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人教版（2024）版数学8年级上册
第十七章 因式分解
章末复习
整式的乘法
因式分解
公式法
乘法公式
(a+b)(a-b)=a2-b2
(a±b)2=a2±2ab+b2
特殊形式
相反变形
提公因式法
相反变形
具体方法
一、本章知识框架
因式分解是整式运算的逆向过程，是解决代数式化简、求值、方程求解等问题的重要工具。本章核心知识围绕“是什么、为什么、怎么分”展开，具体框架如下：
- 概念本质：把一个多项式化为几个整式的积的形式（与整式乘法互逆）
- 基本方法：提公因式法、公式法（平方差公式、完全平方公式）
- 分解原则：一提（公因式）、二套（公式）、三查（彻底）
- 应用场景：代数式化简、求值；解方程；判断整除性等
二、核心知识点梳理
1. 因式分解的概念（基础前提）
定义：把一个多项式表示成几个整式乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫分解因式。
关键辨析：
- 本质是“和差化积”，与整式乘法（积化和差）互为逆运算。例如：$x^2-4=(x+2)(x-2)$（因式分解），$(x+2)(x-2)=x^2-4$（整式乘法）。
- 结果必须满足三个条件：① 是整式的积；② 每个因式都是整式且不能再分解（在有理数范围内）；③ 因式分解前后多项式的值不变（恒等变形）。
- 反例：$x^2+1=x(x+\frac{1}{x})$（不是因式分解，因$\frac{1}{x}$不是整式）；$x^2-4=(x^2-4)$（未分解，只是原式改写）。
2. 提公因式法（首要步骤）
提公因式法是分解因式的“第一招”，无论多项式结构如何，先看是否有公因式，有则先提。
1）公因式的确定：公因式是多项式各项都含有的公共整式，需从“系数、字母、字母指数”三方面分析：
- 系数：取各项系数的最大公约数（符号统一，通常取正）；
- 字母：取各项都含有的相同字母；
- 字母指数：取相同字母的最低次幂。
示例：多项式$6x^3y^2-9x^2y^3+3x^2y$的公因式：系数最大公约数是3，相同字母为$x$、$y$，$x$的最低次幂是2，$y$的最低次幂是1，故公因式为$3x^2y$。
2）提公因式的法则：$ma+mb+mc=m(a+b+c)$（$m$为公因式）
3）注意事项：
- 提尽公因式：确保提公因式后，括号内的多项式不再有公因式；
- 首项为负先变号：若多项式首项系数为负，先提取负号，使括号内首项为正（注意括号内各项都要变号）。例如：$-2x^2+4xy=-2x(x-2y)$；
- 常数项的公因式：不要忽略常数项的最大公约数；
- 提公因式后项数不变：提取公因式后，括号内的项数与原多项式项数一致，若某项与公因式相同，提取后该项为1（不能漏写）。例如：$x^2-xy+x=x(x-y+1)$（此处“+1”不可省略）。
3. 公式法（核心方法）
提公因式后，若括号内的多项式符合平方差公式或完全平方公式的形式，可继续用公式分解。
1）平方差公式
- 公式形式：$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$
- 适用条件：多项式是二项式，两项都能写成平方的形式，且两项符号相反（一正一负）。
- 关键：找准“$a$”和“$b$”——$a$、$b$可以是单独的字母、数字，也可以是单项式或多项式（把复杂部分看作一个整体）。
- 示例：① $4x^2-9y^2=(2x)^2-(3y)^2=(2x+3y)(2x-3y)$；② $(x+2)^2-16=(x+2)^2-4^2=(x+2+4)(x+2-4)=(x+6)(x-2)$。
2）完全平方公式
- 公式形式：$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$；$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$（即“首平方、尾平方，首尾积的2倍在中央，符号看前方”）
- 适用条件：多项式是三项式，其中两项能写成平方的形式（且符号相同），第三项是这两项底数乘积的2倍（符号可正可负）。
- 示例：① $x^2+6x+9=x^2+2\cdot x\cdot 3+3^2=(x+3)^2$；② $4x^2-20xy+25y^2=(2x)^2-2\cdot 2x\cdot 5y+(5y)^2=(2x-5y)^2$；③ $(a-b)^2+4(a-b)+4=(a-b)^2+2\cdot (a-b)\cdot 2+2^2=(a-b+2)^2$。
4. 因式分解的一般步骤（分解彻底）
1. “一提”：先提取各项的公因式（若有）；
2. “二套”：若提公因式后仍可分解，观察多项式项数选择公式：① 二项式——尝试平方差公式；② 三项式——尝试完全平方公式；
3. “三查”：检查每个因式是否还能继续分解（在有理数范围内），确保分解彻底。
示例：分解因式$2x^3y-8x^2y^2+8xy^3$
知识回顾
概念：把一个多项式化为几个整式的______的形式，叫作这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式___________.
与整式乘法的关系：因式分解与整式乘法是方向相反的变形.
因式分解
乘积
分解因式
知识点一 因式分解
注意：因式分解必须分解到每一个因式都不能再分解为止.
举一反三训练
1. 将 a3b – ab 进行因式分解，正确的是（ ）
A. a(a2b – b) B. ab(a – 1)2
C. ab(a + 1)(a – 1) D. ab(a2 – 1)
C
a3b – ab = ab(a2 – 1) = ab(a + 1)(a – 1)
2. 有两道因式分解的题目：
（1）3x2 – 9x + 3；（2）4x2 – 9. 小明的解答如下：
解：（1） 3x2 – 9x + 3 = 3(x2 – 6x + 1).
（2） 4x2 – 9 = (2x + 3)(2x – 3).
请你利用因式分解与整式乘法的关系，判断小明分解的结果是否正确，并说明理由.
不正确.
解：（1）3(x2 – 6x + 1) = 3x2 – 18x + 3
正确.
（2）(2x + 3)(2x – 3) = (2x)2 – 32 = 4x2 – 9
知识点二 提公因式法
公因式：一个多项式的各项都含有的公共的因式.
确定公因式：①定______，②定______，③定______.
提公因式：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式.
系数
字母
指数
1. 已知 2x – y = ，xy = 2，则 2x4y3 – x3y4的值为____.
举一反三训练
解析： 2x4y3 – x3y4= x3y3(2x – y).
当2x – y = ，xy = 2 时，
x3y3(2x – y) = 23× =
2. 若 x2 + x = 1， 则 3x4 + 3x3 + 3x + 1 的值为____.
解析： 3x4 + 3x3 + 3x + 1
= 3x2(x2 + x) + 3x + 1
= 3x2 + 3x + 1
= 3(x2 + x) + 1
= 3 + 1 = 4
4
3. 计算：（1）20242 + 2024 – 20252；
（2）5×24 + 3×24 + 4×22.
解：(1) 20242 + 2024 – 20252
= 2024×(2024 + 1) – 20252
= 2024×2025 – 20252
(2) 5×24 + 3×24 + 4×22
= 5×24 + 3×24 + 24
= 24×(5 + 3 + 1)
= 16×9
= 144
= 2025×(2024 – 2025)
= – 2025
知识点三 公式法
十字相乘法：
x2 + (p + q)x + pq = (x + p)(x + q)
综合运用多种方法分解因式
一、核心考点巩固
考点1 因式分解的概念
1.［2025深圳月考］下列从左到右的变形中，属于因式分解的是( )
C
A.
B.
C.
D.
返回
2.多项式与多项式 的公因式为( )
A
A. B. C. D.
返回
考点2 分解因式
3.把 分解因式时，提出公因式后，另一个因式是
( )
A
A. B. C. D.
返回
4.［2025青岛月考］下列多项式能用平方差公式分解因式的是( )
D
A. B. C. D.
返回
5.下列因式分解正确的是( )
D
A. B.
C. D.
返回
6.若将多项式加上一个单项式 后，就能够在我们所学范围内分
解因式，则单项式 不可能是( )
D
A. B. C. D.
返回
7.［2025杭州期末］若，则 的值为
( )
A
A.12 B.6 C.3 D.0
返回
8.［2025承德期末］若，， 为一个三角形的三条边，则
的值( )
B
A.一定为正数 B.一定为负数
C.可能为正数，也可能为负数 D.可能为0
返回
9.分解因式：
（1） ；
解：原式 .
（2） ；
解：原式 .
（3） ；
解：原式 .
（4） ；
解：原式
.
（5） ；
解：原式
.
（6） .
解：原式 .
返回
10.利用因式分解计算：
（1） ；
解：原式 .
（2） .
解：原式 .
返回
二、思想方法演练
方法一 配方法
11. 我们已学过完全平方公式 ，
观察下列式子：
；
.
解答下列问题：
（1），则___， ___.
1
8
（2）如图，有一段长为 的围墙，在紧靠围墙的
空地上，利用围墙及一段长为 的木栅栏围成一个
长方形花圃，设长方形花圃垂直于墙的一边的长度为
，完成下列任务：
①列式：用含的式子表示花圃的面积：______________， 的取值
范围为_____________；
②请说明当 取何值时，花圃的面积最大，最大面积是多少平方米
解：设花圃的面积为，则 ，
, 当时，花圃的面积最大，最大面积为 .
返回
方法二 数形结合思想
12.［2025烟台期末］如图，大长方形是由三个小长方
形和一个小正方形拼成的.
【观察猜想】请根据此图填空：
（①____） （②____）.
【说理验证】事实上，我们也可以用如下代数方法进行变形：
（③____）（④____）（⑤____） （⑥____）.
于是，我们可以利用此方法进行多项式的因式分解.
【尝试运用】
例：把多项式 分解因式：
（1）将“观察猜想”“说理验证”的括号内序号处填上相应的内容；
解：; （①，②两处内容可以互换）; ; ; ;
（⑤，⑥两处内容可以互换）
.
请解决下列问题：
（2）利用上述方法分解因式： .
解：
.
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