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人教版（2024）版数学8年级上册
第十八章 分式
18.3.2分式的混合运算
计算：(– 2)2×4 – 9 ÷(-3)2
解：原式 =____________
=____________
=____________
4×4 – 9÷9
16 – 1
15
先乘方
再乘除
后加减
有理数的混合运算中，如果有括号，先算括号里的运算.
知识点1 分式的混合运算
一、基本信息
1. 课程名称：分式的混合运算
2. 教材版本：人教版初中数学八年级下册
3. 课时安排：1课时（45分钟）
4. 授课对象：八年级学生
二、教学目标
1. 知识与技能目标
- 掌握分式混合运算的顺序，明确分式混合运算与整式混合运算顺序的一致性；
- 能熟练进行分式的加、减、乘、除混合运算，正确运用运算法则和运算律简化运算；
- 学会处理混合运算中的符号问题、因式分解问题，提升运算准确性和规范性。
2. 过程与方法目标
- 通过类比整式混合运算的顺序，推导分式混合运算的顺序，培养类比迁移能力；
- 在具体运算练习中，经历“观察—分析—运算—检验”的过程，提升逻辑推理和运算能力；
- 通过小组合作探究复杂运算问题，培养合作交流和问题解决能力。
3. 情感态度与价值观目标
- 感受数学知识的连贯性，体会“类比”思想在数学学习中的作用；
- 在运算过程中培养严谨细致的学习习惯，体验运算成功的成就感；
- 激发对数学运算的兴趣，提升学习数学的主动性。
三、教学重难点
1. 教学重点：分式混合运算的顺序和法则的正确运用，以及运算过程中的因式分解和化简技巧。
2. 教学难点：混合运算中符号的处理、运算顺序的把握，以及灵活运用运算律简化运算。
四、教学准备
1. 多媒体课件（包含复习题、例题、练习题）；
2. 学生预习分式的乘除、加减运算法则；
3. 草稿纸、直尺等学习工具。
五、教学过程
（一）复习导入，引出课题（5分钟）
1. 回顾旧知
教师提问，学生口头回答，课件同步展示问题及答案：
- 分式的乘法法则：分式乘以分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母，即 $\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}$（$b,d \neq 0$）；
- 分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即 $\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{ad}{bc}$（$b,c,d \neq 0$）；
- 分式的加减法则：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减，即 $\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}$；异分母分式相加减，先通分，变为同分母分式，再加减，即 $\frac{a}{b} \pm \frac{c}{d} = \frac{ad \pm bc}{bd}$（$b,c,d \neq 0$）；
- 整式混合运算的顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号里面的。
2. 引出课题
教师引导：“整式有混合运算，分式也有混合运算。类比整式混合运算的顺序，分式混合运算该遵循怎样的规则呢？今天我们就一起来学习分式的混合运算。”（板书课题：18.3.2 分式的混合运算）
（二）探究新知，明确法则（8分钟）
1. 类比迁移，确定运算顺序
教师提问：“我们已经知道整式混合运算‘先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号里的’，分式的混合运算顺序和整式类似吗？为什么？”
学生小组讨论后发言，教师总结：分式可以看作是“分数型”的整式，其运算本质与整式运算一致，因此分式混合运算顺序与整式混合运算顺序相同，即：
分式混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号里面的（先小括号，再中括号）；同级运算从左到右依次进行。
2. 强调运算关键
教师结合之前的分式运算知识，补充说明分式混合运算的关键要点：
- 运算前先判断分母的取值范围，确保分式有意义（所有分母不为0，除式的分子不为0）；
- 运算中遇到多项式，先进行因式分解（如平方差、完全平方公式，提公因式等），便于约分和通分；
- 注意符号的处理，尤其是分式前面有负号时，分子或分母要整体变号；
- 运算结果要化为最简分式或整式（分子分母没有公因式）。
（三）例题讲解，示范运算（12分钟）
例1：不含括号的混合运算
计算：$\frac{x^2 - 4}{x^2 + 4x + 4} \div \frac{x - 2}{x + 2} \cdot \frac{x}{x + 2}$
教师分步讲解，边板书边强调思路：
1. 步骤1：因式分解：对分子分母中的多项式进行因式分解，便于约分。
$x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2)$，$x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2$，原式变为：
$\frac{(x + 2)(x - 2)}{(x + 2)^2} \div \frac{x - 2}{x + 2} \cdot \frac{x}{x + 2}$
2. 步骤2：将除法化为乘法：遵循除法法则，把除式颠倒位置后变为乘法。
原式$= \frac{(x + 2)(x - 2)}{(x + 2)^2} \cdot \frac{x + 2}{x - 2} \cdot \frac{x}{x + 2}$
3. 步骤3：约分：分子分母同时约去公因式（$x + 2$、$x - 2$），注意$x \neq -2,2$（保证分式有意义）。
约去后得：$\frac{x}{x + 2}$
4. 步骤4：确认结果：$\frac{x}{x + 2}$为最简分式，运算结束。
例2：含括号的混合运算
计算：$\left( \frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1} \right) \cdot \frac{x^2 + x}{2}$
教师引导学生思考，再示范讲解：
1. 步骤1：计算括号内的减法：括号内是异分母分式相减，先通分。
通分后：$\frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1} = \frac{(x + 1) - x}{x(x + 1)} = \frac{1}{x(x + 1)}$
2. 步骤2：因式分解：对$x^2 + x$提公因式得$x(x + 1)$，原式变为：
$\frac{1}{x(x + 1)} \cdot \frac{x(x + 1)}{2}$
3. 步骤3：约分并计算：约去公因式$x(x + 1)$（$x \neq 0,-1$），结果为$\frac{1}{2}$。
例3：含乘方的混合运算
计算：$\left( \frac{2a}{b} \right)^2 \cdot \frac{3b}{4a^3} - \frac{1}{a^2}$
教师强调“先乘方”的顺序，分步讲解：
1. 步骤1：计算乘方：$\left( \frac{2a}{b} \right)^2 = \frac{4a^2}{b^2}$，原式变为：
$\frac{4a^2}{b^2} \cdot \frac{3b}{4a^3} - \frac{1}{a^2}$
2. 步骤2：计算乘法：分子相乘，分母相乘，再约分。
$\frac{4a^2 \cdot 3b}{b^2 \cdot 4a^3} = \frac{12a^2b}{4a^3b^2} = \frac{3}{ab}$，原式变为$\frac{3}{ab} - \frac{1}{a^2}$
3. 步骤3：计算减法：异分母相减，通分（最简公分母为$a^2b$）。
$\frac{3}{ab} - \frac{1}{a^2} = \frac{3a}{a^2b} - \frac{b}{a^2b} = \frac{3a - b}{a^2b}$（$a \neq 0,b \neq 0$）
教师小结例题规律：“分式混合运算，核心是‘顺序’和‘化简’，先确定运算顺序，再通过因式分解、约分、通分等技巧简化运算，每一步都要注意分式有意义的条件。”
（四）课堂练习，巩固提升（10分钟）
1. 基础题（单人独立完成，5分钟）
计算下列各题，要求写出详细步骤：
1. $\frac{a^2 - 1}{a^2 + 2a + 1} \div \frac{a - 1}{a} \cdot \frac{a + 1}{a}$（答案：1）
2. $\left( \frac{2}{x} + \frac{3}{x^2} \right) \cdot x^2$（答案：$2x + 3$）
计算：
这道题包含了哪些运算？
运算顺序又是怎样的？
分式的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，如果有括号先进行括号里的运算.
运算结果要化为最简分式或整式.
例3 计算：
先算乘方
统一为乘法
计算乘法
通分
按同分母分式相加减法则计算
约分
分式混合运算的计算方法：
方法
（1）将各分式的分子、分母分解因式后，再
进行计算；
（2）运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减；
（3）注意处理好每一步运算中遇到的符号；
（4）计算结果要约分为最简分式或整式.
知识点2 分式运算的实际应用
例4 张华和李明同时从甲地沿同一路线步行去乙地. 张华在前半段路程的平均行走速度是 a km/h，在后半段路程的平均行走速度是 b km/h；李明全程的平均行走速度是 km/h. 如果 a ≠ b，两人谁先到达乙地？
路程 = 速度×时间
解：设从甲地到乙地的路程为 s km.
李明从甲地到乙地的时间 (单位：h) 为：
张华从甲地到乙地的时间 (单位：h) 为：
两人的时间差为：
因为 s，a，b 均大于 0，且 a ≠ b，所以
因此，李明先到达乙地.
解：
即两队共同工作一天完成这项工程的　　　
1. 甲工程队完成一项工程需 n 天，乙工程队要比甲工程队多用 3 天才能完成这项工程，两队共同工作一天完成这项工程的几分之几？
练习
【教材P155练习 第2题】
知识点1 分式的混合运算
1.计算 的正确结果是( )
B
A. B. C. D.
返回
2.计算 的结果是( )
C
A. B. C.1 D.
返回
3.计算 的结果是( )
D
A. B. C. D.
返回
4.已知，，则 的值是___.
2
返回
5.计算：
（1）［2024重庆中考］ ；
解：原式 .
（2） ；
解：原式 .
（3） .
解：原式 .
返回
6.［2024盐城中考］先化简，再求值：，其中 .
解：原式 ，
当时，原式 .
返回
知识点2 分式加减的应用
7.一份工作，甲单独做需天完成，乙单独做需 天完成，则甲、乙两人
合作一天的工作量是( )
A
A. B. C. D.
返回
8.［教材习题变式］［2025上海徐汇区月考］， 两地相距
，通讯员原计划用从地到达地，现需提前 到达，
则每小时要多走( )
D
A. B. C. D.
返回
9.小强上山和下山的路程都是，上山的速度为 ，下山的速
度为 ，则小强上山和下山的平均速度为( )
D
A. B.
C. D.
返回
10. 分式运算的结果是，则 处的
运算符号是( )
D
A. B.- C.× D.
返回
11.如图是某同学化简式子 的部分解答过程：
解：原式 …………第一步
…………第二步
…………第三步
……
（1）上面的解答过程从第____步开始出现错误;
一
（2）请你写出完整、正确的解答过程.
解：原式 .
返回
12.［2024广安中考］先化简，再从 ，0，1，
2中选取一个适合的数作为 的值代入求值.
解：原式 ，
由题意得且 ，
且 ，
或2.
当时，原式（或当时，原式 .
返回
13. ［2024日照中考］先化简，再求值：
，其中满足 .
解：原式
.
， ，
原式 .
返回
14. ［2025长沙月考］定义：若分式与分式 的差等于
它们的积.即，则称分式是分式的“可存异分式”.如
与.， ,
.
是 的“可存异分式”.
（1）填空：分式______分式 的“可存异分式”；（填“是”或“不
是”）
不是
（2）已知分式是分式 的“可存异分式”.
①求分式 ；
解： 分式是分式 的“可存异分式”，
，
，
.
②若整数使得分式的值是正整数，求分式 的值.
解： 整数使得分式的值是正整数， ，
易得或 ，
当时，；当时，；当时， .
分式 的值是1或3或5.
返回
课堂小结
分式的混合运算顺序：
先乘方，再乘除，然后加减.
若有括号，先算括号里面的.
同级运算，按从左到右的顺序进行计算.　　
谢谢观看！

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