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人教版（2024）版数学8年级上册
第十六章 整式的乘法
章末复习
幂的运算
am·an=am+n
(am)n=amn
(ab)n=anbn
am÷an=am-n
整式的乘法
整式的除法
单项式乘单项式
单项式乘多项式
多项式乘多项式
单项式除以单项式
多项式除以单项式
乘法公式
(a+b)(a-b)=a2-b2
(a±b)2=a2±2ab+b2
特殊形式
互逆运算
本章是代数式运算的核心内容，通过学习幂的运算性质及整式的乘法法则，为后续因式分解、分式运算等知识奠定基础。本章的复习重点在于熟练掌握幂的运算法则、单项式与单项式、单项式与多项式、多项式与多项式的乘法法则，并能灵活运用这些知识解决实际问题，同时规避运算中的常见错误。
一、知识框架梳理
整式的乘法
├─ 基础：幂的运算性质
│ ├─ 同底数幂的乘法
│ ├─ 幂的乘方
│ ├─ 积的乘方
│ └─ 同底数幂的除法（延伸）
├─ 核心：整式乘法法则
│ ├─ 单项式 × 单项式
│ ├─ 单项式 × 多项式
│ └─ 多项式 × 多项式（含平方差公式、完全平方公式雏形）
└─ 应用：化简求值、解决实际问题、与其他知识综合运用
二、核心知识点精讲
（一）幂的运算性质——整式乘法的基础
幂的运算性质是整式乘法的“基石”，所有整式乘法都需先通过幂的运算化简底数和指数，再进行后续运算。需牢记“底数不变看指数，指数运算分类型”的规律。
运算类型
法则（字母表示）
文字解读
注意事项
同底数幂的乘法
a · a = a （m、n为正整数）
底数相同的幂相乘，底数不变，指数相加
1. 底数必须相同（如2 与2 ，不能与3 相乘）；2. 指数为1时省略不写，运算时需补全（如a · a = a = a ）；3. 底数可为单项式或多项式（如(x+y) ·(x+y) =(x+y) ）
幂的乘方
(a ) = a （m、n为正整数）
幂的乘方，底数不变，指数相乘
区别于同底数幂的乘法，此处是“指数相乘”，而非“相加”（如(2 ) =2 =64，而非2 =32）
积的乘方
(ab) = a b （n为正整数）
积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘
1. 因式要“全乘方”，不能漏乘（如(2ab) =2 a b =8a b ，而非2a b ）；2. 逆用可简化运算（如12 =(3×4) =3 ×4 ，或a b =(ab) ）
同底数幂的除法
a ÷ a = a （a≠0，m、n为正整数，m>n）
底数相同的幂相除，底数不变，指数相减
1. 底数不为0（0的0次幂无意义）；2. 延伸：a =1（a≠0），a =1/a （a≠0，n为正整数）
（二）整式乘法法则——核心运算技能
整式乘法需遵循“从简单到复杂”的逻辑，单项式乘法是基础，多项式乘法可通过“转化思想”转化为单项式乘法。
1. 单项式 × 单项式法则：把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。步骤：① 算系数：系数相乘（注意符号，同号得正，异号得负）；② 算同底数幂：按同底数幂乘法法则计算；③ 落单独字母：只在一个单项式中的字母保留在积中。示例：(-2a b) · (3ab ) = (-2×3) · (a ·a) · (b·b ) = -6a b
2. 单项式 × 多项式法则：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加（即“乘法分配律”的应用：m(a+b+c)=ma+mb+mc）。注意：① 单项式要乘遍多项式的每一项，不能漏乘；② 积的符号由单项式与多项式各项的符号共同决定。示例：2x(3x - 4x + 1) = 2x·3x - 2x·4x + 2x·1 = 6x - 8x + 2x
同底数幂的乘法：am·an=_____ (m，n都是正整数)
幂的乘方：(am)n=_____ (m，n都是正整数)
积的乘方：(ab)n=_____ (n是正整数)
同底数幂的除法：am÷an= _____
(a≠0，m，n都是正整数，且m＞n)
零指数幂：a0 =____(a≠0)
幂的运算
am+n
amn
anbn
am-n
1
知识点一 幂的运算
举一反三训练
1.下列运算正确的是（ ）
A. a3 + a3 = a6
B. (a2)3 = a5
C. (2a)3 = 6a3
D. a8÷a2 = a6
D
a3 + a3 =2a3
(a2)3 = a6
(2a)3 = 8a3
×
×
×
√
2. 已知 4m = a，8n = b，其中 m，n 为正整数，则 22m+6n 的值为（ ）
A. ab2 B. a + b2
C. a2b3 D. a2 + b3
解析：因为4m = a，8n = b ，
所以 22m+6n = 22m·26n = (22)m·(23)2n = 4m·82n = ab2.
A
3. 计算：
（1）a·a7 – 2(a2)4 + (–2a4)2；
（2）x3·x2 – (3x2)3 – x9÷x4 .
解：（1）原式 = a8 – 2a8 + 4a8
= 3a8
（2）原式 = x5 – 27x6 – x5
= – 27x6
4. 已知 am = 8，an = 4，求 a2m-n 的值.
解：a2m-n = a2m÷an
= (am)2÷an
= 82÷4
= 64÷4
= 16
单项式乘单项式
单项式乘多项式
多项式乘多项式
把它们的系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式
单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加
同底数幂的乘法
转化
单项式乘单项式
转化
单项式乘多项式
转化
知识点二 整式的乘法
1. 一个长方体的长、宽、高分别 3a – 4，2a，a，它的体积等于___________.
解析：V = (3a – 4)·2a·a
= 6a3 – 8a2
6a3 – 8a2
举一反三训练
2. 已知 (x + a)(x + b) = x2 – 13x + 36，则a + b 的值是（ ）
A. 13 B. –13 C. 36 D. –36
B
解析：(x + a)(x + b) = x2 + ax + bx + ab
= x2 + (a + b)x + ab
= x2 – 13x + 36
3. 边长为 a 和 a + b (其中 a＞b)的两个正方形按如图的样子摆放，则图
中阴影部分的面积为_____________.
解析：S阴影 = [(a + b)2 + a2] – (a + b)[(a + b) + a]
= (a2 + 2ab + b2 + a2) – (2a2 + ab + 2ab + b2)
= a2 + ab + b2
a2 + ab + b2
4. 若 (–2x + a)(x – 1) 的展开式中不含 x 的一次项，求 a 的值.
解：(–2x + a)(x – 1)
= (–2x)·x + (–2x)·(–1) + a·x + a·(–1)
= –2x2 + 2x + ax – a
= –2x2 + (2 + a)x – a
因为不含 x 的一次项，所以 2 + a = 0，
所以 a = –2 .
单项式除以单项式
多项式除以单项式
单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式
多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加
知识点三 整式的除法
1. 填表：
被除式 6x3y3 –42x3y3 –42x3y3
除式 2xy –6x2y2
商 7x3
3x2y2
–6y3
7xy
举一反三训练
2. 计算：
（3）原式 =12m2n÷6mn – 15mn2÷6mn
= 2m – 2.5n
（4）原式 = x3÷(–x2) – 2x2y÷(–x2)
= –x+2y
（1）(3ab – 2a)÷a；（2）(5ax2 + 15x)÷5x；
（3）(12m2n – 15mn2)÷6mn；
（4）(x3 – 2x2y)÷(–x2) .
解：（1）原式 = 3ab÷a – 2a÷a
= 3b – 2
（2）原式 = 5ax2÷5x + 15x÷5x
= ax + 3
知识点四 乘法公式
(a – b)(a + b) = a2 – b2
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两数的平方差
平方差公式
完全平方公式
两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍
(a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2
添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.
添括号法则
a + b + c = __________；
a – b – c = __________.
a + (b + c)
a – (b + c)
举一反三训练
1.填空:
（1）若(a + b)2 = 9，ab = 2，则 a2 + b2 =___；
（2）计算：1022 =_______；
12342 - 1235×1233 =_____；
（3）若m - = 3，则 m2 + =_____.
5
10404
11
1
2. 若(x + y)2 = 36，(x – y)2 = 16，求 xy 和 x2 + y2 的值.
解：因为(x + y)2 = 36，(x – y)2 = 16，
所以 x2 + 2xy + y2 = 36，①
x2 – 2xy + y2 = 16，②
① – ② 得 4xy = 20，所以 xy = 5.
① + ② 得 2(x2 + y2) = 52，所以 x2 + y2 = 26.
3. 化简求值：(2a – 1)2 + 6a(a + 1) – (3a + 2)(3a – 2)，其中 a2 + 2a – 201 = 0.
解：原式 = 4a2 – 4a + 1 + 6a2 + 6a – 9a2 + 4
= a2 + 2a + 5
因为 a2 + 2a – 201 = 0，所以 a2 + 2a = 201，
所以原式 = 201 + 5 = 206.
一、核心考点巩固
考点1 幂的运算
1.［2024宿迁中考］下列运算正确的是( )
B
A. B. C. D.
返回
2.计算 正确的是( )
A
A. B. C. D. 无意义
返回
3.［2025天津月考］已知，，则 的值为( )
C
A.9 B. C.12 D.
返回
4.计算 的值为___.
-1
返回
5.［2025济南期末］若，满足，则 ____.
16
返回
6.若为正整数，且，则 的值为_____.
192
返回
7. 如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球29个、29
个、5个，先从甲袋中取出个球放入乙袋，再从乙袋中取出
个球放入丙袋，最后从丙袋中取出 个球放入甲袋，此时三只袋中球的
个数都相同，则 的值等于_____.
128
返回
考点2 整式的乘除
8.［2024湖北中考］ 的值是( )
D
A. B. C. D.
返回
9.若，则 的值为( )
C
A. B.1 C. D.9
返回
10.计算：
（1） ；
解：原式 .
（2） ；
解：原式 .
（3） .
解：原式 .
返回
11.［2025重庆月考］先化简，再求值：
，其中， .
解：原式 .
当时,原式 .
返回
考点3 乘法公式
12.［2025武汉月考］下列计算正确的是( )
D
A. B.
C. D.
返回
13.计算：
（1） ；
解：原式 .
（2） ；
解：原式 .
（3） ；
解：原式 .
（4） .
解：原式 .
返回
14.若，，且 .
（1）求 的值；
解： .
（2）求 的值.
解：，且 ，
.
返回
二、思想方法演练
方法一 方程思想
15.［2025济宁月考］已知关于的代数式与 的乘积结
果化简后，既不含项，也不含项，求， 的值.
解：
，
结果化简后既不含项，也不含项，
返回
方法二 换元法
16.计算： .
解：设 ，
则 .
返回
方法三 数形结合思想
17.［2025重庆开州区开学考试］现
有长与宽分别为， 的小长方形若
干个，用两个这样的小长方形拼成
如图①的图形，用四个这样的小长
方形拼成如图②的图形，请认真观
察图形，解答下列问题：
（1）根据图中条件，请写出图①和图②所验证的关于， 的关系式：
图①：________________________；
图②：________________________；
（2）利用（1）中得到的关系式解决下列问题：
①若，，求 的值；
解： ，
，
, ，
，
， .
②若，则 ____.
13
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