资源简介

2026年中考数学一轮复习专题★★
反比例函数与一次函数、几何图形的综合
考点一：比例系数k的几何意义
k的
几何
意义
?
?
如图，设P(a，b)是反比例函数y＝????????(k≠0)图象上任意一点，过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，则S矩形PMON＝PM·PN＝|b|·|a|＝|ab|＝①___
k的
几何
意义
|k|
考点二：比较两函数值大小，确定自变量取值范围的方法
1．找交点；
2．分区：过两函数图象的交点分别作y轴的平行线，
连同y轴，将坐标平面分为四部分，如图，即Ⅰ，Ⅱ，
Ⅲ，Ⅳ；
3．观察函数图象找答案：根据图象在上方的函数值总比图象在下方的函数值大，在各区域内找相应的x的取值范围．
(1)Ⅰ，Ⅲ区域内：????????＞ax＋b，自变量的取值范围为x＜xB或0＜x＜xA；
(2)Ⅱ，Ⅳ区域内：ax＋b＞????????，自变量的取值范围为②________________
xB＜x＜0或x＞xA
已知一次函数y＝kx＋b与反比例函数y＝????????的图象的两个交点为A(1，6)，B(－2，n)．
(1)一次函数的解析式为 ，反比例函数的解析式为 ；
(2)如图，在平面直角坐标系中画出y＝kx＋b与
y＝????????的图象，并通过观察图象直接写出：不等式
kx＋b>????????的解集为 .
?
y＝3x＋3
y＝6????
?
x>1或－21．(1)反比例函数y＝3????(x>0)与正比例函数y＝13x的交点坐标为 ；
(2)函数y＝????－3????的图象与直线y＝x没有交点，那么k的取值范围是 .
2．如图，一次函数y1＝k1x＋b与反比例函数 y2＝????2????(x>0)的图象交于A(1，3)，B(m，1)两点．
(1)当y1>y2时，x的取值范围是 ；
(2)当y1＝y2时，x的值为 ；
(3)不等式????2????>k1x＋b的解集为 .
?
(3，1)
k<3
11或3
x>3或03．如图，点A，B是反比例函数y＝????????(x＞0)图象上的点，分别过A，B两点向x轴，y轴作垂线段，若S1＋S2＋S3＝8，S3＝4，则该反比例函数的解析式
为 .
?
y＝6????
?
重难点1：反比例函数与几何图形的综合
(一题多角度)已知点A是反比例函数y＝6????图象上一点．
?
(1)如图①，过点A作AB⊥y轴于点B(0，2)，C是x轴上一点，连接AC，BC，则△ABC的面积是 ；
(2)如图②，点A，B，C，D在反比例函数y＝6????的图象上，它们的横坐标依次为1，2，3，4.分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分
的面积从左到右依次为S1，S2，S3，则S1＋S2＋S3＝ ；
(3)如图③，点A，B在反比例函数y＝6????的图象上，且关于原点对称，过点A作AC⊥x轴于点C，连接AB，BC，则△ABC的面积是 ；
?
3
92
?
6
(4)如图④，点A是反比例函数y＝6????(x>0)的图象上任意一点，AB∥x轴并交反比例函数y＝－3????(x<0)的图象于点B，以AB为边作菱形ABCD，其中C，D在x轴上，则菱形ABCD的面积为 ；
(5)如图⑤，?ABOC的顶点O是坐标原点，点A是反比例函数y＝6????(x>0)的图象上一点，反比例函数y＝????????(x>0)的图象经过点B，点C在x轴正半轴上，若OB＝BC，则m＝ .
?
9
2
【模型展示】
S△AOP＝12|k|??? S△APB＝12|k|??? ?S△APP′＝2|k|??? ?S△ABC＝12|k|
?
【提分关键】
反比例函数与几何图形综合：
1．对于求反比例函数解析式的问题，可通过将几何图形的面积或线段条件转化为函数图象上的点坐标，再直接用待定系数法求解；
2．涉及与图形面积有关的问题时，注意k的几何意义的运用；
3．若题干中已知线段或面积数量关系，通常向坐标轴作垂线，构造全等或相似三角形，利用比例关系，表示出函数图象上两个点的坐标求解．
重难点2：反比例函数与一次函数的综合
(一题多角度)如图，一次函数y＝ax＋b与反比例函数y＝????????的图象交于M，N两点．
?
(1)求这两个函数的解析式；
解：把N(－1，－4)代入y＝????????中，得
k＝－1×(－4)＝4，
∴反比例函数的解析式为y＝4????.
把M(2，m)代入y＝4????中，得m＝42＝2，∴点M的坐标为(2，2)，
把M(2，2)，N(－1，－4)代入y＝ax＋b中，
得2????＋????＝2， －????＋????＝－4，解得????＝2， ????＝－2，∴一次函数的解析式为y＝2x－2.
?
(2)根据图象写出反比例函数值大于一次函数值时x的取值范围；
解：当反比例函数值大于一次函数值时，x<－1或0(3)将一次函数图象向上平移4个单位长度，求平移后的函数图象与反比例函数图象的交点坐标；
解：将一次函数y＝2x－2的图象向上平移4个单位长度，得到新函数图象对应的解析式为y＝2x－2＋4＝2x＋2，
联立????＝2????＋2，????＝4???? 解得????＝1，????＝4或????＝－2，????＝－2，
∴交点坐标为(1，4)或(－2，－2)．
?
(4)求△OMN的面积；
解：设一次函数y＝ax＋b的图象与y轴的交点为A，
由(1)知一次函数解析式为y＝2x－2，
令x＝0，则y＝－2，∴OA＝2，
∴S△OMN＝S△AON＋S△AOM
＝12×2×1＋12×2×2＝3.
?
【提分关键】
对于反比例函数与一次函数综合常涉及以下几个方面：
1．确定函数解析式：将一个交点坐标代入y＝????????可求k，再由反比例函数解析式确定另一个交点坐标，最后由两个交点坐标利用待定系数法可求得一次函数的解析式；
2．利用函数图象确定不等式ax＋b>????????或ax＋b3．求几何图形面积：通常将坐标轴上的边或与坐标轴平行的边作为底边，再利用点的坐标求得底边上的高，最后利用面积公式求解．
?
【模型展示】
①S△AOB＝12OB·AD；
?
②S△ADB＝S△ACD＋S△BDC；
?
?
③S△AOB＝S△ACO＋S△BOC
＝S△ADO＋S△BDO.
(5)已知一次函数图象与x轴交于点P，点Q是x轴上一动点，若S△MPQ＝3S△MOP，求点Q的坐标；
【分层分析】
根据一次函数图象与x轴交点得到OP的长，设点Q的横坐标，表示出面积关系，即可求得点Q的坐标．
解：∵一次函数图象与x轴交于点P，
∴令2x－2＝0，解得x＝1，
∴P(1，0)，∴OP＝1，
设点Q的横坐标为a，∴PQ＝|a－1|.
∵S△MPQ＝3S△MOP，
∴12|a－1|·2＝3×12×1×2，
∴|a－1|＝3，解得a＝－2或a＝4，
∴点Q的坐标为(－2，0)或(4，0)．
?
在x轴上是否存在一点G，使得OM＝GM？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由；
【分层分析】
设点G的坐标，表示出GM的长，根据OM＝GM，求得点G的坐标．
解：存在，设点G的坐标为(d，0)，
则GM＝（2－????）2＋22，
∵MO＝22＋22＝22，OM＝GM，
∴（2－????）2＋22＝22，
解得d＝4或d＝0(舍去)，∴点G的坐标为(4，0)．
?
(7)若A(x1，y1)，B(x2，y2)是反比例函数y＝????????图象上两点，且x1【分层分析】
根据反比例函数图象在第一、三象限，分①A，B两点在第一象限，②A，B两点在第三象限，③点A在第三象限，点B在第一象限进行讨论．
?
解：点A在第三象限，点B在第一象限．
理由：∵反比例函数图象在第一、三象限内，∴应分情况讨论：
①若0y2，不合题意；
②若x1y2，不合题意；
③若x1<0则y1<0综上所述，点A在第三象限，点B在第一象限．

展开更多......

收起↑