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(共34张PPT)
第八章 平面解析几何
第八节 直线与椭圆的位置
职教高考一轮复习
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考点 考点解读 山东省近五年春季高考统计(题号) 常考题型
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直线和椭圆的位置关系 能灵活运用直线与椭圆方程及性质解决有关问题 (30) (30) (30) (13) (22) (30) 选择题
填空题
解答题
本节解答题类型，内容为直线与圆锥曲线的位置关系，难度为中等偏难．
+抛物线
+直线
+向量平行
+双曲线
+渐近线
+中点
方程
+抛物线
+直线
+垂直
+直线
+平行四边形
离心率
知识梳理
1．直线与椭圆的位置关系
直线与椭圆的位置关系有：________、________和________．
联立直线和椭圆的方程得 化为一个关于x或y
的一元二次方程，根据判别式Δ进行判断：
相交
相切
相离
①Δ＞0 直线与椭圆相交；
②Δ＝0 直线与椭圆相切；
③Δ＜0 直线与椭圆相离．
2．弦长
直线l交椭圆于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|叫作弦长．求弦长的方法通常是设出直线与椭圆的交点坐标，但并不求交点坐标，联立直线与椭圆方程组，得到关于x或y的一元二次方程，运用韦达定理求出x1＋x2和x1·x2或y1＋y2和y1·y2，通过下列转化方法求出弦长．
或|AB|＝ .
=
消y
消x
典例分析
【知识要点1】直线与椭圆的位置关系
【例1】　已知直线l：y＝x＋m和椭圆C：x2＋4y2＝4.求：当m分别为何值时，直线l与椭圆C相交、相切、相离？
【解析】联立直线和椭圆的方程得 消去y，
得5x2＋8mx＋4m2－4＝0，
∴Δ＝64m2－80m2＋80＝16(5－m2).
∴当Δ＝16(5－m2)>0，即－ 当Δ＝16(5－m2)＝0，即m＝± 时，直线l与椭圆C相切；
当Δ＝16(5－m2)<0，即m> 或m<－ 时，直线l与椭圆C相离．
【变式训练1】
已知直线x＋2y＝m与椭圆 ＋y2＝1只有一个交点，则m的值为(　　)
A．2 B．± C．±2 D．±2
C
【提示】 由 消去y并整理得2x2－2mx＋m2－4＝0.
因为直线x＋2y＝m与椭圆 ＋y2＝1只有一个交点，
所以Δ＝4m2－8(m2－4)＝0，解得m＝±2 .故选C.
【知识要点2】 椭圆中的弦长问题
【例2】　已知斜率为1的直线过椭圆 ＋ ＝1的右焦点F2，并交椭圆于A，B两点．求：(1)弦长|AB|；(2)△ABF1的面积．
【解析】(1)∵a2＝3，b2＝2，∴c2＝3－2＝1，
∴F1(－1，0)，F2(1，0)，
∴直线AB的方程为y－0＝1·(x－1)，即y＝x－1.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立直线和椭圆的方程得 消去y，得5x2－6x－3＝0，
∴x1＋x2＝ ，x1·x2＝－ ，
∴|AB|＝
＝ ＝ .
(2)△ABF1中，AB边上的高即
点F1到直线x－y－1＝0的距离
d＝ ＝ ，
∴ |AB|·d＝ × × ＝ .
还可以怎样求面积
【知识要点2】 椭圆中的弦长问题
【例2】　已知斜率为1的直线过椭圆 ＋ ＝1的右焦点F2，并交椭圆于A，B两点．求：(1)弦长|AB|；(2)△ABF1的面积．
还可以怎样求面积
【变式训练2】已知椭圆 ＋ ＝1(a＞b＞0)的离心率为 ，右焦点为(2 ，0)，斜率为1的直线l与椭圆交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(－3，2).(1)求椭圆的标准方程；(2)求△PAB的面积．
椭圆的标准方程为 ＋ ＝1.
(2)设直线l的方程为y＝x＋m，中点→垂直定m，弦长为底，P到直线距离为高，
得面积为4.5
【变式训练2详解】
解：(1)由已知得c＝2 ， ＝ ，解得a＝2 .
又b2＝a2－c2＝4，
所以椭圆的标准方程为 ＋ ＝1.
(2)设直线l的方程为y＝x＋m，直线与椭圆的交点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)(x1＜x2)，
【知识要点3】 椭圆中的弦中点问题
【例3】　已知椭圆C： ＋ ＝1(a>b>0)的两个焦点为F1，F2，点P在椭圆C上，且PF1⊥F1F2，|PF1|＝ ，|PF2|＝ .(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若直线l过椭圆C内一点M(－2，1)，并交椭圆C于A，B两点，且A，B两点关于点M对称，求直线l的方程．
【思路点拨】涉及直线被圆锥曲线截得的弦的中点问题时，常用设而不求的方法(“点差法”)
点差法
【变式训练3】已知椭圆 ＋ ＝1，过点P(2，1)作一直线，交椭圆于点A，B，且点P平分线段AB，求直线AB的方程．
点差法
解决中点弦
直线的专用
【知识要点4】椭圆中的垂直问题
【例4】　已知在直角坐标系xOy中，动点M到点F1(－ ，0)，F2( ，0)的距离之和是4，点M的轨迹是C，直线l：y＝kx＋ 与轨迹C交于不同的两点P和Q.
(1)求轨迹C的方程； (2)若 · ＝0，求k的值．
【解析】　(1)由题意知，点M的轨迹C是椭圆，并且焦点在x轴上，
因此可设椭圆的标准方程为 ＋ ＝1，且2a＝4，c＝ ，可得a＝2，b2＝a2－c2＝4－3＝1.
故椭圆的标准方程为 ＋y2＝1.
(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，联立直线与椭圆方程，得
【变式训练4】 斜率为1的直线l交椭圆4x2＋y2＝2于A，B两点，若OA⊥OB，求直线l的方程．
一、选择题
1．直线x＋y－2＝0与椭圆 ＋ ＝1的位置关系是(　　)
A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定
C
随堂检测
2．若直线y＝kx＋2与椭圆 ＋ ＝1相切，则k的值是(　　)
A． B． C． D．
C
活动设计：限时12分钟，要求学生从1-7题选择题目认真完成
3．若直线y＝x＋m和椭圆 ＋y2＝1有公共点，则实数m的取值范围是(　　)
A．[－ ， ] B．[－ ， ] C．[－2，2] D．[－1，1]
A
4．直线y＝x＋1被椭圆 ＋ ＝1所截得的线段的中点坐标是(　　)
A． B． C． D．
C
5．过椭圆 ＋ ＝1的左焦点作倾斜角为45°的直线l，交椭圆于A，B两点，设O为坐标原点，则 · 等于(　　)
A．－1 B．－2 C．－ D．－
C
计算量大
二、填空题
6．已知直线l：y＝x＋m和椭圆 ＋ ＝1相切，则实数m的值为________．
7．过椭圆x2＋2y2＝2的左焦点作斜率为1的直线l，与椭圆交于
A，B两点，则弦AB的长为________．
三、解答题
8．斜率为1的直线l与椭圆 ＋ ＝1相交于A，B两点，O为坐标原点，且OA⊥OB，求直线l的方程．
A班做
9．已知椭圆M： ＋ ＝1(a>b>0)的离心率为 ，焦距为4.
(1)求椭圆M的标准方程；(2)若直线l1与椭圆M相切，且直线l1与直线l：x－y－3 ＝0平行，求直线l1的斜截式方程．
一、选择题
1．已知椭圆C： ＋y2＝1，直线l：y＝x＋3，则椭圆C上的点到直线l距离的最大值为(　　)
A． B． C． D．
C
A班做
2．过椭圆 ＋ ＝1(a＞b＞0)的左焦点F1且倾斜角为60°的直线交椭圆于A，B两点，若|F1A|＝2|F1B|，则椭圆的离心率为(　　)
A． B． C． D．
C
提升训练
二、填空题
3．已知椭圆C： ＋ ＝1(a>3)的左顶点为A，过原点的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且kPA·kQA＝－ ，则a＝________．
6
4．已知椭圆C： ＋ ＝1(a>b>0)的离心率为 ，过焦点且垂直
于x轴的直线被椭圆截得的线段长为6，则椭圆C的标准方程为____________．
＋ ＝1
三、解答题
5．若直线x＋y－m＝0与椭圆 ＋ ＝1相切，求：
(1)实数m的值；(2)该椭圆上的点到直线x＋y－7＝0的最短距离．
解：(1)联立直线与椭圆方程得方程组
消去y得到关于x的一元二次方程25x2－18mx＋9m2－144＝0.
由题意知Δ＝(－18m)2－4×25×(9m2－144)＝0，解得m＝±5.
(2)由(1)可知与椭圆相切的直线方程为x＋y＋5＝0或x＋y－5＝0.
它们与直线x＋y－7＝0之间的距离分别为
d1＝ ＝6 ，d2＝ ＝ .
∴椭圆上的点到直线x＋y－7＝0的最短距离为 .
6．如图所示，已知椭圆C： ＋ ＝1(a＞b＞0)经过点A(－2，0)，离心率为 .
(1)求椭圆C的方程；(2)直线AP与椭圆C交于点P(异于顶点)，
与y轴交于点M，点F为椭圆的右焦点，
O为坐标原点，MF⊥OP，求直线AP的方程．
故P ，F(1，0)，
所以 ＝(1，－2k)， ＝ ，
所以 · ＝ ＋ ＝0，
所以k2＝ ，解得k＝± ，均满足Δ>0，
故直线AP的方程为y＝± (x＋2)，
即 x±4y＋2 ＝0.
7．已知椭圆 ＋ ＝1(a＞b＞0)的离心率为 ，右焦点到直线x＋y＋ ＝0的距离为 .(1)求椭圆的标准方程；(2)过点M(0，－1)作直线l，交椭圆于A，B两点，交x轴于点N，且 ＝－ ，求直线l的方程．
解得c＝ 或c＝－3 (舍去).
(1)设椭圆的右焦点为(c，0)(c＞0)，则右焦点到直线x＋y＋ ＝0
的距离为 ＝2 ，
又离心率e＝ ＝ ，即 ＝ ，解得a＝2 ，
则 ＝(x1－x0，y1)， ＝(x2－x0，y2).
∵ ＝－ ，
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，N(x0，0)，
∴(x1－x0，y1)＝－ (x2－x0，y2)，y1＝－ y2①.
当直线l的斜率不存在时，①不成立，
∴设直线l的方程为y＝kx－1，
由 消去x，得
(4k2＋1)y2＋2y＋1－8k2＝0，
Δ＝4－4(4k2＋1)(1－8k2)＝4k2(8k2＋1)＞0，得k≠0，
∴y1＋y2＝－ ②，y1y2＝ ③，
由①②得，y2＝ ，y1＝－ ，
代入③整理得8k4＋k2－9＝0，解得k2＝1，
∴k＝±1，满足题意，
∴直线l的方程是y＝x－1或y＝－x－1.
课堂小结
直线与椭圆的位置关系
一、位置判定
相切：联立方程后，判别式Δ=0
相交：联立方程后，判别式Δ>0（涉及弦长公式，需关注焦点弦问题）
相离：联立方程后，判别式Δ<0
二、应用类型
弦长与三角形面积
位置判断
中点弦对应的直线
垂直关系的应用
距离的最值
布置作业
1.书面必做作业：完成复习资料相关题目；
2.拓展提升作业：依据考点根据自身掌握情况，利用复习书拓展练习进一步训练巩固相关内容
下 课
Thanks!
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