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人教版（2024）版数学8年级上册
第18章 分式
章末复习
知识结构
分式
概念
基本性质
运算
分式方程
约分
通分
乘、除、乘方
加、减，及混合运算
整数指数幂
最简分式
一、本章知识框架
分式是整式知识的延伸，是刻画现实世界中两个整式倍比关系的重要数学模型，也是后续学习反比例函数、分式方程的基础。本章核心围绕“分式的定义—性质—运算—应用”展开，具体框架如下：
- 概念基础：分式的定义、有意义及值为0的条件
- 核心性质：分式的基本性质（约分、通分的依据）
- 关键运算：分式的乘除、加减、混合运算（类比分数运算）
- 实际应用：分式方程的定义、解法及应用题（检验是核心）
二、核心知识点梳理
1. 分式的概念（判断与条件分析）
定义：一般地，如果A、B表示两个整式，且B中含有字母，那么式子$\frac{A}{B}$叫做分式。其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。
三个核心条件辨析：分式的关键在于“分母含字母且不为0”，由此衍生出三个常考条件，需精准区分：
条件类型
满足条件
示例（以$\frac{x-2}{x+3}$为例）
分式有意义
分母不为0（B≠0），分子无限制
x+3≠0 → x≠-3
分式无意义
分母为0（B=0），分子无限制
x+3=0 → x=-3
分式值为0
分子为0且分母不为0（A=0且B≠0）
x-2=0且x+3≠0 → x=2
易混点：分式与整式的区分——整式的分母不含字母（如$\frac{2}{3}x$、$0$、$a+b$），分式的分母含字母（如$\frac{1}{x}$、$\frac{x}{x^2-1}$）；注意$\frac{\pi}{x}$是分式（$\pi$是常数，分母含字母x），$\frac{x}{\pi}$是整式（分母是常数$\pi$）。
2. 分式的基本性质（变形依据）
分式的基本性质与分数的基本性质一致，是分式约分、通分及变形的核心依据。
基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。用式子表示为：$\frac{A}{B}=\frac{A\cdot C}{B\cdot C}$，$\frac{A}{B}=\frac{A\div C}{B\div C}$（其中C是不等于0的整式）。
两大应用：约分与通分
- 约分：
定义：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。
- 目标：将分式化为最简分式（分子与分母没有公因式的分式）或整式。
- 步骤：① 找公因式（分子、分母系数的最大公约数，相同字母的最低次幂）；② 约去公因式。
- 示例：$\frac{12x^2y}{18xy^3}=\frac{12}{18}\cdot\frac{x^2}{x}\cdot\frac{y}{y^3}=\frac{2x}{3y^2}$（公因式为$6xy$）；$\frac{x^2-4}{x+2}=\frac{(x+2)(x-2)}{x+2}=x-2$（先因式分解找公因式）。
通分：
定义：把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。
关键：确定最简公分母（各分母所有因式的最高次幂的积）。
步骤：① 找最简公分母；② 各分式分子分母同乘相应整式，化为同分母分式。
示例：通分$\frac{1}{2x^2y}$与$\frac{1}{3xy^3}$——最简公分母为$6x^2y^3$，则$\frac{1}{2x^2y}=\frac{3y^2}{6x^2y^3}$，$\frac{1}{3xy^3}=\frac{2x}{6x^2y^3}$。
3. 分式的运算（核心技能）
分式的运算规则类比分数运算，需注意运算顺序和符号问题，结果需化为最简分式。
（1）分式的乘除运算
- 乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。$\frac{A}{B}\cdot\frac{C}{D}=\frac{A\cdot C}{B\cdot D}$。
- 除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。$\frac{A}{B}\div\frac{C}{D}=\frac{A}{B}\cdot\frac{D}{C}=\frac{A\cdot D}{B\cdot C}$。
- 技巧：运算前先对分子、分母因式分解，再约分，可简化计算。示例：$\frac{x^2-1}{x^2+2x}\div\frac{x-1}{x}=\frac{(x+1)(x-1)}{x(x+2)}\cdot\frac{x}{x-1}=\frac{x+1}{x+2}$（先因式分解，再约分，最后相乘）。
（2）分式的加减运算
- 同分母分式加减：分母不变，分子相加减。$\frac{A}{B}\pm\frac{C}{B}=\frac{A\pm C}{B}$（注意分子是多项式时，要加括号再加减，避免符号错误）。示例：$\frac{x+3}{x-2}-\frac{x-2}{x-2}=\frac{(x+3)-(x-2)}{x-2}=\frac{x+3-x+2}{x-2}=\frac{5}{x-2}$。
- 异分母分式加减：先通分，化为同分母分式，再按同分母分式加减法法则计算。$\frac{A}{B}\pm\frac{C}{D}=\frac{AD\pm BC}{BD}$。示例：$\frac{1}{x+1}+\frac{x}{x^2-1}=\frac{1}{x+1}+\frac{x}{(x+1)(x-1)}=\frac{x-1+x}{(x+1)(x-1)}=\frac{2x-1}{(x+1)(x-1)}$（先因式分解找最简公分母）。
（3）分式的混合运算
运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号里面的（与整式混合运算顺序一致）。示例：$\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}\right)\cdot x(x+1)=\frac{(x+1)-x}{x(x+1)}\cdot x(x+1)=1$（此处用乘法分配律可简化计算：$\frac{1}{x}\cdot x(x+1)-\frac{1}{x+1}\cdot x(x+1)=(x+1)-x=1$）。
4. 分式方程（应用核心）
分式方程是分母中含有未知数的方程，解法的关键是“去分母化为整式方程”，但必须检验是否为增根。
（1）分式方程的定义
分母中含有未知数的方程叫做分式方程。例如：$\frac{1}{x}=2$、$\frac{x}{x-1}=\frac{2}{x+1}$是分式方程；$\frac{x}{2}+1=3$是整式方程（分母不含未知数）。
（2）分式方程的解法步骤
1. “去分母”：在方程两边同乘最简公分母（各分母的最简公分母），把分式方程化为整式方程；
2. “解整式方程”：解这个整式方程，求出未知数的值；
3. “检验”：把整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母不为0，则是原分式方程的解；若最简公分母为0，则是增根，原分式方程无解；
4. “写结论”：写出原分式方程的解（或无解）。
示例：解方程$\frac{2}{x-1}+\frac{x}{1-x}=1$
知识回顾
知识点一 分式
一般地，如果 A，B 表示两个整式，并且 B 中含有字母，那么式子 叫作分式.
整式
整式
分式
A ÷ B =　
被除式÷除式 = 商
当______时，分式 有意义
当______时，分式 无意义
当 时，分式 值为0
B≠0
B=0
A=0，B≠0
举一反三训练
1. 若分式 有意义，则实数 x 的取值范围是（ ）
A. x ≠ – 1 B. x > – 1
C. 全体实数 D. x = – 1
A
x + 1 ≠ 0
x ≠ – 1
2. 若分式 的值为 0，则 x 的值是_____.
2
x ≠ 0 且 x2 – 2x = 0
x = 2
分式的基本性质：分式的分母与分子乘（或除以）同一个不等于 0 的________，分式的值________.
最简分式：分子与分母没有公因式的分式.
约分：把一个分式的分子与分母的 ________ 约去.
通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式.
整式
公因式
知识点二 分式的基本性质
其中 A，B，C (C ≠ 0) 是整式.
不变
1. 下列各式从左到右的变形，一定正确的是（ ）
C
举一反三训练
×10
×10
×
×
√
×
c 可能为0
2. 若实数 m，n 满足 2m – 3n = 0，且 mn ≠ 0，则 的值为______.
知识点三 分式的运算
先乘方，再乘除，然后加减. 若有括号，先算括号里面的.
加、减法：
乘、除法：
乘方：
混合运算：
知识点四 整数指数幂
负整数指数幂：
运算性质：
(1) am·an = am+n (m，n是整数)
(2) (am)n = amn (m，n是整数)
(3) (ab)n = anbn (n是整数)
a×10 – n (1 |a| < 10，n 是正整数)
科学记数法：
知识点五 分式方程及其应用
1. 分式方程：分母中含未知数的方程叫作分式方程.
2. 分式方程的解法：
分式方程
去分母
整式方程
求解
x = m
x = m 是分式方程的解
目标
最简公分母不为0
检验
一、核心考点巩固
考点1 分式的有关概念
1.对于代数式 ，有甲、乙两种判断，下列说法正确的是( )
甲：是分式，因为是整式，且分母 中含有字母.
乙：是整式，因为 ，而1是整式.
A
A.甲对、乙不对 B.乙对、甲不对 C.甲和乙都对 D.甲和乙都不对
返回
2.下列关于分式的判断正确的是( )
D
A.当时，分式 的值为0
B.当时，分式 无意义
C.无论为何值，分式 的值不可能是整数
D.无论为何值，分式 的值总为正数
返回
考点2 分式的基本性质
3.若是一个最简分式，则 可以表示的式子是( )
B
A. B. C. D.
返回
4.下列各式变形正确的是( )
D
A. B.
C. D.
返回
5.［2025佛山南海区期末］将克蔗糖完全溶于 克水中，配制成蔗糖水，
蔗糖水的浓度为，若， 同时扩大为原来的2倍，且蔗糖能完全溶于
水中，则蔗糖水的浓度( )
A
A.不变 B.缩小为原来的
C.扩大为原来的2倍 D.扩大为原来的4倍
返回
6. 将分式与 通分，最简公分母是_______________，
分式变为__________，分式 变为_ _________.
返回
考点3 分式的运算
7.下列计算正确的是( )
D
A. B.
C. D.
返回
8. 阳阳同学在复习老师已经批阅的作业本时，发现有
一道填空题破了一个洞， 表示破损的部分,则破损部分的式子是( )
化简：（______） . √
A
A. B. C. D.
. .
返回
9.［2024重庆中考］计算： .
解：原式
.
返回
10.［2024青岛中考］先化简，再从 ，0，3中选一个
合适的数作为 的值代入求值.
解：原式
.
易知，1， ，
当时，原式 ；
当时，原式 .
（选择一个数代入即可）
返回
考点4 整数指数幂与科学记数法
11.随着我国科技迅猛发展，电子制造技术不断取得突破性成就，电子元
件尺寸越来越小，在芯片上某种电子元件大约占 .将
用科学记数法表示为( )
C
A. B. C. D.
返回
12.下列运算正确的是( )
D
A. B.
C. D.
返回
13.［教材P练习T 变式］计算：
（1） ;
解：原式 .
（2） .
解：原式
.
返回
考点5 分式方程及其解法
14.在方程；；； 中，分式方程
的个数是( )
C
A.1 B.2 C.3 D.4
返回
15.（1）［2024北京中考］方程 的解为________；
（2）［2024湖北中考］分式方程 的解是________.
返回
16. 若关于的分式方程 的解为非正数，写出一
个符合条件的 的值：__________________.
（答案不唯一）
返回
17.已知关于的分式方程无解，则 的值为_______.
2或
返回
18. 定义运算“”：若 ，
则 的值为_______.
或10
返回
19.解分式方程：
（1）［2024陕西中考］ ；
解：方程两边同乘，得 ，
去括号，得 ，
移项、合并同类项，得 ，
检验：当时，， 原分式方程的解为 .
（2） .
解：方程两边同乘，得 ，
解得 .
检验：当时， ，
不是原分式方程的解，
原分式方程无解.
返回
考点6 分式方程的应用
20.［2024达州中考］甲、乙两人各自加工120个零件，甲由于个人原因
没有和乙同时进行，乙先加工30分钟后，甲开始加工.甲为了追赶上乙
的进度，加工的速度是乙的1.2倍，最后两人同时完成.求乙每小时加工
零件多少个.设乙每小时加工零件 个，可列方程为( )
D
A. B.
C. D.
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21.为了健全分时电价机制，引导电动汽车在用电低谷时段充电，某市
实施峰谷分时电价制度，用电高峰时段（简称峰时）
，用电低谷时段（简称谷时） 次日
，峰时电价比谷时电价高0.2元/千瓦时.市民小萌的电动汽车用家
用充电桩充电，某月的峰时电费为50元，谷时电费为30元，并且峰时用
电量与谷时用电量相等，求该市谷时电价.
解：设该市谷时电价为元/千瓦时，则峰时电价为 元/千瓦时，
根据题意，得，解得 ，
经检验， 是原方程的解.
答：该市谷时电价为0.3元/千瓦时.
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22. ［2025长沙南雅中学月考］第一届全国青少年三大球
运动会于2024年11月20日至28日在长沙市和岳阳市举行.长沙市南雅中学
作为本次三大球运动会的承办地之一，承担了足球赛事.在筹备期间，
为了确保赛事顺利进行，学校准备一次性购买若干个足球和排球，用
480元购买足球的数量和用390元购买排球的数量相同，已知足球的单价
比排球的单价多15元.
（1）足球和排球的单价各是多少元？
解：设足球的单价是元，则排球的单价是 元，
依题意得，解得 ，
经检验， 是原方程的解，
.
答：足球的单价是80元，排球的单价是65元.
（2）根据学校实际情况，需一次性购买足球和排球共100个，但要求其
总费用不超过7 550元，那么学校最多可以购买多少个足球？
解：设学校购买个足球，则购买 个排球，
依题意得，解得 .
为正整数， 可以取的最大值为70.
答：学校最多可以购买70个足球.
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二、思想方法演练
思想1 整体思想
23.［2025武汉江岸区月考］已知 ，则
的值是( )
C
A.1 B. C.0.5 D.
返回
24.若，则 的值为( )
A
A. B. C.5 D.
返回
思想2 数形结合思想
25.［2025杭州滨江区期末］甲、乙两个大小不一样的正方形按如图所
示的两种方式放置，， ，记图①中的阴影部分的面积为
，图②中的阴影部分的面积为，甲正方形的面积为 .
（1）若，则 的值是___；
0
（2）若，则 的值是___.
4
返回
思想3 消元思想
26.已知，，且，求 的值.
解：由,,得 解得
又 ,
原式 .
返回
课堂小结
分式方程的解
分式方程
实际问题
实际
问题
的答案
目标
分式
目标
类比分
数性质
分式基本性质
类比分
数运算
分式的运算
列式
整式方程
去分母
解整式方程
整式方程的解
检验
列方程
谢谢观看！

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