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人教版（2024）版数学8年级上册
第十八章 分式
18.3.1分式的加减
知识点1 同分母分式的加减
+ =
– =
–
同分母分数相加减，分母不变，把分子相加减.
你能将它推广，得出同分母分式的加减法法则吗？
思 考
分式
. 思考引入
分式的加减运算与分数的加减运算原理一致吗？如何计算$\frac{1}{a} + \frac{2}{a}$和$\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$？今天我们共同探究分式的加减运算。
第2页：新知探究一·同分母分式的加减
1. 法则推导（类比分数）
观察分数运算$\frac{m}{n} \pm \frac{k}{n} = \frac{m \pm k}{n}$（$n \neq 0$），类比可得：
当分式的分母相同时，加减运算只需保持分母不变，将分子进行相加减。
2. 同分母分式加减法则
一般地，对于任意两个分式$\frac{A}{C}$与$\frac{B}{C}$（$C \neq 0$），有：
$\frac{A}{C} + \frac{B}{C} = \frac{A + B}{C}$，$\frac{A}{C} - \frac{B}{C} = \frac{A - B}{C}$
注意：分子相加减时，若分子是多项式，需给分子加括号，避免符号错误；运算结果需化为最简分式或整式。
3. 例题解析
例1：计算 （1）$\frac{3x}{x+y} + \frac{x}{x+y}$ （2）$\frac{a^2}{a-b} - \frac{b^2}{a-b}$ （3）$\frac{2x+1}{x^2} - \frac{1}{x^2}$
解：（1）原式 = $\frac{3x + x}{x + y} = \frac{4x}{x + y}$（分母不变，分子相加，结果已最简）
（2）原式 = $\frac{a^2 - b^2}{a - b}$（分子相减，注意分子是多项式）
　　　　　= $\frac{(a + b)(a - b)}{a - b} = a + b$（分子因式分解，约去公因式$a - b$，$a \neq b$）
（3）原式 = $\frac{(2x + 1) - 1}{x^2} = \frac{2x + 1 - 1}{x^2} = \frac{2x}{x^2} = \frac{2}{x}$（分子加括号防符号错，约分后化简）
第3页：新知探究二·异分母分式的加减
1. 核心问题：如何转化为已知运算？
异分母分数通过“通分”化为同分母分数，异分母分式同理——先找到最简公分母，通分后转化为同分母分式，再按同分母法则计算。
2. 关键概念：最简公分母
最简公分母的确定方法与最简公分母一致：
- 取各分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数；
- 取各分母中所有字母（或因式）的最高次幂作为最简公分母的字母（或因式）部分；
- 若分母是多项式，先分解因式，再按上述方法确定。
示例：分母$2x^2y$、$3xy^3$的最简公分母是$6x^2y^3$；分母$x^2 - 1$（即$(x+1)(x-1)$）、$x-1$的最简公分母是$(x+1)(x-1)$。
3. 异分母分式加减法则
对于任意两个分式$\frac{A}{B}$与$\frac{C}{D}$（$B \neq 0$，$D \neq 0$），有：
$\frac{A}{B} \pm \frac{C}{D} = \frac{AD}{BD} \pm \frac{BC}{BD} = \frac{AD \pm BC}{BD}$（$BD$为最简公分母或其倍数）
第4页：例题讲解·异分母分式加减
题型1：分母为单项式的异分母加减
例2：计算 $\frac{1}{2x} + \frac{2}{3x^2}$
解：步骤1：确定最简公分母 → 系数最小公倍数$6$，字母最高次幂$x^2$，即$6x^2$
步骤2：通分 → $\frac{1 \times 3x}{2x \times 3x} + \frac{2 \times 2}{3x^2 \times 2} = \frac{3x}{6x^2} + \frac{4}{6x^2}$
步骤3：同分母加减 → $\frac{3x + 4}{6x^2}$（分子无公因式，结果最简）
题型2：分母为多项式的异分母加减
例3：计算 $\frac{1}{x - 2} + \frac{3}{x^2 - 4}$
解：步骤1：分解分母 → $x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2)$，最简公分母为$(x + 2)(x - 2)$
步骤2：通分 → $\frac{1 \times (x + 2)}{(x - 2)(x + 2)} + \frac{3}{(x + 2)(x - 2)} = \frac{x + 2}{(x + 2)(x - 2)} + \frac{3}{(x + 2)(x - 2)}$
例1 计算：
注意结果要化为最简分式
同分母的分式的加、减法运算步骤：
分母不变，分子相加减.
1
3
约分化为最简分式或整式.
2
把分子去括号，并按照整式的加减进行计算.
方法
练习
1. 下面的计算是否正确？若不对，请改正.
√
×
√
×
×
知识点2 异分母分式的加减
+ =
– =
异分母分数相加减，先通分，变为同分母分数，再加减.
分式
分式
例2 计算：
12abc
(m + 3)(m – 3)
分式的加减法的思路
方法
异分母相加减
同分母相加减
分子(整式)相加减
通分
转化为
分母不变
转化为
知识点1 同分母分式的加减
1.计算 的结果为( )
C
A. B. C. D.
返回
2.计算 的结果为( )
A
A. B.0 C. D.
返回
3.［2024天津中考］计算 的结果等于( )
A
A.3 B. C. D.
返回
4.化简 的结果是( )
C
A. B. C.1 D.
返回
5.［教材 例1变式］计算：
（1） ；
解：原式 .
（2） ；
解：原式 .
（3） ；
解：原式 .
（4） .
解：原式 .
返回
知识点2 异分母分式的加减
6.填空：
（1） ；
（2） ；
（3） .
返回
7.［2025成都期末］计算 的结果是( )
B
A. B. C. D.2
返回
8.计算 的结果是( )
C
A. B. C. D.
返回
9. 下面是小轩化简 的过程：
解：原式 ①
小轩的化简过程从第____步开始出错，请帮他计算出正确的结果：
_________.
②
返回
10.［教材 例2变式］计算：
（1） ；
解：原式 .
（2） ；
解：原式 .
（3） ；
解：原式
.
（4） .
解：原式 .
返回
11.如图，一个正确的运算过程被盖住了一部分，则被盖住的部分是
( )
D
A. B. C. D.1
返回
12.如图，若为正整数，则表示 的值的点落在( )
B
A.①处 B.②处 C.③处 D.④处
返回
13.对于任意的值都有，则， 的值分别为
( )
B
A.1，3 B. ，3 C.2，4 D.1，4
返回
14. ［2024内江中考］已知实数，满足 ，那么
的值为___.
1
返回
15.计算：
（1） ；
解：原式 .
（2） ；
解：原式
.
（3） .
解：原式 .
返回
16.［2024淄博中考］化简分式： ，并求值（请从小宇
和小丽的对话中确定， 的值）.
解：依题意得，且为整数.又 ，
.
原式 ，
当，时，原式 .
返回
17. 小明和小强一起做有关分式的游戏，如图，他们面
前各有三张牌（互相可以看到对方的牌），两人各自从自己的牌中任选
两张不同的牌分别作为分子和分母，组成一个分式，然后两人均取一个
相同的 值，再计算分式的值，值大者为胜方，为使分式有意义，他们
约定 是大于3的正整数.
（1）小明组成的分式中值最大的分式是_ ___，小强组成的分式中值最
大的分式是____；
（2）小强思考了一下，哈哈一笑，说：“虽然我的牌是三张带减号的牌，
但只要我将选出的牌组成值最大的分式，最终我一定是胜者.”小强的说
法有道理吗？请说明理由.
解：小强的说法有道理，理由如下：
,
是大于3的正整数，
，
， .
小强的说法有道理.
返回
课堂小结
分式的加减
同分母
异分母
同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减.
异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.
谢谢观看！

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