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课前回顾
1. 二次函数的图象与x轴的交点有三种情况：___________、____________、____________.与此相对应，一元二次方程的根有三种情况：____________的实数根、_____________的实数根、_______实数根.
2. 二次函数的图象与x轴交点的____________就是一元二次方程的根.
3.一元二次方程的根可以看成是二次函数的图象与直线交点的____________.
有两个交点
有一个交点
没有交点
有两个不相等
有两个相等
没有
横坐标
横坐标
北师大版九年级数学下册
第二章 二次函数
2.5.2二次函数与一元二次方程
学习目标
1.能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根.
2.经历用图象法求一元二次方程的近似根的过程，理解一元二次方程ax2+bx+c=h的根就是二次函数y=ax2+bx+c的图象与直线y=h(h是实数)交点的横坐标.
3.积累用图象法求方程近似根的经验，进一步发展估算能力.
新知探究一
如下图是二次函数y=x2+2x-10的图象.
(1)利用图象估计一元二次方程x2+2x-10=0的根;(结果精确到0.1)
分析:(1)由图象可知方程有两个根,一个在-5和-4之间,另一个在　　　　和　　　　之间(填两个连续整数).
①先求-5和-4之间的根.利用计算器进行探索:
因此,x=　　　　是方程的一个近似根.
x -4.1 -4.2 -4.3 -4.4
y
2
3
-1.39
-0.76
-0.11
0.56
-4.3
②另一个根可以类似地求出:
因此,x=_____是方程的另一个近似根.
x 2.1 2.2 2.3 2.4
y
-1.39
-0.76
-0.11
0.56
2.3
如下图是二次函数y=x2+2x-10的图象.
(1)利用图象估计一元二次方程x2+2x-10=0的根;(结果精确到0.1)
新知探究一
探究新知一
(2)用一元二次方程的求根公式验证(1)中的结果.
如下图是二次函数y=x2+2x-10的图象.
(2)解: 这里a=1,b=2,c=-10,
∵b2-4ac=22-4×1×(-10)=44,
(1)利用图象估计一元二次方程x2+2x-10=0的根;(结果精确到0.1)
归纳总结
利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根的一般步骤：
(1)画出二次函数y=ax2+bx+c的图象;
(2)确定图象与x轴的交点的横坐标在哪两个连续整数之间;
(3)列表,在两个连续整数之间对x取一系列值,看y对应的哪
两个值由负变成正,或由正变成负,此时x的两个对应值之间
必有一个是近似根.
注:在取值时,由于方程的根在两个连续整数之间,所以应取函数值更接近于0时所对应的自变量的值.
跟踪练习一
1.已知二次函数y=x2-2x-2的图象如右图,则根据图象可得关于x的一元二次方程x2-2x-2=0的两个近似根的范围是_________和__________(左右两端为两个连续整数).
-12x 3.23 3.24 3.25 3.26
ax2+bx+c -0.06 -0.02 0.03 0.09
2.根据下列表格中的对应值,判断方程ax2+bx+c=0(a,b,c为常数,a≠0)的一个根的范围是 (　　)
A. 3B. 3.23C. 3.24D. 3.25C
探究新知二（54页做一做）
(1)利用图①求一元二次方程x2+2x-10=3的近似根.（结果精确到0.1）
解: 一元二次方程可化简为x2+2x-13=0.
由图①可知此一元二次方程有两个根,一个在-5和-4之间,另一个在2和3之间.
先求-5和-4之间的根,利用计算器进行探索:
因此,x=-4.7是方程的一个近似根.
x -4.9 -4.8 -4.7 -4.6
x2+2x-13 1.21 0.44 -0.31 -1.04
新知探究二
(1)利用下图①求一元二次方程x2+2x-10=3的近似根.
然后求2和3之间的根,利用计算器进行探索:
因此,x=2.7是方程的另一个近似根.
x 2.5 2.6 2.7 2.8
x2+2x-13 -1.75 -1.04 -0.31 0.44
所以x=-4.7和x=2.7是方程的两个近似根.
新知探究二
(2)你还能利用图②求一元二次方程x2+2x-10=3的近似根吗
(结果精确到0.1)
解:能利用图②求出一元二次方程x2+2x-10=3的近似根.
在图②中作出直线y=3,可知抛物线y=x2+2x-10与直线y=3的两个交点的横坐标就是一元二次方程x2+2x-10=3的两个根.由图象可知一元二次方程有两个根,一个在-5和-4之间,另一个在2和3之间.推断方法同(1).
·
·
y=3
归纳总结
一元二次方程ax2+bx+c=h的解可以看成是二次函数y=ax2+bx+c-h的图象与x轴交点的横坐标，也可以看成是二次函数y=ax2+bx+c的图象与直线y=h交点的横坐标.
延伸拓展
利用二次函数与一次函数图象求不等式的解集
(1)已知二次函数y1=ax2+bx+c(a≠0)与一次函数y2=kx+m(k≠0)的图象相交于点A(-2,6)和点B(8,3),如右图所示,则关于x的不等式ax2+bx+c>kx+m的解集为__________.
x<-2 或 x>8
归纳总结
不等式ax2+bx+c>kx+m(a≠0)的解集即为二次函数y=ax2+bx+c的图象在直线y=kx+m上方的点的横坐标的取值范围; 不等式ax2+bx+c求出抛物线与直线的交点的横坐标是解题的关键.
跟踪练习三
（2）如右下图,二次函数y=ax2+c的图象与直线y=kx+b(k>0)交于N(-2,m),M(1,n)两点(mn<0),则关于x的不等式ax2-kx+(c-b)>0的解集为　　　　.
-2(1) 二次函数y1=x2+c与一次函数y2=x+c的图象如右图所示,当y10┌
1
课堂小结
一、利用二次函数的图象与x轴的交点解一元二次方程的近似值.
二、利用二次函数的图象与直线的交点解一元二次不等式的解集.
②
当堂检测
1.根据右边表格
的对应值:
x 3.23 3.24 3.25 3.26
y=ax2+bx+c -0.06 -0.02 0.03 0.09
判断方程 ax2+bx+c =0 (a≠0,a,b,c为常数)一个解x的范围是（ ）
A. 32.小颖用计算器探索方程ax2+bx+c=0的根，作出如右图的图象，并求得一个近似根x=-3.4，则方程的另一个近似根（精确到0.1）为（　　）
A．4.4 B．3.4 C．2.4 D．1.4
C
D
当堂检测
3.如右图，已知顶点为(－3，－6)的抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点(－1，－4)，则下列结论中错误的是(　　)
A．b2＞4ac B．ax2＋bx＋c≥－6
C．若点(－2，m)，(－5，n)在抛物线上，则m＞n
D．关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝－4的两根为
－5和－1
C
4.利用二次函数 的图象，回答问题：
（1）方程 的解是什么？
（2）x取什么值时，y>0 ？
（3）x取什么值时，y<0 ？
x
y
O
2
4
8
x1=2, x2=4
x<2或x>4
2

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