， D.2，7
返回
13. 形如 的式子叫作二阶行列式，它的运算法则用
公式表示为，那么当时，
的值为( )
D
A.17 B.18 C.19 D.20
返回
14.如图，现有正方形卡片类，类和长方形卡片 类各若干张，如果
要拼一个长为、宽为的大长方形，那么需要 类卡片
的张数是____.
11
返回
15.已知整式，， 为任意有理数.
（1） 的值可能为负数吗？请说明理由.
解： 的值不可能为负数.
理由：, ，
,
的值不可能为负数.
（2）化简 .
解：, ，
.
返回
16.［教材习题 变式］探究题.
（1）计算：
_______；
_______；
_______；
_______；
…
（2）观察以上等式，发现规律，利用所得规律，解决下列问题：
① _______.
② _________.
③计算 的值.
解：原式.
返回
课堂小结
多项式与多项式的乘法法则：
(a + b)(p + q) = ap + bp + aq + bq
一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
谢谢观看！

展开更多......

收起↑