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(共46张PPT)
人教版（2024）版数学8年级上册
第十八章 分式
18.2.2分式的乘除混合运算及乘方
掌握分式的乘除混合运算顺序及方法.
能说出分式乘方的运算法则，并能运用法则进行分式乘方的运算.
18.2.2 分式的乘除混合运算及乘方
学科：初中数学 八年级上册
核心目标：掌握分式乘除混合运算顺序与乘方法则，能规范完成运算
第1页：复习回顾·温故知新
1. 分式乘法法则
两个分式相乘，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即：
$\frac{A}{B} \times \frac{C}{D} = \frac{A \times C}{B \times D}$（$B \neq 0$，$D \neq 0$）
2. 分式除法法则
分式除以分式，等于被除式乘以除式的倒数，即：
$\frac{A}{B} \div \frac{C}{D} = \frac{A}{B} \times \frac{D}{C} = \frac{A \times D}{B \times C}$（$B \neq 0$，$C \neq 0$，$D \neq 0$）
3. 热身练习
计算：（1）$\frac{2x}{3y} \times \frac{6y}{x^2}$ （2）$\frac{a^2}{b} \div \frac{a}{bc}$
答案：（1）$\frac{4}{x}$ （2）$ac$
第2页：新知探究一·分式乘除混合运算
1. 运算顺序
与有理数乘除混合运算一致：从左到右依次进行，有括号先算括号内的。
核心转化：将所有除法运算统一转化为乘法运算，再按乘法法则计算。
2. 运算步骤
1. 转乘：把除法转化为乘法（除式取倒数）；
2. 因式分解：分子、分母若为多项式，先分解因式；
3. 相乘：分子积作新分子，分母积作新分母；
4. 约分：约去分子、分母的公因式，化为最简分式或整式。
3. 例题解析
例1：计算 $\frac{x^2 - 4}{x + 3} \div (x - 2) \times \frac{x + 3}{x + 2}$
解析：
步骤1：转乘 → $\frac{x^2 - 4}{x + 3} \times \frac{1}{x - 2} \times \frac{x + 3}{x + 2}$
步骤2：因式分解 → $\frac{(x + 2)(x - 2)}{x + 3} \times \frac{1}{x - 2} \times \frac{x + 3}{x + 2}$
步骤3-4：约分相乘 → 约去$(x + 2)(x - 2)(x + 3)$，结果为 $1$
第3页：新知探究二·分式的乘方
1. 法则推导（类比思想）
回顾：分数乘方 → $(\frac{2}{3})^2 = \frac{2 \times 2}{3 \times 3} = \frac{2^2}{3^2}$
类比分式：$(\frac{a}{b})^3 = \frac{a}{b} \times \frac{a}{b} \times \frac{a}{b} = \frac{a \times a \times a}{b \times b \times b} = \frac{a^3}{b^3}$
2. 分式乘方法则
一般地，当$n$是正整数时，分式的乘方要把分子、分母分别乘方，即：
$(\frac{A}{B})^n = \frac{A^n}{B^n}$（$B \neq 0$，$n$为正整数）
3. 关键注意点
- 分子、分母是积的形式时，需按“积的乘方”法则运算（如$(\frac{2x}{3y})^2 = \frac{(2x)^2}{(3y)^2}$）；
- 含负号的分式乘方：遵循“负号奇次幂为负，偶次幂为正”（如$(\frac{-a}{b})^3 = -\frac{a^3}{b^3}$，$(\frac{-a}{b})^2 = \frac{a^2}{b^2}$）。
第4页：例题讲解·分式乘方及混合运算
题型1：单纯分式乘方
例2：计算 （1）$(\frac{3x}{2y})^2$ （2）$(\frac{-a^2}{b})^3$
解：（1）原式 = $\frac{(3x)^2}{(2y)^2} = \frac{9x^2}{4y^2}$ （积的乘方分别运算）
（2）原式 = $-\frac{(a^2)^3}{b^3} = -\frac{a^6}{b^3}$ （负号奇次幂为负，幂的乘方指数相乘）
题型2：乘方与乘除混合运算
例3：计算 $(\frac{-x}{y})^2 \cdot (\frac{-y^2}{x})^3 \div (-xy^4)$
解：步骤1：先算乘方 → $\frac{x^2}{y^2} \cdot (-\frac{y^6}{x^3}) \div (-xy^4)$
步骤2：转除为乘 → $\frac{x^2}{y^2} \cdot (-\frac{y^6}{x^3}) \cdot (-\frac{1}{xy^4})$
步骤3：约分计算 → $\frac{x^2 \cdot y^6}{y^2 \cdot x^3 \cdot xy^4} = \frac{1}{x^2}$ （负号相乘得正，约去公因式）
方法总结
混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后化简为最简分式或整式。
第5页：易错警示·避坑指南
常见错误类型
错误类型
错误示例
正确做法
符号判断错误
$(\frac{-a}{b})^2 = -\frac{a^2}{b^2}$
偶次幂为正 → $\frac{a^2}{b^2}$
分子分母漏乘方
$(\frac{x+y}{2})^2 = \frac{x^2 + y^2}{4}$
整体乘方 → $\frac{(x+y)^2}{4} = \frac{x^2 + 2xy + y^2}{4}$
运算顺序混乱
$\frac{1}{x} \div \frac{1}{x^2} \times x = \frac{1}{x} \div 1 = \frac{1}{x}$
从左到右 → $\frac{1}{x} \times x^2 \times x = x^2$
核心提醒：运算前先明确顺序，符号先定再计算，分子分母需“整体”运算。
第6页：巩固练习·分层提升
基础题（夯实法则）
1. 计算 $(\frac{2a}{3b})^3 = $________ 2. 计算 $\frac{3x}{y} \div (\frac{3x}{y})^2 = $________
提升题（混合运算）
3. 计算 $(\frac{-2x^2}{y})^2 \cdot \frac{y^2}{4x} \div (-xy)$
拓展题（实际应用）
4. 西瓜可看作球体，体积公式为$V = \frac{4}{3}\pi R^3$（$R$为半径），若瓜皮厚$d$，则西瓜瓤与整个西瓜的体积比为________（用含$R$、$d$的式子表示）。
答案提示
1. $\frac{8a^3}{27b^3}$ 2. $\frac{y}{3x}$ 3. $-x$ 4. $(\frac{R - d}{R})^3$
第7页：课堂小结·知识梳理
1. 核心法则
- 乘除混合运算：转除为乘，从左到右；
- 分式乘方：$(\frac{A}{B})^n = \frac{A^n}{B^n}$（分子分母分别乘方）；
- 混合运算顺序：先乘方，再乘除，后化简。
2. 数学思想
类比思想（分数→分式）、转化思想（除法→乘法）
3. 作业布置
（1）教材习题18.2第3、5题；
（2）化简求值：$(\frac{x^2y}{-z^3})^3 \div (\frac{-x^3}{z})^2$，其中$x = 1$，$y = 2$，$z = -1$。
知识点1 分式的乘除混合运算
完成下面分数的计算：
例4 计算：
乘除混合运算可以统一为乘法运算.
分式乘除混合运算的计算方法：
（1）分式乘除混合运算，先依据分式的乘除法法则，把分式乘除法统一成乘法.
（2）当分式的分子分母为多项式时，应先进行因式分解，然后约去分子分母的公因式，计算结果应为最简分式或整式.
方法
知识点2 分式的乘方
根据乘方的意义填空：
10个
10个
10个
猜想：n 为正整数时，　　　　　　　　
根据乘方的意义和分式的乘法法则，可得：
一般地，当 n 是正整数时，　　
即
这就是说，分式乘方要把分子、分母分别乘方.
例5 计算：
先乘方，后乘除
负数的偶次幂为正数
负数的奇次幂为负数
1. 计算：
【教材P150练习 第1题】
2. 计算：
【教材P150练习 第2题】
1. 计算：
复习巩固
【教材P150习题18.2 第1题】
【教材P150习题18.2 第2题】
2. 计算：
【教材P150习题18.2 第3题】
3. 计算：
【教材P151习题18.2 第4题】
4. 计算：
【教材P151习题18.2 第5题】
5. 先化简，再求值：
当 a = 3 时，原式 = 32 + 3 – 2 = 10.
6. 如图，有甲、乙两个花坛（阴影部分），分别在这两个花坛中均匀播种 m 颗花种，哪一个花坛
的撒播密度大 ？
综合运用
【教材P151习题18.2 第6题】
a
a
b
b
a
a
b
b
解：甲花坛的撒播密度为
乙花坛的撒播密度为
所以甲花坛的撒播密度大.
7. 一艘船顺流航行 n km 用了 m h，如果逆流航速是顺流航速的 ，那么这艘船逆流航行 t h 走了多少路程？
【教材P151习题18.2 第7题】
解：由题意得，船顺流航行速度为 km/h，
所以船逆流航行速度为 (km/h).
所以这艘船逆流航行 t h 走的路程为 (km).
答：这艘船逆流航行 t h 走的路程为 km.
8. 在一块 a hm2 的稻田上插秧，如果 10 个人插秧，要用 m 天完成；如果一台插秧机工作，要比 10 个人插秧提前 3 天完成. 一台插秧机的工作效率是一个人工作效率的多少倍？
【教材P151习题18.2 第8题】
解：由题意得，一个人的工作效率为
一台插秧机的工作效率为
所以
答：一台插秧机的工作效率是一个人工作效率的 倍.
9. 在调配饮料时，需要考虑不同原料的质量配比.如果一种由甲、乙两种原料配制成的饮料成品是 1 kg，甲、乙两种原料的配比是 x : y，那么需要甲原料多少千克？
【教材P151习题18.2 第9题】
解：需要甲原料
拓广探索
【教材P151习题18.2 第10题】
10. 观察周边生活或查阅书籍，设计一个运用分式乘除运算的实际问题，并给出解答.
知识点1 分式的乘除混合运算
1.计算 的结果是( )
A
A. B. C. D.
返回
2.计算 的结果是( )
C
A. B. C. D.
返回
3.计算 的结果是________.
返回
4.计算：
（1） ；
解：原式 .
（2） ；
解：原式 .
（3） .
解：原式 .
返回
知识点2 分式的乘方
5.填空：
（1） ___;
（2） ___.
返回
6.计算：
（1） ；
解：原式 .
（2） .
解：原式 .
返回
知识点3 分式的乘方及乘除混合运算
7.化简 的结果是( )
A
A. B. C. D.
返回
8.计算 的结果是____.
返回
9.计算：
（1） ;
解：原式 .
（2） ;
解：原式 .
（3） .
解：原式 .
返回
10.已知，则 ( )
D
A. B. C. D.
返回
11.计算（ 为正整数）的结果是( )
B
A. B. C. D.
返回
12.计算：
（1） ；
解：原式 .
（2） .
解：原式 .
返回
13.先化简，再求值：，其中 为整数且满足
.
解：原式 .
当或时，原式无意义，为整数且满足 ，
.
当时，原式 .
返回
14.已知， ，先化简，再求值：
.
解：原式 .
， ，
原式 .
返回
15.老师在黑板上写了一道题目的正确计算过程，随后用手遮住了其中
一部分，如下所示： ,已知遮住部分的代数
式为最简分式.
（1）求被手遮住部分的代数式.
解：被手遮住部分的代数式为 .
（2）被手遮住部分的代数式的值能等于0吗？请说明理由.
解：被手遮住部分的代数式的值不能等于0．理由：若被手遮住部分的
代数式的值等于0，则，，此时分式无意义，
被手遮住部分的代数式的值不能等于0．
返回
16. 如图，将4张完全相同的长、
宽分别为， 的长方形硬纸片拼成一个中间带小正
方形孔的大正方形，已知拼成的大正方形的面积为
49，中间的小正方形的面积为1.求
的值.
解：由题意得，，，， ，
， .
.
原式
.
返回
分式的乘方
分式的乘除、乘方混合运算
分式乘方的法则
先乘方，再乘除
分式乘方要把分子、分母分别乘方，
即 (n是正整数).
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