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人教版（2024）版数学8年级上册
第十八章 分式
18.1.1 从分数到分式
1.长方形的面积为10cm ，长为7cm.宽应为____cm；长方形的面积为S，长为a，宽应为______.
S
a

18.1.1 从分数到分式
18.1.1 从分数到分式
从具体到抽象的代数式拓展
—— 人教版八年级数学上册 ——
一、复习回顾：分数的核心概念
1. 分数的定义与结构
定义
两个整数相除的商可以表示为分数形式，即如果用a表示被除数，b表示除数（b≠0），则a÷b = /。
结构与限制
分子a：可以是整数（可为正、负、零）；
分母b：必须是不为零的整数（分母为零无意义）。
2. 生活情境中的分数应用
思考下列问题，用分数表示结果：
- ① 把3个苹果平均分给4个同学，每人分得______个（/）；
- ② 一辆汽车2小时行驶100千米，平均速度是______千米/小时（/）；
- ③ 若汽车t小时行驶s千米，平均速度该如何表示？
引出问题：当被除数或除数为整式时，我们需要一种新的代数式来表示这种除法关系——分式。
二、概念引入：分式的定义与表示
1. 分式的定义
一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子 / 叫做分式（fraction）。其中，A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。
2. 分式与分数的联系与区别
对比维度
分数
分式
分子
整数
整式
分母
不为零的整数
含有字母且不为零的整式
本质
具体的数
含字母的代数式
判断：下列式子哪些是分式？哪些是整式？
- ① / （分式，分母含字母x）
- ② / （整式，分母是常数3，不含字母）
- ③ / （整式，分母是常数2）
- ④ / （分式，分母含字母x、y）
- ⑤ / （分式，分母含字母x）
- ⑥ 3x + 2y （整式，单项式和的形式）
小贴士：判断分式的关键——分母中是否含有字母，与分子是否含字母无关。
三、核心探究：分式有意义、无意义及值为零的条件
1. 分式有意义的条件
类比分数：分数的分母不能为零，否则分数无意义；
分式推广：分式的分母是含有字母的整式，当分母的值为零时，分式无意义；当分母的值不为零时，分式有意义。
结论：分式 / 有意义的条件是 B ≠ 0（分母不为零）。
2. 分式值为零的条件
思考：分式 / 的值为零，需要满足什么条件？
- ① 分子的值为零（否则分式值不可能为零）；
- ② 分母的值不为零（否则分式无意义，更谈不上值为零）。
结论：分式 / 值为零的条件是 A = 0 且 B ≠ 0（分子为零且分母不为零）。
3. 典型例题解析
例1：当x取何值时，分式 / 有意义？
解：分式有意义的条件是分母不为零，即：
x - 2 ≠ 0 → x ≠ 2；
因此，当x ≠ 2时，分式 / 有意义。
例2：当x取何值时，分式 / 无意义？值为零？
解：① 分式无意义的条件：分母为零，即：
x + 1 ≠ 0 → x = -1；
因此，当x = -1时，分式无意义。
② 分式值为零的条件：分子为零且分母不为零，即：
分子：x - 1 = 0 → (x + 1)(x - 1) = 0 → x = 1 或 x = -1；
分母：x + 1 ≠ 0 → x ≠ -1；
综上，x = 1时，分式值为零。
例3：当x取何值时，分式 / 有意义？值为零？
解：① 有意义的条件：分母不为零，即：
(x - 2)(x - 3) ≠ 0 → x ≠ 2 且 x ≠ 3；
② 值为零的条件：分子为零且分母不为零，即：
分子：2x - 6 = 0 → x = 3；
分母：当x = 3时，(3 - 2)(3 - 3) = 0，分式无意义；
因此，该分式不存在使值为零的x值。
四、分式的应用：求分式的值
1. 求分式值的步骤
1. 一判：判断所给字母的值是否使分式有意义（分母不为零）；
2. 二代：将使分式有意义的字母值代入分子和分母；
3. 三算：分别计算分子和分母的值，再求商即为分式的值。
2. 典型例题解析
例4：已知x = 3，求分式 / 的值。
解：① 判断：当x = 3时，分母x + 2 = 3 + 2 = 5 ≠ 0，分式有意义；
② 代入：分子2x - 1 = 2×3 - 1 = 5；
③ 计算：分式的值 = / = 1。
例5：已知x = -1，求分式 / 的值。
解：① 判断：当x = -1时，分母2x + 2 = 2×(-1) + 2 = 0，分式无意义；
② 结论：因此不能计算该分式的值。
五、易错辨析与巩固练习
易错点警示
- ① 混淆分式与整式的判断：认为 / 是分式（×，π是常数，分母不含字母，是整式）；
- ② 忽略分式有意义的前提：求分式值时直接代入，不判断分母是否为零；
- ③ 分式值为零的条件理解不全：只考虑分子为零，忽略分母不为零（如分式 /，x=1时值为零，x=-1时无意义）。
巩固练习（独立完成）
1. ① 下列式子中，属于分式的是（ ）
A. / B. / C. / D. 7x
2. ② 当x = ______时，分式 / 无意义；
3. ③ 当x = ______时，分式 / 值为零；
4. ④ 已知x = 2，求分式 / 的值。
六、课堂小结与拓展
核心知识
1. 分式定义：/（A、B为整式，B含字母）；
2. 有意义：B ≠ 0；无意义：B = 0；值为零：A = 0且B ≠ 0；
3. 求分式值：先判意义，再代入计算。
思想方法
1. 类比思想：由分数的性质类比得出分式的相关性质；
2. 分类讨论思想：判断分式值的情况时，分有意义、无意义、值为零等情况讨论；
3. 转化思想：将求分式值的问题转化为整式运算问题。
知识拓展
1. 后续学习：分式的基本性质、分式的运算（乘除、加减）；
2. 实际应用：用分式表示工程问题、行程问题中的数量关系；
3. 分式与整式的关系：分式是整式除法的另一种表示形式。
理解分式的核心定义与限制条件，为后续分式运算奠定坚实基础！
2. 在越野滑雪比赛中，若一名滑雪运动员在平地滑行 a km用时 b h，则他的平均速度为 km/h；若他在上坡滑行a km比在平地滑行同样的距离多用 c h，则他的平均速度为
km/h.
3. 一艘轮船在静水中的最大航速是30千米/时，它沿江以最大船速顺流航行90千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速是多少
如果设江水的流速为v千米/时.
=
最大船速顺流航行90千米所用时间
以最大航速逆流航行60千米所用时间
请大家观察式子 ， 和 　 ，有什么特点？
它们与分数有什么相同点和不同点？
都具有分数的形式
相同点
不同点
(观察分母)
分母中有字母
请大家观察式子　　　和　　　，有什么特点？
说一说
这些式子有什么共同点？
思 考
① 从形式上都具有分数 形式.
② 分子A，分母B 都是整式.
③ 分母中含有字母.
　　一般地，如果A，B 表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子 叫作分式. 在分式中，A 叫作分子，B 叫作分母.
A、B是整式
B中含有字母
分式的定义：
特点：
既表示除法运算
A÷B，又可表示运算结果（商）.
分式与分数有什么相同点和不同点？
思 考
分数
分式
类比
整数
整数
分数
3 ÷ 5 =　
被除数÷除数 = 商
整式
整式
S ÷ a =　
被除式÷除式 = 商
分式
练习
下列各式中，哪些是分式？哪些是整式？
分式：
整式：
看其原始形式是否满足定义中的三个条件，而不是看化简后的式子的形式.
判断时，注意含有π的式子，π是常数.
式子中含有多项时，若其中有一项分母含有字母，则该式也为分式.
判断一个式子是不是分式：
方法
整数
整数
整式
整式(含字母)
分数
分式
实质：分数是分式中的字母取某些值的结果，分式更具有一般性.
具体化
一般化
令S = 100，a = 7
知识点2 分式有意义、无意义的条件
从4个整式中任选两个分别作为分子和分母，你能构造多少个分式？
8 ，x，x2 – 1，x – 1.
分式的分母中含有字母
x 取值 … …
… …
… …
… …
给 x 选几个适当的值，并求出各分式的结果：
0
– 2
– 1
1
2
无
意义
– 4
– 8
8
4
0
无
意义
无
意义
1
– 1
0
无
意义
3
要使分数有意义，分数中的分母不能为 0. 要使分式有意义，分式中的分母应满足什么条件？
思 考
整式
整式
分式
A ÷ B =　
被除式÷除式 = 商
当B≠0时，分式 有意义
当B=0时，分式 无意义
分式的分母表示除数，除数不能为0，分式的分母不能为0.
解：（1）要使分式 有意义，则分母 3x ≠ 0，即 x ≠ 0；
（2）要使分式 有意义，则分母 x – 1 ≠ 0，即 x ≠ 1；
例1 下列分式中的字母满足什么条件时分式有意义？
（3）要使分式 有意义，则分母 5 – 3b ≠ 0，即 x ≠ ；
（4）要使分式 有意义，则分母 x – y ≠ 0，即 x ≠ y.
如无特别说明，本套书中出现的分式都有意义.
分式 的值为零应满足什么条件？
分子为0
分母不为0
注意：分式值为零是分式有意义的一种特殊情况.
当A = 0，B ≠ 0时，分式
思考
随堂练习
1. 列式表示下列各量：
【教材P139练习 第1题】
（1）某村有 n 个人，耕地 40 hm2，则人均耕地面积为____hm2.
（2）△ABC的面积为 S，边 BC 的长为 a，则高 AD 为____.
2. 下列式子中，哪些是分式？哪些是整式？两类式子的区别是什么？
【教材P140练习 第2题】
解：分式：
整式：
两类式子的区别在于整式的分母中不含字母，而分式的分母中含有字母.
知识点1 分式的概念
1.在下列代数式中，属于分式的是( )
D
A. B. C. D.
返回
2.若是分式，则“ ”不可以是( )
D
A. B. C. D.5
返回
知识点2 分式有意义、无意义的条件
3.［2024安徽中考］若分式有意义，则实数 的取值范围是______.
返回
4.当 时，下列分式没有意义的是( )
B
A. B. C. D.
返回
5.［教材P练习T 变式］下列分式中的字母满足什么条件时分式有意义？
（1） ;
解： .
（2） ；
解： .
（3） ；
解： .
（4） .
解： .
返回
知识点3 分式的值及分式值为0的条件
6.［2024济南中考］若分式的值为0，则 的值是___.
1
返回
7.［2025上海黄浦区月考］如果当时，分式的值为0，那么
可以是( )
C
A. B. C. D.
返回
8. 若分式的值为0，则实数 应满足的条件是( )
B
A. B.
C. D.或
返回
9.当 为任意实数时，下列分式中一定有意义的是( )
C
A. B. C. D.
返回
10.根据下列表格信息， 可能是( )
… 0 1 2 …
… * 无意义 * * 0 …
B
A. B. C. D.
返回
11.一辆汽车以的速度行驶，从城到城需 ，如果该车的速
度增加，那么从城到城需要_____ .
返回
12.［教材复习题 变式］
（1）［2024吉林中考］当分式 的值为正数时，写出一个满足条件的
的值：_________________；
（2）当分式的值为负数时， 的取值范围是______.
1（答案不唯一）
返回
13.学完分式的概念后，老师出了一道题：当取哪些整数时，分式
的值是整数？
小芳的解答如下：当或2或4，即或3或5时，分式 的
值是整数.
小芳的解答对吗？如果不对，请改正.
解：小芳的解答不对.
若使分式的值是整数，则一定是4的因数，4的因数有 ，
， 共6个，
当时，或 ，
当时，或 ，
当时，或 .
综上，当或或0或2或3或5时，分式 的值是整数.
返回
课堂小结
分式有意义的条件
分式无意义的条件
分式值为零的条件
当 B ≠ 0时
当 B = 0 时
当 A = 0，B ≠ 0 时
　　一般地，如果A，B 表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子 叫作分式. 在分式中，A 叫作分子，B 叫作分母.
谢谢观看！

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