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(共26张PPT)
人教版（2024）版数学8年级上册
第十八章 分式
18.5.1分式方程及其解法
一艘轮船在静水中的最大航速为 30 km/h，它以最大航速沿江顺流航行 90 km 所用的时间，与以最大航速逆流航行 60 km 所用的时间相等，江水的流速为多少？
等量关系
v顺流 = v静水 + v水流
v逆流 = v静水 – v水流
教学目标
1. 知识与技能：理解分式方程的定义，能准确识别分式方程；掌握分式方程的解法，核心是通过“去分母”转化为整式方程求解，熟练掌握验根的必要性及方法；能独立解简单的分式方程。
2. 过程与方法：通过对比整式方程，经历“观察识别—转化求解—检验反思”的过程，体会“转化思想”在解方程中的应用，培养逻辑推理和严谨解题的能力。
3. 情感态度与价值观：感受数学知识间的联系，认识到验根是保证解题正确性的关键，培养严谨的数学思维习惯和实事求是的学习态度。
二、教学重难点
- 重点：分式方程的解法，包括“去分母”转化为整式方程、解整式方程及检验根的步骤。
- 难点：理解分式方程验根的必要性；掌握“去分母”时最简公分母的确定及符号的正确处理。
三、教学过程
（一）复习衔接：引出新知（5分钟）
1. 回顾旧知：
- 什么是整式？举例说明：如\(2x\)、\(x^2 + 3x - 1\)等，分母中不含未知数的代数式是整式。
- 什么是分式？举例说明：如\(\frac{1}{x}\)、\(\frac{x + 1}{x - 2}\)等，分母中含有未知数的代数式是分式（分母不为0）。
- 解整式方程\(2x - 1 = 3\)的步骤：移项→合并同类项→系数化为1，解得\(x = 2\)。
2. 情境提问：甲、乙两人做同样的零件，甲每小时做3个，乙每小时做\(x\)个，甲比乙多做1小时才能完成12个零件，求乙每小时做多少个？
列方程：甲完成时间为\(\frac{12}{3} = 4\)小时，乙完成时间为\(\frac{12}{x}\)小时，根据题意得\(\frac{12}{x} + 1 = 4\)。这个方程与我们之前学的整式方程有何不同？引出本节课主题——分式方程及其解法。
（二）新知定义：分式方程的识别（5分钟）
1. 分式方程的定义
观察下列方程，找出它们的共同特征：
- （1）\(\frac{12}{x} + 1 = 4\)；（2）\(\frac{x + 1}{x - 2} = 3\)；（3）\(\frac{2}{x - 1} = \frac{3}{x + 2}\)
归纳定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
2. 整式方程与分式方程的辨析
判断下列方程是否为分式方程：
方程
是否为分式方程
理由
\(2x + 3 = 5\)
否
分母中不含未知数，是整式方程
\(\frac{1}{x} = 2\)
是
分母中含有未知数\(x\)
\(\frac{x + 1}{3} = x - 2\)
否
分母为常数3，不含未知数
\(\frac{2}{x - 3} = \frac{x}{x + 1}\)
是
分母中含有未知数\(x\)
判断关键：看方程中是否有分母含未知数的项，与分子是否含未知数无关。
（三）核心探究：分式方程的解法（15分钟）
1. 解法思路：转化思想
分式方程→（去分母）→整式方程→解整式方程→检验→确定分式方程的解。
核心：利用等式的性质，在方程两边同乘各分母的最简公分母，消去分母，将分式方程转化为我们熟悉的整式方程。
2. 实例演示：解分式方程\(\frac{12}{x} + 1 = 4\)
步骤详解：
1. 步骤一：确定最简公分母：方程中分母为\(x\)，最简公分母就是\(x\)（\(x≠0\)）。
2. 步骤二：去分母，转化为整式方程：方程两边同乘\(x\)，得\(12 + x = 4x\)（注意：每一项都要乘\(x\)，包括常数项1）。
3. 步骤三：解整式方程：移项得\(x - 4x = -12\)，合并同类项得\(-3x = -12\)，系数化为1得\(x = 4\)。
4. 步骤四：检验：将\(x = 4\)代入原分式方程的分母，分母\(x = 4≠0\)，代入左边得\(\frac{12}{4} + 1 = 3 + 1 = 4\)，与右边相等，故\(x = 4\)是原分式方程的解。
3. 深化探究：为什么要验根？
例：解分式方程\(\frac{2}{x - 1} = \frac{3}{x + 2}\)
解题过程：
- 最简公分母：\((x - 1)(x + 2)\)（\(x≠1\)且\(x≠-2\)）；
- 去分母：两边同乘\((x - 1)(x + 2)\)，得\(2(x + 2) = 3(x - 1)\)；
- 解整式方程：展开得\(2x + 4 = 3x - 3\)，移项得\(x = 7\)；
- 检验：将\(x = 7\)代入分母\((7 - 1)(7 + 2) = 6×9 = 54≠0\)，左边\(\frac{2}{6} = \frac{1}{3}\)，右边\(\frac{3}{9} = \frac{1}{3}\)，相等，故\(x = 7\)是解。
再例：解分式方程\(\frac{1}{x - 2} = \frac{x}{x^2 - 4}\)
解题过程：
- 化简分母：\(x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)\)，最简公分母为\((x - 2)(x + 2)\)（\(x≠2\)且\(x≠-2\)）；
- 去分母：两边同乘\((x - 2)(x + 2)\)，得\(x + 2 = x\)；
- 解整式方程：移项得\(x - x = -2\)，即\(0x = -2\)，方程无解；
- 结论：原分式方程无解。
验根的必要性：去分母时，方程两边同乘的最简公分母可能为0，导致转化后的整式方程的解使原分式方程的分母为0，此时这个解不是原分式方程的解（称为增根），因此必须验根。
4. 验根方法
- 方法一：将整式方程的解代入原分式方程，看左右两边是否相等；
- 方法二（简便）：将整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母不为0，则是原方程的解；若为0，则是增根，原方程无解。
（四）例题精讲：规范解题（10分钟）
例题1：解分式方程\(\frac{x + 1}{x - 2} = 3\)
解答：
1. 最简公分母：\(x - 2\)（\(x≠2\)）；
2. 去分母：两边同乘\(x - 2\)，得\(x + 1 = 3(x - 2)\)；
3. 解整式方程：展开得\(x + 1 = 3x - 6\)，移项合并得\(-2x = -7\)，解得\(x = \frac{7}{2}\)；
4. 检验：将\(x = \frac{7}{2}\)代入\(x - 2 = \frac{7}{2} - 2 = \frac{3}{2}≠0\)，左边\(\frac{\frac{7}{2} + 1}{\frac{7}{2} - 2} = \frac{\frac{9}{2}}{\frac{3}{2}} = 3\)，与右边相等，故\(x = \frac{7}{2}\)是原方程的解。
例题2：解分式方程\(\frac{2}{x} - \frac{1}{1 + x} = 0\)
解答：
1. 最简公分母：\(x(1 + x)\)（\(x≠0\)且\(x≠-1\)）；
2. 去分母：两边同乘\(x(1 + x)\)，得\(2(1 + x) - x = 0\)；
3. 解整式方程：展开得\(2 + 2x - x = 0\)，合并得\(x + 2 = 0\)，解得\(x = -2\)；
4. 检验：将\(x = -2\)代入最简公分母\((-2)(1 - 2) = (-2)×(-1) = 2≠0\)，左边\(\frac{2}{-2} - \frac{1}{1 - 2} = -1 - (-1) = 0\)，与右边相等，故\(x = -2\)是原方程的解。
（五）易错点总结与规避（5分钟）
如果设江水的流速为 v km / h：
速度(km/h) 路程(km) 时间(h) 等量关系式
顺流
逆流 30 + v
30 – v
90
60
仔细观察这个方程，其未知数的位置有什么特点？
知识点1 分式方程的概念
探究新知
分母中含未知数的方程叫作分式方程.
这些方程有什么共同特征？
*我们以前学习的方程都是整式方程，它们的未知数不在分母中.
（1）是方程——含有未知数的等式；
（2）是分式——分母中含有未知数.
提炼
分式方程必须满足的条件：
练习
下列式子中，属于分式方程的是________，属于整式方程的是________(填序号).
②⑤⑦
①④
知识点2 分式方程的解法
如何解方程 ？
思 考
（1）如何把它转化为整式方程？
（2）怎样去分母？
（3）在方程两边乘什么样的式子才能把每一个分母都约去？
（4）这样做的依据是什么？
解分式方程最关键的问题是什么？
整式方程
转化
各个分母的最简公分母
等式的性质2
去分母
方程两边同乘各分母的最简公分母：(30 + v)(30 – v)
得
解得 v = 6
检验：将 v = 6 代入原方程中，左边 = 2.5 = 右边，因此 v=6 是原方程的解.
90(30 – v) = 60(30 + v)
解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边乘最简公分母，这也是解分式方程的一般方法.
结
小
纳
归
解：方程两边乘 x(x – 3)，得
2x = 3x – 9
解得 x = 9
检验：
当 x = 9时， x(x – 3) ≠ 0，
所以，原分式方程的解为 x = 9.
例1 解方程
例2 解方程
解：方程两边乘 (x – 1)(x + 2)，得
x(x + 2) – (x – 1)(x + 2) = 3
解得 x = 1
检验：
当x = 1时，(x – 1)(x + 2) = 0
所以，原分式方程无解.
因此， x = 1不是原分式方程的解.
知识点1 分式方程的概念
1.下列式子中，属于分式方程的是( )
C
A. B. C. D.
返回
2. 请利用式子1，， ，5组成一个分式方程：
________________________.
（答案不唯一）
返回
知识点2 分式方程的解法
3.化分式方程 为整式方程时，方程两边同乘的最简公分母是
( )
C
A. B.
C. D.
返回
4.将分式方程 化为整式方程，正确的是( )
D
A. B.
C. D.
返回
5.［2024无锡中考］分式方程 的解是( )
A
A. B. C. D.
返回
6.［2025怀化期末］若关于的分式方程的解是，则
___.
1
返回
7.［教材P 练习变式］解分式方程：
（1）［2024广州中考］ ;
解：方程两边乘，得，解得 ，
检验：当时， ，
原分式方程的解为 .
（2）［2024南通中考］ ；
解：方程两边乘，得，解得 ，
检验：当时， ，
原分式方程的解为 .
（3） .
解：方程两边乘 ，
得，解得 ，
检验：当时， ，
不是原分式方程的解.
原分式方程无解.
返回
8. 小丽解分式方程 时，出现了错误，她
的解题过程如下：
解：去分母，得， 第一步
解得， 第二步
方程的解是 .……第三步
（1）小丽的解题过程从第____步开始出错；
（2）小丽的解题过程缺少的步骤是______；
一
检验
（3）请写出正确的解题过程.
解：去分母，得，解得 .
检验：当时， .
原分式方程的解是 .
返回
9.若关于的分式方程与方程的解相同，则 的值为
( )
A
A. B. C. D.
返回
10. 已知关于的分式方程的解是非负数，则 的取
值范围是( )
C
A. B.
C.且 D.且
返回
课堂小结
1. 分式方程：分母中含未知数的方程叫作分式方程.
2. 分式方程的解法：
分式方程
去分母
整式方程
求解
x = m
x = m 是分式方程的解
目标
最简公分母不为0
检验
谢谢观看！

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