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人教版（2024）版数学8年级上册
第17章 因式分解
17.2.2用完全平方公式分解因式
在括号里填上适当的式子，使等式成立：
(1) (a + b)2 = ________________；
(2) (a – b)2 = ________________；
(3) a2 + ______ + 1 = (a + 1)2；
(4) a2 – ______ + 1 = (a – 1)2 .
a2 + 2ab + b2
a2 – 2ab + b2
2a
2a
整式乘法
因式分解
17.2.2 用完全平方公式分解因式
17.2.2 用完全平方公式分解因式
乘法公式逆向应用的延续
—— 人教版八年级数学上册 ——
一、复习回顾：衔接前置知识
1. 核心知识回顾
已学因式分解方法
① 提公因式法：ma + mb + mc = m(a + b + c)
② 平方差公式法：a - b = (a + b)(a - b)
原则：先提公因式，再用公式，分解彻底
完全平方乘法公式
(a + b) = a + 2ab + b
(a - b) = a - 2ab + b
特征：和（差）的平方 = 平方和 + （差）两倍积
2. 逆向思考：从完全平方式到和差平方
观察完全平方公式的逆向变形，思考其意义：
a + 2ab + b = (a + b)
a - 2ab + b = (a - b)
思考：这些逆向变形是否属于因式分解？什么样的多项式能这样分解？
二、概念引入：完全平方公式分解因式
1. 相关定义
① 完全平方式：形如a + 2ab + b 或a - 2ab + b 的多项式，叫做完全平方式；
② 用完全平方公式分解因式：若多项式是完全平方式，则可利用完全平方公式的逆变形将其分解为两个相同整式的积，即a ± 2ab + b = (a ± b) ，这种分解方法称为用完全平方公式分解因式。
2. 完全平方式的结构特征（“三看”）
- 一看项数：必须是三项式（两项平方项 + 一项中间项）；
- 二看平方项：有两项是某个数（或整式）的完全平方，且这两项的符号相同（均为正）；
- 三看中间项：中间项是这两个平方项底数乘积的2倍，符号与完全平方公式中的“±”一致（和平方为正，差平方为负）。
判断：下列多项式是否为完全平方式？能否用完全平方公式分解因式？
- ① x + 6x + 9 （是，x + 2×x×3 + 3 ，可分解为(x + 3) ）
- ② x + 2x + 4 （否，中间项2x≠2×x×2）
- ③ -x + 4xy - 4y （是，可变形为-(x - 4xy + 4y ) = -(x - 2y) ）
- ④ 4x - 12x + 9 （是，(2x) - 2×2x×3 + 3 ，可分解为(2x - 3) ）
三、方法讲解：分解因式的步骤与例题
1. 核心步骤（“一提、二判、三变、四分解”）
1. 一提：先观察多项式各项是否有公因式，若有则先提公因式（分解因式的首要步骤）；
2. 二判：判断提公因式后的多项式是否为完全平方式（按“三看”原则）；
3. 三变：将多项式变形为“a ± 2ab + b ”的标准形式，明确“a”“b”对应的数或整式；
4. 四分解：套用完全平方公式分解，最后检查是否分解彻底。
2. 典型例题解析
例1：分解因式 x + 10x + 25
解：① 提公因式：各项无公因式；
② 判断：三项式，x = x ，25 = 5 ，中间项10x = 2×x×5，是完全平方式；
③ 变形：x + 10x + 25 = x + 2×x×5 + 5 （a=x，b=5）；
④ 分解：x + 2×x×5 + 5 = (x + 5) 。
例2：分解因式 4x - 20xy + 25y
解：① 提公因式：各项无公因式；
② 判断：三项式，4x = (2x) ，25y = (5y) ，中间项-20xy = -2×2x×5y，是完全平方式；
③ 变形：4x - 20xy + 25y = (2x) - 2×2x×5y + (5y) （a=2x，b=5y）；
④ 分解：(2x) - 2×2x×5y + (5y) = (2x - 5y) 。
例3：分解因式 -3x + 6xy - 3y
解：① 提公因式：各项有公因式-3，先提取；
② 提公因式后：-3x + 6xy - 3y = -3(x - 2xy + y )；
③ 判断：括号内x - 2xy + y 是完全平方式；
④ 分解：-3(x - 2xy + y ) = -3(x - y) 。
例4：分解因式 (x + y) + 6(x + y) + 9
解：① 提公因式：各项无公因式；
② 判断：三项式，将(x + y)看作整体，(x + y) 是平方项，9=3 ，中间项6(x + y)=2×(x + y)×3，是完全平方式；
③ 变形：(x + y) + 6(x + y) + 9 = (x + y) + 2×(x + y)×3 + 3 （a=x + y，b=3）；
④ 分解：(x + y) + 2×(x + y)×3 + 3 = (x + y + 3) 。
四、对比辨析与易错警示
因式分解常用公式对比
对比维度
平方差公式法
完全平方公式法
适用多项式项数
二项式
三项式
平方项特征
两项异号
两项同号
中间项特征
无中间项（抵消）
有中间项（两倍乘积）
分解结果形式
(a + b)(a - b)（两个不同整式积）
(a ± b) （两个相同整式积）
易错点警示（判断对错并改正）
- ① x + 4x + 4 = (x + 2) （√）
- ② x - 6x + 9 = (x - 3) （√）
- ③ 4x + 4x + 1 = (2x + 1) （√）
- ④ 2x + 4x + 2 = 2(x + 2x + 1) = 2(x + 1) （√）
- ⑤ x + 2x - 1 = (x - 1) （×，改正：不是完全平方式，无法用该公式分解）
- ⑥ 9x - 6xy + y = (3x + y) （×，改正：(3x - y) ，中间项符号错误）
五、巩固练习与综合应用
1. 基础练习（独立完成）
1. ① 分解因式：x - 8x + 16 = ____________________
2. ② 分解因式：16a + 24ab + 9b = ____________________
3. ③ 分解因式：-m - 4n + 4mn = ____________________
4. ④ 分解因式：(a - 2b) - 6(a - 2b) + 9 = ____________________
2. 综合应用（先提公因式，再用公式）
例5：分解因式 3x y - 6x y + 3xy
解：① 提公因式：各项有公因式3xy，先提取；
② 提公因式后：3x y - 6x y + 3xy = 3xy(x - 2xy + y )；
③ 再分解：括号内x - 2xy + y 是完全平方式，分解为(x - y) ；
④ 最终结果：3xy(x - y) 。
练一练：分解因式 2a - 12a + 18a = ____________________
六、课堂小结与拓展
核心知识
1. 完全平方式特征：三項、两正平方、中间两倍积；
2. 公式：a ± 2ab + b = (a ± b) ；
3. 分解原则：先提公因式，再判完全平方式，最后分解彻底。
易错点汇总
- 忽略先提公因式（如3x + 6x + 3直接分解为(√3x + √3) ）；
- 混淆平方项底数（如4x 错看作(4x) ）；
- 中间项符号或系数错误（如x - 4x + 4错分解为(x + 2) ）；
- 将非完全平方式强行用公式分解（如x + 3x + 2）。
知识拓展
1. 因式分解方法体系：提公因式法 + 公式法（平方差、完全平方）；
2. 后续应用：分式化简、一元二次方程求解、代数式求值等；
3. 复杂形式：可推广到(a + b + c) = a + b + c + 2ab + 2ac + 2bc的逆用。
掌握完全平方公式分解因式的核心，构建完整因式分解知识体系，提升代数运算与变形能力！
思 考
这两个式子有什么特点？
a2 + 2ab + b2
a2 – 2ab + b2
首平方
尾平方
2倍乘积放中央
完全平方式
注意：①平方项符号相同；
②中间项是积的2倍.
练习
下列多项式是不是完全平方式？
（1）a2 – 12a + 36
（2）x2 + 4x + 4y2
（3）4a2 + 2ab + b2
1
4
（4）a2 – ab + b2
（6）a2 + a + 0.25
是
不是
是
不是
不是
是
a2
62
2·a·6
x2
(2y)2
2·x·2
(2a)2
( b)2
1
2
2·2a· b
1
2
a2
b2
2·a· b
1
2
a2
0.52
2·a·0.5
（5）x2 – 6x – 9
完全平方公式：
即两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的 2 倍，等于这两个数的和（或差）的平方.
等号两边互换：
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
a2 – 2ab + b2 = (a – b)2
利用完全平方公式可以将形如完全平方式的多项式分解因式.
完全平方式的特点：
1.必须是三项式(或可以看成三项的)；
2.有两个同号的数或式的平方；
3.中间有两底数之积的±2倍.
完全平方式:
简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央.
凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式，将它写成完全平方形式，便实现了因式分解.
2
a
b
+b2
±
=(a ± b)
a2
首2
+尾2
±2×首×尾
(首±尾)2
两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.
例1 分解因式：
(1)16x2+24x+9； (2)–x2+4xy–4y2.
分析：(1)中， 16x2=(4x)2， 9=3 ，24x=2·4x·3，
所以16x2+24x+9是一个完全平方式，
即16x2 + 24x +9= (4x)2+2·4x·3+ 32.
(2)中首项有负号，一般先利用添括号法则，将其变形为–(x2–4xy+4y2)，然后再利用公式分解因式.
素养考点 1
利用完全平方公式分解因式
探究新知
解： (1)16x2+ 24x +9
= (4x + 3)2；
= (4x)2 + 2·4x·3 + 32
(2)–x2+ 4xy–4y2
=–(x2–4xy+4y2)
=–(x–2y)2.
把下列多项式因式分解.
(1)x2–12xy+36y2; (2)16a4+24a2b2+9b4;
解：(1)x2–12xy+36y2
=x2–2·x·6y+(6y)2
=(x–6y)2;
(2)16a4+24a2b2+9b4
=(4a2)2+2·4a2·3b2+(3b2)2
=(4a2+3b2)2;
巩固练习
(3)–2xy–x2–y2; (4)4–12(x–y)+9(x–y)2.
解：(3)–2xy–x2–y2
= –(x2+2xy+y2)
= –(x+y)2;
(4)4–12(x–y)+9(x–y)2
=22–2×2×3(x–y)+［3(x–y)］2
=［2–3(x–y)］2
=(2–3x+3y)2.
巩固练习
例2 如果x2–6x+N是一个完全平方式，那么N是( )
A . 11 B. 9 C. –11 D. –9
B
解析：根据完全平方式的特征，中间项–6x=2·x·(–3)，故可知N=(–3)2=9.
素养考点 2
利用完全平方公式求字母的值
探究新知
方法点拨
本题要熟练掌握完全平方公式的结构特征， 根据参数所在位置，结合公式，找出参数与已知项之间的数量关系，从而求出参数的值.计算过程中，要注意积的2倍的符号，避免漏解．
探究新知
如果x2–mx+16是一个完全平方式，那么m的值为________.
解析：∵16=(±4)2，故–m=2×(±4)，m=±8.
±8
巩固练习
例3 把下列各式分解因式：
(1)3ax2+6axy+3ay2 ； (2)(a+b)2–12(a+b)+36.
解: (1)原式=3a(x2+2xy+y2)
=3a(x+y)2；
分析：(1)中有公因式3a，应先提出公因式，再进一步分解因式；(2)中将a+b看成一个整体，设a+b=m，则原式化为m2–12m+36.
(2)原式=(a+b)2–2·(a+b) ·6+62
=(a+b–6)2.
素养考点 3
利用完全平方公式进行较复杂的因式分解
探究新知
利用公式把某些具有特殊形式(如平方差式，完全平方式等)的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫作公式法.
探究新知
因式分解：
(1)–3a2x2＋24a2x–48a2；
(2)(a2＋4)2–16a2.
＝(a2＋4＋4a)(a2＋4–4a)
解：(1)原式＝–3a2(x2–8x＋16)
＝–3a2(x–4)2；
(2)原式＝(a2＋4)2–(4a)2
＝(a＋2)2(a–2)2.
有公因式要先提公因式.
要检查每一个多项式的因式，看能否继续分解．
巩固练习
例4 把下列完全平方式分解因式：
(1)1002–2×100×99+99 ；
(2)342＋34×32＋162.
解：(1)原式=(100–99)
(2)原式=(34＋16)2
本题利用完全平方公式分解因式，可以简化计算.
=1.
=2500.
素养考点 4
利用完全平方公式进行简便运算
探究新知
计算: 7652×17–2352 ×17.
解：7652×17–2352 ×17
=17 ×(7652 –2352)
=17 ×(765+235)×(765 –235)
=17 ×1 000 ×530
=9010000.
巩固练习
例5 已知:a2+b2+2a–4b+5=0，求2a2+4b–3的值.
提示：从已知条件可以看出，a2+b2+2a–4b+5与完全平方式有很大的相似性(颜色相同的项)，因此可通过“凑”成完全平方式的方法，将已知条件转化成非负数之和等于0的形式，从而利用非负数的性质来求解.
素养考点 5
利用完全平方公式和非负性求字母的值
探究新知
解：由已知可得(a2+2a+1)+(b2–4b+4)=0，
即(a+1)2+(b–2)2=0 ，
∴ 2a2+4b–3=2×(–1)2+4×2–3=7
探究新知
方法总结：遇到多项式的值等于0、求另一个多项式的值，常常通过变形为完全平方公式和(非负数的和)的形式，然后利用非负数的性质来解答．
已知x2–4x＋y2–10y＋29＝0，求x2y2＋2xy＋1的值．
＝112＝121.
解：∵x2–4x＋y2–10y＋29＝0，
∴(x–2)2＋(y–5)2＝0.
∵(x–2)2≥0，(y–5)2≥0，
∴x–2＝0，y–5＝0.
∴x＝2，y＝5.
∴x2y2＋2xy＋1＝(xy＋1)2
几个非负数的和为0，则这几个非负数都为0.
巩固练习
1. 下列各式：； ；
； ，其中不能用完全平方公式因
式分解的式子有( )
B
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
2. 已知，为任意有理数，记，，则
与 的大小关系为( )
B
A. B.
C. D. 不能确定
返回
3. ［2025漳州期中］一个大正方形被分割成四部分，面积分
别为,,, ，则大正方形的边长为( )
D
A. B.
C. D.
4. 若有理数，满足，则 的
值为( )
A
A. 2 B. C. 1 D.
返回
5. 整式 可以写成( )
A. B.
C. D.
B
返回
6. 若多项式 能用完全平
方公式因式分解，则 的值是_____.
【点拨】 多项式 能用完全平方公式因式
分解，， .
7.利用因式分解计算： ____.
16
返回
8.母题教材P130例3 把下列各式因式分解：
（1） ；
【解】原式 .
（2） ；
原式 .
（3） .
原式 .
返回
9. 给出三个多项式： ;
; .
（1）请任意选择两个多项式进行加法运算，并把结果因式分解；
【解】选择 （答案不唯一）.
.
（2）当, 时，求第（1）问所得的代数式的值.
当，时，原式 .
返回
10. 将多项式加上一项，使它能化成 的形式，
以下是四名学生所加的项，其中错误的是( )
D
A. B.
C. D.
返回
11. ［2025泰安期中］无论， 为何值，
的值都是( )
A
A. 正数 B. 负数
C. 零 D. 非负数
【点拨】， ，
， ，即
无论, 为何值，
的值都是正数.
返回
12. 已知实数，，，其中且满足 ，
，下列结论：， ，
，其中正确的是( )
B
A. ①② B. ②③
C. ①③ D. ①②③
13. 同号两实数，满足，若 为整数，
则 的值为( )
A
A. 1或 B. 1或 C. 2或 D. 2或
【点拨】， ，
，
，
为整数，
为平方数.或0，解得 或1.
返回
完全平方公式分解因式
公式
a2±2ab+b2=(a±b)2
特点
(1)要求多项式有三项.
(2)其中两项同号，且都可以写成某数或式的平方，另一项则是这两数或式的乘积的2倍，符号可正可负.
课堂小结
谢谢观看！

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