资源简介

(共21张PPT)
第十六章 整式的乘法
数学活动
月历积律探，数和最值研
素养锚定·目标明确
01
数学抽象：从月历中抽象出数字规律
02
逻辑推理：推导和定两数积的最值关系
03
数学运算：运用规律解决实际问题
04
数学建模：建立月历数字与代数模型的联系
05
目标：提升观察、分析与归纳能力
情境引入·民族月历
1 2 3 4
星期日
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
星期六
5 6 7 8 9 10 11
12 13 14 15 16 17 18
19 20 21 22 23 24 25
26 27 28 29 30 31
10个月，每月36天
两种历法中都藏着数字规律，我们能用整式的乘法揭开吗？
情景导入·规律猜想
活动1 月历中的奥秘(续)
1 2 3 4
星期日
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
星期六
5 6 7 8 9 10 11
12 13 14 15 16 17 18
19 20 21 22 23 24 25
26 27 28 29 30 31
问题1 选择其中所示的蓝色方框部分，将每个蓝色方框部分中4个位置上的数交叉相乘，再相减，能得出什么结论
分组观察：公历月历，用“3×3方框”圈出9个数字，完成“观察数字特点→用整式表示→计算验证规律”.
探究新知·合作发现
活动1 月历中的奥秘(续)
6 7
13 14
16 17
23 24
交叉相乘：
6×14 = ______
7×13 = ______
16×24 = ______
17×23 = ______
84
91
384
391
再相减：
91 – 84 = ______
391 – 384 = ______
7
7
规律：
运算后的结果都是 7.
探究新知·合作发现
请再选择几个类似的部分试一试，看一看是否符合这个规律.
交叉相乘：
10×18 = ______
11×17 = ______
180
187
再相减：
187 – 180 = ____
7
交叉相乘：
20×28 = ______
21×27 = ______
560
567
再相减：
567 – 560 = ____
7
1 2 3 4
5 6 7 8 9 10 11
12 13 14 15 16 17 18
19 20 21 22 23 24 25
26 27 28 29 30 31
符合规律
探究新知·合作发现
问题2 换一个月的月历试一试，是否有同样的规律？
交叉相乘：
3×11 = ______
4×10 = ______
33
40
再相减：
40 – 33 = ____
7
交叉相乘：
22×30 = ______
23×29 = ______
660
667
再相减：
667 – 660 = ____
7
1 2 3 4 5 6 7
8 9 10 11 12 13 14
15 16 17 18 19 20 21
22 23 24 25 26 27 28
29 30 31
符合规律
代数证明·逻辑推理
问题3 请利用整式的运算对以上的规律加以证明.
设方框左上角的数字为 x
则剩下3个数字分别为：
x
x+1
x+7
x+8
交叉相乘，再相减：
(x + 1)(x + 7) – x(x + 8)
= x2 + 7x + x + 7 – (x2 + 8x)
= x2 + 8x + 7 – x2 – 8x
= 7
拓展探究·自主发现
问题4 你还能发现其他规律吗？
小组讨论
1 2 3 4
5 6 7 8 9 10 11
12 13 14 15 16 17 18
19 20 21 22 23 24 25
26 27 28 29 30 31
设方框中间的数字为 x：
x2 – (x + 1)(x – 1)
= x2 – (x2 – 1)
= x2 – x2 + 1
= 1
计算观察·规律归纳
活动2 和为定值的两数积的规律
问题1 观察下列两组数，你能发现什么规律？并计算下列两个数的积.
① 30×30， 35×25，43×17，52×8
② 50×50， 53×47，74×26，91×9
30＋30=60
35＋25=60
43＋17=60
52＋8=60
50＋50=100
53＋47=100
74＋26=100
91＋9=100
每组中两个数的和为定值.
计算观察·规律归纳
活动2 和为定值的两数积的规律
① 30×30， 35×25，43×17，52×8
② 50×50， 53×47，74×26，91×9
问题1 观察下列两组数，你能发现什么规律？并计算下列两个数的积.
① 30×30=900，
35×25=(30+5)(30－5)=302－52=875，
43×17=(30+13)(30－13)=302－132=731，
52×8=(30+22)(30－22)=302－222=416；
计算观察·规律归纳
活动2 和为定值的两数积的规律
① 30×30， 35×25，43×17，52×8
② 50×50， 53×47，74×26，91×9
问题1 观察下列两组数，你能发现什么规律？并计算下列两个数的积.
② 50×50=2500，
53×47=(50+3)(50－3)=502－32=2491，
74×26=(50+24)(50－24)=502－242=1924，
91×9=(50+41)(50－41)=502－412=819.
当两个数的和为定值时，两数差值越小，积越大.当两数相等时，积最大.
代数建模·规律解释
问题2 你能用本章所学的知识解释你发现的规律吗？
设两数分别为a和b，且a＋b=2m(m为定值)，则b =2m－a .
则两数乘积为：a×b = a×(2m－a)=－a2＋2ma=－(a2－2ma)
=－(a2－2ma＋m2)＋m2=m2－(a－m)2
当a=m时(即a=b=m)，(a－m)2=0，乘积取得最大值m2.
当两数的和为定值时，其乘积等于它们和的一半的平方减去差的一半的平方.
实际应用·素养落地
问题3 利用你发现的规律解决下面的问题：
用10米长的绳子围一个长方形，如何使面积最大？此时长方形的两条邻边长有什么关系 你能得出更一般的结论吗
解：设长为 a 米，宽为 b 米，则 a+b=10÷2=5，长方形面积 S=a×b.
当 a=b=2.5 米时，面积最大为 2.5×2.5=6.25 (m2)，
此时长方形的两条邻边长度相等，即长方形变为正方形.
结论：在周长固定的所有长方形中，正方形的面积最大.
评练结合·迁移应用
1.下图是某月份的日历；图中用一个生线方框和一个实线方框各圈出3×3个数.
(1)在每个方框中，分别求出对角线上三个数积的差
（即计算：13×19×25-11×19×21;12×18×24-10×18×26)；
(2)试问在(1)中两算式结果的差是多少 如果两个方框所圈出数字是任意的，那么按(1)中要求列出的两算式，其结果的差会发生变化吗 证明你的结论，
评练结合·迁移应用
解：(1)13×19×25-11×19×27=532.
12×18×24-10×18×26=504;
(2)两算式结果的差为28.不会发生变化：
证明如下：设实线方框，虚线方框中的中间教分别为a,b.
则(a-6)(a+6)a-(a-8)(a+8)a=a3-36a-(a3-64a)=28a，
(b-6)(b+6)b-(b-8)(b+8)b=b3-36b-(b3-64b)=28b，
28a-28b=28(a-b)
又∵a=6+1 ∴28(a-b)=28(b+1-b)=28.
评练结合·迁移应用
2.观察下列算式：
①1×3-22=3-4=-1
②2×4-32=8-9=-1
③3×5-42=15-16=-1
④ ；……
(1)请你按以上规律写出第4个算式；
(2)把这个规律用含字母的式子表示出来；
(3)你认为(2)中所写出的式子一定成立吗 并说明理由.
4×6-52=24-25=-1
n(n+2)-(n+1)2=-1
(3)成立，理由如下：
n(n+2)-(n+1)2=n2+2n-(n2+2n+1)
=n2+2n-n2-2n-1=-1
总结升华·素养落地
从特殊到一般（归纳法）
代数与几何结合
数学建模（用方程解决实际问题）
1.月历4数规律：交叉相乘再相减，结果恒为-7；
2. 和定积规律：两数差越小，积越大；两数相等时，积最大.
展开多项式、配方求最值，将实际问题转化为代数模型
运用知识
数学思想
数学活动
下 课
Thanks!
https://www.21cnjy.com/recruitment/home/fine

展开更多......

收起↑