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(共53张PPT)
第4讲
　简单的三角恒等变换
突破·核心考点
限时规范训练
1
2
内容索引
1．会根据相关公式进行化简和求值.2.能利用三角函数式的化简与求值解决简单的问题．
◆课标要求
例1　化简：－tan )·＝________．
突破
核心考点
三角函数式的化简
答案：
解析：－tan )·＝·
＝＝＝.
反思感悟　(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角，二看名，三看式子结构与特征．
(2)三角函数式的化简要注意观察已知条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点．
跟踪训练1　已知0＜θ＜π，则
＝______．
解析：原式＝
＝
＝＝－cos θ.
答案：－cos θ
三角函数式的求值
考向1　给角求值
例2　(2025·湖北武汉联考) 已知黄金分割比t＝≈0.618，现给出三倍角公式cos 3α＝4cos3α－3cosα和二倍角公式sin 2α＝2sin αcos α，则t与sin 18°的关系式正确的是
(　　)
A．t＝sin 18°　　　　 B．t＝2sin 18°
C．t＝sin 18° D．t＝4sin 18°
B
解析：B　因为cos 54°＝sin 36°，即cos (3×18°)＝sin (2×18°)，令β＝18°，
则cos 3β＝sin 2β，又cos 3β＝4cos3β－3cosβ，
sin 2β＝2sin βcos β，
即4cos3β－3cosβ＝2sin βcos β，
因为cos β≠0，所以4cos2β－3＝2sinβ，
即4(1－sin2β)－3＝2sinβ，整理得
4sin2β＋2sinβ－1＝0，
解得sin β＝.
因为sin 18°＞0，所以sin 18°＝，
故t＝2sin 18°＝.
考向2　给值求值
例3　(2024·新课标Ⅱ卷)已知α为第一象限角，β为第三象限角，tan α＋tan β＝4，tan αtan β＝＋1，则sin (α＋β)＝________．
解析：由题知tan (α＋β)＝，即sin (α＋β)＝－2cos (α＋β)，又sin2(α＋β)＋cos2(α＋β)＝1，可得sin(α＋β)＝±.由2kπ<α<2kπ＋，k∈Z，2mπ＋π<β<2mπ＋，m∈Z，得2(k＋m)π＋π<α＋β<2(k＋m)π＋2π，k＋m∈Z.又tan (α＋β)<0，所以α＋β是第四象限角，
故sin (α＋β)＝－.
答案：－
考向3　给值求角
例4　(2025·江西九江模拟)已知α，β∈，cos (α－β)＝，tan α·tan β＝，则α＋β等于(　　)
A． B．
C． D．
A
解析：A　因为cos (α－β)＝，
tan α·tan β＝，
所以
解得
所以cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝，又α，β∈，所以α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝.
反思感悟　 (1)给值(角)求值问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的联系寻找转化方法．
(2)给值求角问题的解题策略
①求相关角的某一个三角函数值；
②由求得的三角函数值求角，如果根据求得的函数值无法唯一确定角的大小，应根据已知角的取值范围和已知角的三角函数值把所求角的大小作相对精确的估计，以排除多余的解．
跟踪训练2　(1)(多选)(2025·湖南岳阳调研)计算下列各式，结果为的是
(　　)
A．sin 15°cos 15°　　 B．cos215°－sin215°
C． D．
BC
解析：BC　对于A，sin 15°cos 15°＝sin 30°＝，故选项A错误；
对于B，cos215°－sin215°＝cos30°＝，故选项B正确；
对于C，，故选项C正确；
对于D，＝tan (45°＋15°)＝tan 60°＝，故选项D错误．
(2)已知α，β均为锐角，cos α＝，sin β＝，则cos 2α＝______，2α－β＝______．
解析：因为cos α＝，
所以cos 2α＝2cos2α－1＝.
又α，β均为锐角，sinβ＝，
所以sin α＝，cos β＝，
因此sin 2α＝2sin αcos α＝，
所以sin (2α－β)＝sin 2αcos β－cos 2αsin β
＝.
因为α为锐角，所以0＜2α＜π.
又cos 2α＞0，所以0＜2α＜，
又β为锐角，所以－＜2α－β＜，
又sin (2α－β)＝，所以2α－β＝.
答案：
三角恒等变换的综合应用
例5　已知3sin α＝2sin2－1.
(1)求sin2α＋cos 2α的值；
(2)已知α∈(0，π)，β∈，2tan2β－tanβ－1＝0，求α＋β的值．
解：(1)因为3sin α＝2sin2－1，
所以3sinα＝－cos α，所以tan α＝－，
又sin 2α＋cos 2α
＝
＝，
所以sin2α＋cos 2α＝.
(2)因为β∈，所以tan β＜0，
因为2tan2β－tanβ－1
＝(2tan β＋1)(tan β－1)＝0，
所以tan β＝－，
又α∈(0，π)，tan α＝－，所以＜α＜π.
所以tan (α＋β)＝
＝－1，
由得π＜α＋β＜2π，
所以α＋β＝.
反思感悟　进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系，同时注意公式的逆用和变形应用．
跟踪训练3　(2025·湖南长沙雅礼中学质检)已知0<α<，0<β<，cos α＝，cos (β＋α)＝.
(1)求sin β的值；
(2)求的值．
解：(1)由0<α<，0<β<，cos α＝，
cos (β＋α)＝，
得sin α＝，sin (β＋α)＝.
所以sin β＝sin [(β＋α)－α]
＝sin (β＋α)cos α－cos (β＋α)sin α
＝.
(2)因为cos α＝，sin α＝，
所以
＝＝12.
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?A级　基础落实练?
1．sin 47°sin 103°＋sin 43°cos 77°等于(　　)
A．－　　　　　 B．
C．－ D．1
解析：B　sin 47°sin 103°＋sin 43°cos 77°＝cos 43°sin 77°＋sin 43°cos 77°＝sin (77°＋43°)＝sin 120°＝.
限时规范
训练(二十七)　简单的三角恒等变换
B
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2．已知tan α＝3，则cos 等于(　　)
A．－ B．
C．－ D．
解析：C　cos ＝－sin 2α
＝－2sin αcos α＝
＝.
C
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3．(2025·山东临沂质量测评)已知，则sin 2θ等于(　　)
A．－ B．
C．－ D．
D
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解析：D　＝
(cos θ－sin θ)＝，即cos θ－sin θ＝，
两边平方得
cos2θ－2sinθcos θ＋sin2θ＝1－sin2θ＝，
解得sin 2θ＝.故选D.
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4．等于(　　)
A．－sin α B．－cos α
C．sin α D．cos α
解析：D　原式＝
＝＝cos α.
D
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5．(多选)下列计算结果中正确的是(　　)
A．cos (－15°)＝
B．sin 15°sin 30°sin 75°＝
C．cos (α－35°)cos (25°＋α)＋sin (α－35°)sin (25°＋α)＝－
D．2sin 18°cos 36°＝
BD
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解析：BD　对于A，cos (－15°)＝cos 15°＝cos (45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°·sin 30°＝，所以A错误；
对于B，sin 15°sin 30°sin 75°
＝sin 15°sin 30°cos 15°＝sin 15°cos 15°
＝sin 30°＝，所以B正确；
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对于C，cos (α－35°)cos (25°＋α)＋sin (α－35°)·sin (25°＋α)＝cos [(α－35°)－(25°＋α)]＝cos (－60°)＝cos 60°＝，所以C错误；
对于D，2sin 18°cos 36°＝2cos 72°cos 36°＝2×，所以D正确．
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6．(2025·广东佛山模拟)已知sin α＝，α为钝角，tan (α－β)＝，则tan β等于(　　)
A．1 B．－1
C．2 D．－2
B
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解析：B　因为sin α＝，α为钝角，
所以cos α＝－，则tan α＝，
又tan (α－β)＝，
所以tan β＝tan [α－(α－β)]
＝
＝＝－1.故选B.
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7．(2025·山东淄博模拟)＝________．
解析：
＝.
答案：
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8．(2025·广东揭阳模拟)已知sin2α＝sin2α，则tan α＝________，tan ＝________．
解析：由题意得sin2α＝2sinαcos α，得sin α＝0或sin α－2cos α＝0，即tan α＝0或2，所以＝＝1或－3.
答案：0或2　1或－3
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9．若＜β＜π＜α＜，且cos (α＋β)＝－，sin 2β＝，则α－β＝________．
解析：因为＜β＜π，所以＜2β＜2π.
因为sin 2β＝＞0，所以＜2β＜π，
所以＜β＜，所以－＜－β＜－.
因为π＜α＜，所以＜α－β＜，
＜α＋β＜2π.
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因为＜2β＜π，sin 2β＝，
所以cos 2β＝－.
因为cos (α＋β)＝－，
所以sin (α＋β)＝－.
所以sin (α－β)＝sin [(α＋β)－2β]
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＝sin (α＋β)cos 2β－cos (α＋β)sin 2β
＝－－，
所以α－β＝.
答案：
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10．(10分)已知sin ＝，α∈.求：
(1)cos α的值；
(2)sin 的值．
解：(1)sin ＝，
即sin αcos ＋cos αsin ，
化简得sin α＋cos α＝，　①
又sin2α＋cos2α＝1，　②
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由①②解得cosα＝－或cos α＝，
因为α∈，所以cos α＝－.
(2)由(1)知sin α＝，
则cos 2α＝1－2sin2α＝－，
sin2α＝2sin αcos α＝－，
所以sin ＝sin 2αcos －cos 2αsin .
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11．(10分)化简并求值．
(1)；
(2)·.
解：(1)原式＝
＝
＝
＝
＝.
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(2)原式＝
＝
＝
＝
＝＝32.
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?B级　能力提升练?
12．(多选)已知tan α－tan β＝tan (α－β)，其中α≠(k∈Z)且β≠(m∈Z)，则下列结论中一定正确的是(　　)
A．sin αsin β＝0 B．sin (α－β)＝0
C．cos (α－β)＝1 D．sin2α＋cos2β＝1
BD
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解析：BD　因为tanα－tan β＝tan (α－β)，其中α≠(k∈Z)且β≠(m∈Z)，
所以tan α－tan β＝＝
＝，
所以sin (α－β)＝0或cos (α－β)＝cos αcos β，
即sin (α－β)＝0或sin αsin β＝0.
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因为α≠(k∈Z)且β≠(m∈Z)，
所以sin αsin β≠0，所以sin (α－β)＝0，
B正确，A错误；
因为sin (α－β)＝0，所以α－β＝nπ，n∈Z，
所以cos (α－β)＝±1，C错误；
因为α－β＝nπ，n∈Z，所以sin2α＋cos2β＝sin2(nπ＋β)＋cos2β＝sin2β＋cos2β＝1，D正确．故选B、D.
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13．(2025·四川成都七中测试)已知cos(α＋2β)＝，tan (α＋β)tan β＝－4，写出符合条件的一个角α的值为________．
解析：cos (α＋2β)＝cos [(α＋β)＋β]＝cos (α＋β)cos β－sin (α＋β)sin β＝，tan (α＋β)tan β＝－4，
即＝－4，
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故sin (α＋β)sin β＝－4cos (α＋β)cos β，故5cos (α＋β)cos β＝，即cos (α＋β)cos β＝，则sin (α＋β)sin β＝－4cos (α＋β)cos β＝－，
则cos α＝cos [(α＋β)－β]＝cos (α＋β)cos β＋sin (α＋β)sin β＝，可取α＝.
答案：(答案不唯一)
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14．(13分)(2025·吉林长春质检)(1)已知tan (α＋β)＝，tan ＝，求tan ；
(2)已知cos 2θ＝－＜θ＜，求sin 4θ，cos 4θ的值.
解：(1)因为tan (α＋β)＝，tan ＝，
所以tan ＝tan
＝.
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(2)由＜θ＜，得＜2θ＜π，
∴sin 2θ＝，
sin4θ＝2sin 2θcos 2θ＝2×＝－，
cos 4θ＝2cos22θ－1＝2×2－1＝.
第4讲　简单的三角恒等变换
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第7讲
　正弦定理和余弦定理
聚焦·必备知识
突破·核心考点
限时规范训练
1
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内容索引
1．掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的问题.2.会用三角形的面积公式解决与面积有关的计算问题．
◆课标要求
聚焦
必备知识
1．正弦定理
(1)定理：在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则＝2R，其中R是三角形外接圆的半径．
(2)正弦定理的变形
①a∶b∶c＝______________________．
②a＝2R sin A，b＝___________，c＝_________．
③a sin B＝b sin A，b sin C＝__________，a sin C＝________．
sin A∶sin B∶sin C
2R sin B
2R sin C
c sin B
c sin A
2．余弦定理
(1)定理：在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则a2＝________________________，b2＝a2＋c2－2ac cos B，c2＝___________________．
(2)余弦定理的变形
cos A＝，cos B＝___________，
cos C＝．
a2＋b2－2ab cos C
b2＋c2－2bc cos A
3．在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下表
A的 情况 A为锐角 A为钝角 或直角
图形
关系式 a＝b sin A b sin A＜a＜b a≥b a＞b a≤b
解的 个数 一解 _____ 一解 _____
_____
两解
一解
无解
(1)△ABC的内角和A＋B＋C＝π.
(2)在△ABC中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
4．三角形常用面积公式
(1)S＝a·ha(ha表示a边上的高)．
(2)S＝ab sin C＝ac sin B＝___________．
(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径)．
bc sin A
1．三角形中的三角函数关系
(1)sin (A＋B)＝sin C；
(2)cos (A＋B)＝－cos C；
(3)sin ＝cos ；
(4)cos ＝sin .
2．三角形中的射影定理
在△ABC中，a＝b cos C＋c cos B；b＝a cos C＋c cos A；c＝b cos A＋a cos B．
3．在△ABC中，A＞B a＞b sinA＞sin B cosA＜cos B．
1．思考辨析(在括号内打“ √”或“×”)
(1)在△ABC中，若A＞B，则sin A＞sin B．(　　)
(2)在△ABC中，若a2＞b2＋c2，则△ABC一定为钝角三角形．(　　)
(3)在△ABC中，已知两边和其夹角时，△ABC不唯一．(　　)
(4)在△ABC的六个元素(三个角和三条边)中，已知任意三个元素可求其他元素．(　　)
√
√
×
×
2．在△ABC中，已知b＝2，A＝45°，C＝75°，则边c＝________．
解析：B＝180°－45°－75°＝60°，
由正弦定理，得，
解得c＝.
答案：
3．在△ABC中，b＝，则边c＝______．
解析：由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B，
即c2＋c－6＝0，解得c＝2(c＝－3舍去)．
答案：2
4．在△ABC中，a＝1，b＝，B＝60°，则角A＝______．
解析：由正弦定理得，
得sin A＝，
因为a＜b，所以A为锐角，得A＝30°.
答案：30°
例1　(1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝1，b＝，A＝30°，则B等于(　　)
A．30°
B．45°
C．30°或150°
D．45°或135°
D
突破
核心考点
利用正弦定理、余弦定理解三角形
解析：D　根据正弦定理，得
sin B＝.
由于b＝＞1＝a，所以B＝45°或B＝135°.
(2)(2024·全国甲卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B＝ac，则sin A＋sin C等于(　　)
A．
B．
C．
D．
C
解析：C　由正弦定理得sin A sin C＝sin2B，因为B＝，所以sinA sin C＝sin2B＝.
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac·cos B＝a2＋c2－ac＝ac，所以a2＋c2＝ac，所以sin2A＋sin2C＝sin A sin C，所以(sin A＋sin C)2＝sin2A＋sin2C＋2sin A sin C
＝sin C＝，又sin A>0，sin C>0，所以sin A＋sin C＝.
反思感悟　(1)利用正弦定理可解决以下两类三角形问题：一是已知两角和一角的对边，求其他边与角；二是已知两边和一边的对角，求其他边与角(该三角形具有不唯一性，常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断)．
(2)利用余弦定理可解决以下两类三角形问题：一是已知两边和它们的夹角，求其他边与角；二是已知三边求各个角．由于这两种情形下的三角形是唯一确定的，所以其解也是唯一的．
跟踪训练1　(2024·天津卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知cos B＝.
(1)求a的值；
(2)求sin A的值；
(3)求cos (B－2A)的值．
解：(1)由得a＝c，
由余弦定理得a2＋c2－b2＝2ac cos B，即
，
化简得c2，解得c＝6，
故a＝c＝4.
(2)因为cos B＝，所以sin B＝，
由正弦定理得，即，解得sin A＝.
(3)因为a＜b，所以A＜B，则cos A＞0，
由sin A＝，得cos A＝，
则cos 2A＝2cos2A－1＝，
sin2A＝2sin A cos A＝.
故cos (B－2A)＝cos B cos 2A＋sin B sin 2A＝.
利用正弦定理、余弦定理判断三角形的形状
例2　(多选)(2025·山东青岛一中检测)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，利用以下各条件能得出△ABC为等边三角形的是(　　)
A．已知a＋b＝2c且A＋B＝2C
B．已知sin A＝且b＝c
C．已知a＋b＝2c且a2＋b2＝2c2
D．已知且A＝
AC
解析：AC　对于A，因为A＋B＝2C，所以C＝，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab cos C＝a2＋b2－ab，又a＋b＝2c，所以2＝a2＋b2－ab，所以3(a－b)2＝0，所以a＝b，所以A＝B＝C＝，所以△ABC为等边三角形．故A正确；
对于B，因为sin A＝，0对于C，因为a＋b＝2c且a2＋b2＝2c2，所以a2＋b2＝(a＋b)2，所以(a－b)2＝0，所以a＝b，又a＋b＝2c，所以a＝b＝c，所以△ABC为等边三角形．故C正确；
对于D，因为，所以，即sin A cos A＝sin B cos B，所以sin 2A＝sin 2B，所以2A＝2B或2A＋2B＝π，所以A＝B或A＋B＝.当A＝B时，因为A＝，所以A＝B＝C＝，所以△ABC为等边三角形；当A＋B＝时，因为A＝，所以B＝，所以△ABC为直角三角形．故D错误．
反思感悟　判断三角形形状的两种解题思路
(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．
(2)化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用结论A＋B＋C＝π ．
跟踪训练2　(2025·河南新乡模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝7，b＝3，c＝5，则(　　)
A．△ABC为锐角三角形
B．△ABC为直角三角形
C．△ABC为钝角三角形
D．△ABC的形状无法确定
解析：C　由余弦定理得cos A＝<0，故A为钝角，进而△ABC为钝角三角形．
C
三角形的面积问题
例3　(13分)(2024·新课标Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin C＝cos B，a2＋b2－c2＝ab.
(1)求B的值；
(2)若△ABC的面积为3＋，求c的值.
问题1：如何利用已知条件a2＋b2－c2＝ab，与角B有何关系？
利用余弦定理的变形形式cos C＝，以及已知条件sin C＝cos B，求B的值．
问题2：综合已知条件与第(1)问，应选用哪个公式表示△ABC的面积？
由S△ABC＝ac sin B和三角形内角和定理，求c的值．
(1)由余弦定理得cos C＝，(2分)
又0∴cos B＝sin C＝，∴cos B＝，(5分)
又0(2)由(1)得A＝π－B－C＝，(8分)
由正弦定理，得，∴a＝c.(10分)
∴△ABC的面积S＝ac sin B＝，
解得c＝2.(13分)
试题考查正弦定理、余弦定理、三角恒等变形和三角形的面积等基础知识；通过求解三角形来考查学生的逻辑推理、直观想象和运算求解等核心素养以及函数与方程、化归与转化等数学思想．
(1)第一步：利用余弦定理求C.

第二步：将C代入已知式求B的值.

(2)第一步：求A的值.
第二步：利用正弦定理得出a，c的关系．


第三步：利用三角形面积公式求c的值.
反思感悟　(1)对于面积公式S＝ab sin C＝ac sin B＝bc sin A.一般是已知哪一个角就使用含该角的公式．先用正余弦定理解三角形，求出相关边、角之后再计算面积．
(2)与面积有关的问题，一般要利用正弦定理或余弦定理进行边和角的互化．
跟踪训练3　(2024·北京卷)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，∠A为钝角，a＝7，sin 2B＝b cos B．
(1)求∠A；
(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在，求△ABC的面积．
条件①：b＝7；
条件②：cos B＝；
条件③：c sin A＝.
（注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分，如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分）
解：(1)由题知，2sin B·cosB＝b cos B．
又A为钝角，所以B为锐角，
故cos B≠0，所以2sin B＝b.
又，所以sin A＝.
又A为钝角，所以A＝.
(2)若选①，结合(1)得2sin B＝×7，
所以sin B＝，A＋B＝π，
则△ABC不存在，所以条件①不符合要求，故不能选择条件①.
若选②，由题知sin B＝，
又，即，所以b＝3.
又C＝π－(A＋B)，所以sin C＝sin (A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B＝.
所以S△ABC＝ab sin C＝.
若选③，由题知c·，所以c＝5.
由a2＝b2＋c2－2bc cos A得，
49＝b2＋25＋5b，即(b＋8)(b－3)＝0，
解得b＝3(负值舍去)．
所以S△ABC＝bc sin A＝.
射影定理的应用
设△ABC的三边是a，b，c，它们所对的角分别是A，B，C，则a＝b cos C＋c cos B；b＝c cos A＋a cos C；c＝a cos B＋b cos A.
注：以“a＝b cos C＋c cos B”为例，b，c在a上的射影分别为b cos C，c cos B，故名射影定理．
证明：如图，在△ABC中，AD⊥BC，则b cos C＝CD，c cos B＝BD，
故b cos C＋c cos B＝CD＋BD＝BC＝a，即a＝b cos C＋c cos B，
同理可证b＝c cos A＋a cos C，c＝a cos B＋b cos A．
训练　(2025·河南洛阳测试)在△ABC中，内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且满足2b cos B＝a cos C＋c cos A，则B的值为(　　)
A．　　 B．　　
C．　　 D．
解析：B　因为2b cos B＝a cos C＋c cos A，
即2b cos B＝b，解得cos B＝，又因为B∈(0，π)，故可得B＝.
B
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?A级　基础落实练?
1．已知在△ABC中，A＝，a＝1，则b等于(　　)
A．2　　 B．1　　
C．　　 D．
解析：D　由正弦定理，
得，所以，所以b＝.
限时规范
训练(三十二)　正弦定理和余弦定理
D
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2．(2025·黑龙江齐齐哈尔模拟)若在△ABC中，2sin A＝3sin B，AB＝2AC，则cos C等于(　　)
A． B．－
C． D．－
解析：D　由正弦定理及2sin A＝3sin B可得2BC＝3AC，又AB＝2AC，所以AC∶BC∶AB＝2∶3∶4，不妨设AC＝2k，BC＝3k，AB＝4k，k>0，所以cos C＝.故选D.
D
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3．(2025·山东济南模拟)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且a cos C＋a sin C＝b，则A等于(　　)
A． B．
C． D．
解析：A　由a cos C＋a sin C＝b及正弦定理得sin A cos C＋sin A sin C＝sin B＝sin (A＋C)＝sin A cos C＋cos A sin C，所以＝cos A sin C，因为sin C≠0，所以sin A＝cos A，tan A＝，由A∈(0，π)得A＝.故选A.
A
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4．（2025·北京门头沟区模拟）若在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A＝120°，a＝，b－c＝1，则△ABC的面积为(　　)
A． B． C． D．
解析：A　cos A＝＝ ＝－，解得c＝2（负值舍去），则b＝3，所以S△ABC＝bc sin A＝×2×3×＝.
A
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5．(多选)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列四个命题中正确的是(　　)
A．若a cos A＝b cos B，则△ABC是等腰三角形
B．若b cos C＋c cos B＝b，则△ABC是等腰三角形
C．若，则△ABC是等边三角形
D．若B＝60°，b2＝ac，则△ABC是直角三角形
BC
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解析：BC　对于A，若a cos A＝b cos B，则由正弦定理得sin A cos A＝sin B cos B，
∴sin 2A＝sin 2B，则2A＝2B或2A＋2B＝180°，即A＝B或A＋B＝90°，则△ABC为等腰三角形或直角三角形，故A错误；
对于B，若b cos C＋c cos B＝b，则由正弦定理得sin B cos C＋sin C cos B＝sin (B＋C)＝sin A＝sin B，即A＝B，则△ABC是等腰三角形，故B正确；
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对于C，若，则由正弦定理得，则tan A＝tan B＝tan C，即A＝B＝C，即△ABC是等边三角形，故C正确；
对于D，由于B＝60°，b2＝ac，由余弦定理可得b2＝ac＝a2＋c2－ac，可得(a－c)2＝0，解得a＝c，故△ABC是等边三角形，故D错误．
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6．(多选)(2025·河北张家口部分学校期中)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，根据下列条件解三角形，其中有两解的是(　　)
A．b＝10，A＝45°，C＝60°
B．b＝，c＝4，B＝60°
C．a＝，b＝2，A＝45°
D．a＝8，b＝4，A＝80°
BC
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解析：BC　对于A，因为b＝10，A＝45°，C＝60°，所以B＝75°，所以△ABC只有一解，故A错误；
对于B，因为b＝，c＝4，B＝60°，
所以由正弦定理得sin C＝＜1且sin C>，因为b＜c，所以B＜C，所以C＞60°，所以△ABC有两解(60°＜C＜90°或90°＜C＜120°)，故B正确；
对于C，因为a＝，b＝2，A＝45°，
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所以由正弦定理得
sin B＝，
因为＜＜，a＜b，
所以△ABC有两解(45°＜B＜60°或120°＜B＜135°)，故C正确；
对于D，因为a＝8，b＝4，A＝80°，
所以b＜a，B＜80°，所以△ABC只有一解，故D错误．
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7．(2023·上海卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝4，b＝5，c＝6，则sin A＝________．
解析：由余弦定理得cos A＝，
∴sin A＝.
答案：
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8．(2025·北京昌平区质量检测)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝8，c＝7，cosA＝，则b＝______，C＝______．
解析：由余弦定理可得64＝b2＋49－2×b×7×＝b2－2b＋49，
故b2－2b－15＝0，解得b＝－3(舍)或b＝5，
故cos C＝，
又C∈(0，π)，故C＝.
答案：5　
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9．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，b2＋c2＝18，sin A＝，则△ABC的周长为________．
解析：由sin A＝，得cos A＝±.
因为a2＝9由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A，得
9＝18－bc，得bc＝，
所以b＋c＝，所以△ABC的周长为＋3.
答案：＋3
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10．(13分)(2025·浙江温州模拟)记△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2c sin Bb.
(1)求C的值；
(2)若tan A＝tan B＋tan C，a＝2，求△ABC的面积．
解：(1)由2c sin B＝b得2sin C·sinB＝sin B，又B为三角形内角，所以sin B>0，得sin C＝，又C为三角形内角，所以C＝或.
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(2)由tan A＝－tan (B＋C)＝tan B＋tan C得－＝tan B＋tan C，
又tan B＋tan C≠0，所以tan B tan C＝2，故B，C∈，
由(1)得C＝，tan C＝1，所以tan B＝2，所以tan A＝tan B＋tan C＝3，又A为三角形内角，所以sin A＝.
由正弦定理得，
解得c＝，
又tan B＝2，且B为三角形内角，故sin B＝，所以S△ABC＝ac sin B＝.
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11．(13分)(2024·新课标Ⅱ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A＋cos A＝2.
(1)求A的值；
(2)若a＝2，b sin C＝c sin 2B，求△ABC的周长．
解：(1)法一：由sin A＋cos A＝2，得
sin A＋cos A＝1，
所以sin ＝1.
因为0所以A＋，故A＝.
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法二：由sin A＋cos A＝2，得
cos A＝2－sin A，
等式两边同时平方，得
3cos2A＝4－4sin A＋sin2A，
则3(1－sin2A)＝4－4sin A＋sin2A，
整理，得1－4sin A＋4sin2A＝0，
所以(1－2sin A)2＝0，则sin A＝.
因为011
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当A＝时，sin A＋cos A＝2成立，符合条件；
当A＝时，sin A＋cos A＝2不成立，不符合条件．
故A＝.
法三：由sin A＋cos A＝2，得
sin A＝2－cos A，
等式两边同时平方，得sin2A＝4－4cos A＋3cos2A，
则1－cos2A＝4－4cosA＋3cos2A，
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整理，得3－4cosA＋4cos2A＝0，
所以2＝0，则cos A＝.
因为0(2)由b sin C＝c sin 2B，得
b sin C＝2c sin B cos B，
由正弦定理，得bc＝2cb cos B，
所以cos B＝，
因为011
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C＝π－(A＋B)＝，
所以sin C＝sin ＝sin ＝sin ＋cos sin .
法一：由正弦定理，得
b＝，
c＝.
所以△ABC的周长为a＋b＋c＝2＋.
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法二：由正弦定理，得＝4，
所以a＋b＋c＝4(sin A＋sin B＋sin C)＝4×＝2＋，
所以△ABC的周长为2＋.
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?B级　能力提升练?
12．(2025·重庆育才中学阶段检测)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2＋c2＋bc＝a2.若b＝sin B，则C等于(　　)
A． B．
C． D．
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解析：D　在△ABC中，由b2＋c2＋bc＝a2及余弦定理得cos A＝，
又0又b＝sin B，所以由正弦定理得sin B＝，而sin B>0，解得sin B＝，
又0所以C＝π－A－B＝.
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13．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，2c cos A＝b，则△ABC的形状是(　　)
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰三角形
解析：D　由2c cos A＝b及正弦定理，得2sin C cos A＝sin B，在△ABC中，A＋B＋C＝π，所以sin B＝sin (A＋C)，所以2sin C cos A＝sin (A＋C)＝sin A cos C＋cos A sin C，即sin C cos A－sin A cos C＝0，所以sin (C－A)＝0，因为00，C>0，所以C－A＝0，即C＝A，所以△ABC的形状是等腰三角形．故选D.
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14．(15分)(2022·新高考Ⅱ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为S1，S2，S3.已知S1－S2＋S3＝，sin B＝.
(1)求△ABC的面积；
(2)若sin A sin C＝，求b的值.
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解：(1)由题意得S1＝b2，
S3＝c2，
∴S1－S2＋S3＝(a2－b2＋c2)＝，
即a2－b2＋c2＝2，
由cos B＝得
a2＋c2－b2＝2ac cos B，
故2ac cos B＝2，∴ac cos B＝1，
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又sin B＝，
∴cos B＝或cos B＝(舍)，
∴ac＝，
∴S△ABC＝ac sin B＝.
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(2)由正弦定理得，
又ac＝，sin A sin C＝，
∴，∴，
∴b＝sin B＝.
第7讲　正弦定理和余弦定理
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第6讲　
函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象及应用
聚焦·必备知识
突破·核心考点
限时规范训练
1
2
3
内容索引
1．了解函数y＝A sin (ωx＋φ)的物理意义，能作出y＝A sin (ωx＋φ)的图象.2.了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响.3.会用三角函数解决一些简单的实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．
◆课标要求
聚焦
必备知识
1．简谐运动y＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，x≥0)中有关概念
振幅 周期 频率 相位 初相
A T＝ f＝ ωx＋φ φ
2.用“五点法”作y＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)一个周期内的简图时，要找五个特征点
x －
ωx＋φ 0 π 2π
y＝A sin (ωx＋φ) 0 A 0 －A 0
－
3．函数y＝sin x的图象经变换得到y＝A sin (ωx＋φ)的图象的两种途径
1．函数y＝A sin (ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”．
2．由y＝sin ωx到y＝sin (ωx＋φ)(ω＞0，φ＞0)的变换：向左平移个单位长度而非φ个单位长度．
3．函数y＝A sin (ωx＋φ)图象的对称轴由ωx＋φ＝kπ＋，k∈Z确定；对称中心由ωx＋φ＝kπ，k∈Z确定其横坐标．
1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)将函数y＝3sin 2x的图象向左平移个单位长度后所得图象的解析式是y＝.(　　)
(2)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致．(　　)
(3)函数y＝A cos (ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为.(　　)
(4)由图象求解析式时，振幅A的大小是由一个周期内图象中最高点的值与最低点的值确定的．(　　)
×
×
√
√
2．为了得到函数y＝3sin 的图象，只需把函数y＝3sin 的图象上所有的点(　　)
A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
B．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变
D．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变
解析：B　将函数y＝3sin 图象上所有点的横坐标缩短到原来的，可得函数y＝的图象．
B
3．将函数f(x)＝3sin 的图象向左平移后得到函数y＝g(x)的图象，则g(x)＝________．
解析：g(x)＝f＝3sin [＋]＝3sin .
答案：3sin
4．若函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)(ω＞0，0＜φ＜π)的部分图象如图所示，则点(ω，φ)的坐标是________．
解析：由题图知－＝，故T＝，故ω＝4，
又4×＋φ＝，所以φ＝.
答案：
例1　已知函数f(x)＝2sin .
(1)作出f(x)在[0，π]上的图象(要求列表)；
(2)函数y＝f(x)的图象可由函数y＝sin x的图象经过怎样的变换得到？
突破
核心考点
函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象及变换
2x＋ π 2π
x 0 π
f(x) 1 2 0 －2 0 1
解：(1)因为x∈[0，π]，
所以2x＋∈.
列表如下：
描点、连线得图象：
(2)将y＝sin x的图象上的所有点向左平移个单位长度，得到函数y＝sin (x＋)的图象，再将y＝sin (x＋)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变)，得到函数y＝sin (2x＋)的图象，再将y＝sin (2x＋)上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍(横坐标不变)，得到f(x)＝2sin (2x＋)的图象．
反思感悟　作函数y＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象常用的两种方法：
(1)五点法作图法通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，，π，π，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象．
(2)图象变换法．由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝A sin (ωx＋φ)的图象有两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移” ．
跟踪训练1　(1)(2024·新课标Ⅰ卷)当x∈[0，2π]时，曲线y＝sin x与y＝2sin 的交点个数为(　　)
A．3　　　　　　 B．4
C．6 D．8
C
解析：C　因为函数y＝2sin 的最小正周期T＝，所以函数y＝2sin 在[0，2π]上的图象恰好是三个周期的图象，所以作出函数y＝2sin 与y＝sin x在[0，2π]上的图象如图所示，
由图可知，这两个图象共有6个交点，故选C.
(2)(多选)(2025·河北保定期末)已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin ，则下面结论中正确的是(　　)
A．把曲线C1向左平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到曲线C2
B．把曲线C1向左平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到曲线C2
C．把曲线C1上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
D．把曲线C1上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
AD
解析：AD　对于A，曲线C1：y＝cos x向左平移个单位长度，得到曲线y＝cos ，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到曲线y＝cos ＝cos ＝sin ，故A正确；
对于B，把曲线C1：y＝cos x向左平移个单位长度，得到曲线y＝cos ，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到曲线y＝cos ＝cos ，故B错误；
对于C，把曲线C1：y＝cos x上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到曲线y＝cos 2x，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线y＝cos ＝cos ＝cos ，故C错误；
对于D，把曲线C1：y＝cos x上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到曲线y＝cos 2x，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线y＝cos ＝cos ＝cos ＝sin ，故D正确．
例2　(2025·山东济宁调研)已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，则f(　　)
A．－1
B．－
C．－
D．－2
B
由图象确定函数y＝A sin (ωx＋φ)的解析式
解析：B　函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)，由题图可知，A＝2，设函数f(x)的最小正周期为T，则－＝，所以T＝，解得ω＝3，则f(x)＝2sin (3x＋φ)．由f＝2sin ＝2，可取φ＝，则f(x)＝2sin ，f＝2sin [＋]＝2sin .故选B.
反思感悟　确定y＝A sin (ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)解析式的步骤和方法
(1)求A，b.确定函数的最大值M和最小值m，则A＝.
(2)求ω.确定函数的最小正周期T，则ω＝.
(3)求φ.常用方法如下：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在递增区间上还是在递减区间上)或把图象的最高点或最低点代入．
跟踪训练2　(2025·北京延庆区质检)函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)的部分图象如图所示，其中A＞0，ω＞0，|φ|＜π，则f(x)的解析式为________．
解析：由题图可知A＝2，因为f(x)的个最小正周期－＝，所以T＝π，则ω＝＝2，根据五点作图法，令2×，解得φ＝－＜π，所以f(x)＝2sin .
答案：f(x)＝2sin
函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象与性质的综合应用
考向1　图象与性质的综合应用
例3　(多选)(2025·广东广州测试)已知函数f(x)＝sin (2x＋φ)，直线x＝为f(x)图象的一条对称轴，将f(x)的图象向左平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，则(　　)
A．f(x)的最小正周期为π
B．φ＝－
C．f(x)的图象关于点对称
D．g(x)的图象关于点对称
ABD
解析：ABD　由于直线x＝为f(x)图象的一条对称轴，所以2×＋φ＝kπ＋，φ＝kπ－，k∈Z，由于，所以φ＝－，B选项正确，则f(x)＝sin ，f(x)的最小正周期为＝π，A选项正确．
sin [－]＝sin ＝－1，所以C选项错误．
将f(x)的图象向左平移个单位长度后得到函数g(x)＝sin [－]＝sin 2x的图象．
sin ＝sin π＝0，g(x)的图象关于点对称，所以D选项正确．
考向2　三角函数的零点(方程的根)问题
例4　已知函数f(x)＝2sin ，且关于x的方程f(x)＝t(t∈R)在区间上有唯一解，则t的取值范围是________．
解析：因为x∈，所以2x－∈，所以∈[－1，2]，且当x＝时，f＝1，所以其函数图象如图所示．
因为y＝f(x)与y＝t的图象只有一个交点，即关于x的方程f(x)＝t(t∈R)在区间上有唯一解，结合函数图象可知－1≤t＜1或t＝2.
答案：[－1，1)∪{2}
反思感悟　(1)研究y＝A sin (ωx＋φ)的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题．
(2)方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数．
跟踪训练3　(1)(多选)(2025·福建莆田模拟)已知函数f(x)＝sin x cos x，则
(　　)
A．f＝
B．f(x)的最大值为1
C．f(x)在上单调递增
D．将函数f(x)的图象向右平移π个单位长度后与f(x)的图象重合
AD
解析：AD　对于A、B，f(x)＝sin x cos x＝sin 2x≤，f＝sin ，故A正确、B错误；
f＝sin ＞f＝sin ，故C错误；将函数f(x)的图象向右平移π个单位长度后的图象所对应的函数为y＝sin [2(x－π)]＝sin 2x＝f(x)，故D正确．故选A、D.
(2)(2023·全国甲卷)函数y＝f(x)的图象由函数y＝cos 的图象向左平移个单位长度得到，则y＝f(x)的图象与直线y＝的交点个数为
(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
C
解析：C　因为y＝cos 向左平移个单位长度所得函数为y＝cos [＋]＝cos ＝－sin 2x，
所以f(x)＝－sin 2x，
而直线y＝显然过与(1，0)两点，
作出y＝f(x)与y＝x－的大致图象如图所示，考虑2x＝－，
即x＝－处f(x)与y＝的大小关系，
当x＝－时，f＝－sin ＝－1，
y＝－＜－1；
当x＝时，f＝－sin ＝1，
y＝＜1；
当x＝时，f＝－sin ＝1，
y＝＞1.
所以由图象可知，f(x)与y＝的交点个数为3.故选C.
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2
?A级　基础落实练?
1．函数y＝sin 在区间上的简图是(　　)
限时规范
训练(三十)　函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象及应用
A
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解析：A　令x＝0，得y＝sin ＝－，排除B，D项，当x∈时，－，在此区间上函数不会出现最高点，排除C项，故选A.
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2．(人教A版必修第一册P240习题5.6第1题变式)将函数f(x)＝sin2x－的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，则g(　　)
A．－　 B．　
C．－　 D．
B
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解析：B　因为f(x)＝sin2x－cos2x，所以将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位长度后，得到函数y＝－cos ＝－cos 的图象，再将图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变，得到函数y＝g(x)＝－cos 的图象，所以g＝－cos ＝.故选B.
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3．为了得到函数f(x)＝cos 的图象，只需将函数g(x)＝cos x的图象(　　)
A．所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位长度
B．所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位长度
C．向左平移个单位长度，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
D．向左平移个单位长度，再将所得图象所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
D
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解析：D　将函数g(x)＝cos x的图象所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位长度，得到函数f(x)＝cos 的图象，故A，B错误；将函数g(x)＝cos x的图象向左平移个单位长度，再将所得图象所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数f(x)＝的图象，故C错误，D正确．故选D.
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4．(2025·河北邢台四校联考)将函数f(x)＝2sin 的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，得到偶函数g(x)的图象，则φ的最小值是(　　)
A． B．
C． D．
解析：B　由题意可得g(x)＝2sin ＝2sin ，因为g(x)是偶函数，所以－2φ＋＝kπ＋(k∈Z)，解得φ＝－(k∈Z)．因为φ>0，所以当k＝－1时，φ取得最小值，最小值是.故选B.
B
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5．(2025·黑龙江鸡西重点中学联考)函数f(x)＝A cos (ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，则函数y＝f(x)－1在区间[0，2π]内的零点个数为(　　)
A．3
B．4
C．5
D．6
C
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解析：C　由题图可知A＝2，T＝－＝π，则ω＝＝2，所以f(x)＝2cos (2x＋φ)．因为函数f(x)的图象过点，且f(x)的单调递增区间上，所以－<π，所以φ＝，f(x)＝2cos .
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令f(x)＝2cos ＝1，得2x＋＋2kπ，k∈Z或2x＋＋2kπ，k∈Z，所以x＝kπ，k∈Z或x＝－＋kπ，k∈Z，又x∈[0，2π]，所以x＝0或或π或或2π，所以函数y＝f(x)－1在区间[0，2π]内有5个零点．故选C.
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6．(多选)设函数f(x)＝sin ＋cos ，则(　　)
A．y＝f(x)的最小值为－，其周期为π
B．y＝f(x)的最小值为－2，其周期为
C．y＝f(x)在单调递增，其图象关于直线x＝对称
D．y＝f(x)在单调递减，其图象关于直线x＝对称
AD
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解析：AD　f(x)＝sin ＝，函数的最小值是－，周期T＝＝π，故A正确，B错误；
当x∈时，2x∈(0，π)，所以y＝f(x)在单调递减，令2x＝kπ，得x＝，k∈Z，其中一条对称轴是x＝，故C错误，D正确．
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7．写出一个同时具有下列性质①②③，且定义域为实数集R的函数f(x)＝________．
①最小正周期为2；②f(－x)＋f(x)＝2；③无零点．
解析：f(x)＝sin (πx)＋1的定义域为R，
最小正周期为T＝＝2，
f(－x)＋f(x)＝sin (－πx)＋1＋sin (πx)＋1＝－sin (πx)＋1＋sin (πx)＋1＝2.
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因为－1≤sin πx≤1，所以≤f(x)≤，
所以f(x)无零点，
综上，f(x)＝sin (πx)＋1符合题意．
答案：sin (πx)＋1(答案不唯一)
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8．(2025·重庆质量检测)将函数f(x)＝sin 的图象上每个点的横坐标扩大为原来的2倍(纵坐标保持不变)，再向左平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，则函数g(x)在x∈[0，π]上的值域为________．
解析：将函数f(x)的图象上每个点的横坐标扩大为原来的2倍(纵坐标保持不变)，得到y＝sin 的图象，再向左平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，
则g(x)＝sin [－]＝sin .
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∵x∈[0，π]，∴x＋∈，
∴sin ∈，
故函数g(x)在x∈[0，π]上的值域为.
答案：
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2
9．已知f(x)＝4sin (ωx＋φ)·sin ，如图是y＝f(x)的部分图象，则φ＝______，f(x)在区间[0，2026π]内有________条对称轴．
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解析：f(x)＝4sin (ωx＋φ)sin ＝2sin (2ωx＋2φ)，
由题图可知f(0)＝，即sin 2φ＝，
由于点在单调递增的区间内，
故2φ＝＋2kπ，k∈Z，
解得φ＝＋kπ，k∈Z，
因为，所以φ＝；
由函数图象过点，
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则＝2π，解得ω＝2.
故f(x)＝2sin ，
令4x＋＋kπ，k∈Z，
解得x＝，k∈Z.
令0≤≤2026π，k∈Z，
则－，k∈Z.
答案：　8104
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10．(10分)已知函数f(x)＝－cos ＋1－2sin2x.
(1)用“五点作图法”在给定的坐标系中，画出函数f(x)在[0，π]上的图象；
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(2)先将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)图象的对称中心．
解：(1)f(x)＝－cos＋1－2sin2x＝sin2x＋cos 2x＝2sin .
列表如下：
x 0 π
f(x) 1 2 0 －2 0 1
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描点、连线，函数f(x)在区间[0，π]上的图象如图．
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(2)将函数f(x)＝2sin (2x＋)的图象向右平移个单位后得到y＝2sin [2(x－)＋]＝2sin (2x－)的图象，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数g(x)＝2sin (－)的图象．
由－＝kπ，k∈Z，得x＝2kπ＋，k∈Z，
故g(x)图象的对称中心为(2kπ＋，0)，k∈Z.
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11．(13分)已知函数f(x)＝2sin ωx·cosωx＋2cos2ωx(ω＞0)，且f(x)的最小正周期为π.
(1)求ω的值及函数f(x)的单调递减区间；
(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，求当x∈[0，]时，函数g(x)的最大值．
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解：(1)由题意知f(x)＝sin2ωx＋1＋cos 2ωx＝2sin (2ωx＋)＋1，
因为周期T＝＝π，所以ω＝1，
所以f(x)＝2sin (2x＋)＋1，
令＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，
得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
所以函数f(x)的单调递减区间为
[＋kπ，＋kπ]，k∈Z.
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(2)因为g(x)＝2sin [2(x－)＋]＋1
＝2sin (2x－)＋1，
当x∈[0，]时，－≤2x－≤，
所以当2x－＝，
即x＝时，g(x)max＝2×1＋1＝3.
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?B级　能力提升练?
12．已知f(x)＝2tan (ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜)，f(0)＝，周期T∈(，)，点(，0)是f(x)的图象的对称中心，则f()等于(　　)
A．－ B．
C． D．－
D
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2
解析：D　因为f(x)＝2tan (ωx＋φ)，
由f(0)＝可得2tan φ＝，
则tan φ＝，且，所以φ＝.
又点是f(x)的图象的对称中心，
故，k∈Z，解得ω＝3k－1，k∈Z，
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且T∈，即＜＜，
则＜ω＜4，所以当k＝1时，ω＝2，
即f(x)＝2tan .
所以f＝2tan ＝－.故选D.
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13．(多选)(2025·河南五市联考)函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)的部分图象如图所示，则(　　)
A．ω＝2，φ＝
B．不等式f(x)>1的解集为(，kπ＋)(k∈Z)
C．为f(x)的一个零点
D．若A，B，C为△ABC的内角，且f(A)＝f(B)，则A＝B或C＝
BCD
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解析：BCD　由题图知f(0)＝2sin φ＝－1，sin φ＝－，因为，所以φ＝－，则f(x)＝2sin ，又f＝2sin ＝2，所以＝2kπ＋，k∈Z，则ω＝6k＋2，k∈Z，由题图知<，即ω>，又>，所以ω<3，故<ω<3，则ω＝2，f(x)＝2sin .由2sin >1
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得2kπ＋<2x－<2kπ＋π，k∈Z，即kπ＋1的解集为(，kπ＋)，k∈Z.f＝2sin ＝0，故π为f(x)的一个零点．由f(A)＝f(B)得2sin ＝2sin ，则2A－或2A－＝π，则A＝B或A＋B＝，即A＝B或C＝.综上，选B、C、D.
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14．(15分)(2025·广东深圳模拟)已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)，其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜π，函数f(x)图象上相邻的两个对称中心之间的距离为，且在x＝处取到最小值－2.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若将函数f(x)图象上所有点的横坐标先伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)的单调递增区间；
(3)若关于x的方程g(x)＝m＋2在x∈上有两个不同的实根，求实数m的取值范围．
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解：(1)由题知函数f(x)的最小正周期为
2×，解得ω＝4，
所以f(x)＝A sin (4x＋φ)，
又函数f(x)在x＝处取到最小值－2，
所以A＝2，且f＝－2，
即＋φ＝2kπ＋，k∈Z，
令k＝0可得φ＝，
∴f(x)＝2sin .
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2
(2)函数f(x)＝2sin 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得y＝2sin ，
再向左平移个单位长度可得
g(x)＝2sin [＋]＝2cos 2x，
令－π＋2kπ≤2x≤2kπ，k∈Z，
解得－＋kπ≤x≤kπ，k∈Z，
∴g(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
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(3)∵方程g(x)＝m＋2在x∈上有两个不同的实根，
函数g(x)＝2cos 2x，
x∈的图象如图所示，
由图可知－2＜m＋2≤或m＋2＝2，
解得－4＜m≤－2或m＝0.
∴m的取值范围为∪{0}．
第6讲　函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象及应用
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第5讲
三角函数的图象与性质
聚焦·必备知识
突破·核心考点
限时规范训练
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内容索引
1．能作出三角函数的图象.2.了解三角函数的周期性、奇偶性、最大(小)值.3.借助图象理解正弦函数、余弦函数、正切函数的性质．
◆课标要求
聚焦
必备知识
1．用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图
(1)在正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点分别是(0，0)，
，(π，0)，，(2π，0)．
(2)在余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点分别是(0，1)，，____________，，(2π，1)．
(π，－1)
2．三角函数的图象与性质(k∈Z)
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义 域 R R ______________________
值域 __________ __________ R
{x＋ }
[－1，1]
[－1，1]
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
最小正 周期 2π 2π ______
奇偶性　 ______ _______ 奇函数
递增 区间 _______________ ______________ (，
kπ＋)
递减 区间 _______ _______________ 无
π
奇函数
偶函数
[，2kπ＋]
[2kπ－π，2kπ]
[，2kπ＋]
[2kπ，2kπ＋π]
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
对称 中心 ____________
对称轴方程 x＝kπ＋ ________ 无
(kπ，0)
x＝kπ
1．对称性与周期性
(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期．
(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是个周期．
2．奇偶性
若f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A，ω≠0)，则
(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝＋kπ(k∈Z)；
(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)．
1．思考辨析(在括号内打“ √”或“×”)
(1)余弦函数y＝cos x的对称轴是y轴．(　　)
(2)正切函数y＝tan x在定义域内是增函数．(　　)
(3)已知y＝k sin x＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1.(　　)
(4)y＝sin |x|是偶函数．(　　)
×
×
×
√
2．函数y＝2sin (x∈[－π，0])的单调递增区间是(　　)
A．　　　　　 B．
C． D．
解析：D　令－＋2kπ≤x－＋2kπ，＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z.
由于x∈[－π，0]，所以所求的单调递增区间为.
D
3．函数f(x)＝－2tan 的定义域是________．
解析：由2x＋≠kπ＋，k∈Z，
得x≠kπ＋，k∈Z.
答案：{xkπ＋，k∈Z}
4．函数y＝cos ，x∈的值域是________．
解析：由x∈得x＋∈，
所以y＝cos ∈.
答案：
第1课时　三角函数的图象与性质(一)
突破
核心考点
三角函数的定义域
例1　函数y＝lg (sin x)＋的定义域为________________．
解析：要使函数有意义，
则
解得
所以2kπ答案：{x|2kπ反思感悟　三角函数的定义域的求法
(1)求三角函数的定义域一般可归结为解三角不等式(或等式)．
(2)求三角函数的定义域经常借助两个工具：三角函数线和三角函数的图象，有时也利用数轴．
(3)对于较为复杂的求三角函数的定义域问题，应先列出不等式(组)分别求解，然后利用数轴或三角函数线求交集．
注意：解三角不等式时要注意周期，且k∈Z不可以忽略．
跟踪训练1　(2025·山东日照模拟)函数y＝的定义域为________．
解析：要使函数有意义，必须使sin x－cos x≥0，即sin x≥cosx．在同一平面直角坐标系中作出y＝sin x和y＝cos x在[0，2π]上的图象，如图所示．
在[0，2π]内，满足sin x＝cos x的x的值为，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为
{x≤x≤2kπ＋，k∈Z}．
答案：{x≤x≤2kπ＋，k∈Z}
例2　(1)(2024·山东临沂模拟)设f(x)＝cos 2x＋cos2＋sinx，则f(x)的最小值为(　　)
A．1　
B．　　
C．－1　
D．
C
三角函数的值域(最值)
解析：C　由题知，f(x)＝cos 2x＋sin2x＋sinx＝1－2sin2x＋sin2x＋sinx＝－sin2x＋sinx＋1，
令t＝sin x∈[－1，1]，则原函数可化为
g(t)＝－t2＋t＋1＝－2＋，t∈[－1，1]，
则函数g(t)在上单调递增，在上单调递减，又g(－1)＝－1，g(1)＝1，所以函数g(t)的最小值为－1，即f(x)的最小值为－1.故选C.
(2)(2025·湖北襄阳模拟)已知函数f(x)＝cos ωx－sin (ω>0)，若f(x)在[0，π]上的值域为，则ω的取值范围为________．
解析：由题知f(x)＝cos ωx－sin ωx cos －cos ωx sin cos ωx－sin ωx＝cos ，
所以f(x)＝cos ，因为0≤x≤π，
所以≤ωπ＋，
因为f(x)在[0，π]上的值域为，
所以π≤ωπ＋，所以，所以ω的取值范围为.
答案：
反思感悟　求解三角函数的值域(最值)常见的几种类型
(1)形如y＝a sin x＋b cos x＋c的三角函数可化为y＝A sin (ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)．
(2)形如y＝a sin2x＋b sin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，再求关于t的二次函数的值域(最值)．
(3)形如y＝a sin x cos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，再求关于t的二次函数的值域(最值)．
跟踪训练2　(1)函数g(x)＝sin 2x－sin (x∈R)的值域为________．
解析：g(x)＝sin x cos x－＋cos x sin )＝sin x cos x－(sin x＋cos x)．
令t＝sin x＋cos x＝sin ，则]，则g(t)＝(t－1)2－1，t∈，则g(t)∈.
答案：
(2)(2025·广东佛山模拟)已知函数f(x)＝2－2在区间上存在最大值，则实数a的取值范围为________．
解析：f(x)＝2－2＝4×－2＝－2cos ，因为f(x)在区间上存在最大值，所以y＝cos 在区间上存在最小值，由x∈，得2x＋∈，所以2a＋>π，即a>.
答案：
考向1　利用三角函数的单调性比较大小
例3　已知a＝sin ，b＝sin ，c＝cos ，则(　　)
A．a>b>c
B．c>b>a
C．c>a>b
D．b>c>a
D
三角函数的单调性
解析：D　由诱导公式得a＝sin ＝b＝sin ＝sin ，c＝sin ＝sin .
因为y＝sin x在上单调递增，所以sin >sin ，即b>c>a.故选D.
反思感悟　比较三角函数值大小的方法
解决此类问题，一般是先把不同名的三角函数式转化为同名的三角函数式，再利用诱导公式把角化为同一单调区间内的角，最后利用函数的单调性比较大小；有时也需要引入“中间值”，把所研究的数或式子先分类，再依次判断大小．
考向2　求三角函数的单调区间
例4　(1)(多选)已知f(x)＝sin 2x－cos 2x，则f(x)在下列区间上单调递增的是(　　)
A．
B．
C．
D．
BC
解析：BC　f(x)＝sin 2x－＝sin .
令－＋2kπ≤2x－＋2kπ，k∈Z，
整理得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
所以f(x)的单调递增区间为[＋kπ，]，k∈Z.
令k＝0，k＝－1，则单调递增区间为，可知A，D错误，B正确，令k＝1，则单调递增区间为，
而 ，故C正确．故选B、C.
(2)函数y＝tan 的单调递减区间为________．
解析：y＝tan ＝－tan .
由－＋kπ<3x－<＋kπ(k∈Z)，
得－故函数y＝tan 的单调递减区间为(k∈Z)．
答案：(k∈Z)
反思感悟　求三角函数单调区间的两种方法
(1)代换法：将比较复杂的三角函数解析式中含自变量的代数式(如ωx＋φ)整体当作一个角，再利用基本三角函数(y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x)的单调性列不等式求解．
(2)图象法：画出三角函数的图象，利用图象求函数的单调区间．
注意：求函数y＝A sin (ωx＋φ)的单调区间时要注意ω的符号，若ω<0，那么一定要先借助诱导公式将ω化为正数．同时切莫忘记考虑函数自身的定义域．
考向3　根据三角函数单调性求参数
例5　(1)(2023·全国乙卷)已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)在区间单调递增，直线x＝和x＝为函数y＝f(x)的图象的两条对称轴，则f
(　　)
A．－ B．－
C． D．
D
解析：D　因为f(x)＝sin (ωx＋φ)在区间单调递增，直线x＝和x＝为函数y＝f(x)的图象的两条对称轴，
所以，且ω＞0，
则T＝π，ω＝＝2，
当x＝时，f(x)取得最小值，
则2×＋φ＝2kπ－，k∈Z，
则φ＝2kπ－，k∈Z，
不妨取k＝0，则f(x)＝sin ，
则f＝sin ＝.故选D.
(2)(2025·山东淄博模拟)已知函数f(x)＝sin ωx－cos ωx(ω>0)的零点是以为公差的等差数列．若f(x)在区间[0，m]上单调递增，则实数m的最大值为________．
解析：由题知f(x)＝2(sin ωx－＝2sin ，因为f(x)的零点是以为公差的等差数列，所以f(x)的最小正周期为π，即＝π，解得ω＝2.
当x∈[0，m]时，2x－∈，因为f(x)在区间[0，m]上单调递增，
所以2m－，解得m≤.
所以实数m的最大值为.
答案：
反思感悟　已知函数单调性求参数的方法
(1)明确一个不同
“函数f(x)在区间M上单调”与“函数f(x)的单调区间为N”两者的含义不同，显然M是N的子集．
(2)掌握两种方法
一是求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解；二是由所给区间求出整体角的取值范围 ，由该取值范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解．
跟踪训练3　(1) 函数f(x)＝2cos2sinx－2的单调递减区间是(　　)
A．　　　　 B．
C． D．
C
解析：C　由题知f(x)＝cos x－sin x－1＝2(cos x－－1＝2cos －1，对于A，当x∈时，x＋∈，f(x)单调递增，A错误；对于B，当x∈x＋∈，f(x)在该区间上不单调，B错误；对于C，当x∈时，x＋∈，f(x)单调递减，C正确；对于D，当x∈时，x＋∈，f(x)在该区间上不单调，D错误．故选C.
(2)已知函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx，g(x)＝cos ωx－sin ωx，ω>0.若f(x)在区间上单调递增，g(x)在区间上单调递减，则ω的取值范围是________．
解析：由题意得f(x)＝sin ，g(x)＝cos .由x∈，得ωx＋∈.
因为f(x)在区间上单调递增，g(x)在区间上单调递减，
所以
解得ω≤，所以0<ω≤.
答案：
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?A级　基础落实练?
1．函数f(x)＝lg的定义域为(　　)
A．(0，3)　　　　　 B．
C．∪ D．{x|x<0或x>3}
限时规范
训练(二十八)　三角函数的图象与性质(一)
C
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解析：C　由
得
所以0所以函数f(x)＝lg的定义域为∪.故选C.
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2．若函数f(x)＝sin x＋2cos x取最小值时x＝θ，则sin θ＝(　　)
A．－ B．－
C． D．
解析：B　f(x)＝sin x＋2cos x＝sin (x＋φ)，其中sin φ＝，cos φ＝，
因为当x＝θ时，f(x)取得最小值，
所以θ＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，
故sin θ＝sin ＝－sin ＝＝－cos φ＝－.故选B.
B
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3．函数f(x)＝sin x－cos x，x∈[0，π]的单调递增区间是(　　)
A． B．
C． D．
A
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解析：A　因为f(x)＝sin x－cos x＝.
由－＋2kπ≤x－＋2kπ，k∈Z可得，－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z.
当k＝0时，－，
且∩[0，π]＝；
当k＝1时，，且∩[0，π]＝ .
所以函数f(x)在[0，π]上的单调递增区间是.故选A.
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4．已知函数f(x)＝sin ，对于 x∈R，f(x)≤f(π)，且f(x)在区间上单调递增，则ω的最大值是(　　)
A．－ B．
C． D．
C
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解析：C　由题知f(x)在x＝π时取得最大值，即sin ＝1，可得ωπ＋＋2kπ，k∈Z，所以ω＝＋2k，k∈Z，
又因为f(x)在区间上单调递增，
所以ω>0，且，解得0<ω≤3，当k＝1时，ω＝，所以ω的最大值为.故选C.
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5.(多选)若函数f(x)＝cos (ωx＋φ)，则f(x)在区间上 (　　)
A．单调递增
B．单调递减
C．有最小值，无最大值
D．有最大值，无最小值
BC
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解析：BC　因为x∈，ω>0，
则φ<ωx＋φ<ω＋φ，当ω＋φ≤π时，
因为y＝cos x在[0，π]上单调递减，所以f(x)在区间上单调递减，无最值；
当ω＋φ>π时，令φ<ωx＋φ≤π，解得0因为y＝cos x在[0，π]上单调递减，
所以f(x)在区间上单调递减，有最小值，无最大值．故选B、C.
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6．(2024·全国甲卷)函数f(x)＝sin x－cos x在区间[0，π]上的最大值是________．
解析：由题意知f(x)＝sin x－cos x＝2sin ，当x∈[0，π]时，x－∈，∴sin ∈，于是f(x)∈，故f(x)在[0，π]上的最大值为2.
答案：2
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7．若－<α<－，则sin α，cos α，tan α的大小关系为________ (用“>”连接)．
解析：因为－<α<－，
则<π＋α<，根据正弦函数y＝sin x，余弦函数y＝cos x和正切函数y＝tan x的单调性知，cos α>sin α.
答案：tan α>cos α>sin α
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8．已知函数y＝cos2ωx(ω>0)在上的最小值为，则ω的值为________．
解析：y＝cos2ωx＝(1＋cos2ωx)，
又x∈，
所以2ωx∈.
因为y＝(1＋cos 2ωx)在上取得最小值，
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所以y＝cos 2ωx取得最小值－，
因为2ωx∈，ω>0，
所以或
解得ω＝.
答案：
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9．(13分)(2025·河南洛阳模拟)已知函数f(x)＝sin2x＋sinx cos x－1.
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)当x∈时，求f(x)的最大值，并求当f(x)取得最大值时x的值．
解：(1)因为f(x)＝sin2x＋sin x cos x－1＝sin 2x－1＝sin 2x－－sin －，
令－＋2kπ≤2x－＋2kπ，k∈Z，
解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
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所以f(x)的单调递增区间为
[＋kπ，](k∈Z)．
(2)因为x∈，
所以2x－∈，
所以－≤sin ≤1，
所以－1≤f(x)≤，
当2x－，即x＝时，f(x)max＝，
所以f(x)的最大值为，此时x＝.
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?B级　能力提升练?
10．若函数f(x)＝sin 与g(x)＝cos 都在区间(a，b)(0A．　　 B．　　
C．　　 D．
B
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解析：B　因为当011
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11．(多选)已知a＝2sin ，b＝cos ，则下列说法中正确的是( 　　)
A．a>1 B．2b2－1>
C．a>b D．a＋b<
解析：BCD　对于A，因为<，所以sin 对于B，2b2－1＝2cos2－1＝cos1，因为1<，所以cos 1>cos ，即2b2－1>，B正确；
BCD
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对于C，＝2tan ，
根据三角函数线可知tan >，
则2tan >1即>1，
又2sin >0，cos >0，
所以a>b，C正确；
对于D，a＋b＝2sin ＋cos sin ，因为tan θ＝<＝tan ，所以0<θ<，又0<<，所以0<＋θ<，所以sin <，即sin <，所以a＋b<，D正确．故选B、C、D.
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12．已知函数y＝f(x)的解析式是f(x)＝cos 2x＋a sin x，若对于任意x∈R都满足f(x)≤f，则实数a的取值范围是________．
解析：依题意，f(x)＝－2sin2x＋asinx＋1，x∈R，sin x∈[－1，1]，对于任意x∈R都满足f(x)≤f，则f(x)max＝f，即当x＝，sin x＝1时，函数f(x)取得最大值，因此≥1，解得a≥4，所以实数a的取值范围是[4，＋∞)．
答案：[4，＋∞)
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13．(15分)已知函数f(x)＝sin 2x＋2cos2x.
(1)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值；
(2)若函数f(x)在区间上单调递减，求实数m的取值范围．
解：(1)f(x)＝sin2x＋2cos2x＝sin2x＋(1＋cos 2x)＝sin 2x＋cos 2x＋＝2sin ＋，因为0≤x≤，所以，所以≤sin ≤1，则1＋≤2sin ＋，所以函数f(x)在区间上的最大值为2＋，最小值为1＋.
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(2)若x∈，则2m＋≤π，
由题意可知，<π，
解得≤m<，
所以实数m的取值范围是.
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14．(15分)已知函数f(x)＝2sin2＋2sin2x－－1.
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)方程f(x)＝在上的两解分别为x1，x2，求cos(x1－x2)的值．
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解：(1)f(x)＝2sin2＋2sin2x－－cos2x
＝－cos －cos 2x
＝sin 2x－cos 2x＝2sin ，
由－＋2kπ≤2x－＋2kπ，k∈Z，
得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
所以f(x)的单调递增区间为[＋kπ，](k∈Z)．
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(2)设x1由于正弦函数y＝sin x在区间上单调递增，在区间上单调递减，由f(x)＝2sin ＝，得sin ＝，
因为方程f(x)＝在上的两解分别为x1，x2，
则sin ＝sin ＝，
得－<，
<2x2－，
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所以cos ＝，同理cos＝－，
所以cos (2x1－2x2)＝cos [－]＝cos cos ＋sin sin
＝＋2＝，
由于0≤x1≤，且x1所以－≤x1－x2<0，则cos (x1－x2)≥0，由cos (2x1－2x2)＝2cos2(x1－x2)－1，
可得cos(x1－x2)＝.
第5讲　第1课时　三角函数的图象与性质(一)
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第3讲
和、差、倍角的正弦、余弦和正切公式
聚焦·必备知识
突破·核心考点
限时规范训练
1
2
3
内容索引
1．学会推导两角差的余弦公式.2. 学会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式.3.掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并会简单应用．
◆课标要求
聚焦
必备知识
1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式
sin (α±β)＝__________________________．
cos (α β)＝_____________________________．
tan (α±β)＝.
sin αcos β±cos αsin β
cos αcos β±sin αsin β
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin 2α＝_________________．
cos 2α＝___________________＝_____________
＝________________．
tan2α＝且α≠.
3．辅助角公式
a sin x＋b cos x＝sin (x＋φ)，其中sin φ＝，cos φ＝，tan φ＝.
2sin αcos α
cos2α－sin2α
2cos2α－1
1－2sin2α
辅助角公式实质是和(差)角公式的逆用，可化为a sin x＋b cos x＝·cos (x－φ)，其中tan φ＝.
1．降幂公式：cos2α＝，sin2α＝.
2．升幂公式：1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos 2α＝2sin2α.
3．常用变形：1＋sin2α＝(sin α＋cos α)2，
1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，
sin α±cos α＝sin ，
tan α±tan β＝tan (α±β)(1 tan αtan β)．
1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)a sin x＋b cos x＝sin (x＋φ)中φ的取值与a，b的值无关．(　　)
(2)存在实数α，β，使等式sin (α＋β)＝sin α＋sin β成立．(　　)
(3)公式tan (α＋β)＝可以变形为tan α＋tan β＝tan (α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．(　　)
(4)在锐角△ABC中，sin A sin B和cos AcosB大小无法确定．(　　)
×
√
×
×
2．已知α∈，sin α＝，则tan ＝________．
解析：因为α∈，sin α＝，
所以cos α＝－，tan α＝－，
故tan ＝.
答案：
3．sin 15°sin 45°－cos 15°cos 45°＝________．
解析：原式＝－(cos 15°cos 45°－sin 15°sin 45°)＝－cos 60°＝－.
答案：－
4．已知sin α＝，则＝________．
解析：＝－sin α＝－.
答案：－
例1　(1)(2024·新课标Ⅰ卷)已知cos (α＋β)＝m，tan αtan β＝2，则cos (α－β)等于(　　)
A．－3m　
B．－
C．
D．3m
A
突破
核心考点
公式的基本应用
解析：A　由cos (α＋β)＝m得cos αcos β－sin αsin β＝m.　①
由tan αtan β＝2得＝2，　②
由①②得所以cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－3m，故选A.
(2)(2024·全国甲卷)已知，则tan 等于(　　)
A．2＋1
B．2－1
C．
D．1－
B
解析：B　根据题意有，即1－tan α＝，所以tan α＝1－，所以tan ＝－1，故选B.
反思感悟　利用三角函数公式时应注意的问题
(1)首先要注意公式的结构特点和符号变化规律．
例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号相反”．
(2)应注意与同角三角函数的基本关系、诱导公式的综合应用．
(3)应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．
跟踪训练1　(1)(2025·山东聊城联考)已知sin ＝，则cos 的值为(　　)
A．　　 B．－　　
C．　　 D．－
解析：B　cos ＝cos ＝＝2sin2－1＝－.故选B.
B
(2)(2025·河北石家庄大联考)若tan＝－3，tan β＝3，则等于(　　)
A．－1 B．
C． D．
B
解析：B　由tan ＝－3，得＝－3，解得tan α＝2，又tan β＝3，易知cos α，cos β均不为0，所以＝＝.故选B.
例2　(1)(多选)(2025·安徽合肥质量检测)下列代数式的值为的是(　　)
A．cos275°－sin275°
B．
C．cos36°cos 72°
D．2cos 20°cos 40°cos 80°
公式的逆用及变形
BCD
解析：BCD　对于A，cos275°－sin275°＝cos150°＝cos (180°－30°)＝－cos 30°＝对于B，＝
sin30°＝；
对于C，cos 36°cos 72°＝
＝；
对于D，2cos 20°cos 40°cos 80°
＝
＝＝
.故选B、C、D.
(2)tan 10°＋tan 20°＋tan 10°tan 20°＝________．
解析：tan 10°＋tan 20°＋tan 10°tan 20°＝(tan 10°＋tan 20°)＋tan 10°tan 20°
＝tan (10°＋20°)·(1－tan 10°tan 20°)＋tan 10°tan 20°
＝(1－tan 10°tan 20°)＋tan 10°tan 20°＝1.
答案：1
反思感悟　(1)运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟悉公式的正用，还要熟悉公式的逆用及变形应用，例如tan α＋tan β＝tan (α＋β)·(1－tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等．
(2)三角函数公式逆用和变形时需注意：①公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系．②注意特殊角的应用，当式子中出现等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值”变“角”．
跟踪训练2　(1)(多选)下列计算中正确的是( 　　)
A．sin 15°－cos 15°＝－
B．sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝
C．sin cos
D．sin 105°＝
ABD
解析：ABD　对于A，sin 15°－cos 15°＝sin 15°cos 60°－sin 60°cos 15°＝sin (15°－60°)＝sin (－45°)＝－，故A正确；对于B，sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin (20°＋10°)＝sin 30°＝，故B正确；对于C，sin cos ＝2(cos －sin cos )＝2sin ＝2sin ＝－，故C错误；对于D，sin 105°＝sin (60°＋45°)＝sin 60°cos 45°＋cos 60°sin 45°＝，故D正确．故选A、B、D.
(2)＝________．
解析：原式＝
＝
＝
＝＝4.
答案：4
例3　(1)已知sin θ＋sin ＝1，则sin (　　)
A．　
B．　
C．　
D．
B
角的变换
解析：B　因为sin θ＋sin
＝sin ＋sin
＝sin cos －cos sin ＋sin cos ＋cos sin
＝2sin cos sin ＝1.
所以sin ＝.
(2)已知＜α＜，0＜β＜，cos ＝－，sin ＝，则sin (α＋β)＝________．
解析：因为＜α＜，
所以＜＋α＜π，
所以sin ＝.
又0＜β＜，所以＜＋β＜π，
所以cos＝－，
所以sin(α＋β)＝－sin (π＋α＋β)
＝－sin [＋]
＝－[cos＋cos]
＝－[＋]＝.
答案：
反思感悟　(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．
(2)当“已知角”有一个时，“所求角”一般表示为“已知角”与特殊角的和或差的形式，或者应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．
(3)常见的角的变换：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝－，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，＋＝等．
跟踪训练3　(1)已知cos ＝－，α∈，则sin ＝________．
解析：因为cos ＝－，α∈，
所以α＋∈，sin ＝，
所以sin ＝sin [－]
＝sin cos －cos sin
＝－.
答案：
(2)已知0＜α＜＜β＜π，tan α＝，cos (β－α)＝，则sin α＝________，cos β＝________．
解析：因为0＜α＜，且tan α＝，
所以sin α＝，cos α＝，
由0＜α＜＜β＜π，则0＜β－α＜π，
又cos (β－α)＝，则sin (β－α)＝，
所以cos β＝cos [(β－α)＋α]
＝cos (β－α)cos α－sin (β－α)sin α
＝.
答案：　－
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1
2
?A级　基础落实练?
1．(2025·北京海淀区模拟)tan 105°等于(　　)
A．2－　　　　　 B．－2－
C．－2 D．－
解析：B　tan 105°＝tan (60°＋45°)
＝
＝.
限时规范
训练(二十六)　和、差、倍角的正弦、余弦和正切公式
B
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1
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2．cos 50°cos 160°－cos 40°sin 160°(　　)
A．　　 B．　　
C．－　　 D．－
解析：D　原式＝cos 50°cos 160°－sin 50°sin 160°＝cos (50°＋160°)＝cos 210°＝－cos 30°＝－.故选D.
D
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1
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3．若tan α＝－3，则tan (　　)
A．－ B．－
C． D．
解析：C　因为tan α＝－3，所以tan ＝.
C
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3
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4．已知3cos 2α－8cos α＝5，则cos α(　　)
A．－ B．
C．－ D．
解析：A　由题可得6cos2α－8cosα－8＝0，解得cos α＝2(舍去)或cos α＝－.
A
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5．已知α为锐角，且sin ＝sin ，则tan α＝(　　)
A． B．2＋
C． D．
解析：B　因为sin ＝sin ，所以sin α＋cos α＝sin α－cos α，
所以cos α＝sin a，所以tan α＝.
B
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6．(2025·重庆质量检测)已知角α，β满足tan α＝，sin β＝2cos (α＋β)sin α，则tan β(　　)
A． B．
C．1 D．2
解析：B　由sin β＝2cos (α＋β)sin α得sin β＝sin [(α＋β)＋α]－sin [(α＋β)－α]，进而sin β＝sin (2α＋β)－sin β，则2sin β＝sin (2α＋β)＝sin 2αcos β＋cos 2αsin β，
所以sin β(2－cos 2α)＝sin 2αcos β，
则tan β＝
＝.故选B.
B
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7．(1＋tan25°)(1＋tan 20°)的值是(　　)
A．－2 B．2
C．1 D．－1
解析：B　由题意得(1＋tan 25°)(1＋tan 20°)＝1＋tan 20°＋tan 25°＋tan 20°tan 25°，
又tan 20°＋tan 25°＝tan (20°＋25°)(1－tan 20°tan 25°)＝1－tan 20°tan 25°，
所以(1＋tan 25°)(1＋tan 20°)＝1＋(1－tan 20°tan 25°)＋tan 20°tan 25°＝2.
B
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2
8．4sin 40°－tan 40°的值为(　　)
A． B．
C． D．2－1
A
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2
解析：A　4sin 40°－tan 40°
＝4sin 40°－
＝
＝
＝
＝
＝.故选A.
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2
9．(多选)下列运算结果正确的是(　　)
A．sin 72°sin 78°－cos 72°sin 12°＝
B．＝1
C．cos4－sin4
D．cos275°＋cos215°＋cos15°sin 15°＝
ACD
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2
解析：ACD　sin 72°sin 78°－cos 72°sin 12°＝sin 72°cos 12°－cos 72°sin 12°＝sin (72°－12°)＝，故A正确；tan45°＝，故B错误；cos4－sin4＝(＋sin2)(－sin2)＝cos2－sin2＝cos，故C正确；cos275°＋cos215°＋cos15°sin 15°＝sin215°＋cos215°＋sin30°＝1＋，故D正确．故选A、C、D.
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10．(多选)(2025·湖南益阳联考)已知cos (α＋β)＝－，cos 2α＝－，其中α，β为锐角，下列算式中正确的是(　　)
A．sin 2α＝
B．cos (α－β)＝
C．cos αcos β＝
D．tan αtan β＝
AC
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解析：AC　由题意，易得α＋β∈，2α∈，所以sin 2α＝，故A正确；sin(α＋β)＝，所以cos (α－β)＝cos [2α－(α＋β)]＝cos 2αcos (α＋β)＋sin 2αsin (α＋β)＝＋，故B错误；cos αcos β＝[cos (α＋β)＋cos (α－β)]＝＝，故C正确；
sin αsin β＝[cos (α－β)－cos (α＋β)]＝×[－]＝，所以tan αtan β＝，故D错误．故选A、C.
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11．(多选)已知α，β，γ∈，sin β＋sin γ＝sin α，cos α＋cos γ＝cos β，则下列算式中正确的是(　　)
A．cos (β－α)＝ B．cos (β－α)＝
C．β－α＝ D．β－α＝－
BD
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解析：BD　由已知可得
所以1＝sin2γ＋cos2γ＝(sinα－sin β)2＋(cos β－cos α)2＝2－2(cos βcos α＋sin βsin α)
＝2－2cos (β－α)，
所以cos (β－α)＝，
因为α，β，γ∈，则－＜β－α＜，
因为sin γ＝sin α－sin β＞0，函数y＝sin x在上单调递增，则α＞β，则－＜β－α＜0，故β－α＝－.
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12．(2025·重庆模拟)cos 15°sin 10°cos 20°＋cos 10°cos 70°－2cos 45°sin 15°sin 10°sin 70°的值为________．
解析：原式＝cos 20°sin 10°(cos 15°－sin 15°)＋cos 10°cos 70°
＝cos 20°sin 10°×cos (45°＋15°)＋cos 10°cos 70°＝cos 20°sin 10°＋cos 10°sin 20°＝sin 30°＝.
答案：
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2
13．已知sin (α＋β)＝，sin (α－β)＝，则＝________．
解析：因为sin (α＋β)＝，sin (α－β)＝，
所以sin αcos β＋cos αsin β＝，
sin αcos β－cos αsin β＝，
所以sin αcos β＝，cos αsin β＝，
所以＝5，
所以2＝＝4.
答案：4
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14．已知α为锐角，且cos ＝，则cos α的值为________．
解析：∵0<α<，
∴<α＋<，又cos ＝，
∴sin ＝，
∴cos α＝cos [－]＝cos ·cos ＋sin sin .
答案：
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2
?B级　能力提升练?
15． (2025·河北沧州联考)1796年高斯证明了正十七边形的尺规作图法，要用尺规作出正十七边形就要将圆十七等分，如下图．设将圆十七等分后每等份圆弧所对的圆心角为α，则cos (π－α)·cos 2α·cos 4αcos 8α＝________ ．
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2
解析：cos (π－α)cos 2αcos 4αcos 8α
＝－
＝－，
因为α＝，
所以cos (π－α)cos 2αcos 4αcos 8α
15
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＝－
＝.
答案：
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2
16．求值：sin 220°＝________．
解析：原式＝－sin 40°
＝－sin 40°·
＝－sin 40°·
＝
＝
＝＝1.
答案：1
第3讲　和、差、倍角的正弦、余弦和正切公式
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第8讲　
解三角形的综合问题
突破·核心考点
限时规范训练
1
2
内容索引
1．能够运用正弦定理、余弦定理解决与几何有关的计算问题.2.能够利用正弦定理、余弦定理求解三角形中的最值或取值范围问题．
◆课标要求
突破
核心考点
平面多边形中的解三角形问题
例1　(2025·山东烟台模拟)如图，四边形ABCD中，AB2＋BC2＋AB·BC＝AC2.

(1)若AB＝3BC＝3，求△ABC的面积；
(2)若CD＝BC，∠CAD＝30°，∠BCD＝120°，求∠ACB的值．
解：(1)在△ABC中，由余弦定理，得
cos B＝
＝.
因为0°＜B＜180°，所以B＝120°.
S△ABC＝AB·BC sin 120°
＝.
(2)由(1)知B＝120°，
设∠ACB＝θ，则∠ACD＝120°－θ，∠ADC＝30°＋θ，∠BAC＝60°－θ.
在△ACD中，由，
得AC＝·CD.
在△ABC中，由，
得AC＝·BC.
联立上式，并由CD＝BC得
sin (30°＋θ)sin (60°－θ)＝，
所以sin (60°＋2θ)＝，由题可知0°＜θ＜60°，
所以60°＜60°＋2θ＜180°，
所以60°＋2θ＝150°，解得θ＝45°，
即∠ACB的值为45°.
反思感悟　平面几何中解三角形问题的解题思路
(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理来求解．
(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果．
跟踪训练1　如图，在平面四边形ABCD中，∠ADC＝30°，∠ABC＝135°，∠BAC＝∠DAC，CD＝2AB＝4，则AC＝________．
解析：在△DCA中，由正弦定理，得，所以AC sin ∠DAC＝2.　①
在△BCA中，由正弦定理，得，所以AC sin ∠CAB＝BC·.　②
又∠BAC＝∠DAC，所以由①②可得
BC·＝2，解得BC＝2，
所以在△BCA中，由余弦定理AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos ∠ABC，得AC2＝22＋2－2×2×2＝20，解得AC＝2.
答案：2
解三角形中的最值或取值范围问题
例2　(2025·广东广州华南师大附中检测)已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且△ABC的面积S＝ac cos B．
(1)求角B的大小；
(2)若a＝2，且，求c的取值范围．
解：(1)S＝ac cos B＝ac sin B，
∴tan B＝，∵B∈(0，π)，∴B＝.
(2)∵a＝2，B＝，
∴c＝＋1.
∵，∴2≤c≤＋1.
即c的取值范围是.
反思感悟　解三角形中的最值或取值范围问题的两种策略
(1)将问题表示为边的形式，利用基本不等式求得最大值或最小值．
(2)将问题用三角形中某一个角的三角函数来表示，利用三角函数的有界性、单调性再结合角的取值范围确定最值或范围．
跟踪训练2　已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，cos A＝，若△ABC的面积为2，则当△ABC的周长最小时，求的值．
解：由题意得sin A＝，由S△ABC＝bc sin A＝2，得bc＝5.
由余弦定理得cos A＝，化简得(b＋c)2＝16＋a2，所以b＋c＝，
则△ABC的周长为a＋b＋c＝a＋.
令f(x)＝x＋，x>0, 易知f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以当a最小时，△ABC的周长最小，而(b＋c)2＝16＋a2≥4bc＝20，当且仅当b＝c＝时等号成立，故a≥2，故当△ABC的周长最小时，.
解三角形中的证明问题
例3　(2022·全国乙卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin C sin (A－B)＝sin B sin (C－A)．
(1)若A＝2B，求C的值；
(2)证明：2a2＝b2＋c2.
解：(1)由A＝2B，A＋B＋C＝π，
可得A＝.
将A＝2B代入sin C sin (A－B)＝sin B sin (C－A)，
可得sin C sin B＝sin B sin (C－A)，
因为B∈(0，π)，sin B≠0，
所以sin C＝sin (C－A)，
又A，C∈(0，π)，所以C＋C－A＝π，
即A＝2C－π，与A＝联立，解得C＝.
(2)证明：法一：由sin C sin (A－B)
＝sin B sin (C－A)，
可得sin C sin A cos B－sin C cos A sin B
＝sin B sin C cos A－sin B cos C sin A，
由正弦定理可得，
ac cos B－bc cos A＝bc cos A－ab cos C，
即ac cos B＋ab cos C＝2bc cos A．(*)
由余弦定理得，
ac cos B＝，ab cos C＝，
2bc cos A＝b2＋c2－a2，
代入(*)式并整理得，2a2＝b2＋c2.
法二：因为A＋B＋C＝π，
所以sin C sin (A－B)＝sin (A＋B)sin (A－B)
＝sin2A cos2B－cos2A sin2B
＝sin2A(1－sin2B)－(1－sin2A)sin2B
＝sin2A－sin2B，
同理有sinB sin (C－A)＝sin (C＋A)sin (C－A)
＝sin2C－sin2A，
又sinC sin (A－B)＝sin B sin (C－A)，
所以sin2A－sin2B＝sin2C－sin2A，
即2sin2A＝sin2B＋sin2C，
故由正弦定理可得2a2＝b2＋c2.
反思感悟　对于解三角形中的证明问题，要仔细观察条件与结论之间的联系，发现二者的差异，利用正弦定理、余弦定理及三角恒等变换把条件转换为结论，即为证明过程．
跟踪训练3　(2025·安徽芜湖联合检测)在△ABC中，A，B，C所对的边分别是a，b，c.
(1)请用正弦定理证明：若a>b，则A>B；
(2)请用余弦定理证明：若A>B，则a>b.
证明：(1)由，a>b得sin A>sin B．
①若A，B∈，则由y＝sin x在上单调递增，得A>B.
②若A∈，B∈，则sin A>sin B＝sin (π－B)，
此时π－B∈，由y＝sin x在上单调递增，
得A>π－B A＋B>π，舍去．
③若B∈，A∈，则
sin A＝sin (π－A)>sin B，此时π－A∈，由y＝sin x在上单调递增，得
π－A>B，A＋B<π，则A>B成立．
综上，若a>b，则A>B.
(2)由y＝cos x在(0，π)上单调递减，得
cos A则<，则
a(b2＋c2－a2)即ab(b－a)＋c2(a－b)＋(b－a)(a2＋b2＋ab)<0，
即(b－a)[(a＋b)2－c2]＝(b－a)(a＋b＋c)(a＋b－c)<0.
而a＋b＋c>0，a＋b－c>0，因此a>b.
3
4
1
2
1．(13分)如图，D是直角三角形ABC斜边BC上一点，AC＝DC.
(1)若∠DAC＝30°，求∠ADC的大小；
(2)若BD＝2DC，且DC＝1，求AD的长．
限时规范
训练(三十三)　解三角形的综合问题
3
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1
2
解：(1)在△ADC中，由正弦定理得
，
所以sin ∠ADC＝
＝，
又∠ADC＝B＋∠BAD＝B＋(90°－∠DAC)＝B＋60°＞60°，
所以∠ADC＝120°.
3
4
1
2
(2)由BD＝2DC，且DC＝1知
BC＝3，AC＝，
所以在直角三角形ABC中，cos C＝，
在△ADC中，由余弦定理得
AD2＝AC2＋DC2－2AC·DC cos C＝2＋1－2＝2，所以AD＝.
2
1
3
4
2．(13分)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos2＋cosA＝.
(1)求A的值；
(2)若b－c＝a，证明：△ABC是直角三角形．
解：(1)由已知得sin2A＋cosA＝，
即cos2A－cosA＋＝0.
所以2＝0，cos A＝.
由于0＜A＜π，故A＝.
2
1
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4
(2)证明：由正弦定理及已知条件可得
sin B－sin C＝sin A.
由(1)知B＋C＝，
所以sin B－sin ＝sin ，
即sin B－cos B＝，
sin ＝.
由于0＜B＜，故B＝.
从而△ABC是直角三角形．
2
3
1
4
3．(13分)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a sin ＝b sin A.
(1)求B的大小；
(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围．
解：(1)由题设及正弦定理得sin A sin ＝sin B sin A.
因为sin A≠0，所以sin ＝sin B．
由A＋B＋C＝180°，可得sin ＝cos ，
故cos ＝2sin cos .
因为cos ≠0，所以sin ，所以B＝60°.
2
3
1
4
(2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC＝a.
由(1)知A＋C＝120°，
由正弦定理得a＝.
由于△ABC为锐角三角形，故0°结合A＋C＝120°，得30°所以因此，△ABC面积的取值范围是.
2
3
4
1
4．(13分)(2025·山东济南模拟)如图，在平面四边形ABCD中，BC⊥CD，AB＝BC＝，∠ABC＝θ，120°≤θ<180°.
(1)若θ＝120°，AD＝3，求∠ADC的大小；
(2)若CD＝，求四边形ABCD面积的最大值．
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1
解：(1)因为∠ABC＝120°，AB＝BC＝，
所以∠ACB＝∠BAC＝30°，AC＝2AB cos 30°＝，
又BC⊥CD，所以∠ACD＝90°－∠ACB＝60°，
在△ACD中，由正弦定理得
，
所以sin ∠ADC＝，
又AC2
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4
1
(2)在△ABC中，AB＝BC＝，∠ABC＝θ，
S△ABC＝AB·BC·sin∠ABC＝×sin θ＝sin θ，
＝sin AC＝2sin ，
(或由余弦定理得：AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos
∠ABC＝4－4cos θ AC＝2sin )
2
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1
在△ACD中，∠ACD＝90°－∠ACB＝90°－，又CD＝，
所以S△ACD＝AC·CD·sin∠ACD＝·sin cos θ，
所以四边形ABCD的面积S＝S△ABC＋S△ACD＝sin θ＋cos θ＝＋2sin (θ－60°)，
因为120°≤θ<180°，所以60°≤θ－60°<120°，
所以当θ－60°＝90°，即θ＝150°时，Smax＝
故四边形ABCD面积的最大值为＋2.
第8讲　解三角形的综合问题
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培优增分
三角函数中有关ω的取值范围问题
限时规范训练
内容索引
三角函数中的参数问题主要是指函数y＝A sin (ωx＋φ)中ω与φ的求解，或所涉及的区间端点参数取值的求解，一般是利用所给函数的单调性、奇偶性、对称性确定ω的值或取值范围．
◆命题解读
题型一　三角函数的单调性与ω的关系
例1　(2025·江苏南通模拟)已知函数y＝ sin ωx＋cos ωx(ω>0)在区间上单调递增，则ω的最大值为(　　)
A． B．
C． D．
B
解析：B　y＝sin ωx＋cos ωx＝2sin ，因为ω>0，x∈，
所以ωx＋∈.
因为y＝sin ωx＋cos ωx在区间上单调递增，
所以k∈Z，
解得k∈Z，
由ω>0得解得
即－则k＝0，故ω≤，即ω的最大值为，故选B.
反思感悟　由函数的单调性求参数ω的取值范围，需要把ωx＋φ作为一个整体．根据区间之间的包含关系建立不等式(组)，即可求ω的取值范围．
跟踪训练1　(2025·湖北宜昌模拟)已知函数f(x)＝3sin (ωx＋φ)，ω＞0，若f＝3，f(π)＝0，f(x)在上单调递减，那么ω的取值共有(　　)
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
解析：D　∵f＝3，f(π)＝0，
∴π－·T(n∈N*)，
T＝，
∵f(x)在上单调递减，
D
∴，∴T≥，
即，∴2n－1≤10，
∴n＝1，2，3，4，5，
即周期T有5个不同的取值，
∴ω的取值共有5个．
题型二　三角函数的对称性与ω的关系
例2　已知函数f(x)＝cos ωx－sin ωx(ω>0)，若f(x)在区间(0，2π)上有且仅有2个极值点，则ω的取值范围是________．
解析：函数f(x)＝cos ωx－sin ωx
＝2(cos ωx－
＝2cos ，
因为x∈(0，2π)，ω>0，
所以ωx＋∈(，2πω＋)，
由于函数f(x)在区间(0，2π)上有且仅有2个极值点，所以f(x)在(0，2π)上有且仅有2条对称轴，则2π<2πω＋≤3π，
解得ω∈.
答案：
反思感悟　三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为，相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为，就说明，我们可根据三角函数的对称性来研究其周期性.解决问题的关键在于运用整体代换的思想，建立关于ω的不等式组，进而研究“ω”的取值范围．
跟踪训练2　(2025·黑龙江大庆模拟)若函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω>0)在区间上仅有一条对称轴及一个对称中心，则ω的取值范围为(　　)
A．(5，8) B．(5，8]
C．(5，11] D．[5，11)
B
解析：B　由题意，函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝2sin ，ω>0，
因为x∈，所以<ωx＋<(1＋ω)，要使得函数f(x)在区间上仅有一条对称轴及一个对称中心，
则需满足π<(1＋ω)≤，解得5<ω≤8，
所以ω的取值范围为(5，8].
题型三　三角函数的最值与ω的关系
例3　(2025·安徽安庆模拟)已知函数f(x)＝2cos2ωx＋sin2ωx－1(ω>0)的图象关于点对称，且f(x)在上没有最小值，则ω的值为(　　)
A． B．
C． D．
B
解析：B　f(x)＝2cos2ωx＋sin2ωx－1＝cos 2ωx＋sin 2ωx＝sin ，因为f(x)的图象关于点对称，所以f＝sin ＝0，故＝k0π，k0∈Z，即ω＝2k0－，k0∈Z，因为ω>0，x∈，所以2ωx＋∈，因为f(x)在上没有最小值，所以，解得ω≤.由2k0－解得k0≤，又k0∈Z，ω>0，所以ω＝.故选B.
反思感悟　若已知三角函数的最值，则可利用三角函数的最值与对称轴或周期的关系，列出关于参数的不等式(组)，进而求解．
跟踪训练3　(2025·广东广州调研)已知函数f(x)＝sin (ω>0)在区间内有最大值，但无最小值，则ω的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
解析：A　因为ω>0，所以当0A
题型四　三角函数的零点与ω的关系
例4　(2023·新课标Ⅰ卷)已知函数f＝cos ωx－1(ω>0)在区间[0，2π]有且仅有3个零点，则ω的取值范围是____________．
解析：法一：函数f(x)＝cos ωx－1在区间[0，2π]有且仅有3个零点，即cos ωx＝1在区间[0，2π]有且仅有3个根，
因为ω＞0，x∈[0，2π]，
所以ωx∈[0，2ωπ]，
则由余弦函数的图象可知，4π≤2ωπ＜6π，
解得2≤ω＜3，即ω的取值范围是[2，3)．
法二：函数f(x)＝cos ωx－1在区间[0，2π]有且仅有3个零点，即cos ωx＝1在区间[0，2π]有且仅有3个根，
根据函数y＝cos x在[0，2π]上的图象可知，cos x＝1在区间[0，2π]有2个根，
所以当cos ωx＝1在区间[0，2π]有且仅有3个根时，函数y＝cos ωx在[0，2π]内至少包含2个周期，
但小于3个周期，即
又ω＞0，所以2≤ω＜3，
即ω的取值范围是[2，3)．
法三：由题意知cos ωx＝1，得ωx＝2kπ，k∈Z，即x＝，k∈Z.
因为f(x)在区间[0，2π]上有且仅有3个零点，
所以解得2≤ω＜3.
答案：[2，3)
反思感悟　利用零点求参数ω的两个思路
(1)直接求出函数的零点，利用零点与所给区间的关系求解．
(2)利用函数的周期与所给区间的关系求解．
跟踪训练4　(2022·全国甲卷)设函数f(x)＝区间(0，π)上恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
解析：C　由题意可得ω＞0，
故由x∈(0，π)，得ωx＋∈(，πω＋)．
根据函数f(x)在区间(0，π)上恰有三个极值点，知＜πω＋，得＜ω≤.
C
根据函数f(x)在区间(0，π)上恰有两个零点，知2π＜πω＋≤3π，得＜ω≤.
综上，ω的取值范围为.
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?A级　基础落实练?
1．若直线x1＝是函数f(x)＝sin ωx(ω＞0)图象的两条相邻的对称轴，则ω等于(　　)
A．2 B．
C．1 D．
解析：A　依题意得函数f(x)的最小正周期T＝＝2×＝π，解得ω＝2.
限时规范
训练(三十一)　三角函数中有关ω的取值范围问题
A
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2．若是函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx图象的一个对称中心，则ω的一个取值是(　　)
A．2 B．4
C．6 D．8
解析：C　因为f(x)＝sin ωx＋cos ωx
＝sin ，
由题意，知f＝sin ＝0，
所以＝kπ(k∈Z)，
即ω＝8k－2(k∈Z)，当k＝1时，ω＝6.
C
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3．(2025·广西柳州联考)已知函数f(x)＝1(ω>0)在区间(0，π)上恰有两个零点，则实数ω的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
解析：D　∵00，∴<ωx＋<＋ωπ，∵函数f(x)在(0，π)上恰好有两个零点(即sin ＝－)，∴<＋ωπ≤，解得<ω≤3.故选D.
D
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4．(2025·福建九地市质量检测)已知函数f(x)＝2sin ωx(ω>0)在上单调递增，且对任意的实数a，f(x)在(a，a＋π)上不单调，则ω的取值范围为(　　)
A． B．
C． D．
D
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解析：D　f(x)＝2sin ωx＝2sin2ωx＋2sinωx cos ωx＝2sin ＋，
因为f(x)在上单调递增，所以2ω·，解得ω≤，
又对任意的实数a，f(x)在区间(a，a＋π)上不单调，
∴f(x)的周期T<2π，
∴T＝<2π，∴ω>，∴<ω≤，故选D.
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5．(2025·陕西榆林大联考)函数f(x)＝(ω＞0)在[0，1]上有唯一的极大值，则ω的取值范围为(　　)
A． B．
C． D．
C
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解析：C　令t＝ωx＋，
当x∈[0，1]时，t∈.
因为函数f(x)＝sin (ω＞0)在[0，1]上有唯一的极大值，
所以函数y＝sin t在上有唯一极大值，
所以解得ω∈.故选C.
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6．已知函数f(x)＝cos (ω<0)在上单调递减，则实数ω的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
A
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解析：A　函数f(x)＝cos (ω<0)的最小正周期T＝，所以π－，即－2≤ω<0.
当x∈时，πω＋<ωx＋<，依题意知－π＋2kπ≤ωπ＋<≤2kπ，k∈Z，
解得－＋4k，k∈Z.
又－2≤ω<0，
所以当k＝0时成立，ω∈.
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7．已知函数f(x)＝－sin2ωx(ω>0)的最小正周期为π，若将其图象沿x轴向右平移a(a>0)个单位长度，所得图象关于直线x＝对称，则实数a的最小值为(　　)
A．π B．
C． D．
B
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解析：B　函数f(x)＝－sin2ωx＝(ω>0)的最小正周期为＝π，所以ω＝1，
所以f(x)＝，
若将其图象沿x轴向右平移a(a>0)个单位长度，可得y＝的图象，
再根据所得图象关于直线x＝对称，可得2×－2a＝kπ，k∈Z，
令k＝0，可得实数a的最小值为.
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8．函数f(x)＝sin (ω＞0)在区间上单调递增，且存在唯一x0∈，使得f(x0)＝1，则ω的取值范围为(　　)
A． B．
C． D．
B
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解析：B　由正弦函数性质，得2kπ－≤2kπ＋，k∈Z，即(k∈Z)，
∵f(x)在上单调递增，
∴k∈Z，
则k∈Z，
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又ω＞0，则0＜ω≤，
又存在唯一x0∈，使得f(x0)＝1，
而此时ωx0＋∈，
∴＜，得≤ω＜，
综上，得.
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9．(多选)(2025·辽宁名校联盟模拟)已知函数f(x)＝2cos ＋2(ω>0)在区间单调递减，且在区间[0，π]上有且仅有一个零点，则ω的值可以为(　　)
A． B．
C． D．
BC
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解析：BC　由2kπ≤ωx＋≤2kπ＋π，k∈Z得，k∈Z.
因为函数f(x)在区间上单调递减，
所以k∈Z.
解得k∈Z.
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又k∈Z，ω>0，所以k＝0，0<ω≤1，
因为0≤x≤π，所以≤ωπ＋，
因为f(x)在区间[0，π]上有且仅有一个零点，
所以cos ＝－1在[0，π]上有且仅有一个实数根，
所以π≤ωπ＋<3π，解得≤ω<.
综上，≤ω≤1，故B、C正确，A、D错误．故选B、C.
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10．(多选)(2025·江苏连云港大联考)设函数f(x)＝sin ωx cos ωx－cos 2ωx，ω>0，则下列结论中正确的是(　 　)
A． ω∈(0，1)，f(x)在上单调递增
B．若ω＝1且|f(x1)－f(x2)|＝2，则|x1－x2|min＝π
C．若|f(x)|＝1在[0，π]上有且仅有2个不同的解，则ω的取值范围为
D．存在ω∈(0，1)，使得f(x)的图象向左平移个单位长度后得到的函数为奇函数
ACD
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解析：ACD　f(x)＝sin ωx cos ωx－＝sin .由x∈，得2ωx－∈[π－π－]，因为ω∈(0，1)，所以[π－π－] ，所以 ω∈(0，1)，f(x)在上单调递增，故A正确；由|f(x1)－f(x2)|＝2，可知|x1－x2|min＝，故B错误；由x∈[0，π]，得2ωx－∈[，2ωπ－]，由＝1有且仅有2个不同的解，可得≤2ωπ－<，解得ω∈，故C正确；f(x)的图象平移后对应的函数为g(x)＝sin [－]＝sin ，可知当ω＝时，满足g(x)为奇函数，故D正确．故选A、C、D.
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11．(多选)已知f(x)＝1－2cos2(ω>0)．则下列结论中正确的是
(　　)
A．若f(x1)＝1，f(x2)＝－1，且|x1－x2|min＝π，则ω＝2
B.存在ω∈(0，2)，使得f(x)的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于y轴对称
C．若f(x)在[0，2π]上恰有7个零点，则ω的取值范围为
D.若f(x)在上单调递增，则ω的取值范围为
CD
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解析：CD　因为f(x)＝1－2cos2
＝－cos＝sin ，
所以周期T＝，
对于A，由条件知，周期为2π，所以＝2π，解得ω＝，故A错误；
对于B，函数f(x)的图象向右平移个单位长度后得到函数y＝sin 的图象，
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若其关于y轴对称，则－＋kπ(k∈Z)，解得ω＝－1－3k(k∈Z)，
故对任意整数k，ω (0，2)，故B错误；
对于C，由条件得7π≤2ω·2π＋<8π，
解得≤ω<，故C正确；
对于D，由条件得解得ω≤又ω>0，所以0<ω≤，故D正确．
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2
12．(2025·广东中山模拟)已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω>0)在区间上单调，且满足f＝－1，f＝0，则ω＝________．
解析：f(x)min＝f＝－1，f(x)在上单调，
∴，∴T≥，又f＝－1，＝0，∴，∴ω＝.
答案：
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2
13．设函数f(x)＝cos (ω＞0)．若f(x)≤f对任意的实数x都成立，则ω的最小值为________．
解析：由题意得，当x＝时，函数f(x)有最大值，
故f＝1，即＝2kπ(k∈Z)，
所以ω＝8k＋(k∈Z)，
又ω＞0，所以ωmin＝.
答案：
14
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2
14．(2025·山东烟台、德州诊断)若函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx－1在[0，2π]上恰有5个零点，且在上单调递增，则正实数ω的取值范围为________．
解析：f(x)＝2sin －1，由f(x)＝0，得sin ＝，则ωx＋＝2kπ＋，k∈Z或ωx＋＝2kπ＋，k∈Z，
由x∈[0，2π]，得ωx＋∈[，2πω＋]，
由f(x)在[0，2π]上恰有5个零点，
得≤2πω＋<，解得≤ω<，
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由－，得－，
即函数f(x)在上单调递增，
因此 ，
即－，且，解得0<ω≤，所以正实数ω的取值范围为.
答案：
15
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?B级　能力提升练?
15．(2025·四川绵阳一诊)已知函数f(x)＝4cos (ω>0)，f(x)在区间上的最小值恰为－ω，则所有满足条件的ω的积所在区间是(　　)
A．(1，4] B．[4，7]
C．(7，13) D．[13，＋∞)
C
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2
解析：C　当x∈时，ωx－∈，因为此时f(x)的最小值为－ω<0，
所以>，即ω>.
若≥π，此时f(x)能取到最小值－4，即ω＝4，
代入可得>π，满足要求；
若f(x)取不到最小值－4，则需满足<π，即ω<，所以<ω<，
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因为p(ω)＝4cos 在ω∈上单调递减，且此时p(ω)∈(－4，0)，所以存在唯一的ω符合题意．
所以ω＝4或ω∈，所以所有满足条件的ω的积所在的区间是(7，13)，故选C.
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16．(2025·福建厦门模拟)已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω>0)在上单调，f＝＝－f，则ω的可能取值为________．
解析：设f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω>0)的最小正周期为T，由函数f(x)在上单调，
得T＝≥2[－]＝π，∴0<ω≤2.
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由f＝－f及函数f(x)在上单调，得f＝f＝0，由f＝f，T≥π，得＝T或或，
若＝T，则，∴ω＝；
若，则，
∴ω＝；
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若，则，
∴ω＝.
故ω的可能取值为.
答案：
培优增分　三角函数中有关ω的取值范围问题
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第9讲
三角函数模型与解三角形的应用举例
聚焦·必备知识
突破·核心考点
限时规范训练
1
2
3
内容索引
1．会用三角函数解决简单的实际问题，体会利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型．2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．
◆课标要求
聚焦
必备知识
1．仰角和俯角
在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线_____叫做俯角(如图1)．
　图1　　 　　　　　图2
下方
2．方位角
从_____方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角．例如B点的方位角为α(如图2)．
3．方向角
正北或正南方向线与目标方向线所成的_____，例如南偏东30°，北偏西45°等．
4．坡度
坡面与水平面所成的二面角的_______．
正北
锐角
正切值
5．解三角形实际问题的一般步骤
1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)东北方向就是北偏东45°的方向．(　　)
(2)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.(　　)
(3)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为.(　　)
(4)方位角大小的范围是[0，π)，方向角大小的范围是.(　　)
√
×
×
×
2．如图，测量河对岸的塔的高度AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个观测点C，D，测得∠BCD＝15°，∠CBD＝30°，CD＝10 m，并在C处测得塔顶A的仰角为45°，则塔高AB等于(　　)
A．30 m
B．20 m
C．30 m
D．20 m
D
解析：D　在△BCD中，∠BCD＝15°，∠CBD＝30°，CD＝10 m，
由正弦定理可得
，可得CB＝20＝20(m)，在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，所以塔高AB＝BC＝20 m．
3．某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5 cm，秒针绕点O匀速旋转，当时间t＝0时，点A与钟面上标12的点B重合，将A，B两点间的距离d(单位：cm)表示成t(单位：s)的函数，则d＝________，t∈[0，60].
解析：如图，设∠AOB＝α，
则α＝t，
所以t，
因为5sin ，
所以d＝10sin ＝10sin t，t∈[0，60].
答案：10sin t
4．如图，在高速公路建设过程中，需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A，B到点C的距离AC＝BC＝1 km，且C＝120°，则A，B两点间的距离为________km.
解析：在△ABC中，易得A＝30°，
由正弦定理，
得AB＝(km)．
答案：
突破
核心考点
三角函数模型的实际应用
例1　(多选)(2025·福建福州模拟)如图所示，一半径为4米的水轮，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计时，则(　　)
A．点P第一次到达最高点需要20秒
B．当水轮转动155秒时，点P距离水面2米
C．当水轮转动50秒时，点P在水面下方，距离水面2米
D．点P距离水面的高度h(米)与t(秒)的函数解析
式为h＝4cos ＋2
ABC
解析：ABC　设点P距离水面的高度h(米)和时间t(秒)的函数解析式为
h＝A sin (ωt＋φ)＋B，
由题意得
解得
故h＝4sin ＋2，故D错误；
对于A，令h＝6，即h＝4sin ＋2＝6，
解得t＝20，故A正确；
对于B，令t＝155，代入h＝4sin ＋2，
解得h＝2，故B正确；
对于C，令t＝50，代入h＝4sin ＋2，
解得h＝－2，故C正确．
反思感悟　三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题．
跟踪训练1　(人教A版必修第一册P243问题2变式)目前，我国生产、配送的都是三相交流电，其瞬时电流i(单位：安培)与时间t(单位：秒)满足函数关系式：i＝Im sin (ωt＋φ0)(其中Im为供电的最大电流，单位：安培；ω表示角频率，单位：弧度/秒；φ0为初相)，三相交流电的频率f(单位：赫兹)与周期T(单位：秒)满足关系式f·T＝1.某实验室使用5赫兹的三相交流电，经仪器测得在t＝0.05与t＝0.2时的瞬时电流的比值为，且t＝1时的瞬时电流恰好为1安培．若φ0∈，则该实验室所使用的三相交流电的最大电流为(　　)
A．2安培 B．安培
C．3安培 D．2.5安培
A
解析：A　当f＝5时，由f·T＝1可得，T＝0.2，由ω＝可得ω＝10π.根据t＝0.05与t＝0.2时的瞬时电流的比值为，得，即tan φ0＝，又φ0∈，所以φ0＝，i＝Im sin .又t＝1时，i＝1，所以Im sin ＝1，解得Im＝2，故选A.
解三角形的应用举例
考向1　测量距离问题
例2　(2025·辽宁省沈阳市期中)自古以来，人们对于崇山峻岭都心存敬畏，同时感慨大自然的鬼斧神工，一代诗圣杜甫曾赋诗《望岳》：“岱宗夫如何？齐鲁青未了．造化钟神秀，阴阳割昏晓．荡胸生曾云，决眦入归鸟．会当凌绝顶，一览众山小．”然而，随着技术手段的发展，山高路远便不再阻碍人们出行，伟大领袖毛主席曾作词：“一桥飞架南北，天堑变通途”．在科技腾飞的当下，路桥建设部门仍然潜心研究如何缩短空间距离方便出行，如港珠澳大桥等．如图所示，某工程队将从A到D修建一条隧道，测量员测得一些数据如图所示(A，B，C，D在同一水平面内)，则A，D间的距离为(　　)
A． km　 B． km
C． km D． km
解析： A　如图所示，连接BD，在△BCD中，∵BD2＝BC2＋CD2－2BC×CD×cos ∠BCD＝25＋9－2×5×3×＝49，∴BD＝7，
∵，即，∴sin ∠DBC＝，
∵∠ABD＝∠ABC－∠DBC，∴cos ∠ABD＝cos (90°－∠DBC)＝sin ∠DBC＝，
在△ABD中，AD2＝AB2＋DB2－2AB×BD×cos ∠ABD＝16＋49－2×4×7×
即A，D间的距离为 km.
反思感悟　距离问题的类型及解法
(1)类型：两点间既不可达也不可视；两点间可视但不可达；两点都不可达．
(2)解法：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解．
考向2　测量高度问题
例3　某公园（如图1）的铜雕蕴含着“四方迎客、通达天下”的美好寓意．如图2，某中学数字研究性学习小组为测量其高度，在和它底部O位于同一水平高度的三点A，B，C（共线）处测得铜雕顶端P处的仰角分别为，且AB＝BC＝20 m，则铜雕的高度为(　　)
A．15 m
B．10 m
C．6 m
D．5 m
　图1　　　　　图2
B
解析： B　设OP＝h，则OA＝h，OB＝h，OC＝h.在△ABO中，由余弦定理得cos ∠ABO＝.
在△BCO中，由余弦定理得
cos ∠OBC＝.
因为∠ABO＋∠OBC＝π，
　图1　　　　　图2
所以＝0.
即800－h2＝0，解得h＝10，
所以四门通天铜雕的高度为10 m.
　图1　　　　　图2
反思感悟　 (1)在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角．
(2)准确理解题意，分清已知条件与待求，画出示意图．
(3)运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，注意方程思想的运用．
考向3　测量角度问题
例4　一艘巡逻舰从海岛A出发，沿南偏东70°的方向航行40海里后到达海岛B，然后再从海岛B出发，沿北偏东35°的方向航行了里到达海岛C.若巡逻舰从海岛A出发沿直线到达海岛C，则航行的方向和路程(单位：海里)分别为(　　)
A．北偏东80°，20
B．北偏东65°，20
C．北偏东65°，20
D．北偏东80°，20
C
解析：C　据题意知，在△ABC中，∠ABC＝70°＋35°＝105°，AB＝40海里，BC＝40海里，所以AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos ∠ABC＝402＋2－2×40×40，
所以AC＝＝20海里，
又，
所以sin ∠CAB＝，
又∠CAB为锐角，所以∠CAB＝45°，
所以航行的方向和路程分别为北偏东65°，海里．
反思感悟　 (1)测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出示意图，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解．
(2)方向角是相对于某点而言的，因此在确定方向角时，必须先弄清楚是哪一个点的方向角．
跟踪训练2　如图，一艘轮船从A处出发，沿北偏东75°的方向航行达海岛B，然后从B处出发，沿北偏东15°的方向航行4 n mile到达海岛C.
(1)求点A到海岛C的直线距离AC的长；
(2)如果下次航行直接从A出发到达C，求∠CAB的大小．
解：(1)依题意，在△ABC中，AB＝2－2，BC＝4.∠ABC＝180°－75°＋15°＝120°，
根据余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos ∠ABC＝2＋42＋×4＝24，
所以AC＝2.
故AC的长为2 n mile.
(2)根据正弦定理得，
所以sin ∠CAB＝，又∠CAB为锐角，
所以∠CAB＝45°.
典例　(多选）（2025·甘肃兰州诊断考试）某学校开展测量旗杆高度的数学建模活动，学生需通过建立模型、实地测量．迭代优化完成此次活动．在以下不同的小组设计的方案中，可计算出旗杆高度的方案有(　　)
A．在水平地面上任意寻找两点A，B，分别测量旗杆顶端的仰角α，β，再测量A，B两点间距离
B．在旗杆对面找到某建筑物（低于旗杆），测得建筑物的高度为h，在该建筑物底部和顶部分别测得旗杆顶端的仰角α和β
C．在地面上任意寻找一点A，测量旗杆顶端的仰角α，再测量A到旗杆底部的距离
D．在旗杆的正前方A处测得旗杆顶端的仰角α，正对旗杆前行5 m到达B处（旗杆底部，A，B在一条直线上），再次测量旗杆顶端的仰角β
BCD
解析：BCD　对于A，当A，B两点与旗杆底部不在一条直线上时，就不能测量出旗杆的高度，故A不正确；
对于B，如图1，在△ABD中，由正弦定理求AD，则旗杆的高CD＝h＋AD sin β，故B正确；
图1 图2 图3
对于C，如图2，在直角△ADC中，直接利用锐角三角函数求出旗杆的高DC＝AC tan α，故C正确；
对于D，如图3，在△ABD中，由正弦定理求AD，则旗杆的高CD＝AD sin α，故D正确．
故选B、C、D.
图1 图2 图3
风向解读　本题的设计背景来源于人教A版必修第二册P49的例10.设计方案测量物体高度，需要注意不同方案的限定条件，在学习过程中要重视教材，复习阶段要从教材例题出发，落实引导学生在解决实际问题的过程中建构知识、培养能力、提升素养的要求．
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?A级　基础落实练?
1．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这只船的速度是每小时(　　)
A．5海里　　　　　 B．5海里
C．10海里 D．10海里
限时规范
训练(三十五)　三角函数模型与解三角形的应用举例
C
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1
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解析：C　如图所示，由题意知∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，可得CD＝CA＝10，在直角△ABC中，AB＝AC cos 60°＝5，所以这艘船的速度为＝10(海里/小时)．故选C.
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2．智能主动降噪耳机工作的原理是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪声，然后通过听感主动降噪芯片生成相等的反向声波抵消噪声(如图)．已知某机器工作时噪声的声波曲线y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的振幅为2，周期为，初相为，则通过听感主动降噪芯片生成的相等的反向声波曲线为(　　)
A．y＝2sin
B．y＝2cos
C．y＝2sin
D．y＝2cos
C
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解析：C　由题意可得A＝2，ω＝，所以噪声的声波曲线为y＝2sin ，所以通过听感主动降噪芯片生成的相等的反向声波曲线为y＝－2sin ＝2sin .故选C.
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3．(人教A版必修第二册P52习题6.4第8题变式)某塔基座为正方形，塔身有13级．如图，在点A测得塔底在北偏东60°方向的点D处，塔顶C的仰角为30°.在点A的正东方向且距离D点50 m的B点测得塔底在北偏西45°方向，则该塔的高度CD约为(参考数据：≈2.4)(　　)
A．30 m
B．35 m
C．40 m
D．45 m
C
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解析：C　由题意知，BD＝50，∠DAB＝∠DAC＝30°，∠DBA＝45°，
在△ABD中，由正弦定理得，则AD＝50，所以tan ∠DAC＝，得CD＝≈40，故东寺塔的高度CD约为40 m．故选C.
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4．位于灯塔A处正西方向相距n mile的B处有一艘甲船需要海上救援，位于灯塔A处北偏东45°相距5n mile的C处的一艘乙船前往营救，则乙船的目标方向线(由观测点看目标的视线)的方向是南偏西(　　)
A．30° B．60°
C．75° D．45°
B
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1
解析：B　依题意，过点C作CD⊥BA的延长线交于点D，如图，
则AB＝5－5，
AC＝5，∠ACD＝45°，
在Rt△ADC中，AD＝DC＝5，
在Rt△BDC中，BD＝5，DC＝5，
∴tan ∠BCD＝.
又∠BCD∈(0，90°)，∴∠BCD＝60°，
即乙船的目标方向线(由观测点看目标的视线)的方向是南偏西60°.
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5．（2025·江苏南京高三模拟）在《九章算术》中有一测量问题：今有立木，系索其末，委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？这个问题体现了古代对直角三角形的研究．现有一竖立的木头柱子，高4米，绳索系在柱子上端，牵着绳索退行，当绳索与底面夹角为75°时绳索未用尽，再退行4米绳索用尽（绳索与地面接触），则绳索长为
(　　)
A．3米 B．4米
C．5米 D．16米
B
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解析：B　依题意画出示意图，如图所示．
则AB＝4，CD＝4，
∠ACB＝75°，
所以∠CAB＝90°－75°＝15°，
所以BC＝AB tan ∠CAB＝4tan 15°
＝4tan (45°－30°)＝4×
＝4×，
所以BD＝BC＋CD＝8，
所以AD＝，
所以绳索长为4米．
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6．(多选)(人教A版必修第二册P51练习第1题变式)一艘轮船航行到A处时看灯塔B在A的北偏东75°方向，距离为12海里，灯塔C在A的北偏西30°方向，距离为12海里，该轮船由A沿正北方向继续航行到D处时再看灯塔B在其南偏东60°方向，则下列结论是正确的是(　　)
A．AD＝24海里
B．CD＝12海里
C．∠CDA＝60°或∠CDA＝120°
D．∠CDA＝60°
ABD
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解析：ABD　如图，由题意得∠BAD＝75°，
∠CAD＝30°，∠ADB＝60°，AB＝12，
在△ABD中，易得B＝45°，由正弦定理，
得AD＝＝24，故A正确；在△ACD中，由余弦定理CD2＝AC2＋AD2－2×AC×AD×cos 30°得CD2＝2＋242－2×12＝144，所以CD＝12，故B正确；在△ACD中，由正弦定理，得sin ∠CDA＝，故∠CDA＝60°或∠CDA＝120°，因为AD>AC，所以∠CDA为锐角，所以∠CDA＝60°，故C错误，D正确．故选A、B、D.
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7．如图，一艘轮船上午8：00在A处测得灯塔S在它的北偏东30°方向，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午8：30到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°方向，且与它相距4海里，则此船的航行速度是________海里/小时．
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解析：因为在△ABS中，∠BAS＝30°，BS＝4，
所以∠ASB＝75°－30°＝45°，
由正弦定理，得，
即AB＝＝8，
又从A到B处匀速航行的时间为半小时，
所以速度为＝16(海里/小时)．
答案：16
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2
8．“圭表”是度量日影长度的一种天文仪器，水平放置于地面上刻有刻度以测量影长的标尺叫“圭”，垂直于地面的直杆叫“表”．用圭表测量太阳照射在竹竿上的影长，可以判断季节的变化，也能用于丈量土地．同一天内，南北两地的日影长短若差一寸，它们的距离就相差一千里，所谓“影差一寸，地差千里”（1尺＝10寸）.记“表”的顶部为A，太阳光线通过顶部A投影到“圭”上的点为B.同一天内，甲地日影长是乙地日影长的两倍，记甲地中直线AB与地面所成的角为θ，且tan θ＝，则甲、乙两地之间的距离约为　　　　千里．
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解析：由题意可知甲地的日影长为＝3（尺），从而得到乙地的日影长为1.5尺，
则甲、乙两地之间的距离约为(3－1.5)×10＝15（千里）.
答案：15
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9．(2025·山东青岛模拟)公路北侧有一幢楼，高为60米，公路与楼脚底面在同一平面上．某人在点A处测得楼顶的仰角为45°，他在公路上自西向东行走，行走60米到达点B处，测得仰角为45°，沿该方向再行走60米到点C处，测得仰角为θ，则sin θ＝________．
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解析：如图，O为楼脚，OP为楼高，
则OP＝60，∠OAP＝45°，
所以OA＝60，又AB＝60，∠OBP＝45°，
所以OB＝60，
所以OA＝AB＝OB＝60，
所以∠OBA＝60°，所以∠OBC＝120°，
又BC＝60，所以在△OBC中，
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OC2＝BC2＋OB2－2BC·OB cos ∠OBC＝602＋602－2×60×60×＝10 800，
所以OC＝60，
故tan θ＝，
所以θ＝，所以sin θ＝.
答案：
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10．为了测量隧道口A，B间的距离，开车从A点出发，沿正西方向行驶400米到达D点，然后从D点出发，沿正北方向行驶一段路程后到达C点，再从C点出发，沿东南方向行驶400米到达隧道口B点处，测得BD间的距离为1000米．
(1)若隧道口B在点D的北偏东θ度的方向上，求cos θ的值；
(2)求隧道口AB间的距离．
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解：(1)在△BCD中，由正弦定理得
，
即，所以sin ∠CDB＝，
由题可知∠CDB＜90°，
所以cos ∠CDB＝，即cos θ＝.
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(2)由(1)可知，cos ∠ADB＝sin ∠CDB＝，
在△ABD中，由余弦定理得，AB2＝BD2＋AD2－2·BD·AD·cos ∠ADB
＝10002＋2－2×1000×400＝1 000 000，
所以AB＝1000，故两隧道口AB间的距离为1000米．
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11．（13分）如图，某校研究性学习小组的同学为测量某塔AB的高度及塔顶A相对取景点D与F的张角∠DAF（其中B，C，D，F在同一水平面上，该塔垂直水平面于点B，且B，C，D三点共线）.该学习小组的同学测得点C，D，F仰角分别为45°，30°，30°.若∠FCB＝60°，CD＝（－1）米．
(1)求塔AB的高度；
(2)求cos ∠DAF的值．
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解：(1)设AB＝x米，在Rt△ABD中，∠ADB＝30°，
则BD＝x，
在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，
则BC＝x，而CD＝，
即，
解得x＝，所以塔AB的高度是米．
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(2)连接DF，如图，
由(1)及已知有BF＝BD＝BC，
在△BCF中，由余弦定理得
BF2＝CF2＋BC2－2CF·BC cos ∠FCB，
即CF2－CF·BC－2BC2＝0，
则CF＝2BC＝45，在△CDF中，∠DCF＝120°，由余弦定理得：
DF2＝CD2＋CF2－2CD·CF cos ∠DCF
＝＋452＋
＝×452，
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在△ADF中，AD＝AF＝2AB＝45，
由余弦定理得：
cos ∠DAF＝
＝，
所以cos ∠DAF＝.
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?B级　能力提升练?
12． (多选)一半径为4米的摩天轮如图所示，摩天轮圆心O距离地面6米.已知摩天轮按逆时针方向旋转，每分钟转动2.5圈，现在最低点的位置坐上摩天轮(图中点P0)开始计时，以P0与底面的交点为坐标原点，MP0所在直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系.设点P距离地面的高度h(米)与时间t(秒)的函数关系为h＝f(t)＝A sin (ωt＋φ)＋b，其中A＞0，－π＜φ＜0，则下列选项中正确的是(　　)
A．OP旋转的角速度ω＝
B．摩天轮最低点离地面的高度为2米
C．点P距离地面的高度h(米)与时间t(秒)的函数关系
为h＝f(t)＝6－4cos t
D．点P第二次到达最高点需要的时间为32秒
ABC
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解析：ABC　对于A，由题意可得，摩天轮每分钟转动2.5圈，
OP旋转的角速度ω＝(弧度/秒)，故A正确；
对于B，因为摩天轮的半径为4，
所以摩天轮最低点离地面的高度为6－4＝2(米)，故B正确；
对于C，由题可知

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所以h＝f(t)＝4sin ＋6.
把(0，2)代入h＝f(t)中，则sin φ＝－1.
又－π＜φ＜0，所以φ＝－，
所以h＝f(t)＝4sin ＋6
＝－4cos t＋6，故C正确；
对于D，h＝f(t)＝－4cos t＋6＝10，求得t＝π，所以t＝12(秒)，根据摩天轮转一周需要＝24(秒)，
故点P第二次到达最高点需要的时间是36秒，故D错误．故选A、B、C.
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13．(2025·辽宁八市八校联考)《海岛算经》中有一道测量山上松树高度的题目，受此题启发，小李同学打算用学到的解三角形知识测量某建筑物上面一座信号塔的高度．如图，把塔底与塔顶分别看作点C，D，CD与地面垂直，小李先在地面上选取点A，B(点A，B在建筑物的同一侧，且点A，B，C，D位于同一个平面内)，测得AB＝在点A处测得点C，D的仰角分别为30°，67°，在点B处测得点D的仰角为33.5°，则塔高CD为________m.(参考数据：sin 37°≈)
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解析：如图，延长DC与BA的延长线交于点E，则∠DAE＝67°，∠CAE＝30°，∠DBA＝33.5°，
所以∠ADB＝67°－33.5°＝33.5°，∠ACE＝90°－30°＝60°，
所以AD＝AB＝20.
在△ACD中，∠CAD＝67°－30°＝37°，∠ACD＝180°－60°＝120°，由正弦定理，得CD＝＝24(m)，即塔高CD为24 m.
答案：24
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14．(15分)(2025·湖南邵阳模拟)人类从未停下对自然界探索的脚步，位于美洲大草原点C处正上空100 m的点P处，一架无人机正在对猎豹捕食羚羊的自然现象进行航拍．已知位于点C西南方向的草丛A处潜伏着一只饥饿的猎豹，猎豹正盯着其东偏北15°方向上点B处的一只羚羊，且无人机拍摄猎豹的俯角为45°，拍摄羚羊的俯角为60°，假设A，B，C三点在同一水平面上．
(1)求此时猎豹与羚羊之间的距离AB的长度；
(2)若此时猎豹到点C处比到点B处的距离更近，且开始以25 m/s的速度出击，与此同时机警的羚羊以20 m/s的速度沿北偏东15°方向逃跑．已知猎豹受耐力限制，最多能持续奔跑600 m，试问：猎豹这次捕猎是否有成功的可能性？请说明原因．
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解：(1)由题意作出示意图，则∠PAC＝45°，∠CBP＝60°，
∠BAC＝45°－15°＝30°，
AC＝
＝100(m)，
BC＝＝100(m)．
由正弦定理，
可得sin ∠ABC＝.
因此∠ABC＝60°或120°，
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当∠ABC＝60°时，∠ACB＝90°，猎豹与羚羊之间的距离为AB＝＝200(m)，
当∠ABC＝120°，∠ACB＝30°＝∠BAC，猎豹与羚羊之间的距离为AB＝BC＝100(m)．
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(2)由题意作出示意图，
设捕猎成功所需的最短时间为t，
在△ABQ中，BQ＝20t，AQ＝25t，AB＝200，∠ABQ＝120°.
由余弦定理得：
625t2＝400t2＋2002－2×20t×200×.
整理得9t2－160t－1600＝0.
设f(t)＝9t2－160t－1600，
显然f(0)＜0，f＜0，
因为猎豹能坚持奔跑最长时间为24 s，且f(24)＝－256＜0.
所以猎豹这次捕猎不能捕猎成功．
第9讲　三角函数模型与解三角形的应用举例
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培优增分　
三角形中的高线、中线与角平分线问题
限时规范训练
内容索引
在解三角形的题目中，往往涉及三角形的高线、中线与角平分线，解决此类问题除了应用正弦定理、余弦定理外，还要恰当地使用其几何性质．
◆命题解读
题型一　高线问题
例1　(2023·新课标Ⅰ卷)已知在△ABC中，A＋B＝3C，2sin (A－C)＝sin B．
(1)求sin A的值；
(2)设AB＝5，求AB边上的高．
解：(1)在△ABC中，A＋B＝3C，
又A＋B＋C＝π，所以C＝.
又2sin (A－C)＝sin B，
即2sin ＝sin B，
所以sin B＝2cos B．
又sin2B＋cos2B＝1，B∈，
所以sinB＝，cos B＝，
所以sin A＝sin (B＋C)＝sin
＝sin B cos ＋cos B sin .
(2)在△ABC中，记内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
因为AB＝c＝5，C＝，sin B＝，
sin A＝，
所以由正弦定理，
可得，
解得a＝3.
设AB边上的高为h，由三角形的面积公式可得ab sin C＝c·h，
即·5h，
解得h＝6，即AB边上的高为6.
反思感悟　三角形的高线问题的处理策略
如图，在△ABC中，AD是边BC上的高线，则
(1)AD·BC＝AB·AC·sin ∠BAC.
(2)AD＝AB·sin ∠ABD＝AC·sin ∠ACD.
(3)a＝c·cos B＋b·cos C．
跟踪训练1　(2025·福建福州模拟)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且＝c sin B．
(1)求角C的值；
(2)若AB边上的高线长为2，求△ABC面积的最小值．
解：(1)由已知A＋B＋C＝π，则
b sin ＝b sin ＝b cos ，
所以b cos ＝c sin B，
由正弦定理得sin B cos ＝sin C sin B，
因为B，C∈(0，π)，
则sin B＞0，0＜＜，cos ＞0，
所以cos ＝sin C，
则cos ＝2sin cos ，
所以sin ，所以，即C＝.
(2)由S△ABC＝ab sin C，
得ab＝4c.
由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab cos C
＝a2＋b2－ab≥2ab－ab＝ab，
即c2≥4c.因为c＞0，则c≥4，
当且仅当a＝b＝c＝4取等号，
此时△ABC面积的最小值为4.
题型二　中线问题
例2　(2025·山东潍坊模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a(sin B＋cos B)＝c.
(1)求A的值；
(2)若c＝，D为BC的中点，求AD的值.
解：(1)在△ABC中，由题意及正弦定理得sin A(sin B＋cos B)＝sin C，
由A＋B＋C＝π，得sin C＝sin (A＋B)，
所以sin A sin B＋sin A cos B＝sin A cos B＋sin B cos A，
化简得sin A sin B＝sin B cos A，
因为sin B≠0，所以tan A＝1，
因为A∈(0，π)，所以A＝.
(2)在△ABC中，由余弦定理得，
5＝b2＋2－2b×，
所以b2－2b－3＝0，
又b>0，所以b＝3，
因为D为BC的中点，所以，等式两边平方，得
2＝(c2＋b2＋2bc cos ∠BAC)＝，
所以＝，
即中线AD的长度为.
反思感悟　中线问题的处理策略
如图，在△ABC中，AD为BC的中线，已知AB，AC，及∠A，求中线AD的长．
(1)倍长中线：如图，构造全等，再用余弦定理求解即可.
(2)向量法： ；
(3)余弦定理：邻补角余弦值为相反数，即cos ∠ADB＋cos ∠ADC＝0.
注意：若将条件“AD为BC的中线”换为“＝λ”,则可以考虑方法(2)或方法(3)．
跟踪训练2　(2025·福建九地市质量检测)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a sin C＝c sin B，C＝.
(1)求B的大小；
(2)若△ABC的面积为，求BC边上中线的长．
解：(1)∵a sin C＝c sin B，
∴由正弦定理，得sin A sin C＝sin C sin B，
∵00，∴sin A＝sin B，
∵0∴A＝B或A＋B＝π(舍去)，
∵A＋B＋C＝π，且C＝，∴B＝.
(2)依题意得ab sin C，
∵A＝B，∴a＝b，
∴a2sin ，解得a＝，
设边BC的中点为D，则CD＝，
由余弦定理，得
AD＝.
∴BC边上中线的长为.
题型三　角平分线问题
例3　(2025·湖南长沙模拟)已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a＝4，4cos C＝b－c sin A.
(1)求角A的值；
(2)已知AM为∠BAC的平分线，且与BC交于点M，若AM＝，求△ABC的周长．
解：(1)根据题意可得a cos C＋c sin A＝b，
由正弦定理得sin A cos C＋sin A sin C＝sin B，
又sin B＝sin (A＋C)＝sin A cos C＋cos A sin C，
故sin A sin C＝cos A sin C，
又sin C≠0，所以sin A＝cos A，则
tan A＝，
因为A∈(0，π)，所以A＝.
(2)因为S△ABC＝S△ABM＋S△ACM，
所以bc sin ∠BAC＝AM·c·sin ∠BAM＋AM·b·sin ∠CAM，
又AM平分∠BAC，所以∠BAM＝∠CAM＝∠BAC＝，
所以，
则(b＋c)，即bc＝(b＋c)，
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos ∠BAC，即16＝b2＋c2－bc，所以
16＝(b＋c)2－3bc＝(b＋c)2－(b＋c)，
解得b＋c＝2(负值舍去)，
故△ABC的周长为2＋4.
反思感悟　角平分线问题的处理策略
(1)角平分线定理：已知AD是△ABC的内角∠BAC的平分线，则.
(2)利用两个小三角形面积和等于大三角形面积处理．
跟踪训练3　(2025·江西重点中学协作体联考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其外接圆的半径为2，且b cos C＝a＋c sin B．
(1)求角B的值；
(2)若∠ABC的平分线交AC于点D，BD＝，点E在线段AC上，EC＝2EA，求△BDE的面积．
解：(1)由正弦定理可得sin B cos C＝sin A＋sin C sin B．
又sin A＝sin (B＋C)＝sin B cos C＋cos B sin C，
则sin C cos B＋sin C sin B＝0.
∵C∈(0，π)，∴cos B＋sin B＝0，
即tan B＝－.
又B∈(0，π)，∴B＝.
(2)由(1)可知B＝，∵△ABC的外接圆的半径为2，
∴由正弦定理得，即b＝6，
∵BD平分∠ABC，∴∠CBD＝∠ABD＝∠ABC＝.
由S△ABC＝S△BCD＋S△ABD，
可得ac sin sin sin ，
即ac＝ (a＋c)，　①
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos ，
即(a＋c)2－ac＝36，　②
由①②可得a＝c＝2.
则BD⊥AC，∴AC＝2CD＝6，又∵EC＝2AE，则DE＝1，
故S△BDE＝.
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1．(13分)(2025·陕西咸阳模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a cos B＋b＝c.
(1)求A的值；
(2)若b＝3，c＝，求△ABC中BC边上高线的长．
限时规范
训练(三十四)　三角形中的高线、中线与角平分线问题
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解：(1)因为a cos B＋b＝c，
由正弦定理可得sin A cos B＋sin B＝sin C＝sin (A＋B)＝sin A cos B＋sin B cos A，
所以sin B＝sin B cos A，
又0＜B＜π，所以sin B＞0，
所以cos A＝，
因为0＜A＜π，所以A＝.
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(2)由已知及余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝9＋3－2×3×＝3，
所以a＝，设△ABC中BC边上的高线长为h，
则S△ABC＝bc sin A＝ah，解得h＝.
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2．(13分)在△ABC中，b sin B＝a sin A－(b＋c)sin C．
(1)求角A的大小；
(2)若BC边上的中线AD＝2，且S△ABC＝△ABC的周长．
解：(1)由已知得b sin B＝a sin A－(b＋c)sin C，
由正弦定理得b2＝a2－bc－c2，
由余弦定理得cos A＝，
在△ABC中，因为A∈(0，π)，所以A＝.
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(2)由S△ABC＝bc sin A＝，得
bc＝8，　①
由(1)知b2＝a2－bc－c2，
即b2＋c2＝a2－8，　②
在△ABD中，由余弦定理得c2＝·cos ∠ADB，
在△ADC中，由余弦定理得b2＝·cos ∠ADC，
2
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因为cos ∠ADB＝－cos ∠ADC，
所以b2＋c2＝＋24，　③
由①②③得a＝8，b2＋c2＝56，bc＝8，
所以b＋c＝
＝，
所以△ABC的周长为a＋b＋c＝8＋6.
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3．(13分)(2025·山东青岛模拟)已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若2b sin A＋b sin B＝c sin 2B.
(1)求角C的大小；
(2)若点D在边AB上，b＝2，CD＝1，请在下列三个条件中任选一个，求边长AB的值.
①CD为△ABC的一条中线；②CD为△ABC的一条角平分线；③CD为△ABC的一条高线．
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解：(1)因为2b sin A＋b sin B＝c sin 2B，
所以2sin B sin A＋sin2B＝sinC·2sin B·cos B，因为在△ABC中，sin B>0，
所以2sin A＋sin B＝2sin C cos B，
又sin A＝sin (B＋C)，
所以2(sin B cos C＋cos B sin C)＋sin B＝2sin C cos B，
所以2sin B cos C＋sin B＝0.
因为在△ABC中，sin B>0，所以cos C＝－，因为02
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(2)若选①，因为，所以，则4＝4＋a2＋2×2×a×，
化简得a2－2a＝0，解得a＝2或a＝0(舍去)．
所以AB＝ .
若选②，因为S△ABC＝S△CAD＋S△CBD，所以×2×a×sin ×2×1×sin ×1×a×sin ，解得a＝2.
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所以AB＝ .
若选③，则S△ABC＝×2×a×sin ×AB×1，解得AB＝a.
所以AB2＝22＋a2－2×2×a×＝3a2，即a2－a－2＝0，解得a＝2或a＝－1(舍去)，所以AB＝2.
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1
4．(13分)(2025·湖南长沙一中模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知tan C＋＝tan B.
(1)求角A的值；
(2)若a＝，△ABC所在平面内有一点D满足∠BDC＝，且BC平分∠ABD，求△ACD面积的取值范围．
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解：(1)由tan C＋＝tan B，
得tan B＋tan C＝－(1－tan B tan C)，
即，
即tan (B＋C)＝－，所以tan (π－A)＝即tan A＝，
又A∈(0，π)，所以A＝.
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1
(2)设∠ABC＝∠CBD＝x，
在△BCD中，∠BDC＝，故x∈，
则∠ACD＝2π－－2x＝π－2x，
由正弦定理得，
，
则AC＝CD＝2sin x，
2
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1
故S△ACD＝(2sin x)2sin (π－2x)
＝4sin3x cosx，
令φ(x)＝4sin3x cosx，x∈，
则φ′(x)＝12sin2x cos2x－4sin4x
＝4sin2x，易知φ′(x)>0，则函数φ(x)＝4sin3x cosx在上单调递增，又φ(0)＝0，φ＝，
所以△ACD面积的取值范围为.
培优增分　三角形中的高线、中线与角平分线问题
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第2课时　三角函数的图象与性质(二)
突破·核心考点
限时规范训练
1
2
内容索引
例1　(2025·四川遂宁模拟)已知函数f(x)＝sin ＝的最小值为π，则ω的值为(　　)
A．　 B．
C．1 D．2
B
突破
核心考点
三角函数的周期性
解析：B　f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝sin 是函数f(x)的最大值，由题意可知，个周期，所以＝π，得ω＝.故选B.
反思感悟　三角函数周期的计算方法
(1)定义法
通过把已知函数变形，利用周期的定义得到f(x＋T)＝f(x)，从而求得三角函数的周期．
(2)公式法
函数y＝A sin (ωx＋φ)，y＝A cos (ωx＋φ)的最小正周期为T＝，函数y＝A tan (ωx＋φ)的最小正周期为T＝.
(3)图象法
求含有绝对值符号的三角函数的周期时可作出函数的图象，通过观察图象得出周期．
跟踪训练1　已知函数f(x)＝1－2cos2(ω>0)的最小正周期为T，且解析：因为f(x)＝1－2cos2
＝－cos，所以T＝.
又因为即<ω<4，　①
又因为f(x)的图象关于直线x＝对称，
所以2ω×＝kπ，k∈Z.
所以ω＝3k－1，k∈Z，　②
所以由①②得ω＝2.
所以f(x)＝－cos ，
故f＝－cos ＝sin .
答案：
考向1　奇偶性
例2　(1)函数f(x)＝cos2＋sin2－1是(　　)
A．最小正周期为2π的奇函数
B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为π的奇函数
D．最小正周期为2π的偶函数
三角函数的奇偶性与对称性
C
解析：C　由题得f(x)＝－1
＝cos －cos
＝＋sin 2x sin－cos 2x sin 2x sin )＝sin 2x，
所以函数f(x)的最小正周期T＝＝π，
又因为函数y＝f(x)的定义域为R，定义域关于原点对称，f(－x)＝sin 2(－x)＝－sin 2x＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，故选C.
(2)(2025·陕西咸阳模拟)已知函数f(x)＝cos (x＋θ)－sin (x＋θ)是奇函数成立，则θ＝________．
解析：f(x)＝cos (x＋θ)－sin (x＋θ)＝为函数f(x)是奇函数，所以θ＋＋kπ，k∈Z，解得θ＝＋kπ，k∈Z，因为－，所以θ＝.
答案：
反思感悟　三角函数奇偶性的应用技巧
(1)可结合常用结论判断函数奇偶性．
(2)若y＝A sin (ωx＋φ)(或y＝A cos (ωx＋φ))为奇函数，则当x＝0时，y＝0；若y＝A sin (ωx＋φ)(或y＝A cos (ωx＋φ))为偶函数，则当x＝0时，y取最大值或最小值．
考向2　对称性
例3　(1)(2025·四川成都模拟)函数f(x)＝2sin sin 图象的对称轴可以是(　　)
A．直线x＝　　　 B．直线x＝
C．直线x＝ D．直线x＝
A
解析：A　f(x)＝2sin [＋]sin ＝2cos sin ＝sin .
令2x＋＋kπ(k∈Z)．
解得x＝－(k∈Z)，
所以f(x)图象的对称轴为直线x＝－(k∈Z)，当k＝1时，x＝.故选A.
(2)(2025·河南开封模拟)已知函数f(x)＝2cos (3x＋φ)的图象关于点的最小值为________．
解析：因为f(x)＝2cos (3x＋φ)的图象关于点对称，
所以3×＋φ＝kπ＋，k∈Z，
即φ＝kπ－，k∈Z，令k＝3或k＝4，
可得.
答案：
反思感悟　三角函数对称性的应用技巧
(1)求函数的所有对称轴方程或对称中心坐标时，可利用整体换元法进行求解，注意熟记正弦型、余弦型函数的图象，对称轴方程、对称中心坐标的形式．
(2)判断某一直线、某一点是否为对称轴、对称中心时，可根据对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点这一性质进行检验判断．
跟踪训练2　(1)(2025·四川绵阳模拟)已知函数f(x)＝sin (x＋φ)－cos (x＋φ)满足＝2，则函数f是(　　)
A．奇函数，图象关于点(π，0)中心对称
B．偶函数，图象关于点(π，0)中心对称
C．奇函数，图象关于直线x＝π对称
D．偶函数，图象关于直线x＝π对称
D
解析：D　f(x)＝sin (x＋φ)－cos (x＋φ)＝2[sin (x＋φ)－cos (x＋φ)]
＝2sin ，
因为f＝2，所以2sin ＝2，
即sin ＝1，
所以φ－＋2kπ，k∈Z.
即φ＝＋2kπ，k∈Z，
则f(x)＝2sin
＝2sin ，
所以f＝2sin ＝2cos x，
令g(x)＝f.
对于A、C，因为g(－x)＝2cos (－x)＝2cos x＝g(x)，所以函数f是偶函数，A、C错误；
对于B、D，g(π)＝2cos π＝－2≠0，所以函数f关于直线x＝π对称，B错误，D正确．故选D.
(2)已知函数f(x)＝sin (ω>0)，若对于任意实数x，都有f(x)＝－f成立，则ω的最小值为________．
解析：由题知函数f(x)图象关于点对称，因此＝kπ，k∈Z，
解得ω＝6k－2，k∈Z，
而ω>0，所以当k＝1时，ω取得最小值4.
答案：4
三角函数图象与性质的综合应用
例4　 (2023·新课标Ⅱ卷)已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)的图象如图所示，A，B是直线y＝与曲线y＝f(x)的两个交点，若|AB|＝，则f(π)＝________ ．
解析：对比正弦函数y＝sin x的图象易知，
点为“五点(画图)法”中的第五点，
所以ω＋φ＝2π.　①
由题知|AB|＝xB－xA＝，
两式相减，
得ω(xB－xA)＝，即，
解得ω＝4.
代入①，得φ＝－.
所以f(x)＝sin ，
所以f(π)＝sin ＝－sin .
答案：－
反思感悟　(1)探究函数y＝A sin (ωx＋φ)或y＝A tan (ωx＋φ)的性质(定义域、值域、单调性、对称性，最值等)的综合应用时，可利用换元思想(令t＝ωx＋φ)，将ωx＋φ看作一个整体，结合y＝sin x，x∈R(或y＝tan x，x≠kπ＋的性质求解．
(2)对于y＝a sin x＋b cos x型的函数，首先用辅助角公式将其转化为y＝A sin (ωx＋φ)的形式；若是弦切函数并存的函数式，可将切化弦后再转化为y＝A sin (ωx＋φ)的形式．
易错提醒：一是不能把三角函数式正确转化一角一函数形式，如y＝A sin (ωx＋φ)；二是对三角函数的性质记忆不准，混淆不清．
跟踪训练3　(1)(多选)(2024·新课标Ⅱ卷)对于函数f(x)＝sin 2x和g(x)＝sin ，下列说法中正确的是(　　)
A．f(x)与g(x)有相同的零点
B．f(x)与g(x)有相同的最大值
C．f(x)与g(x)有相同的最小正周期
D．f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴
BC
解析：BC　对于A，令f(x)＝0，则x＝，k∈Z，又g≠0，故A错误；
对于B，f(x)与g(x)的最大值都为1，故B正确；
对于C，f(x)与g(x)的最小正周期都为π，故C正确；
对于D，f(x)图象的对称轴方程为2x＝＋kπ，k∈Z，即x＝，k∈Z，g(x)图象的对称轴方程为2x－＋kπ，k∈Z，即x＝，k∈Z，故f(x)与g(x)的图象的对称轴不相同，故D错误．故选B、C.
(2)(2023·上海卷)设a>0，函数y＝sin x在区间[a，2a]上的最小值为s，在区间[2a，3a]上的最小值为t，当a变化时，下列选项中不可能成立的是
(　　)
A．s>0且t>0　　　　 B．s<0且t<0
C．s>0且t<0 D．s<0且t>0
D
解析：D　由题意知，a>0，区间[a，2a]与区间[2a，3a]相邻，且区间长度相同．
取a＝，则区间[a，2a]＝，区间[2a，3a]＝，可知s>0，t>0，故A可能；取a＝，则区间[a，2a]＝，区间[2a，3a]＝，可知s>0，t<0，故C可能；取a＝，则区间[a，2a]＝，区间[2a，3a]＝，可知s<0，t<0，故B可能．结合选项可得，不可能的是s<0，t>0.故选D.
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?A级　基础落实练?
1．(2023·天津卷)已知函数f(x)图象的一条对称轴为直线x＝2，f(x)的一个周期为4，则f(x)的解析式可能为(　　)
A．f(x)＝sin 　 B．f(x)＝cos
C．f(x)＝sin D．f(x)＝cos
限时规范
训练(二十九)　三角函数的图象与性质(二)
B
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解析：B　A选项中T＝＝4，B选项中T＝＝4，C选项中T＝＝8，D选项中T＝＝8，排除选项C，D；对于A，当x＝2时，f(2)＝sin ＝0，故(2，0)是函数的一个对称中心，排除选项A；
对于B，当x＝2时，f(2)＝cos ＝－1，故直线x＝2是函数的一条对称轴．故选B.
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2．已知函数f(x)＝cos ，如果存在实数x1，x2，使得对任意实数x，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)，那么|x2－x1|的最小值为(　　)
A． B．
C．π D．2π
解析：B　因为f(x)＝cos 的最小正周期T＝＝π，又由题意可知f(x1)为f(x)的最小值，f(x2)为f(x)的最大值，
所以.故选B.
B
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3．(2025·广东广州模拟)若函数f(x)＝x cos x在区间上的最小值为m，最大值为M，则下列结论中正确的是(　　)
A．m＋M＝0 B．mM＝0
C．mM＝1 D．m＋M＝1
解析：A　ln ＝－ln a，由题意得－ln a＞0，故a∈(0，1)，关于原点对称，且f(－x)＝－x cos (－x)＝－x cos x＝－f(x)，故f(x)＝x cos x为奇函数，则m＋M＝0，A正确，D错误；
故m，M一定异号，所以mM＜0，B、C错误．故选A.
A
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4．(2025·广东深圳模拟)记函数f(x)＝b(ω＞0)的最小正周期为T.若＜T＜π，且y＝f(x)的图象关于点中心对称，则f＝
(　　)
A．1 B．
C． D．3
B
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解析：B　由＜T＜π可得＜＜π，即2＜ω＜，由y＝f(x)的图象关于点中心对称可知b＝2，且f＝cos ＋b＝2，所以cos ＝0，即＋kπ，k∈Z，
故ω＝k，k∈Z，由ω＝k∈可得k∈，由于k∈Z，故k＝3，则ω＝，故f(x)＝cos ＋2，则f＝cos ＋2＝－cos .故选B.
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5．(多选)若函数f(x)＝sin4x＋cos4x，则下列说法中正确的是(　　)
A．函数f(x)图象的一条对称轴为直线x＝
B．函数f(x)图象的一个对称中心为
C．函数f(x)的最小正周期为
D．若函数g(x)＝8，则g(x)的最大值为2
ACD
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解析：ACD　由题意得，f(x)＝sin4x＋cos4x＝(sin2x＋cos2x)2－2sin2x cos2x＝1－sin22x＝cos4x＋.
对于A，当x＝时，f＝cos ＋，又f(x)min＝，所以直线x＝是函数f(x)图象的一条对称轴，故A正确；
对于B，由选项A分析可知f＝，所以点不是函数f(x)图象的对称中心，故B错误；
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对于C，由T＝，知函数f(x)的最小正周期为，故C正确；
对于D，g(x)＝8＝2cos 4x，所以g(x)max＝2，故D正确．故选A、C、D.
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6．函数f(x)＝(cos x－sin x)cos 的最小正周期是________．
解析：f(x)＝(cos x－sin x)cos ＝(cos x－sin x)sin x＝sin 2x－sin －，所以最小正周期为＝π.
答案：π
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7．(2025·河北沧州模拟)若函数f(x)＝cos (φ＞0)在R上为奇函数，则φ的最小值为________．
解析：因为函数f(x)＝cos (φ＞0)在R上为奇函数，
所以f(0)＝cos ＝0，
所以＋kπ，k∈Z，
所以φ＝＋kπ，k∈Z，
又φ＞0，所以φ的最小值为.
答案：
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8．(2025·河南洛阳模拟)已知偶函数f(x)＝2sin 的图象的两条相邻对称轴间的距离为，则函数f(x)在区间上的值域为________．
解析：由题知函数f(x)的最小正周期为2×＝π，则＝π，解得ω＝2，
所以f(x)＝2sin ，
又f(x)为偶函数，
所以－＋kπ，k∈Z，
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解得φ＝＋kπ，k∈Z，
因为，所以φ＝－，
故f(x)＝2sin ＝2sin ＝－2cos 2x，
因为x∈，
所以2x∈，
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所以cos 2x∈，
所以－2cos 2x∈[－2，1]，
故f(x)∈[－2，1].
答案：[－2，1]
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9．(13分)设f(x)＝sin x＋cos x(x∈R)．
(1)判断函数y＝2的奇偶性，并写出最小正周期；
(2)求函数y＝f(x)f在上的最大值．
解：(1)由题意得，f(x)＝sin x＋cos x＝sin ，
故y＝2
＝[sin ]2
＝2sin2＝1－cos
＝1－sin 2x，
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令g(x)＝1－sin 2x，x∈R，
由于g(－x)＝1－sin 2(－x)＝1＋sin 2x不恒等于g(x)，也不恒等于－g(x)，
故y＝2为非奇非偶函数，
最小正周期为＝π.
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(2)由题意可得y＝f(x)f
＝(sin x＋cos x)sin x
＝sin2x＋sinx cos x＝sin 2x
＝sin ＋，
因为x∈，
所以2x－∈，
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故sin ∈，
sin ＋∈，
故sin ＋的最大值为1＋，
即函数y＝f(x)f在上的最大值为1＋.
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?B级　能力提升练?
10．已知函数f(x)＝sin (ω＞0，x∈R)．若函数f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y＝f(x)的图象关于直线x＝ω对称，则ω的值为
(　　)
A． B．2
C． D．
D
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解析：D　因为f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数图象关于直线x＝ω对称，所以f(ω)必为一个周期上的最大值，所以ω·ω＋＝2kπ＋，k∈Z，所以ω2＝＋2kπ，k∈Z.又ω－(－ω)≤，ω＞0，即ω2≤，即ω2＝，所以ω＝.
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11．(多选)(2025·河北衡水模拟)已知函数f(x)＝sin ωx－cos ωx(ω＞0)图象的一条对称轴和一个对称中心的最小距离为，则下列说法中正确的是
( 　　)
A．函数f(x)的最小正周期为π
B．是函数f(x)的一个零点
C．f≥f(x)
D．f＝f
ABD
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解析：ABD　f(x)＝sin ωx－cos ωx＝2sin ，ω＞0，由题知，T＝π＝，ω＝2，所以f(x)＝2sin ，
对于A，函数f(x)的最小正周期为π，A正确；
对于B，f＝2sin ＝0，B正确；对于C，f＝2sin ＝＝1≠2，C错误；
对于D，f＝2sin ＝2，所以＝f，D正确．故选A、B、D.
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12．(2025·河北唐山模拟)已知A，B，C为函数f(x)＝sin ωx与g(x)＝cos ωx的交点，若△ABC为等边三角形，则正数ω的最小值为________．
解析：如图所示：
由题意联立得ωx＝＋kπ(k∈Z)，所以sin ωx＝±，
所以不妨依次设点A，B，
C，则AC的中点D，
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因为等边三角形ABC的边长AC＝2×，
不妨设x1＝(ω＞0，k∈Z)，
又AC＝x3－x1＝，
解得ω＝，
结合ω＞0，k∈Z可知，当且仅当k＝1时，正数ω取最小值，即ωmin＝.
答案：
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13．(15分)(2025·广东广州模拟)已知函数f(x)＝sin ωx－cos ωx，ω＞0.
(1)若函数f(x)图象的两条相邻对称轴之间的距离为π，求f(x)的单调递增区间；
(2)若函数f(x)的图象关于点对称，且函数f(x)在上单调，求ω的值．
解：(1)f(x)＝sin ωx－cos ωx
＝2(sin ωx－)
＝2sin ，
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因为函数f(x)图象的两条相邻对称轴之间的距离为π，所以T＝π，则T＝2π，
所以T＝＝2π，解得ω＝1，
所以f(x)＝2sin .
由－＋2kπ≤x－＋2kπ，k∈Z，
解得－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z，
因此f(x)的单调递增区间是[＋2kπ，]，k∈Z.
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所以解得0＜ω≤2，
由0＜2k＋≤2，k∈Z，
解得k＝0，此时ω＝.
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(2)因为f(x)＝2sin 的图象关于点对称，所以＝kπ，k∈Z，
所以ω＝2k＋，k∈Z，
因为x∈，ω＞0，
所以ωx－∈，
又函数f(x)在上单调，
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所以解得0＜ω≤2，
由0＜2k＋≤2，k∈Z，
解得k＝0，此时ω＝.
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14．(15分)(2025·海南海口模拟)已知函数f(x)＝sin 2x－cos 2x，x∈R.
(1)若h(x)＝f(x＋t)的图象关于点对称，且t∈，求t的值；
(2)不等式恒成立，求实数m的取值范围．
解：(1)f(x)＝sin 2x－cos 2x
＝2(sin 2x－
＝2sin ，
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法一：因为函数f(x)的图象在点右侧关于点对称，把它向左平移个单位长度，得f的图象关于点对称，因此t＝.
法二：由题意知，h＝f
＝2sin [－]
＝2sin ＝0，
所以2t＋＝kπ，k∈Z，
所以t＝kπ－，k∈Z，
又t∈，所以t＝.
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(2)恒成立 m－3＜f(x)＜m＋3，对任意的x∈恒成立．
由(1)知f(x)＝2sin ，x∈，可得f(x)在上单调递增，
在上单调递减，
所以f(x)max＝f＝2，
又f＝1，f＝，
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所以f(x)min＝f＝1，
所以解得－1＜m＜4，
则实数m的取值范围为(－1，4)．
第5讲　第2课时　三角函数的图象与性质(二)
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第2讲
同角三角函数的基本关系与诱导公式
聚焦·必备知识
突破·核心考点
限时规范训练
1
2
3
内容索引
1．理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，＝tan α，能够利用该公式解决求值与化简问题.2.能利用单位圆中的对称性推导出±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式．
◆课标要求
聚焦
必备知识
1．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：___________________．
(2)商数关系：＝tan α.
sin2α＋cos2α＝1
2．三角函数的诱导公式
公式 角 正弦 余弦 正切 口诀
一 2kπ＋α(k∈Z) sin α cos α tan α 奇变偶不变，符号看象限
二 π＋α _________ _______ _______
三 －α _________ ______ _________
四 π－α _______ _______ ________
五 －α _______ ______ －
六 ＋α ______ _______ －
－sin α　
－cos α
tan α
－sin α
cos α
－tan α
sin α
－cos α
－tan α
cos α
sin α
cos α
－sin α
1．同角三角函数关系式的常用变形
(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；
sin α＝tan αcos α.
2．诱导公式的记忆口诀
“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化．
3．(1)sin (kπ＋α)＝(－1)k sin α(k∈Z)．
(2)cos (kπ＋α)＝(－1)k cos α(k∈Z)．
在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断三角函数的符号．
1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1.(　　)
(2)sin (π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．(　　)
(3)若α∈R，则tan α＝．(　　)
(4)若sin (kπ－α)＝(k∈Z)，则sin α＝.(　　)
×
×
×
×
2．已知sin ＝，那么cos α等于(　　)
A．－　　　　　 B．－
C． D．
解析：B　因为sin ＝－cos α＝，
所以cos α＝－.
B
3．已知α是第三象限的角，sin α＝－，则tan α等于(　　)
A．－ B．
C．－ D．
解析：B　由题意得cos α＝－，故tan α＝.
B
4．化简·cos (2π－α)的结果为________．
解析：原式＝·cos α＝sin α.
答案：sin α
突破
核心考点
同角三角函数的基本关系
考向1　“知一求二”问题
例1　(2023·全国乙卷)若θ∈，tan θ＝，则sin θ－cos θ＝________．
解析：因为θ∈，则sin θ＞0，cos θ＞0，
又tan θ＝，
则cos θ＝2sin θ，
且cos2θ＋sin2θ＝4sin2θ＋sin2θ＝5sin2θ＝1，
解得sinθ＝或sin θ＝－(舍去)，
所以sin θ－cos θ＝sin θ－2sin θ
＝－sin θ＝－.
答案：－
考向2　sin α、cos α的齐次式问题
例2　(2025·辽宁沈阳部分学校联考)若，则等于(　　)
A．－　 B．
C．－ D．
C
解析：C　∵，∴tan θ＝，则，故选C.
考向3　sinα±cos α与sin αcos α之间关系的应用
例3　(多选)已知θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝，则下列结论中正确的是
(　　)
A．sin θ＝ B．cos θ＝－
C．tan θ＝－ D．sin θ－cos θ＝
ABD
解析：ABD　由题意知sin θ＋cos θ＝，
∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcosθ＝，
∴2sin θcosθ＝－<0，
∵θ∈(0，π)，∴<θ<π，∴sin θ－cos θ>0，
∴sin θ－cos θ＝
＝＝，
∴sin θ＝，cos θ＝－.
∴tan θ＝－，∴A、B、D正确．
反思感悟　同角三角函数关系式的应用
(1)利用sin2α＋cos2α＝1可实现角α的正弦、余弦的互化，利用＝tan α(α≠＋kπ，k∈Z)可实现角α的弦切互化．
(2)当分式中分子与分母是关于sin α，cos α的齐次式时，往往转化为关于tan α的式子求解．
(3)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．
跟踪训练1　(1)若θ∈，且满足－tan θ＝1，则sin θ－cos θ＝
(　　)
A． B．
C．－ D．－
A
解析：A　由－tan θ＝1得，
(tan θ－2)(tan θ＋3)＝0，∴tan θ＝－3或tan θ＝2，∵θ∈，∴tan θ＜0，
∴tan θ＝－3.
由及sin θ＞0，cos θ＜0，
得sin θ＝，cos θ＝－，
∴sin θ－cos θ＝.故选A.
(2)(多选)已知sin θcosθ＝＜θ＜2π，则(　　)
A.θ的终边在第三象限
B．sin θ＋cos θ＝
C．sin θ－cos θ＝0
D．tan θ＝－1
AC
解析：AC　因为sin θcosθ＝＜θ＜2π，
则θ为第三象限角，A正确；
由题意得sin θ＜0，cos θ＜0，B错误；
因为(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcosθ＝0，
故sin θ－cos θ＝0，C正确；
结合选项C可知tan θ＝1，D错误．
(3)(2025·江苏徐州联考)若θ∈，则tan θ＝________．
解析：因为，所以，所以，即sin2θ－sinθcosθ－cos2θ＝0，因为θ∈，所以cosθ≠0，tan θ＞0，所以tan2θ－tanθ－1＝0，得tan θ＝.
答案：
例4　(1)(人教A版必修第一册P195习题5.3第7题变式)在△ABC中，下列等式一定成立的是(　　)
A．sin (A＋B)＝－sin C
B．cos (A＋B)＝cos C
C．cos ＝sin
D．sin ＝sin
C
诱导公式的应用
解析：C　在△ABC中，由三角形的内角和知，A＋B＋C＝π，对于A，sin (A＋B)＝sin (π－C)＝sin C，故A错误；对于B，cos (A＋B)＝cos (π－C)＝－cos C，故B错误；对于C，cos ＝cos ＝sin ，故C正确；对于D，sin ＝sin ＝D错误．故选C.
(2)(2025·河北张家口模拟)已知cos ＝，则sin 等于(　　)
A．－ B．
C． D．－
A
解析：A　sin ＝sin [－]＝－cos ＝－.
反思感悟　(1)诱导公式的应用步骤
任意负角的三角函数任意正角的三角函数0～2π内的角的三角函数锐角三角函数．
(2)诱导公式的两个应用
①求值：负化正，大化小，化到锐角为终止．
②化简：统一角，统一名，同角名少为终止．
跟踪训练2　(1)(人教A版必修第一册P194习题5.3第3题变式)求值：
tan 780°cos (－1140°)－sin 1560°cos (－1050°)＝________．
解析：原式＝tan (2×360°＋60°)cos (－3×360°－60°)－sin (4×360°＋120°)cos (－3×360°＋30°)＝tan 60°cos (－60°)－sin 120°
cos 30°＝.
答案：
(2)(人教A版必修第一册P195习题5.3第8题变式)已知cos ＝a(|a|≤1)，则sin ＝________．
解析：由题知cos ＝cos ＝－cos ＝－a，sin ＝sin [＋]＝cos ＝a，
∴cos ＋sin ＝0.
答案：0
例5　(1)已知sin ＝，那么tan 等于(　　)
A．－
B．±2
C．
D．2
B
同角三角函数的基本关系与诱导公式的综合应用
解析：B　因为sin ＝，所以cos ＝cos [－]＝sin ＝，则sin ＝±＝所以tan＝＝.
(2)(2025·湖南衡阳第一次联考)已知α∈，cos ＝，则tan α等于(　　)
A．
B．
C．2
D．4
A
解析：A　由cos ＝得sin 2α＝，所以2 sin αcos α＝，
则，即，
解得tanα＝4或tan α＝.
又α∈，所以0＜tan α＜1，
所以tan α＝.
反思感悟　(1)利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形．
(2)注意角的取值范围对三角函数符号的影响．
跟踪训练3　(1)(2025·陕西榆林模拟)已知tan (α－π)＝，则等于(　　)
A． B．3
C．－ D．－3
解析：C　由tan (α－π)＝，解得tan α＝，则
＝－tan α＝－.
C
(2)已知sin ＝，其中α∈，则＝______，
sin ＝______．
解析：法一：令t＝α－，
所以sin t＝，
所以cos ＝cos
＝cos ＝－sin t＝－.
因为α∈，所以α－∈，
所以sin ＝，
所以sin ＝sin ＝2sin ＝2×＝－.
法二：因为sin ＝，
所以cos ＝cos
＝sin [－]
＝sin ＝sin
＝sin ＝－sin ＝－.
以下同法一．
答案：－　－
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1
2
?A级　基础落实练?
1．sin 1620°等于(　　)
A．0　　 B．　　
C．1　　 D．－1
解析：A　由诱导公式得，sin 1620°＝sin (180°＋4×360°)＝sin 180°＝0.
限时规范
训练(二十五)　同角三角函数的基本关系与诱导公式
A
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2．(2025·四川成都联考)若角α的顶点在坐标原点，始边为x轴的非负半轴，终边位于第二象限，且sin α＝，则sin ＝(　　)
A． B．－
C． D．－
解析：D　因为角α的终边位于第二象限，则cos α＝－，
所以sin＝cos α＝－.
D
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3．(2025·河南信阳大联考)已知cos ＋＝，则cos 等于(　　)
A．－ B．
C．－ D．
C
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解析：C　因为cos ＋cos ＝，所以cos －sin＝，则[－sin ]2＝1－2cos sin ＝，则sin ＝，故cos ＝cos ＝－sin ＝.故选C.
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4．(2025·安徽安庆联考)已知＝2，则tan α等于(　　)
A． B．
C．－ D．－
解析：B　法一：因为＝2，所以cos α＋2sin α＝2，且cos α≠0，所以cos2α＋4sinαcos α＋4sin2α＝＝4，所以1＋4tanα＋4tan2α＝4(1＋tan2α)，即4tanα＝3，
所以tan α＝，故选B.
B
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法二：因为＝2，所以cos α＋2sin α＝2，且cos α≠0，所以cos2α＋4sinαcos α＋4sin2α＝4，即4sinαcos α＝3cos2α，
所以tanα＝，故选B.
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5．已知tan α＝2，则cos 等于(　　)
A． B．
C．－ D．－
解析：D　由诱导公式可得，cos ＝cos ＝cos ＝－sin 2α＝.故选D.
D
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6．(多选)在平面直角坐标系中，若角α的终边与单位圆交于点P(n＞0)，将角α的终边按逆时针方向旋转后得到角β的终边，记角β的终边与单位圆的交点为Q，则下列结论正确的是(　　)
A．tanα＝
B．sin β＝
C．tan β＝
D．Q的坐标为
ABD
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解析：ABD　由题意知cos α＝，角α的终边在第一象限，
则n＝sin α＝，
所以tanα＝，A正确．
由题意知β＝α＋，
所以cos β＝cos ＝－sin α＝－，
sin β＝sin ＝cos α＝，
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tan β＝，
即Q点的坐标为，
所以可得B，D正确，C错误．
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2
7．(2025·福建厦门模拟)若sin ＝－，则cos ＝________．
解析：cos ＝cos [－]＝sin ＝－.
答案：－
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8．已知sin θ＝，则＝________．
解析：原式＝.
答案：
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2
9．已知tanα＝cos α，则＝________．
解析：因为tan α＝＝cos α，
故sin α＝cos2α，
则
＝
＝＝1.
答案：1
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2
10．(13分)(1)若α是第二象限角，且cos ＝－，求tan α的值；
(2)已知f(α)＝，
化简f(α)，在(1)的条件下，求f(α)的值．
解：(1)∵cos ＝－sin α＝－，
∴sin α＝，又α是第二象限角，
∴cos α＝－，
则tanα＝.
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(2)f(α)＝
＝＝cos α，
由(1)知，cos α＝－，
则f(α)＝cos α＝－.
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11．(13分)已知sin α＋cos α＝－.
(1)求sin α·cos α的值；
(2)若＜α＜π，求的值．
解：(1)由sin α＋cos α＝－，两边平方得(sin α＋cos α)2＝2，
即1＋2sin αcos α＝，则sin αcos α＝－.
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(2)因为(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1＋，所以cos α－sin α＝±.
因为＜α＜π，所以sin α＞0，cos α＜0，
则cos α－sin α＝－，即.
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2
?B级　能力提升练?
12．(2025·海南部分学校诊断)若α∈(0，π)，且cos α－sin α＝，则tan α等于(　　)
A． B．
C． D．
D
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解析：D　∵cos α－sin α＝，
∴(cos α－sin α)2＝，即1－2sin αcos α＝，∴sin αcos α＝，∴，得－8tanα＋3＝0，
∴tan α＝或tan α＝.
∵α∈(0，π)，且cos α－sin α＝＞0，
∴α∈，∴0＜tan α＜1，
故tan α＝.
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13．(多选)已知角α满足sin α·cos α≠0，则算式(k∈Z)的可能取值为(　　)
A．－2 B．－1
C．2 D．1
解析：AC　当k为奇数时，原式＝＝(－1)＋(－1)＝－2；
当k为偶数时，原式＝＝1＋1＝2.
所以原表达式的取值为－2或2.
AC
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14．(15分)在①4sin (2022π＋α)＝－3cos (2024π＋α)；②sin α＋cos α＝；③α，β的终边关于x轴对称，并且4sin β＝3cos β这三个条件中任选一个，补充在横线上，并回答问题．
已知第四象限角α满足________，求下列各式的值．
(1)；
(2)sin2α＋3sinαcos α.
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解：若选择条件①
∵4sin (2022π＋α)＝－3cos (2024π＋α)，
∴4sin α＝－3cos α，
∴tan α＝－.
若选择条件②
∵α是第四象限角，
∴sin α＜0，cos α＞0，
又sin α＋cos α＝，
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2
∴2＋cos2α＝1，
∴cosα＝，sin α＝－，
∴tan α＝－.
若选择条件③
∵α是第四象限角，
∴sin α＜0，cos α＞0，
又α，β的终边关于x轴对称，
∴sin α＝－sin β，cos α＝cos β.
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又4sin β＝3cos β，
∴－4sin α＝3cos α，
即tan α＝－.
(1)
＝＝1.
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2
(2)sin2α＋3sinαcos α＝
＝
＝－.
第2讲　同角三角函数的基本关系与诱导公式
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第四章　三角函数、解三角形
第1讲
任意角和弧度制、三角函数的概念
聚焦·必备知识
突破·核心考点
限时规范训练
1
2
3
内容索引
1．了解任意角、弧度制的概念.2.能进行弧度与角度的互化.3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．
◆课标要求
聚焦
必备知识
1．任意角
(1)任意角包括正角、负角和零角．
(2)象限角：在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在___________，就说这个角是第几_________；如果角的终边在___________，就认为这个角不属于任何一个象限．
(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝________________________．
第几象限
象限角
坐标轴上
{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}
2．弧度制的定义和有关公式
(1)定义：把长度等于_________的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1 rad.
(2)公式
角α的弧度数公式 |α|＝(弧长用l表示)
角度与弧度的换算 1°＝ rad；1 rad＝()°
弧长公式 弧长l＝________
扇形面积公式
S＝________＝_______
半径长
lr
r2
扇形的弧长公式、面积公式中角的单位要用弧度，在同一式子中，采用的度量制必须一致．
3．任意角的三角函数
(1)概念：任意角α的终边与单位圆交于点P(x，y)时，sin α＝____，cos α＝____，tan α＝(x≠0)．
(2)概念推广：在三角函数坐标法定义中，若取点P(x，y)是角α终边上异于顶点的任一点，设点P到原点O的距离为r，则sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)．
y
x
1．三角函数值在各象限的符号口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦．
2．象限角与轴线角
(1)象限角
(2)轴线角
3．重要不等关系：若α∈，则sin α<α1．思考辨析(在括号内打“ √”或“×”)
(1)小于90°的角是锐角．(　　)
(2)锐角是第一象限角，第一象限角也都是锐角．(　　)
(3)角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关．(　　)
(4)若α为第一象限角，则sin α＋cos α>1.(　　)
×
×
√
√
2．(人教A版必修第一册P173例4变式)67°30′化为弧度是(　　)
A．　　　　　 B．
C． D．
解析：A　67°30′＝67.5× rad＝ rad.
A
3．已知α是第一象限角，那么是(　　)
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第一或第二象限角
D．第一或第三象限角
解析：D　易知2kπ＜α＜＋2kπ，k∈Z，
故kπ＜＜＋kπ，
所以是第一或第三象限角．
D
4．已知角θ的终边经过点P(－12，5)，则sin θ＋cos θ＝________．
解析：由三角函数的定义可得
sin θ＋cos θ＝.
答案：－
例1　(1)(多选)(人教A版必修第一册P176习题5.1第7题变式)若α是第二象限角，则(　　)
A．－α是第一象限角
B．是第一或第三象限角
C．＋α是第二象限角
D．2α是第三象限角或2α是第四象限角或2α的终边在y轴负半轴上
C
任意角及其表示
突破
核心考点
解析：BD　因为α是第二象限角，所以90°＋360°·k＜α＜180°＋360°·k，k∈Z.对于A，－180°－360°·k＜－α＜－90°－360°·k，k∈Z，则－α是第三象限角，故A错误．对于B，可得45°＋180°·k＜＜90°＋180°·k，k∈Z，当k为偶数时，是第一象限角；当k为奇数时，是第三象限角，故B正确．对于C，360°＋360°·k＜270°＋α＜450°＋360°·k，k∈Z，即2(k＋1)·180°＜270°＋α＜90°＋2(k＋1)·180°，k∈Z，所以270°＋α是第一象限角，故C错误．对于D，180°＋720°·k＜2α＜360°＋720°·k，k∈Z，所以2α的终边位于第三或第四象限或y轴负半轴上，故D正确．
(2)如图所示，终边落在阴影部分的角α的取值集合为____________．
解析：终边落在射线OA上的角的集合是{β|β＝k·360°＋30°，k∈Z}，终边落在射线OB上的角的集合是{γ|γ＝k·360°＋105°，k∈Z}，所以终边落在阴影部分(含射线OA，不含射线OB)的角的集合是{α|k·360°＋30°≤α答案：{α|k·360°＋30°≤α＜k·360°＋105°，k∈Z}
反思感悟　(1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过集合中的参数k(k∈Z)赋值来求得所需的角．
(2)确定kα，(k∈N*)的终边位置的方法是先写出kα或的范围，然后根据k的可能取值确定kα或的终边所在的位置．
跟踪训练1　(1)若α是第一象限角，则下列各角中属于第四象限角的是
(　　)
A．90°－α　　　　　　 B．90°＋α
C．360°－α D．180°＋α
解析：C　若α是第一象限角，则90°－α的终边在第一象限，90°＋α的终边在第二象限，360°－α的终边在第四象限，180°＋α的终边在第三象限，故C项是第四象限角．
C
(2)集合{α≤α≤kπ＋，k∈Z}中的角所表示的范围(阴影部分)是
(　　)
解析：C　当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋≤α≤2nπ＋，此时α表示的范围与表示的范围一样；当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋π＋≤α≤2nπ＋π＋，此时α表示的范围与π＋≤α≤π＋表示的范围一样．故选C.
C
弧度制及其应用
例2　已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l.
(1)若α＝，R＝10 cm，求扇形的弧长l；
(2)若扇形的周长是20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？
(3)若α＝，R＝2 cm，求扇形的弧所在的弓形的面积．
解：(1)因为α＝，R＝10 cm，
所以l＝|α|R＝(cm)．
(2)由已知，得l＋2R＝20，所以S＝＝10R－R2＝－(R－5)2＋25.
所以当R＝5 cm时，S取得最大值，
此时l＝10 cm，α＝2.
(3)设弓形面积为S弓形，由题意知l＝ cm，
所以S弓形＝×22×sin
＝(cm2)．
反思感悟　应用弧度制解题时的注意点
(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．
(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，或利用基本不等式解决．
(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．
跟踪训练2　(2025·山东菏泽期末)已知扇形AOB的周长为8，则扇形AOB的面积的最大值是________，此时弦长|AB|＝________．
解析：设扇形AOB的半径为r，则弧长l＝8－2r，圆心角α＝－2，所以扇形AOB的面积S＝lr＝－r2＋4r＝－(r－2)2＋4，所以当r＝2时，Smax＝4.
因为r＝2，所以α＝－2＝2，所以弦长|AB|＝2r·sin ＝4sin 1.
答案：4　4sin 1
考向1　三角函数的定义
例3　(2025·重庆八中阶段检测)设θ是第二象限角，P(－4，y)为其终边上的一点，且sin θ＝y，则tan θ等于(　　)
A．－ B．－
C． D．
A
三角函数的定义及其应用
解析：A　因为sin θ＝y，所以＝6，解得y＝±2，又θ是第二象限角，所以y＝2，所以tan θ＝.
考向2　三角函数值的符号
例4　若θ是第一象限角，则(　　)
A．sin 2θ＞0且tan 2θ＞0
B．sin ＞0且tan 2θ＞0
C．sin 2θ＞0且tan ＞0
D．sin ＞0且tan ＞0
C
解析：C　因为θ是第一象限角，则2kπ＜θ＜＋2kπ，k∈Z，所以kπ＜＜＋kπ，k∈Z，所以是第一或第三象限角，则sin ＞0或sin ＜0，tan ＞0，故排除B、D.
又4kπ＜2θ＜π＋4kπ，k∈Z，所以2θ的终边在第一、第二象限或在y轴的非负半轴上，则sin 2θ＞0，当2θ的终边在y轴的非负半轴上时，tan 2θ无意义，故排除A.故选C.
反思感悟　(1)三角函数定义的应用
①直接利用三角函数的定义，找到给定角的终边上一个点的坐标，及这点到原点的距离，确定这个角的三角函数值．
②已知角的某一个三角函数值，可以通过三角函数的定义列出含参数的方程，求参数的值．
(2)要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定三角函数值的符号．如果不能确定角所在的象限，那就要进行分类讨论．
跟踪训练3　(1)若角α的终边在直线y＝x上，则cos α的值是(　　)
A． B．
C．± D．±
解析：D　法一：当角α的终边位于第一象限时，取直线y＝x上位于第一象限的一个点的坐标，例如(2，3)，则cos α＝，同理，当角α的终边位于第三象限时，取直线上一个点的坐标为(－2，－3)，则
cos α＝－，故选D.
D
法二：∵角α的终边在直线y＝x上，
∴tan α＝，即，　①
又sin2α＋cos2α＝1，　②
∴解①②构成的方程组，得cosα＝±，经检验，符合题意，故选D.
(2)已知点P的坐标为(sin 5，cos 5)，则点P位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：B　∵＜5＜2π，∴sin 5＜0，cos 5＞0，∴点P位于第二象限，故选B.
B
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?A级　基础落实练?
1．与－2026°终边相同的最小正角是(　　)
A．134°　 B．133°　
C．57°　 D．43°
解析：A　因为－2026°＝－360°×6＋134°，
所以与－2026°终边相同的最小正角是134°.
限时规范
训练(二十四)　任意角和弧度制、三角函数的概念
A
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2．(人教A版必修第一册P175练习第6题变式)若一个扇形的半径为3，圆心角为α，周长为8，则α等于(　　)
A． B．
C． D．
解析：B　设扇形的弧长为l，则l＝8－3－3＝2，则α＝，故选B.
B
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3．下列与角的终边相同的角的表达式中正确的是(　　)
A．2kπ＋45°(k∈Z)
B．k·360°＋(k∈Z)
C．k·360°－315°(k∈Z)
D．kπ＋(k∈Z)
C
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解析：C　对于A、B，2kπ＋45°(k∈Z)，k·360°＋(k∈Z)中角度和弧度混用，A、B不正确；
对于C，因为＝2π＋与－315°是终边相同的角，故与角的终边相同的角可表示为k·360°－315°(k∈Z)，C正确；
对于D，kπ＋(k∈Z)，不妨取k＝0，则表示的角与终边不相同，D错误．故选C.
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4．已知角α的终边经过点P(－1，m)，且sin α＝－，则tan α的值是(　　)
A．± B．
C．－ D．
解析：B　∵角α的终边经过点P(－1，m)，∴sin α＝，解得m＝－，
∴tan α＝－m＝.故选B.
B
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5．(2025·江西鹰潭期末)点A(sin 1240°，cos 1240°)在直角坐标平面上位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：D　因为1240°＝3×360°＋160°，160°是第二象限角，所以sin 1240°＞0，cos 1240°＜0，A点位于第四象限．
D
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6．给出下列命题：
①第二象限角大于第一象限角；
②不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；
③若sin α＝sin β，则α与β的终边相同；
④若cos θ＜0，则θ是第二或第三象限的角．
其中正确命题的序号是(　　)
A．②④ B．③④
C．② D．①③④
C
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解析：C　①由于120°是第二象限角，390°是第一象限角，故第二象限角大于第一象限角不正确，故①不正确；
②不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关，故②正确；
③若sin α＝sin β，则α与β的终边相同或终边关于y轴对称，故③不正确；
④若cos θ＜0，则θ是第二象限角或第三象限角或θ的终边落在x轴的负半轴上，故④不正确．
其中正确命题的序号是②，故选C.
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7．(2025·新疆乌鲁木齐模拟)已知角α(0°＜α＜360°)的顶点为坐标原点O，始边为x轴的非负半轴，终边上A点坐标为(sin 310°，cos 310°)，则α等于(　　)
A．130° B．140°
C．220° D．230°
解析：B　因为sin 310°＜0，cos 310°＞0，所以角α的终边在第二象限，又
tan α＝＝
＝
tan 140°，且0°＜α＜360°，所以α＝140°.
B
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2
8．在面积为4的扇形中，其周长最小时半径的值为(　　)
A．4 B．2
C．2 D．1
解析：C　设扇形的半径为R(R＞0)，圆心角为α，则αR2＝4，所以α＝，
所以扇形的周长为
2R＋αR＝2R＋＝8，当且仅当2R＝，即R＝2时，取等号，此时α＝2，
所以扇形周长最小时半径的值为2.
C
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2
9．(多选)(人教A版必修第一册P185习题5.2第10题变式)已知cos θ·tanθ＞0，则θ可能为(　　)
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
解析：AB　由cos θ·tanθ＞0，可得
或所以θ可能为第一象限角或第二象限角．故选A、B.
AB
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10．(多选)下列说法中正确的是( 　　)
A．与1920°终边相同的角中，最小正角是120°
B．三角形的内角必是第一或第二象限角
C．22°30′化成弧度是
D．终边落在直线y＝α＝k·180°＋60°，k∈Z}
ACD
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解析：ACD　与1920°终边相同的角为β＝k·360°＋1920°＝(k＋5)·360°＋120°，k∈Z，当k＝－5时，β＝120°，所以与1920°终边相同的角中最小正角是120°，故A正确．因为三角形内角的范围是(0，π)，所以三角形的内角必是第一象限角或第二象限角或等于，故B错误.22°30′化成弧度是22.5×，故C正确．易得直线y＝x的倾斜角为60°，当角的终边在第一象限时，α＝60°＋k1·360°，k1∈Z；当角的终边在第三象限时，α＝240°＋k2·360°，k2∈Z.所以角α的集合为{α|α＝k·180°＋60°，k∈Z}，故D正确．故选A、C、D.
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2
11．(多选)(人教A版必修第一册P180练习第3题变式)已知角θ的终边经过点，且θ与α的终边关于x轴对称，则(　　)
A．sin θ＝－
B．α为钝角
C. cos α＝－
D．点(tan θ，tan α)在第四象限
ACD
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2
解析：ACD　因为角θ的终边经过点)，所以sin θ＝－，故A正确．因为θ与α的终边关于x轴对称，所以α的终边经过点，α为第二象限角，不一定为钝角，且cos α＝，故B错误，C正确．因为tan θ＝＞0，tan α＝－＜0，所以点(tan θ，tan α)在第四象限，D正确．故选A、C、D.
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12．已知角α的终边经过点P(－3，4)，则的值为________．
解析：由＝5，得sin α＝，cos α＝－，tan α＝－，代入原式得.
答案：－
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2
?B级　能力提升练?
13．如图所示是某种“水滴”形状的探测器，其由线段AB，AC和圆的优弧围成，AB，AC恰好与圆弧相切．若圆弧所在圆的半径为1，点A到圆弧所在圆的圆心的距离为2，则该封闭图形的面积为(　　)
A． B．2
C．2 D．
A
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2
解析：A　如图，设圆弧所在圆的圆心为O，连接OA，OB，OC，
依题意得OB⊥AB，OC⊥AC，
且OB＝OC＝1，OA＝2，
则AB＝AC＝，∠BAC＝，
所以∠BOC＝，
所以该封闭图形的面积为
2××12＝.
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2
14．(2025·黑龙江牡丹江模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知点A，将线段OA绕原点顺时针旋转得到线段OB，则点B的横坐标为________．
解析：易知A在单位圆上，记终边在射线OA上的角为α，如图所示，
根据三角函数的定义可知，cos α＝，sin α＝；
OA绕原点顺时针旋转得到线段OB，
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2
则终边在射线OB上的角为α－，
所以点B的横坐标为cos
＝cos αcos ＋sin αsin .
答案：
第1讲　任意角和弧度制、三角函数的概念
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