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人教版（2024）版数学8年级上册
第16章 整式的乘法
16.3.2 完全平方公式
相等
一块边长为 a 米的正方形农田，将其边长增加 b 米，形成四块农田，以种植不同的品种（如图）. 你能用几种方式表示农田的总面积？
a
b
b
a
直接求：总面积 =
间接求：总面积 =
ab
b2
a2
ab
(a + b)2
a2 + 2ab + b2
16.3.2 完全平方公式
16.3.2 完全平方公式
乘法公式的重要组成
—— 人教版八年级数学上册 ——
一、复习回顾：衔接前置知识
1. 核心公式回顾
平方差公式
(a + b)(a - b) = a - b
特征：和×差，结果为平方差
示例：(2x + 3)(2x - 3) = 4x - 9
多项式×多项式法则
逐项相乘，积相加，再合并
示例：(x + 2)(x + 3) = x + 5x + 6
2. 快速计算（观察规律）
- ① (x + 3) = (x + 3)(x + 3) = ________
- ② (x - 2) = (x - 2)(x - 2) = ________
- ③ (2a + b) = (2a + b)(2a + b) = ________
- ④ (3m - 2n) = (3m - 2n)(3m - 2n) = ________
思考：上述算式都是“相同二项式相乘”，结果有什么共同特点？能否找到简便计算方法？
二、情境导入：感知公式应用价值
问题1：校园要新建一个边长为(a + b)的正方形花坛，为了规划材料用量，需要计算花坛的面积，该如何表示？
问题2：若花坛边长调整为(a - b)，面积又该如何表示？这两个面积表达式展开后有什么规律？
边长：a + b
a
b
b
正方形花坛示意图
三、探究活动：推导完全平方公式
步骤1：代数推导——从多项式乘法出发
（1）推导(a + b)
(a + b) = (a + b)(a + b) （平方的意义）
= a·a + a·b + b·a + b·b （逐项相乘）
= a + ab + ab + b （计算单项式乘积）
= a + 2ab + b （合并同类项）
（2）推导(a - b)
(a - b) = (a - b)(a - b) （平方的意义）
= a·a + a·(-b) + (-b)·a + (-b)·(-b) （逐项相乘）
= a - ab - ab + b （计算单项式乘积）
= a - 2ab + b （合并同类项）
步骤2：几何验证——从面积组成理解
边长为(a + b)的正方形面积，可分割为：
① 边长为a的正方形：面积a ；
② 边长为b的正方形：面积b ；
③ 两个长a、宽b的长方形：面积各ab；
总面积：a + 2ab + b ，即(a + b) = a + 2ab + b 。
(a + b) 面积分割图
步骤3：总结公式结构特征
观察两个公式，思考共同特征：
- 左边：二项式的平方（两个相同二项式相乘）；
- 右边：三项式，由“首项平方、尾项平方、两倍首尾乘积”组成；
- 符号规律：(a + b) 中间为正，(a - b) 中间为负（即“和平方加，差平方减”）。
四、法则总结：完全平方公式
完全平方公式
(a + b) = a + 2ab + b
(a - b) = a - 2ab + b
文字表述：两个数的和（或差）的平方，等于这两个数的平方和，加上（或减去）这两个数乘积的2倍。
口诀：首平方，尾平方，两倍首尾放中央，和平方加，差平方减
公式中的“a”和“b”的含义：
- ① “a”和“b”可以是数字、字母（如a=5，b=3；a=m，b=n）；
- ② “a”和“b”也可以是单项式或多项式（如a=3x，b=2；a=(x - y)，b=z）；
- ③ 关键是找准“首项”和“尾项”，无论位置如何，核心是“两个数的和或差”。
五、基础应用：分类型例题解析
类型1：数字与字母的简单应用
例1：计算(2x + 3)
分析：首项为2x，尾项为3，和平方中间用“+”
解：(2x + 3) = (2x) + 2×2x×3 + 3 = 4x + 12x + 9
类型2：含负号的应用
例2：计算(4x - 5y)
分析：首项为4x，尾项为5y，差平方中间用“-”
解：(4x - 5y) = (4x) - 2×4x×5y + (5y) = 16x - 40xy + 25y
类型3：单项式作为“a”或“b”
例3：计算(-3a + b)
分析：可转化为(b - 3a ) ，首项b，尾项3a ，差平方中间用“-”
解：(-3a + b) = b - 2×b×3a + (3a ) = b - 6a b + 9a
类型4：多项式作为“a”或“b”
例4：计算(x + y + 1)
分析：将(x + y)看作一个整体（即“a”），1为“b”，转化为(a + b)
解：(x + y + 1) = [(x + y) + 1] = (x + y) + 2×(x + y)×1 + 1 = x + 2xy + y + 2x + 2y + 1
六、易错辨析与公式对比
易错点警示（判断对错并改正）
- ① (x + 2) = x + 4 （ ） 改正：____________________
- ② (x - 3) = x - 6x - 9 （ ） 改正：____________________
- ③ (2x + y) = 2x + 4xy + y （ ） 改正：____________________
- ④ (a - b) = (b - a) （ ） 改正：____________________
平方差公式 vs 完全平方公式
对比维度
平方差公式
完全平方公式
左边形式
和×差（两项异号）
和 或差 （两项同号）
右边项数
两项（平方差）
三项（平方和+两倍乘积）
核心特征
无中间项（抵消）
有中间项（两倍乘积）
七、进阶练习与实际应用
应用1：简便计算
用完全平方公式计算：① 99 ② 101
解：① 99 = (100 - 1) = 100 - 2×100×1 + 1 = 10000 - 200 + 1 = 9801；
② 101 = (100 + 1) = 100 + 2×100×1 + 1 = 10000 + 200 + 1 = 10201。
应用2：解决几何问题
一个正方形的边长增加3cm后，面积变为(x + 12x + 36)cm ，求原正方形的边长。
解：① 对新面积表达式因式分解：x + 12x + 36 = (x + 6) ，因此新边长为(x + 6)cm；
② 原边长 = 新边长 - 3 = (x + 6) - 3 = (x + 3)cm。
应用3：代数式求值
已知a + b = 5，ab = 3，求a + b 的值。
解：逆用完全平方公式：a + b = (a + b) - 2ab；
代入已知条件：a + b = 5 - 2×3 = 25 - 6 = 19。
八、课堂小结与拓展
公式核心
结构特征：首平方+尾平方+两倍首尾放中央
符号规律：和平方加，差平方减
易错点汇总
- 漏加中间的两倍乘积项（如(x+2) 算成x +4）
- 单项式平方时漏算系数（如(2x) 算成2x ）
- 混淆和平方与差平方的符号（中间项符号错误）
- 无法将多项式看作整体应用公式
知识拓展
1. 乘法公式体系：平方差公式+完全平方公式；
2. 后续应用：因式分解、分式化简、一元二次方程等；
3. 拓展公式：(a + b + c) = a + b + c + 2ab + 2ac + 2bc。
掌握完全平方公式的结构与逆用，构建完整乘法公式体系，提升代数运算能力！
（1）(p + 1)2 = (p + 1)(p + 1) = __________；
（2）(m + 2)2 = (_____)(_____) = __________ ；
（3）(p – 1)2 = (_____)(_____) = __________ ；
（4）(m – 2)2 = (_____)(_____) = __________.
计算下列多项式的积.
p2 + 2p + 1
m + 2
探 究
m + 2
m2 + 4m + 4
p – 1
p – 1
p2 – 2p + 1
m – 2
m – 2
m2 – 4m + 4
（1）(p + 1)2 = p2 + 2p + 1；
（2）(m + 2)2 = m2 + 2m + 4；
（3）(p – 1)2 = p2 – 2p + 1；
（4）(m – 2)2 = p2 – 2p + 1.
p2 + 2·p·1 + 12
m2 + 2·m·2 + 22
p2 – 2·p·1 + 12
m2 – 2·m·2 + 22
你能发现什么规律？
探 究
都是形如 (a ± b)2 的多项式相乘
右边第一项、最后一项分别是左边第一项、第二项的平方，中间一项是左边两项乘积的2倍
(a+b)2= .
a2+2ab+b2
(a–b)2= .
a2–2ab+b2
也就是说，两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍.这两个公式叫作(乘法的)完全平方公式.
简记为：
“首平方，尾平方，积的2倍放中央”
完全平方公式
你能根据下面图形的面积说明完全平方公式吗
设大正方形ABCD的面积为S.
S=
(a+b)2
a2+b2+2ab
S1
S2
S3
S4
证明
A
D
C
B
=S1+S2+S3+S4= .
a
a
b
b
=
+
+
+
a2
ab
ab
b2
(a+b)2= .
a2+2ab+b2
和的完全平方公式：
几何解释
a2
ab
b(a b)
=
a2 2ab+b2 .
=
(a b)2
a b
a b
a
a
ab
b(a b)
b
b
(a b)2
(a–b)2= .
a2–2ab+b2
差的完全平方公式：
几何解释
(a+b)2= a2+2ab+b2.
(a–b)2= a2–2ab+b2.
观察下面两个完全平方式，比一比，回答下列问题：
(1) 说一说积的次数和项数.
(2) 两个完全平方式的积有相同的项吗？与a，b有什么关系？
(3) 两个完全平方式的积中不同的是哪一项？与a， b有什么关系？它的符号与什么有关？
问题4：
公式特征：
公式中的字母a，b可以表示数、单项式和多项式.
积为二次三项式；
积中两项为两数的平方和；
另一项是两数积的2倍，且与两数中间的符号相同.
探究新知
下面各式的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改正？
(1)(x+y)2=x2 +y2
(2)(x –y)2 =x2 –y2
(3) (–x +y)2 =x2+2xy +y2
(4) (2x+y)2 =4x2 +2xy +y2
×
×
×
×
(x +y)2 =x2+2xy +y2
(x –y)2 =x2 –2xy +y2
(–x +y)2 =x2 –2xy +y2
(2x +y)2 =4x2+4xy +y2
探究新知
想一想
例1 运用完全平方公式计算：
解: (4m+n)2=
=16m2
(1)(4m+n)2；
(a + b)2= a2 + 2ab + b2
(4m)2
+2 (4m) n
+n2
+8mn
+n2；
素养考点 1
利用完全平方公式进行计算
探究新知
(2)
(a –b)2 = a2– 2ab + b2
y2
=y2
–y
+
解： =
+
–2 y
利用完全平方公式计算：
(1)(5–a)2； (2)(–3m–4n)2；
(3)(–3a＋b)2.
(3)(–3a＋b)2＝9a2–6ab＋b2.
解：(1)(5–a)2＝25–10a＋a2.
(2)(–3m–4n)2＝9m2＋24mn＋16n2.
巩固练习
(1) 1022；
= (100 –1)2
=10000–200+1
解： 1022
= (100+2)2
=10000+400+4
=10404.
(2) 992.
992
=9801.
例2 运用完全平方公式计算：
方法总结：当一个数具备与整十、整百相差一个正整数时求它的平方，我们可以通过变形运用完全平方公式进行运算较简便．
素养考点 2
利用完全平方公式进行简便计算
探究新知
利用乘法公式计算：
(1)982–101×99； (2)20252–2025×4048＋20242.
＝(2025–2024)2＝1.
解：(1)原式＝(100–2)2–(100＋1)(100–1)
＝1002–400＋4–1002＋1＝–395.
(2)原式＝20252–2×2025×2024＋20242
巩固练习
例3 已知x–y＝6，xy＝–8.
求:(1) x2＋y2的值； (2)(x+y)2的值.
＝36 –16＝20.
解：(1)∵x–y＝6，xy＝–8，
(x–y)2＝x2＋y2–2xy，
∴x2＋y2＝(x–y)2＋2xy
(2)∵x2＋y2＝20，xy＝–8，
∴(x+y)2＝x2＋y2＋2xy
＝20 –16＝4.
素养考点 3
利用完全平方公式的变形求整式的值
探究新知
方法总结：本题要熟练掌握完全平方公式的变式：
x2＋y2＝(x–y)2＋2xy＝(x+y)2–2xy，(x–y)2＝(x+y)2–4xy.
(1)已知x+y=10，xy=24，则x2+y2=_____.
52
对应训练.
(2)如果x2+kx+81是运用完全平方式得到的结果，
则k=________ .
18或–18
(3)已知ab=2，(a+b)2=9，则(a–b)2的值为______.
1
巩固练习
添括号法则
a+(b+c) = a+b+c;
a– (b+c) = a – b – c.
a + b + c = a + ( b + c) ;
a – b – c = a – ( b + c ) .
去括号：
把上面两个等式的左右两边反过来，也就是添括号：
知识点 2
探究新知
添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号;如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号(简记为“负变正不变”).
探究新知
添括号法则
例 运用乘法公式计算:
(1) (x+2y–3)(x–2y+3) ; (2) (a+b+c)2.
原式=[x+(2y–3)][x–(2y–3)]
解: (1)
(2)原式= [(a+b)+c]2
= x2–(2y–3)2
= x2–(4y2–12y+9)
= x2–4y2+12y–9.
= (a+b)2+2(a+b)c+c2
=a2+2ab+b2+2ac+
2bc+c2.
素养考点 4
添括号法则的应用
探究新知
计算：(1)(a–b＋c)2； (2)(1–2x＋y)(1＋2x–y)．
＝1–4x2＋4xy–y2.
解：(1)原式＝[(a–b)＋c]2
＝(a–b)2＋c2＋2(a–b)c
＝a2–2ab＋b2＋c2＋2ac–2bc.
(2)原式＝[1– (2x–y)][1＋(2x–y)]
＝12–(2x–y)2
巩固练习
1. 给出下列算式： ；
； ；
.其中错误的
有( )
C
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
返回
2. 如果,则 的值是( )
A. 4 B. 或4 C. 8 D. 或8
【点拨】 ,
, ,
.
D
返回
3. 如图，可验证的乘法公式是( )
A
A.
B.
C.
D.
返回
4.若，则 的值为____.
5.若，则代数式 为______.
6.［2025广州越秀区期中］若 ，那么多项式
的值是___.
8
返回
7.母题教材P115例4 利用完全平方公式计算：
（1） ；
【解】原式 .
（2） ;
原式 .
利用完全平方公式进行数值运算时，可以将底数拆
成两个数的和或差，拆分时主要有两种形式：
一是将与整十、整百或整千接近的数拆分成整十、整百或整
千的数与相差的数的和或差；二是将带分数拆分成整数与真
分数的和或差.
. .
. .
. .
返回
8.（1）解方程： ;
【解】 ，
，
，
，
.
（2）计算： .
.
返回
9. 母题教材P117习题 一个正方形的边长少了 ，它的
面积就减少了 ，那么这个正方形的边长为( )
B
A. B.
C. D.
返回
10. 母题母题 若，，则
( )
A. 52 B. 50 C. 45 D. 60
【点拨】, .
A
返回
11.设，， ，若
，则 的值是____.
16
【点拨】，，，.又， .
返回
完全平方公式
法则
注意
(a±b)2= a2±2ab+b2
1.项数、符号、字母及其指数
2.不能直接应用公式进行计算的式子，可能需要先添括号变形成符合公式的要求才行
常用
结论
3.弄清完全平方公式和平方差公式不同(从公式结构特点及结果两方面)
a2+b2=(a+b)2–2ab=(a–b)2+2ab;
4ab=(a+b)2–(a–b)2.
课堂小结
谢谢观看！

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