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人教版（2024）版数学8年级上册
第十四章 全等三角形
章末复习
本章知识结构图
全等形
边角边，角边角，角角边，
边边边，斜边、直角边
全等三角形
对应边相等，对应角相等
角的平分线
应用
判定
性质
全等三角形是平面几何的核心内容，是证明线段相等、角相等的重要工具，也是后续学习等腰三角形、四边形、圆等知识的基础。本章通过对全等三角形概念、性质、判定定理的学习，构建了几何推理的基本模式。本章复习旨在深化对全等三角形核心知识的理解，熟练掌握全等证明的思路与方法，提升几何逻辑推理能力。以下是对本章内容的全面梳理与整合。
一、知识框架总览
全等三角形
├─ 基本概念：定义、对应顶点、对应边、对应角
├─ 核心性质：对应边相等、对应角相等、衍生性质（对应线段相等）
├─ 判定定理：SSS、SAS、ASA、AAS、HL（直角三角形专属）
├─ 辅助线技巧：常见添线方法（连线段、作垂线、截长补短等）
└─ 应用：证明线段/角相等、证明线段位置关系（垂直/平行）、实际应用
二、核心知识点梳理
（一）全等三角形的基本概念
1. 定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。“完全重合”意味着两个三角形的形状、大小完全一致，仅位置可能不同。
2. 对应元素：全等三角形中相互重合的元素称为对应元素，包括对应顶点、对应边、对应角。
对应顶点：重合的顶点，如△ABC≌△DEF，则A与D、B与E、C与F是对应顶点。
3. 对应边：重合的边，如上例中AB与DE、BC与EF、AC与DF是对应边。
4. 对应角：重合的角，如上例中∠A与∠D、∠B与∠E、∠C与∠F是对应角。
5. 表示方法：用“≌”表示，读作“全等于”。书写时需注意对应顶点必须写在对应位置上，这是准确判断对应边、对应角的关键。例如，△ABC≌△DEF不可写作△ABC≌△FED，避免对应关系混乱。
（二）全等三角形的性质
1. 基本性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。这是全等三角形最核心的性质，也是几何证明中线段和角相等的主要依据。
2. 衍生性质：由基本性质可推出，全等三角形的对应线段（包括对应高、对应中线、对应角平分线、对应中位线等）都相等；全等三角形的周长相等，面积也相等。需注意：周长或面积相等的三角形不一定全等，但全等三角形的周长和面积必然相等。
3. 性质应用要点：运用性质前，需先明确两个三角形全等，再找准对应元素，避免因对应关系错误导致结论出错。例如，若△ABC≌△CDA，需通过顶点对应关系确定AB对应CD，而非AD。
（三）全等三角形的判定定理
判定两个三角形全等，无需验证所有边和角都对应相等，只需满足特定的“边、角”组合条件即可。以下是5种判定定理的详细说明，需重点区分适用场景及易错点：
1. SSS（边边边）内容：三边分别相等的两个三角形全等。
2. 适用场景：已知三角形三边长度，或能通过条件推导出三边对应相等的情况。
3. 示例：若AB=DE，BC=EF，AC=DF，则△ABC≌△DEF（SSS）。
4. SAS（边角边）内容：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。
5. 易错点：此处强调“夹角”，即两条边所夹的角，而非其中一边的对角。“SSA”（两边及其中一边的对角相等）不能判定三角形全等，因为这种情况下可能存在两个不同的三角形（“边边角”陷阱）。
6. 示例：若AB=DE，∠B=∠E，BC=EF，则△ABC≌△DEF（SAS）；若AB=DE，∠A=∠D，BC=EF，则不能用SAS判定。
7. ASA（角边角）内容：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等。
8. 核心：“夹边”是两个角公共的边，是判定的关键纽带。
9. 示例：若∠A=∠D，AB=DE，∠B=∠E，则△ABC≌△DEF（ASA）。
10. AAS（角角边）内容：两角和其中一角的对边分别相等的两个三角形全等。
11. 与ASA的关系：ASA和AAS都涉及两个角和一条边，区别在于边是“夹边”还是“一角的对边”。可通过三角形内角和定理推导，AAS是ASA的间接应用。
12. 示例：若∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF，则△ABC≌△DEF（AAS）。
13. HL（斜边、直角边）内容：仅适用于直角三角形，斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。
14. 特殊性：直角三角形的判定无需满足一般三角形的“三边、两边一角、两角一边”模式，是直角三角形独有的判定方法。
1. 全等形.
定义：能够_____________的两个图形.
2. 全等三角形
定义：能够_____________的两个三角形.
表示方法：符号_______.
性质：对应边_______，对应角________.
拓展：全等三角形的周长_____，面积_____，
对应角平分线、中线、高_____.
完全重合
完全重合
≌
相等
相等
相等
相等
相等
判定方法 简称 图示
A
B
C
C'
A'
B'
A
B
C
C'
A'
B'
A
B
C
C'
A'
B'
A
B
C
C'
A'
B'
三边分别相等
两边和它们的夹角分别相等
两角和它们的夹边分别相等
两角分别相等且其中
一组等角的对边相等
SSS
SAS
AAS
ASA
HL
斜边和一直角边分别相等的两个直角三角形全等
A
B
C
C'
A'
B'
尺规作图-已知三角形的三边作三角形：
a
b
c
A
B
C
尺规作图-作一个角等于已知角：
O
A
B
C
D
O'
A'
C'
D'
B'
尺规作图-过直线外一点作这条直线的平行线：
C
A
B
E
F
D
原理：___________________________________.
同位角相等，两直线平行
尺规作图-过直线外一点作这条直线的平行线：
原理：_________________________________.
内错角相等，两直线平行
C
A
B
E
F
D
尺规作图-(1)已知两边及其夹角作三角形：
a
b
α
A
D
E
B
C
尺规作图-(2)已知两角及其夹边作三角形：
a
α
β
A
B
C
尺规作图-角的平分线的作法
A
B
O
M
N
C
角的平分线的性质与判定
1.角的平分线的性质
角的平分线上的点到角两边的距离_________.
2.角的平分线的判定
角的内部到角两边距离______的点在角的平分线上.
相等
1. 角的平分线的性质
角的平分线上的点到角两边的距离 _______.
2. 角的平分线的判定
相等
C
A
B
O
D
E
P
1.下列各组图形是全等形的是（ ）
A
A
C
B
D
两个图形的形状、大小均不相同
两个图形的形状、大小均不相同
两个图形的形状相同，大小相同
两个图形的形状相同，大小不同
2. 如图，已知△ABC≌△DCB，AB = 10，∠A = 60°，
∠ABC = 80°，那么下列结论中错误的是（ ）
D
∠D = 60°
∠DBC = 40°
AC = DB
BE = 10
C
A
B
D
E
3.中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出证明三角形面积公式的出入相补法.如图所示，在△ABC中，分别取AB,AC的中点D,E,连接 DE,过点A作AF⊥DE,垂足为F,将△ABC分割后拼接成长方形BCHG.若DE=5,AF=4,则△ABC的面积是（ ）
A.15 B.20
C.30 D.40
D
4.如图，已知AB=DC，BE⊥ AD于点E，CF⊥AD于点F，给出下列条件，其中选择一个就可以判定Rt△ABE≌Rt△DCF的是( )
①∠B=∠C；②AB∥CD；③BE=CF；④AF=DE.
A.①②
B.①②③
C.①③④
D.①②③④
D
5.如图，若把△ABC绕点A旋转一定的角度得到△ADE，
则图中全等的三角形记为__________________，
∠BAC的对应角为__________________，
DE的对应边为__________________.
BC
△ABC≌△ADE
∠DAE
6. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，用尺规作图法作出射线AE，AE交BC于点D，CD=5，P为AB上一动点，则DP的最小值为 ___.
5
A
B
C
E
D
P
7.如图，AE∥BF，∠BAE与∠ABF的平分线交于点P，过点P作DP⊥AE于点D，延长DP交BF于点C. 若CD=14，则点P到AB的距离为____.
7
8. 如图，已知D 是△ABC 的边 AB 上一点，求作一点 E，使 DE // BC，且DE = DB.(作出一个满足条件的点即可，不写作法，保留作图痕迹)
A
B
C
D
E
解：如图，点E即为所求．（答案不唯一）
解：(1)∵△ABC≌△FED，
∴∠ABC和∠FED是对应角，∠C和∠D是对应角，
AC和FD是对应边，AB和FE是对应边.
(2)AC∥DF. 理由如下：
∵△ABC≌△FED，∴∠A=∠F，
∴AC∥DF.
9.如图，已知△ABC≌△FED，∠A和∠F是对应角，CB和DE是对应边，AF=8，BE=2.
(1)写出其他对应边及对应角；
(2)判断AC与DF的位置关系，并说明理由;
9.如图，已知△ABC≌△FED，∠A和∠F是对应角，CB和DE是对应边，AF=8，BE=2.
(3)求AB的长.
解：(3)∵△ABC≌△FED，
∴AB=FE，
∴AB -BE=FE-BE，即AE=BF.
∵AF=8，BE=2,
∴AE+BF=AF-BE=6，
∴AE=3,
∴AB =AE +BE =5.
10.如图，已知△ABD≌△CFD，AD⊥BC于点D.
(1)求证：CE⊥AB;
证明：∵△ABD≌△CFD,
∴∠BAD=∠FCD.
又∠AFE=∠CFD,
∠BAD+∠AFE+∠AEF=∠DCF+∠CFD+∠CDF,
∴∠AEF=∠CDF=90°，
∴CE⊥AB.
10.如图，已知△ABD≌△CFD，AD⊥BC于点D.
(2)若BC=7，AD=5，求AF的长.
解：∵△ABD≌△CFD,
∴BD=DF，AD=CD,
∴BD=BC-CD=BC-AD=2,
∴AF=AD-DF=AD-BD=3.
11.如图1是小军制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图2所示，AB=AE，AC=AD，∠BAD=∠EAC，∠C=50°，求∠D的大小.
解：∵∠BAD=∠EAC,
∴∠BAD+∠CAD=∠EAC+∠CAD,
即∠BAC=∠EAD.
在△BAC和△EAD中，
∴△BAC≌△EAD（SAS),
∴∠D=∠C=50°.
12.如图，在△ABC 中，∠B=50°，∠C=20°.过点A 作AE⊥BC，垂足为E，延长EA 至点D，使 AD = AC，在边AC上截取AF=AB，连接DF. 求证:DF = CB.
证明：在△ABC中，∠B=50°，∠C=20°，
∴∠CAB=180°-∠B-∠C=110°.
∵AE⊥BC, ∴∠AEC=90°，
∴∠DAF=∠AEC+∠C=110°，
∴∠DAF=∠CAB.
在△DAF和△CAB中，,
∴△DAF≌△CAB(SAS),
∴DF=CB.
13.如图，在△ABC中，∠B=∠C，AB=16，BC=12，点D为AB的中点，点P在线段BC上以每秒3个单位长度的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段CA上以每秒a个单位长度的速度由点C向点A运动，设运动时间为t(秒)(0≤t≤ 4).
(1)用含t的代数式表示线段 PC的长；
解：(1)∵BC=12,点P在线段BC上以每秒3个单位长度的速度由点B向点C运动，
∴BP =3t,
∴PC=BC-BP =12-3t.
13.如图，在△ABC中，∠B=∠C，AB=16，BC=12，点D为AB的中点，点P在线段BC上以每秒3个单位长度的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段CA上以每秒a个单位长度的速度由点C向点A运动，设运动时间为t(秒)(0≤t≤ 4).
(2)若点P,Q的运动速度不相等，但某个时刻△BPD与△CQP全等，求a的值.
解：(2)∵点D为AB的中点，
∴BD=AB=8.
∵点P,Q的运动速度不相等，
∴BP≠CQ
又△BPD与△CQP全等，∠B=∠C,
∴BP=PC,BD= CQ,
∴3t=12-3t，8=at,
解得t=2，a=4，
即a的值为4.
一、核心考点巩固
考点1 全等三角形的性质与判定
1.下列说法中，正确的有( )
①形状相同的两个图形是全等形；
②面积相等的两个图形是全等形；
③全等三角形的周长相等，面积相等；
④若，则， .
A
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
返回
（第2题）
2.［2025石家庄期末］如图，与 相交于点
，， ，不添加辅助线，判定
的依据是( )
B
A. B. C. D.
（第3题）
3.如图， ，则添加下列条
件中的一个，能保证 成立的条
件有( )
C
； ；
； .
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
返回
4.如图是嘉淇测量水池两点， 距离的方案，下
列说法不正确的是( )
①先确定线段，过点作于点 ；②在
上取，两点，使得 ；③过点作
于点；于点；⑤测量☆的长度，即 的长.
B
A. 代表 B.代表连接
C.☆代表 D.该方案运用的判定方法是
返回
5.［2025大连月考］如图，为的中线，延长至 ，使
，连接，已知，，则与
的周长差是___.
返回
6. ［2024淄博中考］如图，已知
，点，在线段上，且 .
请从；；
中，选择一个合适的选项作为已知条件，使得
①
.
你添加的条件是：____（只填写一个序号）.
添加条件后，请证明 .
解：证明如下：在和 中，
，
.
,
,即 .
在和中，
,
, .
（答案不唯一）
返回
考点2 尺规作图
7.下面四个图是小明用尺规过点作 边的平行线所留下的作图痕迹，
其中正确的是( )
A
A. B. C. D.
返回
8.［2024宿迁中考］如图，在中， ， ，
是高，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，再分别以，
为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部交于点 ，作
射线，则 _____.
返回
9.［2025邢台月考］如图，已知线段
，和 ，按要求尺规作图
（不必写作法,保留作图痕迹）.
（1）求作，使，， ；
解：如图， 即为所求.
（2）作图依据是_____.
返回
10.［2025淄博张店区月考］如图，已知线段，，，求作 ，使
，，边上的中线为 （保留作图痕迹，不写作法）
解：如图， 即为所求.
返回
考点3 角平分线的性质与判定
（第11题）
11.在正方形网格中， 的位置如图所示，到
两边距离相等的点应是( )
A
A.点 B.点 C.点 D. 点
返回
（第12题）
12.［2025广州调研］如图，在平面直角坐标系
中，是的角平分线，点 的纵坐标是
，，则 的面积为( )
C
A.36 B.18 C.9 D.27
返回
13.如图，在中，平分，以点 为圆心，
以任意长为半径画弧交射线， 于两点，分别以
这两点为圆心，以适当的定长为半径画弧，两弧在
内交于点，作射线，交于点，连接 .
以下说法错误的是( )
A
A.到，，三点的距离相等 B.是 三条角平分线的交点
C.平分 D.到， 边的距离相等
返回
14.［2025宁波期末］如图，在中，点在 边上，
，的平分线交于点，过点作 的延长
线，垂足为，且 ，连接 .求证：
（1）平分 ；
证明： ，
.
， ，
，
， ，
平分 .
（2）平分 .
[答案] 过点作于点，于点 ，
由（1）可得是的平分线， .
是的平分线，，， 点在 的平
分线上，平分 .
返回
二、思想方法演练
思想1 建模思想
15.［2025商丘期末］周末，一诺和爸爸妈妈一
起在公园里荡秋千.如图是一诺荡秋千的示意图，
一诺坐在秋千的起始位置处，静止时秋千
与地面垂直.一诺两脚在地面上用力一蹬，爸爸
在距地面高的 处接住她后用力一推，妈
妈在处接住她，若爸爸与妈妈到的水平距离，分别为
和， ，请解决以下问题.
（1）求证： ；
证明：由题意得 ， .
又 ， ，
.
在和 中，
.
（2）妈妈是在距离地面多高的地方接住一诺的
解：由（1）得 ，
， ，
，
由题意得点距离地面 ，
.
答：妈妈是在距离地面 的地方接住一诺的.
返回
思想2 分类讨论思想
16.［2025南平月考］如图，在中，点的坐标为，点 的坐
标为，点的坐标为，且与全等，点 的坐标
是_______________________.
或或
返回
17.如图，在四边形中，， ，
，点在线段上以的速度由点向点 运动，
同时，点在线段上由点向点运动，设运动时间为，当
与全等时，求点 的运动速度.
解：设点的运动速度为 ，
由题意可得，， ，
，与 全等时，可分为两种情况：
①当时， ，
, ，
此时点的运动速度为 .
②当时，， ，
，，， ，
此时点的运动速度为 .
综上所述，点的运动速度为或 .
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