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第24章
圆
九年级数学沪科版·下册
24.1.1 图形的旋转
教学目标
1.掌握旋转的有关概念及基本性质.（重点）
2.能够根据旋转的基本性质解决实际问题和进行简单作图.
（难点）
复习导入
情境引入
转动的车轮
转动的时针
荡秋千
这些运动有什么共同的特点？
新知探究
旋转的概念
一
观察与思考
B
O
A
45°
问题 观察下列图形的运动，它有什么特点？
钟表的指针在不停地转动，从12时到4时，时针转动了______度.
120
把时针当成一个图形，那么它可以绕着中心固定点转动一定角度.
思考:怎样来定义这种图形变换？
新知探究
风车风轮的每个叶片在风的吹动下转动到新的位置.
怎样来定义这种图形变换？
把叶片当成一个平面图形，那么它可以绕着平面内中心固定点转动一定角度.
新知探究
把一个图形绕着平面内某点O沿某个方向转动一个角度的图形变换叫做旋转.
O
P′
P
旋转中心
旋转角
对应点
旋转的定义
这个定点O称为旋转中心.
转动的角称为旋转角.
转动的方向分为顺时针与逆时针.
如果图形上的点P经过旋转变为点P'，这两个点叫做这个旋转的对应点.
知识要点
新知探究
若叶片 A 绕 O 顺时针旋转到叶片 B，则旋转中心是______，旋转角是_________，旋转角等于____度，其中的对应点有_______、 _______、 _______、 _______、 _______、 _______ .
O
A
C
D
E
F
O
∠AOB
60
F与A
A与B
B与C
C与D
D与E
E与F
填一填：
B
新知探究
旋转中心
旋转角
旋转方向
必须明确
确定一次图形的旋转时,
温馨提示：①旋转的范围是“平面内”，其中“旋转中心，
旋转方向，旋转角”称之为旋转的三要素；②旋转变换
同样属于全等变换.
归纳总结
新知探究
新知探究
A．30°
B．45°
C．90°
D．135°
例1 如图，点A，B，C，D都在方格纸的格点上，若△AOB绕点O按逆时针方向旋转到△COD的位置，则旋转的角度为(　　)
解析：对应点与旋转中心的连线的夹角，就是旋转角，由图可知，OB，OD是对应边，∠BOD是旋转角，所以，旋转角为90°.
C
B'
A'
C'
A
B
C
O
线： AO=A'O ，BO=B'O ，CO=C'O
角：∠AOA'=∠BOB' =∠COC'
观察下图，你能得到什么结论？
新知探究
旋转的性质
二
D
E
A
B
F
C
O
1.对应点到旋转中心的距离相等;
2.两组对应点分别与旋转中心的连线所成的角相等，
都等于旋转角;
3.旋转中心是唯一不动的点.
旋转的性质
知识要点
新知探究
例2 如图，点E是正方形ABCD内一点，连接AE，BE，CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置.若AE＝1，BE＝2，CE＝3，则∠BE′C＝________度．
解析：连接EE′，
由旋转性质知BE＝BE′，∠EBE′＝90°，
∴∠BE'E=45°，
EE′
在△EE′C中，E′C＝1，EC＝3，
EE′
由勾股定理逆定理可知∠EE′C＝90°，
∴∠BE′C＝∠BE′E＋∠EE′C＝135°.
135
新知探究
例3 如图，将等腰△ABC绕顶点B逆时针方向旋转α度到△A1BC1的位置，AB与A1C1相交于点D，AC与A1C1，BC1分别交于点E，F．
（1）求证：△BCF≌△BA1D；
（2）当∠C=α度时，判定四边形A1BCE的形状并说明理由．
新知探究
解析：(1)根据等腰三角形的性质得到AB=BC，∠A=
∠C，由旋转的性质得到A1B=AB=BC，∠A1=∠A=
∠C，∠A1BD=∠CBC1，根据全等三角形的判定定理得到△BCF≌△BA1D；
新知探究
（1）证明：∵△ABC是等腰三角形，
∴AB=BC，∠A=∠C，
由旋转的性质，可得
A1B=AB=BC，∠A=∠A1=∠C，∠A1BD=∠CBC1，
在△BCF与△BA1D中，
△BCF≌△BA1D.
新知探究
（2）由旋转的性质得到∠A1=∠A，根据平角的定义得到∠A1EC=180°-α，根据四边形的内角和得到∠A1BC=360°-∠A1-∠C-∠A1EC=180°-α，证得四边形A1BCE是平行四边形，由于A1B=BC，即可得到四边形A1BCE是菱形．
新知探究
(2)解：四边形A1BCE是菱形，
由旋转可知∠A1=∠A.
∵∠ADE=∠A1DB，
∴∠AED=∠A1BD=α，
∴∠A1EC=180°-α.
∵∠C=α，
∴∠A1=α，
∴∠A1BC=360°-∠A1-∠C-∠A1EC=180°-α，
∴∠A1=∠C，∠A1BC=∠A1EC，
∴四边形A1BCE是平行四边形.
∵A1B=BC，
∴四边形A1BCE是菱形.
新知探究
旋转对称图形
三
互动探究
活动 如图，在硬纸板上剪下两张如下图形，然后将它们叠放在一起，在其中心钉上一枚图钉，然后旋转上面的硬纸板，旋转一定角度后，它能与下面的硬纸板重合吗？
新知探究
知识要点
在平面内，一个图形绕着一个定点旋转一定的角度
后，能够与原图形重合，这样的图形叫
做旋转对称图形，这个定点就是旋转中心.
新知探究
例4 如图是一个标准的五角星，若将它绕旋转中心旋转一定角度后能与自身重合，则至少应将它旋转的度数是（　　）
A．60° B．72° C．90° D．144°
解析：如图，设O是五角星的中心，
∵五角星是正五角星，
∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE=∠AOE.
∵它们都是旋转角，且它们的和为360°，
∴至少将它绕中心顺(或逆)时针旋转360÷5=72°，才能使正五角星旋转后与自身
重合．
B
O
A
B
D
E
C
新知探究
例5 一个菱形绕它的两条对角线的交点旋转，使它和原来的菱形重合，那么旋转的角度至少是（　　）
A．360° B．270° C．180° D．90°
解析：∵菱形是中心对称图形，
∴把菱形绕它的中心旋转，使它与原来的菱形重合，旋转角为180°的整数倍，
∴旋转角至少是180°．
C
新知探究
课堂小结
旋转
定义
三要素：旋转中心，旋转方向和旋转角
性质
①对应点到旋转中心的距离相等；
②两组对应点分别与旋转中心的连线所成的角相等，都等于旋转角；
③旋转中心是唯一不动的点.
旋转对
称图形
课堂小测
1. △A ′ OB ′是△AOB绕点O按逆时针方向旋转得到的.已知∠AOB=20 °, ∠ A ′ OB =24°，AB=3,OA=5,则A ′ B ′ = ,OA ′ = ,旋转角等于 .
3
5
44 °
课堂小测
A
B
C
D
E
2.如图，将Rt△ABC绕点A按顺时针方向旋转一定角度得Rt △ADE,点B的对应点D恰好落在BC边上.若AC= , ∠B=60 °，则CD的长为（ ）
A. 0.5 B. 1.5 C. D. 1
D
课堂小测
3.下列图形中，旋转对称图形有（　　）个
A．1 B．2 C．3 D．4
C
课堂小测
4.如图，正方形A′B′C′D′是由正方形ABCD按顺时针方向旋转45°而成的.
（1）若AB=4，则S正方形A′B′C′D′= ；
（2）∠BAB ′= ，∠B′AD= .
(3)若连接BB′，则∠ABB′= .
16
45°
45
67.5°

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