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人教版（2024）版数学8年级上册
第17章 因式分解
17.2.1用平方差公式分解因式
a米
b米
b米
a米
(a–b)
如图，在边长为a米的正方形上剪掉一个边长为b米的小正方形，将剩余部分拼成一个长方形，根据此图形变换，你能得到什么公式？
a2-b2=(a+b)(a-b)
17.2.1 用平方差公式分解因式
17.2.1 用平方差公式分解因式
乘法公式的逆向应用
—— 人教版八年级数学上册 ——
一、复习回顾：衔接前置知识
1. 核心知识回顾
因式分解的定义
把多项式化成几个整式的积的形式，是整式乘法的逆变形。
示例：6x - 2xy = 2x(3x - y)（提公因式法）
平方差乘法公式
(a + b)(a - b) = a - b
特征：和×差 = 平方差，左边是积，右边是多项式。
2. 逆向思考：从平方差到和差积
观察平方差公式的逆向变形，思考其意义：
a - b = (a + b)(a - b)
思考：这个逆向变形是否符合因式分解的定义？它能作为一种新的因式分解方法吗？
二、概念引入：平方差公式分解因式
1. 方法定义
如果一个多项式能写成两个数的平方差的形式，即a - b ，那么就可以利用平方差公式的逆变形，将它分解成这两个数的和与这两个数的差的积，这种分解因式的方法叫做用平方差公式分解因式。
2. 适用条件
- 多项式是二项式（只有两项）；
- 两项的符号相反（一项正，一项负）；
- 每一项都能写成一个数（或整式）的完全平方形式。
判断：下列多项式能否用平方差公式分解因式？
- ① x - 4 （能，x - 2 ，符合“二项、异号、全平方”）
- ② x + 4 （不能，两项符号相同）
- ③ -x + 9 （能，可变形为9 - x = 3 - x ，符合条件）
- ④ x - 4x （先提公因式得x(x - 4)，括号内可用平方差公式）
三、方法讲解：平方差公式分解因式的步骤
1. 核心步骤（“一判、二变、三分解”）
1. 一判：判断多项式是否符合平方差公式的适用条件（二项、异号、全平方）；若有公因式，先提公因式（提公因式是分解因式的首要步骤）；
2. 二变：将多项式变形为“a - b ”的标准形式，明确“a”和“b”分别对应哪个数或整式；
3. 三分解：套用平方差公式“a - b = (a + b)(a - b)”进行分解，分解后检查是否彻底。
2. 典型例题解析
例1：分解因式 x - 16
解：① 判断：二项式，符号相反，x = x ，16 = 4 ，符合条件；
② 变形：x - 16 = x - 4 （a=x，b=4）；
③ 分解：x - 4 = (x + 4)(x - 4)。
例2：分解因式 25m - 4n
解：① 判断：二项式，符号相反，25m = (5m) ，4n = (2n) ，符合条件；
② 变形：25m - 4n = (5m) - (2n) （a=5m，b=2n）；
③ 分解：(5m) - (2n) = (5m + 2n)(5m - 2n)。
例3：分解因式 -9x + y
解：① 判断：二项式，符号相反，先调整符号为“正平方 - 负平方”；
② 变形：-9x + y = y - 9x = y - (3x) （a=y，b=3x）；
③ 分解：y - (3x) = (y + 3x)(y - 3x)。
例4：分解因式 3x - 12x
解：① 判断：有公因式3x，先提公因式；
② 提公因式：3x - 12x = 3x(x - 4)；
③ 再分解：括号内x - 4符合平方差公式，x - 4 = (x + 2)(x - 2)；
④ 最终结果：3x(x + 2)(x - 2)。
例5：分解因式 (x + y) - (m - n)
解：① 判断：二项式，符号相反，将(x + y)和(m - n)看作整体，符合平方差公式；
② 变形：(x + y) - (m - n) （a=x + y，b=m - n）；
③ 分解：(x + y + m - n)(x + y - m + n)（展开括号时注意符号）。
四、易错辨析与巩固练习
易错点警示（判断对错并改正）
- ① x - 9 = (x + 3)(x - 3) （√）
- ② x + 4 = (x + 2)(x - 2) （×，改正：不能分解，两项符号相同）
- ③ 4x - 1 = (4x + 1)(4x - 1) （×，改正：(2x + 1)(2x - 1)，未将4x 化为(2x) ）
- ④ 18x - 2x = 2x(9x - 1) （×，改正：2x(3x + 1)(3x - 1)，分解不彻底）
巩固练习（独立完成）
1. ① 分解因式：1 - 25a = ____________________
2. ② 分解因式：x y - 16 = ____________________
3. ③ 分解因式：-a + 16 = ____________________
4. ④ 分解因式：4(x - 2) - 9(x + 1) = ____________________
5. ⑤ 用因式分解法简便计算：101 - 99 （提示：逆用平方差公式）。
五、课堂小结与拓展
核心知识
1. 公式：a - b = (a + b)(a - b)；
2. 适用条件：二项、异号、全平方；
3. 分解原则：先提公因式，再用公式，分解彻底。
易错点汇总
- 忽略提公因式，直接用公式（如3x - 12x只分解为3x(x - 4)）；
- 对“全平方”判断错误（如4x 错看作(4x) ）；
- 符号处理错误（如 -x + 9不会变形为9 - x ）；
- 不会将多项式整体看作“a”或“b”（如(x + y) - 1不会分解）。
知识拓展
1. 后续学习：用完全平方公式分解因式；
2. 公式应用：简便计算、解方程、判断数的整除性等；
3. 复杂形式：可推广到(a + b) - (c + d) 等形式的分解。
掌握平方差公式的逆向应用，遵循“先提后公”原则，提升因式分解能力！
用平方差公式进行因式分解
多项式a2–b2有什么特点？你能将它分解因式吗？
是a，b两数的平方差的形式
)
)(
(
b
a
b
a
–
+
=
2
2
b
a
–
)
)(
(
2
2
b
a
b
a
b
a
–
+
=
–
整式乘法
因式分解
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积.
平方差公式：
探究新知
知识点
想一想
√
√
×
×
辨一辨：下列多项式能否用平方差公式来分解因式，为什么？
√
√
★符合平方差的形式的多项式才能用平方差公式进行因式分解，即能写成: ( )2–( )2的形式.
两数是平方，
减号在中央．
(1)x2+y2
(2)x2–y2
(3)–x2–y2
–(x2+y2)
y2–x2
(4)–x2+y2
(5)x2–25y2
(x+5y)(x–5y)
(6)m2–1
(m+1)(m–1)
多项式 a2 – b2 有什么特点？
思考
你能将它分解因式吗？
是两个数的平方差的形式.
整式乘法
因式分解
(a + b)(a – b) = a2 – b2
a2 – b2 = (a + b)(a – b)
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积.
例1　分解因式：　
(1) 4x2 – 9；
(2) a2 – 25b2 .
解：(1) 4x2 – 9
= (2x)2 – 32
分析：(1) a = ____，b = _____
(2) a = ____，b = _____
2x
a
(2) a2 – 25b2
= a2 – (5b)2
= (a + 5b)(a – 5b)
a2 – b2 = (a + b)(a – b)
3
5b
= (2x + 3)(2x – 3)
例2　分解因式：　
解：(1) x2 – y4
= (x)2 – (y2)2
分析：(1) a = ____，b = _____
(2) a = ____，b = _____
x
x + p
(2) (x + p)2 – (x + q)2
= [(x + p) + (x + q)][(x + p) – (x + q)]
= (2x + p + q)(p – q)
y2
x + q
= (x + y2)(x – y2)
整体思想
(1) x2 – y4；
(2) (x + p)2 – (x + q)2 .
利用平方差公式分解因式，应注意：
1. 公式右边是两个二项式的积，且这两个二项式有一项完全相同（即 a），另一项互为相反数（即 b 和 –b）.
2. 公式左边是这两项的平方差.
3. 公式中的字母既可表示单项式也可以表示多项式.
a2 – b2 = (a + b)(a – b)
知识点 运用平方差公式分解因式
1.下列各式中能用平方差公式进行因式分解的是( )
C
A. B. C. D.
返回
2.多项式 分解因式的结果是( )
B
A. B.
C. D.
返回
3.已知，则 等于( )
B
A.16 B. C.4 D.
返回
4.已知，且，则 ____.
返回
5.分解因式：
（1） ;
解：原式 .
（2） ;
解：原式 .
（3） ;
解：原式 .
（4） ;
解：原式
.
（5） ;
解：原式 .
（6） .
解：原式 .
返回
6.运用平方差公式进行简便计算：
（1） ；
解：原式 .
（2） .
解：原式 .
返回
7.小明在抄因式分解的题目时，不小心漏抄了二项式 中“ ”的
部分，若该二项式能分解因式，则“ ”不可能是( )
C
A. B.4 C. D.9
返回
8.已知，，是三角形的三边长，那么式子 的值( )
B
A.大于0 B.小于0 C.等于0 D.不能确定
返回
9.若，，则 的值为
( )
B
A.200 B. C.100 D.
返回
10.将边长分别为和 的两个正方形按如图所示的方式摆放，则
阴影部分的面积化简后的结果是_____.
返回
11.分解因式：
（1） ；
解：原式 .
（2） .
解：原式 .
返回
12.先化简，再求值：，其中， .
解：原式 .
当，时，原式 .
返回
13.计算下列各式：
（1） __；
（2） __；
（3） __；
（4）请你用简便方法计算：
解：原式
.
返回
14. 如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那
么称这个正整数为“奇特数”，例如：， ，
，则8，16，24这三个数都是“奇特数”.
（1）32和2 026这两个数是“奇特数”吗？若是，表示成两个连续奇数的
平方差的形式.
解：32是“奇特数”，不是“奇特数”. .
（2）设两个连续奇数是和（其中 为正整数），由这两个
连续奇数构造的“奇特数”是8的整数倍吗？为什么？
解：由这两个连续奇数构造的“奇特数”是8的整数倍.理由如下：
.
为正整数， 由这两个连续奇数构造的“奇特数”是8的整数倍.
（3）两个连续偶数的平方差（都取正数）是“奇特数”吗？为什么？
解：两个连续偶数的平方差（都取正数）不是“奇特数”.理由如下：
设这两个连续偶数分别为和，其中 为正整数，则
.
不是8的整数倍，
两个连续偶数的平方差（都取正数）不是“奇特数”.
返回
课堂小结
利用平方差公式分解因式：
a2 – b2 = (a + b)(a – b)
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积.
* 公式中的字母既可表示单项式也可以表示多项式
谢谢观看！

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