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人教版（2024）版数学8年级上册
第十八章 分式
18.5.2 列分式方程解决实际问题
探究新知
你能说出实际应用中存在哪些常见的数量关系吗？
行程问题
路程 = 速度×时间
工作量=工作效率×工作时间，
合作效率=各自单独完成任务的效率和.
工程问题
利润 = 售价 – 进价，利润 = 进价×利润率，
销售额 = 销售量×单价.
销售问题
一、教学目标
1. 知识与技能：掌握列分式方程解决实际问题的一般步骤，能准确分析实际问题中的等量关系，列出分式方程并求解；能结合实际意义检验方程的解，确保解的合理性。
2. 过程与方法：通过对实际问题的审题、分析、建模，经历“实际问题—数学模型—求解验证”的过程，培养数学建模能力和分析问题、解决问题的能力，深化对转化思想的理解。
3. 情感态度与价值观：感受分式方程在解决实际问题中的应用价值，体会数学与生活的紧密联系，培养用数学知识解决实际问题的意识和严谨的思维品质。
二、教学重难点
- 重点：列分式方程解决实际问题的核心——找准等量关系，建立分式方程模型；检验方程解的合理性（既要满足方程，又要符合实际情境）。
- 难点：分析复杂实际问题中的数量关系，将实际语言转化为数学语言，准确提炼等量关系；结合实际情境对解进行检验与取舍。
三、教学过程
（一）复习回顾+情境导入（5分钟）
1. 知识回顾
上节课我们学习了分式方程的解法，其核心步骤是：去分母转化为整式方程→解整式方程→验根。请快速回忆：验根时需要注意什么？（既要检验是否使最简公分母为0，也要检验是否符合方程等量关系）
2. 情境导入
问题：为响应“绿色出行”号召，某单位组织员工骑自行车团建。从单位到目的地的路程为36千米，若骑自行车的速度比步行快12千米/小时，且骑自行车所用时间比步行少1.5小时，求步行的速度。
思考：这个问题涉及哪些量？它们之间有什么关系？如何用分式方程表示这种关系？引出本节课主题——列分式方程解决实际问题。
（二）核心探究：列分式方程解实际问题的一般步骤（8分钟）
结合上述情境问题，归纳列分式方程解决实际问题的“六步流程”：
1. 审：审题，明确问题中的已知量、未知量及核心数量关系。
示例：已知路程36千米，未知量是步行速度（设为\(x\)千米/小时），则骑车速度为\((x + 12)\)千米/小时；数量关系：时间=路程÷速度，骑车时间=步行时间-1.5小时。
2. 设：设未知数，通常设直接未知数（求什么设什么），用含未知数的式子表示相关量。
示例：设步行的速度为\(x\)千米/小时，则骑自行车的速度为\((x + 12)\)千米/小时；步行时间为\(\frac{36}{x}\)小时，骑车时间为\(\frac{36}{x + 12}\)小时。
3. 找：找出题目中的等量关系，这是列方程的关键。
示例：等量关系——步行时间 - 骑车时间 = 1.5小时。
4. 列：根据等量关系，列出分式方程。
示例：\(\frac{36}{x} - \frac{36}{x + 12} = 1.5\)。
5. 解：解分式方程，按“去分母→解整式方程→初步验根”的步骤进行。
示例：两边同乘\(2x(x + 12)\)（消去分母和小数），得\(72(x + 12) - 72x = 3x(x + 12)\)，整理为\(3x + 36x - 864 = 0\)，即\(x + 12x - 288 = 0\)，解得\(x = 12\)，\(x = -24\)。
6. 验：双重检验——①检验是否为增根（代入最简公分母，不为0）；②检验是否符合实际意义（速度不能为负）。
示例：\(x = -24\)不符合实际，舍去；\(x = 12\)代入最简公分母不为0，且符合速度意义，是有效解。
7. 答：写出符合实际的答案。
示例：步行的速度为12千米/小时。
关键提醒：“找等量关系”常用方法——①利用公式（如路程=速度×时间、工作总量=工作效率×工作时间）；②抓住关键词（如“多”“少”“快”“慢”“相等”“是几倍”）；③分析不变量（如总路程、总工作量）。
（三）例题精讲：分类突破常见题型（18分钟）
列分式方程解决实际问题的常见题型包括：行程问题、工程问题、增长率问题、商品销售问题等，核心都是找准等量关系。
题型1：行程问题（核心公式：路程=速度×时间）
例题1：A、B两地相距120千米，甲、乙两车同时从A地出发开往B地，甲车速度是乙车速度的1.2倍，结果甲车比乙车提前1小时到达B地，求甲、乙两车的速度。
解题过程：
1. 审：已知路程120千米，甲车速度=1.2×乙车速度，甲车时间=乙车时间-1小时；未知量：乙车速度。
2. 设：设乙车速度为\(x\)千米/小时，则甲车速度为\(1.2x\)千米/小时。
3. 找等量关系：乙车行驶时间 - 甲车行驶时间 = 1小时。
4. 列方程：\(\frac{120}{x} - \frac{120}{1.2x} = 1\)。
5. 解方程：两边同乘\(6x\)，得\(720 - 600 = 6x\)，解得\(x = 20\)。
6. 检验：\(x = 20≠0\)，\(1.2x = 24≠0\)，速度为正，符合实际。
7. 答：乙车速度为20千米/小时，甲车速度为24千米/小时。
题型2：工程问题（核心公式：工作总量=工作效率×工作时间，常设工作总量为1）
例题2：一项工程，甲单独做需要12天完成，乙单独做需要18天完成。现由甲先做若干天后，再由乙接替甲完成剩余部分，共用16天完成。甲、乙分别做了多少天？
解题过程：
1. 审：甲效率\(\frac{1}{12}\)/天，乙效率\(\frac{1}{18}\)/天，总天数16天，总工作量=1；未知量：甲做的天数。
2. 设：设甲做了\(x\)天，则乙做了\((16 - x)\)天。
3. 找等量关系：甲的工作量 + 乙的工作量 = 总工作量1。
4. 列方程：\(\frac{x}{12} + \frac{16 - x}{18} = 1\)。
5. 解方程：两边同乘36，得\(3x + 2(16 - x) = 36\)，解得\(x = 4\)，则\(16 - x = 12\)。
6. 检验：天数为正，且\(\frac{4}{12} + \frac{12}{18} = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} = 1\)，符合题意。
7. 答：甲做了4天，乙做了12天。
题型3：商品销售问题（核心关系：利润=售价-进价，利润率=利润/进价×100%）
例题3：某商店销售一批进价为每件10元的玩具，若按每件15元出售，每天可售200件。经市场调查发现，每件玩具每涨价1元，日销售量就减少10件。若该商店想每天获得800元的利润，每件玩具应涨价多少元？
解题过程：
1. 审：进价10元/件，原售价15元/件，原销量200件；涨价1元→销量减10件；目标利润800元/天；未知量：每件涨价金额。
例 3　两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成. 哪个队的施工速度快？
探究1 工程问题
甲队工作总量 + 乙队工作总量 =“1”
问题中的哪个等量关系可以用来列方程？
工作时间/月 工作效率 工作总量
甲队
乙队
设乙队单独完成这项工程需要 x 月.
甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一
两队又共同工作了半个月
甲队工作总量 + 乙队工作总量 =“1”
解：设乙队单独施工1个月能完成总工程的 ，记总工程量为 1，根据工程的实际进度，得
方程两边乘 6x，得
解得 x = 1.
检验：当 x = 1 时，6x ≠ 0.
所以，原分式方程的解为 x = 1.
由上可知，若乙队单独施工1个月可以完成全部任务，对比甲队1个月完成任务的，可知乙队的施工速度快.
注意：分式方程的解需要检验
2x + x + 3 = 6x.
工程问题中的基本关系：
解决工程问题的思路方法：各部分工作量之和等于1
常从工作量和工作时间上考虑相等关系.
工作总量 = 工作效率×工作时间
合作效率 = 各自单独完成任务的效率和
总工作量 = 各部分工作量之和
归纳
探究2 行程问题
这里的字母 v，s 表示已知数据
例4 某次列车平均提速 v km/h. 在相同的时间内，列车提速前行驶 s km，提速后比提速前多行驶 50 km，提速前列车的平均速度为多少？
表达问题时，用字母不仅可以表示未知数(或未知量)，也可以表示已知数(或已知量)
时间/m 速度/(km/h) 路程/km
提速前
提速后
列车提速前行驶 s km，提速后比提速前多行驶 50 km
平均提速 v km/h
s
s + 50
x
v + x
设提速前列车的平均速度为 x km/h
等量关系
解：设提速前这次列车的平均速度为 x km/h，
则提速前它行驶 s km 所用时间为 h；提速后列车的平均速度为 (x + v) km/h，提速后它行驶 (s + 50) km 所用时间为 h.
方程两边乘 x(x + v) ，得
解得 x =
s(x + v) = x(s + 50).
根据行驶时间的相等关系，得
检验：当 x = 时， x(x + v) ≠ 0.
所以，原分式方程的解为 x =
答：提速前列车的平均速度为 km/h．　
用字母表示已知数据的形式，在分析问题寻找规律时经常出现. 其中根据 v，s 所表示的实际意义可知，它们是正数.
行程问题中的注意事项：
归纳
1. 注意关键词“提速”与“提速到”的区别；
2. 把两个“主人公”行程问题中的三个量用代数式表示出来；
3. 行程问题中的等量关系通常抓住“时间线”来建立方程.
某自行车行经营的某款自行车去年销售总额为8万元，今年该款自行车每辆售价预计比去年降低 200 元. 若该款自行车的销售数量与去年相同，则今年的销售总额将比去年减少 10%. 去年该款自行车每辆售价为多少元？
探究3 销售问题
设去年该款自行车每辆售价为 x 元
售价/元 销量/辆 销售额/元
去年
今年
今年的销售总额将比去年减少 10%
80000
80000×(1 – 10%)
x
x – 200
去年销售总额为 8 万元
今年该款自行车每辆售价预计比去年降低 200 元
该款自行车的销售数量与去年相同
等量关系
解：设去年该款自行车每辆售价为 x 元，则今年该款自行车每辆售价为 (x – 200) 元.
方程两边乘 x(x – 200)，得
解得 x = 2000.
检验：当 x = 2000 时， x(x – 200) ≠ 0.
所以，原分式方程的解为 x = 2000.
答：去年该款自行车每辆售价为 2000 元.
80000(x – 200) = 80000x(1 – 10%).
根据题意，得
销售问题中的基本关系：
归纳
利润 = 售价 – 进价
利润 = 进价 × 利润率
销售额 = 销售量 × 单价
知识点1 工程问题
1.甲、乙两队要限期完成某工程，甲队单独做提前2天完成，乙队单独
做要延期5天才能完成，现在两队合作3天后余下的由乙队单独做，正好
如期完工，设工程期限为 天，那么可列方程为( )
C
A. B.
C. D.
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2.［2024枣庄中考］为提高生产效率，某工厂将生产线进行升级改造，
改造后比改造前每天多生产100件，改造后生产600件的时间与改造前生
产400件的时间相同，则改造后每天生产的产品件数为( )
B
A.200 B.300 C.400 D.500
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3.［2024泰安中考］随着快递行业的快速发展，全国各地的农产品有了
更广阔的销售空间，某农产品加工企业有甲、乙两个组共35名工人.甲
组每天加工3 000件农产品，乙组每天加工2 700件农产品，已知乙组每
人每天平均加工的农产品数量是甲组每人每天平均加工农产品数量的
1.2倍，求甲、乙两组各有多少名工人？
解：设甲组有名工人，则乙组有 名工人.
根据题意得 ，
解得 ，
经检验， 是所列方程的解，
.
答：甲组有20名工人，乙组有15名工人.
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知识点2 行程问题
4. 中国高铁目前是世界高铁的领跑者，无论里程和速度
都是世界最高的.郑州、北京两地相距约 ，乘高铁列车从郑州到
北京比乘普快列车少用 ，已知高铁列车的平均行驶速度是普快列
车的3.2倍，设普快列车的平均行驶速度为 ，则下面所列方程中
正确的是( )
A
A. B.
C. D.
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5. ［2025上海宝山区模拟］《九章算术》是我国古代重
要的数学专著之一，其中记录的一道题译为：把一份文件用慢马送到
900里外的城市，需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的
时间比规定时间少3天.已知快马的速度是慢马的2倍.根据题意列方程为
，其中 表示( )
C
A.快马的速度 B.慢马的速度 C.规定的时间 D.以上都不对
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6.一艘货轮在静水中的航速为，它以该航速沿江顺流航行
所用时间与以该航速沿江逆流航行 所用时间相等，求江水的流速.
解：设江水的流速为 ，
根据题意得，解得 ，
经检验， 是所列方程的根.
答：江水的流速为 .
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7.某市准备在一定时间内铺设一条长 的排水管道，实际施工
时， .求原计划每天铺设管道多少米？题目中部分条件被墨汁污染，
小明查看了参考答案为：“设原计划每天铺设管道 ，则可得方程
， ”根据答案，题目中被墨汁污染的条件应为( )
A
A.每天比原计划少铺设 ，结果延期20天完成
B.每天比原计划多铺设 ，结果延期20天完成
C.每天比原计划少铺设 ，结果提前20天完成
D.每天比原计划多铺设 ，结果提前20天完成
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8.小刚家到学校的距离是 .某天早上，小刚到学校后发现作业本忘
在家中，此时离上课还有 ，于是他立即按原路跑步回家，拿到作
业本后骑自行车按原路返回学校.已知小刚骑自行车所用时间比跑步所用
时间少 ，且骑自行车的平均速度是跑步的平均速度的1.6倍.
（1）求小刚跑步的平均速度.
解：设小刚跑步的平均速度为 ，则小刚骑自行车的平均速度为
.
根据题意，得 ,
解得 .
经检验， 是所列方程的解.
答：小刚跑步的平均速度为 .
（2）如果小刚在家取作业本和取自行车共用了 ，他能否在上课前
赶回学校？请说明理由.
解：不能.理由：由（1）知小刚跑步的平均速度为 ，
则小刚跑步所用时间为 ，
骑自行车所用时间为 .
小刚在家取作业本和取自行车共用了， 小刚从开始跑步回家
取作业本到取回作业本赶回学校需要 .
又 ，
小刚不能在上课前赶回学校.
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9. 某一工程，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的
投标书.甲工程队施工一天的工程款为1.2万元，乙工程队施工一天的工程
款为0.5万元.工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，有如下方案：
①甲队单独做这项工程刚好如期完成；
②乙队单独做这项工程要比规定工期多用6天；
③若甲、乙两队合作3天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成.
（1）规定工期是多少天？
解：设规定工期是 天.
由题意，得，解得 .
经检验， 是原方程的解.
答：规定工期是6天.
（2）在不耽误工期的前提下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款？
请说明理由.
解：方案③最节省工程款.理由：
方案①所需工程款为 （万元）；
方案②比规定工期多用6天，不符合要求；
方案③所需工程款为 （万元）.
， 在不耽误工期的前提下，方案③最节省工程款.
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列分式方程解决实际问题的一般步骤：
课堂小结
①审
②找
③设
④列
⑤解
⑥验
⑦答
审已知和未知
找等量关系
设未知数
列方程
解方程
验证是否符合实际意义
作答
验证是否为分式方程的解
谢谢观看！

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