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人教版（2024）版数学8年级上册
第十八章 分式
18.4.2用科学记数法表示绝对值小于1的数
a0 = ____(a ≠ 0)， a–n = ____(a ≠ 0，n 是正整数)
在整数指数幂中：
1
0.1 =
0.01 =
0.001 = = ；
0.0001 = = .
= 10 – 1
= 10 – 2
探究
10 – 3
10 – 4
教学目标
1. 知识与技能：理解用科学记数法表示绝对值小于1的数的原理，掌握其表示形式\(a×10^{-n}\)（\(1≤|a|<10\)，\(n\)为正整数）；能熟练将绝对值小于1的数转化为科学记数法形式，也能将此类科学记数法表示的数还原为原数。
2. 过程与方法：通过对比绝对值大于1的数的科学记数法表示，经历“观察—归纳—验证—应用”的过程，培养数感和转化能力，体会数学中的类比思想。
3. 情感态度与价值观：感受科学记数法的简洁性和实用性，激发对数学工具性的认识，培养严谨的表达习惯。
二、教学重难点
- 重点：掌握用科学记数法表示绝对值小于1的数的方法，明确\(a\)的取值范围和\(n\)的确定方法。
- 难点：准确确定\(n\)的值；理解科学记数法中负指数与原数中零的个数的关系。
三、教学过程
（一）复习衔接：唤醒旧知（3分钟）
1. 回顾科学记数法的基本形式：我们曾用\(a×10^n\)（\(1≤|a|<10\)，\(n\)为正整数）表示绝对值大于1的数，例如：
- 36000 = 3.6×10^4（\(n\)等于原数整数位数减1）；
- -5200 = -5.2×10^3。
2. 提出问题：生活中我们还会遇到像0.00002、-0.0012这样绝对值小于1的小数，这类数书写繁琐，能否用科学记数法简化表示？引出本节课主题——用科学记数法表示绝对值小于1的数。
（二）新知探究：推导表示方法（10分钟）
1. 从负整数指数幂切入
回顾负整数指数幂的性质：\(10^{-n} = \frac{1}{10^n}\)（\(n\)为正整数），例如：
- 10^{-1} = \frac{1}{10} = 0.1；
- 10^{-2} = \frac{1}{100} = 0.01；
- 10^{-3} = \frac{1}{1000} = 0.001；
- 10^{-4} = \frac{1}{10000} = 0.0001。
观察发现：10的负整数次幂等于1前面有对应个数零的小数（包括小数点前的一个零）。
2. 探究表示形式
以0.00002为例，尝试用科学记数法表示：
- 第一步：将原数转化为“1≤|a|<10”的数：0.00002 = 2×0.00001；
- 第二步：用10的负指数幂表示0.00001：0.00001 = 10^{-5}；
- 第三步：组合得：0.00002 = 2×10^{-5}。
再以-0.000125为例：
- -0.000125 = -1.25×0.0001 = -1.25×10^{-4}。
归纳定义：绝对值小于1的数可以表示为\(a×10^{-n}\)的形式，其中：
- 1≤|a|<10（\(a\)是整数位只有一位的小数或整数）；
- \(n\)是正整数，且\(n\)等于原数左边第一个非零数字前所有零的个数（包括小数点前面的那个零）。
3. 关键辨析
区分两类科学记数法：
- 绝对值大于1的数：\(a×10^n\)（\(n\)为正整数，\(n\)=整数位数-1）；
- 绝对值小于1的数：\(a×10^{-n}\)（\(n\)为正整数，\(n\)=左边第一个非零数字前零的个数）。
（三）例题精讲：掌握核心方法（12分钟）
1. 例题1：将绝对值小于1的数表示为科学记数法
用科学记数法表示下列各数：
1. （1）0.0000038；（2）-0.00045；（3）0.0000000721
解题步骤：一找（找左边第一个非零数字）、二定（定\(a\)，使1≤|a|<10）、三数（数零的个数定\(n\)）。
解答：
- （1）0.0000038：左边第一个非零数字是3，前面有6个零，故\(a=3.8\)，\(n=6\)，即3.8×10^{-6}；
- （2）-0.00045：左边第一个非零数字是4，前面有4个零，故\(a=-4.5\)，\(n=4\)，即-4.5×10^{-4}；
- （3）0.0000000721：左边第一个非零数字是7，前面有8个零，故\(a=7.21\)，\(n=8\)，即7.21×10^{-8}。
2. 例题2：将科学记数法表示的数还原为原数
将下列用科学记数法表示的数还原成原数：
1. （1）5.6×10^{-5}；（2）-3.2×10^{-3}；（3）7.01×10^{-7}
还原方法：将\(a\)的小数点向左移动\(n\)位，若位数不足则补零。
解答：
- （1）5.6×10^{-5}：将5.6的小数点左移5位，得0.000056；
- （2）-3.2×10^{-3}：将-3.2的小数点左移3位，得-0.0032；
- （3）7.01×10^{-7}：将7.01的小数点左移7位，得0.000000701。
3. 例题3：结合实际情境的应用
某种病毒的直径约为0.00000012米，用科学记数法表示该病毒的直径；若另一种细菌的直径是1.5×10^{-5}米，哪种微生物的直径更小？
解答：
- 第一步：表示病毒直径：0.00000012 = 1.2×10^{-7}米；
- 第二步：还原细菌直径：1.5×10^{-5} = 0.000015米；
- 第三步：比较大小：1.2×10^{-7} < 1.5×10^{-5}，故病毒直径更小。
（四）巩固练习：强化应用能力（10分钟）
1. 基础题：规范表示与还原
1. 用科学记数法表示：
（1）0.00009 = ______；（2）-0.00000068 = ______
2. 还原成原数：
（1）3.02×10^{-4} = ______；（2）-9.1×10^{-6} = ______
答案：1.（1）9×10^{-5}；（2）-6.8×10^{-7}；2.（1）0.000302；（2）-0.0000091
2. 提升题：比较大小与计算
1. 比较大小：3.6×10^{-5}与2.7×10^{-4}（提示：统一指数或还原后比较）；
2. 计算：(2×10^{-3})×(5×10^{-6})（结果用科学记数法表示）。
答案：1. 3.6×10^{-5} = 0.000036 < 0.00027 = 2.7×10^{-4}；2. 1×10^{-8}
（五）易错点警示与技巧总结（5分钟）
1. 常见易错点
- 易错点1：\(n\)的个数数错，漏算小数点前的零。例如将0.0002误写为2×10^{-3}（正确应为2×10^{-4}）；
- 易错点2：\(a\)的取值不符合1≤|a|<10，如将0.0056误写为56×10^{-5}（正确应为5.6×10^{-3}）；
- 易错点3：还原时小数点移动方向错误，将负指数幂当成正指数幂右移小数点。
2. 记忆技巧
“左零右整定指数，正正负压记清楚”：
- 原数左边有零（绝对值小于1），指数为负；
- 原数是整数（绝对值大于1），指数为正；
- 指数的绝对值等于移动的位数。
根据前面的规律填空：
10 – 1 = ____；10 – 2 = ____； 10 – 3 = ______；
10 – 4 = ______；10 – 5 = _______； 10 – 6 = _____.
0.1
0.01
0.001
0.0001
0.00001
0.000001
通过上面的探索，你发现指数与运算结果的 0 的个数有什么关系？
一般地，10的 – n 次幂，在 1 前面有____个 0.
n
0.003 5 和 0.000 098 2 可以用科学记数法表示吗？
0.000 098 2 = 9.82×0.000 01= 9.82×10 – 5
0.003 5 = 3.5×0.001 = 3.5×10 – 3
1 a < 10
n 为 a 相对于原数小数点向右移动的位数
a×10 – n
绝对值小于1的数可以用科学计数法表示为 a×10 – n 的形式，其中 1 |a| < 10，n 是正整数.
应用：便于比较数的大小和运算
归纳
例如，自然科学和生活中经常用到的分(d)、厘(c)、毫(m)、微(μ)、纳(n)等国际单位制词头，其中微对应10 – 6，纳对应10 – 9. 微米(μm)、纳米(nm)都是长度单位，1 μm = 10 – 6 m，1 nm=10 – 9 m.
用科学记数法表示绝对值小于1的数：
确定 a：a 是大于或等于 1 且小于 10 的数
1
3
表示数：将原数用科学计数法表示为 a×10-n
的形式
2
确定 n：
方法
方法1：n 等于原数中左起第一个非 0 数字前 0 的个数（包括小数点前的那个0）
方法2：小数点向右移到第一个非 0 数字后，小数点移动了几位，n 就等于几
对于一个小于 1 的正小数，如果
小数点后至第一个非 0 数字前有 8 个 0，用科学记数法表示这个数时，10 的指数是多少？
思 考
小数点后
– 9
如果有 m 个 0 呢？
– m – 1
1. 用科学记数法表示下列各数：
练习
（1）0.0000006 = __________；
（2）– 0.0000208 = __________.
2. 将下面用科学记数法表示的数还原：
（1）2.01×10–5 = __________；
（2）– 3.2 ×10–4 = __________；（3）8.2 ×10–7 = __________.
6×10–7
– 2.08×10–5
0.0000201
– 0.00032
0.00000082
例2 碳纳米管是一种前沿纳米材料，有很多神奇的特性. 它是由呈六边形排列的碳原子构成的单层或多层的同轴圆管，其直径一般为 2~20 nm. 通常一根头发丝的直径约为 70 μm，一根头发丝的直径大约是碳纳米管直径的多少倍？
纳米技术是一种高新技术，主要是在纳米尺度内探索物质的性质，从而创造新材料.
解：70 μm = __________m，
2 nm = __________m，
20 nm = __________m.
70×10– 6
2×10– 9
20×10– 9
(70×10– 6)÷(2×10– 9) = 3.5×104
(70×10– 6)÷(20×10– 9) = 3.5×103
因此，一根头发丝的直径大约是碳纳米管直径的3.5×103 ~ 3.5×104 倍.
知识点 用科学记数法表示绝对值小于1的数
1.［2025大连期末］“夜深知雪重，时闻折竹声.”这是白居易《夜雪》中
对雪的描写.单个雪花的重量其实很轻，只有 左右，数据
用科学记数法表示为( )
B
A. B. C. D.
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2. 嫦娥六号任务取得圆满成功，实现世界首次月球背面
采样返回，标志着中国航天业又向前迈出了一大步.嫦娥六号返回器在
接近大气层时，飞行大约需要. 用科学记
数法表示为，则 为( )
B
A. B. C.5 D.6
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3. 中国在新能源汽车芯片领域已经实现了自给自足，在
制程精度 的范畴内，实现了日产能10亿颗的能力.已知
，则 用科学记数法可表示为( )
B
A. B.
C. D.
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4.氧气是由氧元素形成的一种单质，氧元素的原子半径约为
，可写成，为整数
的形式，则____， _____.
7.4
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5.把下列用科学记数法表示的数还原.
（1） _____________；
（2） _________________.
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6.一次抽奖活动中，特等奖的中奖率为，把 用科学记数法表
示为( )
C
A. B. C. D.
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7.在电子显微镜下测得一个球体细胞的直径是， 个
这样的球体细胞紧密一字排列后的长是( )
B
A. B. C. D.
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8.近似数 精确到了______位.
千分
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9.［教材P练习T 变式］计算：
（1） ；
解：原式 .
（2） .
解：原式 .
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10.据测算，5万粒芝麻约有200克，你能换算出1粒芝麻约有多少克吗？
（用科学记数法表示结果）
解： （克）.
答：1粒芝麻约有 克.
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11. 某农科所要在一块长，宽
的试验基地上培育新品种粮食，现培育一种新品种粮食需要边长为
的正方形试验田，这块试验基地最多能培育几种新品种粮
食？
解： ,
,
（种）.
答：这块试验基地最多能培育20种新品种粮食.
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课堂小结
用科学记数法表示绝对值小于1的小数规律：
绝对值小于1的数可以用科学记数法表示为 a×10 – n 的形式，其中 1 |a| < 10，n 是正整数.
谢谢观看！

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