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学 科 数学 年 级 八 设计者
教材版本 湘教版 册、章 上册第4章
课标要求 1.理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等概念，了解三角形的稳定性. 2.探索并证明三角形的内角和定理，掌握它的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 3.证明三角形的任意两边之和大于第三边. 4.理解全等三角形的概念，能识别全等三角形的对应边、对应角. 5.掌握基本事实：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等. 6.掌握基本事实：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等. 7.掌握基本事实：三边分别相等的两个三角形全等. 8.证明定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等. 9.理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；反之，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。 10.理解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等；底边上的高线、中线及顶角平分线重合. 11.探索并掌握等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形. 12.探索等边三角形的性质定理：等边三角形的各角都等于60°。 13.探索等边三角形的判定定理：三个角都相等的三角形(或有一个角是60°的等腰三角形)是等边三角形. 14.通过具体实例，了解定义、命题、定理、推论的意义. 15.结合具体实例，会区分命题的条件和结论，了解原命题及其逆命题的概念。会识别两个互逆的命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立. 16.知道证明的意义和证明的必要性，知道数学思维要合乎逻辑，知道可以用不同的形式表述证明的过程，会用综合法的证明格式. 17.了解反例的作用，知道利用反例可以判断一个命题是错误. 18.通过实例体会反证法的含义. 19.能用尺规作图：已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形；已知底边及底边上的高线作等腰三角形；过直线外一点作这条直线的平行线；作一条线段的垂直平分线；作已知角的平分线.
内容分析 本章是初中数学湘教版八年级上册第3章《三角形》，属于《义务教育数学课程标准》中的“图形与几何”领域中的“三角形”和“定义、命题、定理”。本章内容以三角形为核心，系统整合其定义、性质、分类及全等判定等知识，既承接平行线与相交线的基础，又为后续直角三角形、四边形等内容奠定方法论框架。教材通过“观察—操作—归纳”路径展开教学，如用小棒摆三角形、拼内角验证内角和定理，强化几何直观；同时注重逻辑推理渗透，例如通过三角形内角和定理推导外角性质，引导学生从特殊到一般归纳结论。此外，单元融入等腰三角形、等边三角形等特殊三角形研究，形成“一般—特殊”的认知结构，并通过全等三角形的判定（SSS、SAS等）培养演绎推理能力，体现“几何研究大观念”的单元整体设计理念。
学情分析 八年级学生已具备平行线、角度等几何基础，能初步运用逻辑推理解决简单问题，但对抽象概念的理解仍需直观支持。例如，在三角形三边关系中，学生易混淆“较短两边之和大于第三边”与“任意两边之和大于第三边”，需通过操作实验突破认知障碍；在全等三角形判定中，学生可能因忽视对应关系导致证明错误，需通过对比练习强化条件匹配意识。此外，学生合作探究能力较强，但独立思考与创新表达较弱，需通过角色扮演、开放性问题激发思维活力。
单元目标 （一）教学目标 1.认识三角形及三角形有关的概念，如三角形的顶点、边、角，会表示三角形，知道等腰三角形、等边三角形的概念. 2.掌握三角形的三边关系，能判断三条线段能否构成三角形. 3.认识三角形的高、角平分线、中线，能准确地表示出或画出相关图形. 4.探究并证明三角形的内角和定理，会应用定理进行相关计算. 5.会根据角的大小对三角形进行分类. 6.认识三角形的外角，掌握三角形的外角的性质，会应用三角形的外角及内角和进行相关 计算. 7.初步认识定义、命题、互逆命题、公理、定理、互逆定理的概念. 8.能分清命题的条件和结论，会把命题写成“如果……，那么……”的形式. 9.会判断命题的真假，会用举反例的方法说明一个命题是假命题. 10.会识别两个命题是不是互逆命题，会写出一个简单命题的逆命题. 11.知道证明的一般步骤及反证法，会进行一些简单命题的证明. 12.认识全等图形与全等三角形，会正确找出全等三角形的对应边、对应角. 13.能利用全等三角形的性质进行简单的推理和计算，解决一些实际问题. 14.掌握判定两个三角形全等的四个判定定理，并能熟练地判定两个三角形全等. 15.在探索三角形全等的条件及其运用过程中，培养实践能力和逻辑思维能力. 16.知道尺规作图的概念，对尺规作图题会写已知、求作和作法. 17.会用尺规作一个角等于已知角，过直线外一点作这条直线的平行线. 18.在分别给出三边、两边及其夹角、两角及其夹边的条件下，会用尺规作三角形. 19.会利用尺规作图留下的痕迹分析作图类型并能利用相关知识解决问题. 20.掌握等腰三角形、等边三角形的性质，能利用等腰三角形、等边三角形的性质进行计算与证明. 21.掌握等腰三角形、等边三角形的判定定理，能利用等腰三角形、等边三角形的判定定理证明一个三角形是等腰三角形或等边三角形. 22.尝试说理，进一步发展有条理的思考和表达能力，提高演绎推理能力. 23.认识线段的垂直平分线，会利用线段垂直平分线的性质进行相等线段的转化. 24.能运用线段垂直平分线的性质定理及逆定理解决问题. 25.会用尺规作一条线段的垂直平分线以及过一点作已知直线的垂线. 26.已知底边及底边上的高线会用尺规作等腰三角形. 27.会用尺规作已知角的平分线. （二）教学重点、难点 重点 1.三角形边角关系与内角和定理的系统掌握. 2.全等三角形的性质及三种基本判定方法的灵活运用. 3.等腰三角形“等边对等角”及“三线合一”的本质理解. 4.定义、命题、证明的逻辑结构与书写规范. 难点 1.从实验验证上升到演绎证明的思维转换. 2.在复杂图形中准确找出全等三角形的对应元素并选择恰当判定. 3.将等腰三角形性质迁移到多步证明与实际问题. 4.对命题条件、结论及逆命题的辨析与反例构造.
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架 （二）课时安排 课时编号单元主要内容课时数4.1认识三角形24.2命题与证明34.3全等三角形54.4尺规作图24.5等腰三角形34.6线段的垂直平分线2第3章小结与复习1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务4.1 认识三角形（1）1.认识三角形及三角形有关的概念，如三角形的顶点、边、角，会表示三角形.知道等腰三角形、等边三角形的概念。 2.掌握三角形的三边关系，能判断三条线段能否构成三角形。 3.认识三角形的高、角平分线、中线，能准确地表示出或画出相关图形。1.能判断三条线段能否构成三角形。2.能利用二次根式有意义的条件求字母的取值范围。 3.能准确地表示出三角形的高、角平分线、中线或画出相关图形。任务一：情境导入，观察图形。 任务二：探究新知，认识三角形及三角形有关的概念。 任务三：例题精讲，运用知识。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.1 认识三角形（2）1.探究并证明三角形的内角和定理，会应用定理进行相关计算。 2.会根据角的大小对三角形进行分类。 3.认识三角形的外角，掌握三角形的外角的性质，会应用三角形的外角及内角和进行相关计算。1.会应用三角形的内角和定理进行相关计算。 2.会根据角的大小对三角形进行分类。 3.会应用三角形的外角及内角和进行相关计算。任务一：动手操作，回顾旧知。 任务二：探究新知，进行证明。 任务三：例题精讲，应用三角形的外角及内角和进行相关计算。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.2.1 定义，命题1.理解并掌握二次根式乘法法则，能正确计算及含系数的乘法。 2.能逆向应用法则化简二次根式，确保结果为最简形式。能正确计算及含系数的乘法。任务一：复习导入，回顾积的算术平方根的性质。 任务二：探究新知，观察猜想. 任务三：例题精讲，运用法则进行计算。 任务四：巩固练习，课堂小结4.2.2 证明，举反例1.理解反例的作用，学会通过构造反例判断假命题，并能在不同类型的命题中灵活运用证明与举反例的方法。 2.知道证明的一般步骤及反证法，会进行一些简单命题的证明。1.会通过构造反例判断假命题，并能在不同类型的命题中灵活运用证明与举反例的方法。 2.会进行一些简单命题的证明。任务一：认真思考，初步感知举反例。 任务二：探究新知，探究举反例和证明. 任务三：例题精讲，进行证明。 任务四：巩固练习，课堂小结4.2.3 定理，推论1.理解定理与推论的概念，掌握定理的证明方法，能运用已知定理推导简单推论。 2.初步认识定理、互逆定理的概念。能运用已知定理推导简单推论。任务一：复习导入，回顾已学定理。 任务二：探究新知，探究定理和推论。 任务三：例题精讲，进行证明。 任务四：巩固练习，课堂小结4.3.1 认识全等三角形1.认识全等图形与全等三角形，会正确找出全等三角形的对应边、对应角。 2.能用符号正确表示两个全等三角形。 3.能利用全等三角形的性质进行简单的推理和计算，解决一些实际问题。1.会正确找出全等三角形的对应边、对应角。 2.能用符号正确表示两个全等三角形。 3.能利用全等三角形的性质进行简单的推理和计算，解决一些实际问题。任务一：认真观察，提出猜想。 任务二：探究新知，全等三角形的性质。 任务三：例题精讲，进行计算。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.3.2 全等三角形的判定定理（边角边）1.理解“边角边”（SAS）判定定理的内容，能准确识别定理中的对应边和夹角。 2.掌握定理的证明方法。能运用SAS定理证明两个三角形全等，并解决简单的几何问题。任务一：认真观察，进行判断。 任务二：探究新知，掌握边角边。 任务三：例题精讲，进行判定。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.3.3 全等三角形的判定定理（角边角、角角边）1.理解“角边角、角角边”判定定理的内容，能准确识别定理中的对应边和对应角。 2.掌握定理的证明方法。能运用ASA、AAS定理证明两个三角形全等，并解决简单的几何问题。任务一：认真思考，动手操作。 任务二：探究新知，掌握角边角、角角边。 任务三：例题精讲，进行判定。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.3.4 全等三角形的判定定理（边边边）1.理解“边边边”判定定理的内容，能准确识别定理中的对应边和对应角。 2.掌握定理的证明方法。能运用SSS定理证明两个三角形全等，并解决简单的几何问题。任务一：认真思考，动手操作。 任务二：探究新知，掌握边边边。 任务三：例题精讲，进行判定。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.3.5 全等三角形的应用1.理解全等三角形在测量、设计、证明等实际问题中的应用价值。 2.能根据问题条件抽象出全等三角形模型，灵活运用判定定理和性质解决线段相等、角相等及不可达距离测量等问题。能根据问题条件抽象出全等三角形模型，灵活运用判定定理和性质解决线段相等、角相等及不可达距离测量等问题。任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：探究新知，构建全等三角形模型。 任务三：例题精讲，进行判定。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.4 尺规作图（1）1.掌握尺规作图的基本方法，能正确作出“已知三边的三角形”“一个角等于已知角”“已知两边及其夹角的三角形”。 2.理解三种作图方法的理论依据（SSS、SAS全等判定及角复制原理），并能用几何语言清晰表达步骤。能用规范的几何语言描述作图步骤，能读懂并绘制简单的作图流程图。任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：探究新知，学习尺规作图的基本方法。 任务三：例题精讲，运用知识。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.4 尺规作图（2）1.能规范使用直尺和圆规完成“已知两角及其夹边作三角形”与“过直线外一点作平行线”任务，掌握关键步骤。 2.理解两种作图方法的理论依据（AAS全等判定、同位角相等两直线平行），并能用几何语言清晰表达。能用规范的几何语言描述作图步骤，能读懂并绘制简单的作图流程图。任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：探究新知，学习尺规作图的基本方法。 任务三：例题精讲，运用知识。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.5 等腰三角形（1）1.掌握等腰三角形的性质定理，能运用“等边对等角”和“三线合一”解决角、线段相等的证明问题。 2.理解性质定理的证明方法（利用全等三角形），规范书写推理过程。能运用“等边对等角”和“三线合一”解决角、线段相等的证明问题。任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：探究新知，学习等腰三角形的性质。 任务三：例题精讲，运用知识。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.5 等腰三角形（2）1.掌握等腰三角形的判定定理，并能运用该定理进行几何证明和计算。 2.理解判定定理与性质的互逆关系。能运用定理证明线段相等或三角形为等腰三角形。任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：探究新知，学习等腰三角形的判定定理。 任务三：例题精讲，运用知识。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.5 等腰三角形（3）1.掌握等边三角形的性质和判定定理。 2.能运用性质与判定解决线段相等、角度计算及几何证明问题。能运用性质与判定解决线段相等、角度计算及几何证明问题。任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：探究新知，学习等边三角形的性质和判定。 任务三：例题精讲，运用知识。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.6 线段的垂直平分线（1）1.理解线段垂直平分线的定义，掌握其性质定理与逆定理的内容及符号表达。 2.能运用性质定理与逆定理证明线段相等、点共线或垂直关系，解决简单几何问题。能运用性质定理与逆定理证明线段相等、点共线或垂直关系，解决简单几何问题。任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：探究新知，探究线段垂直平分线。 任务三：例题精讲，运用知识。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.6 线段的垂直平分线（2）1.掌握线段垂直平分线、过一点作已知直线垂线、已知底边及高线作等腰三角形、作角平分线的尺规作图方法，能规范书写作图步骤。 2.理解各作图方法的几何依据。能用规范的几何语言描述作图步骤，能读懂并绘制简单的作图流程图。任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：探究新知，动手操作。 任务三：例题精讲，运用知识。 任务四：巩固练习，课堂小结。第4章 小结与评价1.系统回顾三角形的三边关系、内角和定理、外角性质及分类标准。 2.熟练运用全等三角形的判定与性质、等腰（等边）三角形的“等边对等角”“三线合一”等核心定理。 3.掌握垂直平分线的性质与判定，并能结合尺规作图解决实际问题。1.能够熟练运用三角形的三边关系、内角和定理、外角性质解决问题。 2.能够熟练运用全等三角形的判定与性质、等腰（等边）三角形的“等边对等角”“三线合一”等核心定理。 3.能够熟练运用垂直平分线的性质与判定解决问题任务一：知识图谱，梳理本章知识点。 任务二：思考回顾，回顾重点知识，了解注意事项 任务三：自评互评，了解知识掌握情况 任务四：巩固练习，进行习题自测。
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分课时教学设计
《小结与评价》教学设计
课型 新授课 复习课 试卷讲评课 其他课
教学内容分析 《三角形》这一单元在湘教版八年级数学教材里占据关键地位，是几何知识体系的重要基石。它承接了七年级对简单几何图形的初步认识，又为后续四边形、相似形等复杂几何内容的学习铺就道路。本节课的目的是帮助学生系统地回顾和总结三角形章节的主要内容。通过复习，学生可以巩固所学知识，提高综合运用能力，为后续学习打下坚实基础。教材通过梳理知识体系、总结解题方法、提供典型例题和练习题等方式，引导学生全面复习三角形章节的知识点，培养学生的自主学习能力和总结归纳能力。
学习者分析 经历本单元学习，学生已积累一定三角形知识，对任意三角形、全等三角形、等腰三角形、等边三角形的定义、性质和判定有初步掌握，也了解定义、命题、定理相关概念，具备初步逻辑推理和几何证明能力。然而，部分学生知识掌握存在缺陷。对一些易混淆知识点，如全等三角形判定定理的区别运用，等腰三角形性质在复杂图形中的准确提取，理解不够深入透彻，解题时易出错。面对复杂几何问题，尤其需要综合运用多个知识点时，许多学生难以迅速理清思路、找到解题方法，逻辑思维的连贯性和灵活性有待提高。
教学目标 1.系统回顾三角形的三边关系、内角和定理、外角性质及分类标准。 2.熟练运用全等三角形的判定与性质、等腰（等边）三角形的“等边对等角”“三线合一”等核心定理。 3.掌握垂直平分线的性质与判定，并能结合尺规作图解决实际问题。 4.通过“命题—证明—应用”训练，提升逻辑推理与几何直观能力。 5.运用尺规作图验证几何性质，培养实践操作与数学建模能力。
教学重点 1.三角形性质与判定定理的综合应用。 2.尺规作图的操作规范与几何依据。
教学难点 1.复杂图形中辅助线的添加（如构造中位线、垂直平分线）。 2.多次全等证明及几何语言规范表述。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：知识图谱教师活动1： 教师讲授： 学生活动1： 认真听讲活动意图说明：在知识体系的指导下，学生可以更有针对性地进行学习。当学生掌握某个领域的知识时，可以清晰地了解需要学习的内容和顺序，避免盲目学习造成的时间和精力浪费。环节二：思考回顾教师活动2： 1.三角形的三边之间有怎样的关系？什么是三角形的内角和定理？ 三角形三边之间的关系： 三角形的任意两边之和大于第三边. 三角形的任意两边之差小于第三边. 三角形的内角和定理： 三角形的内角和等于180°. 【牛刀小试】1.以下列各组线段为边长，能组成三角形的是（　　） A．2，3，6　　B．3，4，8　　C．5，6，10　　D．7，8，18 2.在中，若，则此三角形是（　　） A．锐角三角形　　B．直角三角形　　 C．钝角三角形　　D．等腰三角形 2.什么是命题？如何判断一个命题是真命题还是假命题？ 命题：叙述一件事情的句子（陈述句）要么是真的，要么是假的，两者必居其一，我们称这个陈述句是一个命题. 【牛刀小试】下列命题中为真命题的是（　　） A． B．过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 C．同旁内角互补 D．有理数与数轴上的点一一对应 3.什么是互逆命题？原命题是真命题，它的逆命题一定是真命题吗？反证法的基本思路是怎样的？ 互逆命题：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这样的两个命题称为互逆命题，其中一个叫作原命题，另一个叫作它的逆命题. 教师讲授：当一个命题是真命题时，它的逆命题不一定是真命题. 教师提问：你能举一个例子吗？ 反证法的基本思路：(1) 假设命题不成立；(2) 导出矛盾；(3) 肯定结论. 【牛刀小试】下列命题，①对顶角相等；②两直线平行，同位角相等；③全等三角形的对应角相等．其中逆命题是真命题的命题共有　 　个． 4.全等三角形有哪些性质？如何判定两个三角形全等？ 全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等. 全等三角形的判定： 如果两个三角形的三条边和三个角分别对应相等，那么这两个三角形全等. 一个图形经过平移或旋转或轴对称得到的图形与原图形全等. 全等三角形的判定定理（边角边）：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等. 全等三角形的判定定理（角边角）：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等. 全等三角形的判定定理（角角边）：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等. 全等三角形的判定定理（边边边）：三边分别相等的两个三角形全等。 【牛刀小试】下列条件中，能判定 的是（　　） A． ， ， B． ， ， C． ， ， D． ， ， 5.什么是等腰三角形的性质定理？什么是等腰三角形的判定定理？等边三角形呢？ 等腰三角形的性质定理： 1.等腰三角形的两个底角相等（简称 “等边对等角”). 2.底边上的高线、中线及顶角平分线重合（简称“三线合一”). 3.等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在的直线. 等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称“等角对等边”）. 等边三角形的性质定理：等边三角形的各角都等于60°. 等边三角形的判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形. 等边三角形的判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 【牛刀小试】下列说法中：①等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；②有一个角是60°的三角形是等边三角形；③若三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，则这个三角形为等腰三角形；④成轴对称的两个三角形一定是全等三角形。其中正确的说法共有（　　）个。 A．1　　B．2　　C．3　　D．4 6.什么是线段的垂直平分线？线段的垂直平分线的性质定理和它的逆定理分别是什么？ 线段的垂直平分线的概念：垂直并且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线（或中垂线）. 线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. 线段垂直平分线的性质定理的逆定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. 【牛刀小试】如图，中，，，是边上的垂直平分线，的周长为，则的长度是　 　． 7.举例说明本章学习的几种尺规作图. 学生活动2： 回顾三角形的三边关系和内角和定理 认真思考 回顾什么是命题以及如何判断命题的真假 认真思考 回顾互逆命题与反证法的基本思路 回顾最简二次根式及把化简的方法 回顾全等三角形的性质与判定 认真听讲 认真思考 回顾等腰三角形的性质和判定 回顾等边三角形的性质和判定 认真思考 回顾线段的垂直平分线及相关定理 认真思考 回顾本章学习的几种尺规作图 查漏补缺活动意图说明：通过反复回顾和思考，学生可以对所学知识进行更深入的理解，发现其中的内在联系和规律，形成更加稳固的知识体系。环节三：注意事项教师活动3： 教师讲授： 1.一个命题要么是真的，要么是假的，二者必居其一. 2.判断一个命题是真的，需要进行证明. 难以直接证明时，常用反证法. 3.判断一个命题是假的，只需要举出一个反例，使之符合命题的条件，但是不满足命题的结论. 4.一个命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题. 5.由于全等三角形的对应边相等、对应角相等，因而证明线段相等或角相等时，常常先证明有关的两个三角形全等.学生活动4： 认真听讲活动意图说明：归纳易错点，提醒学生，帮助学生更好地掌握知识。
板书设计
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 四、课堂练习 【知识技能类作业】 必做题 1.已知等腰三角形的两边长分别为5cm和7cm，则这个等腰三角形的周长是（　　） A．7cm　　B．16cm　　C．19cm　　D．17cm或19cm 2.已知下列命题： ①若，则；②若，则；③同位角相等，两直线平行；④对顶角相等． 其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（　　） A．1 个　　B．2 个　　C．3 个　　D．4 个 3.如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，若连接AC、BD相交于点O，则图中全等三角形共有（　　） A．3对　　B．4对　　C．2对　　D．5对 选做题： 4.要说明命题“一个正数的算术平方根一定小于这个数”是假命题，可以按以下举反例说明：当　 　时，　 　，得　 　a，所以这是一个假命题． 5.如图，CD是△ABC的高，且CD平分∠ACB，∠BAC＝70°，∠CFE＝25°，则∠CEF＝　 　°． 6.如图，在△ABC中,AB=AC，∠ACB=60°，D是线段BC上一点，连接AD，在线段AD上分别取两点E，F，连接CE，BF，若∠BAD=∠ACE，∠BFD=60°，CE=5，则AF的长为　 　. 【综合拓展类作业】 7.为了测量一幢高楼的高，在旗杆与楼之间选定一点．测得旗杆顶的视线与地面的夹角，测楼顶的视线与地面的夹角，量得点到楼底距离与旗杆高度相等，等于8米，量得旗杆与楼之间距离为米，求楼高是多少米？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，小明在池塘外取的垂线上的点C，D，使，再画出的垂线，使E与A，C在一条直线上，这时测得的长就是的长，依据是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 2.如图，，若，，则的度数为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 3.如图，在等边三角形中，是边上的中线，且，是上的一个动点，是边的中点，的最小值为（　　） A．5　　B．6　　C．7　　D．8 【综合拓展类作业】 4.如图。在△ABC中，DE、DF分别为BC、AB边的垂直平分线，连接AD、CD， （1）求证：DC = DA； （2）若∠B=30°．AC=5，则△ACD的周长为　 　。
教学反思 复习课结束后，通过课堂提问、练习反馈以及课后作业批改情况来看，大部分学生对三角形基础知识的记忆和简单应用有明显提升，能较好完成基础题目，说明知识梳理环节达到一定效果 。小组讨论和例题讲解环节，部分学生积极参与，思维活跃，在分析问题和解决问题能力上有进步，合作学习也增强了他们的交流与团队协作能力。 然而，教学中也暴露出一些问题。对于基础薄弱学生，复杂知识点的复习仍存在困难，如在全等三角形证明中添加辅助线，他们难以理解和运用，后续需加强个别辅导 。教学进度把控上，由于部分内容讲解耗时较多，导致留给学生自主练习和总结的时间稍显不足，部分学生对知识的内化不够充分 。在教学方法上，虽采用多种方式结合，但创新性不足，未能充分满足所有学生学习需求 。 后续教学中，要更加关注基础薄弱学生，制定个性化辅导计划；合理规划教学内容和时间，给学生更多自主思考和练习时间；不断创新教学方法，如引入数学实验、信息技术手段等，增强课堂趣味性和吸引力，提高复习效果 。
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共40张PPT)
第4章 三角形
小结与评价
01
教学目标
02
知识图谱
03
思考回顾
04
注意事项
05
课堂练习
06
作业布置
01
教学目标
能够系统、全面地理解二次根式的概念，深入掌握二次根式有意义的条件，能准确无误地确定各种形式下被开方数中字母的取值范围。
01
熟练运用二次根式的性质，运用它们进行复杂的化简和计算，理解性质的本质和适用范围。
02
全面掌握二次根式的加、减、乘、除运算法则，能够灵活、准确地进行二次根式的四则混合运算。
03
02
知识图谱
03
思考回顾
1.三角形的三边之间有怎样的关系？什么是三角形的内角和定理？
三角形三边之间的关系:
三角形的任意两边之和大于第三边.
三角形的任意两边之差小于第三边.
三角形的内角和定理：
三角形的内角和等于180°.
03
思考回顾
牛刀小试：1.以下列各组线段为边长，能组成三角形的是（　　）
A．2，3，6 B．3，4，8 C．5，6，10 D．7，8，18
2.在△ABC中，若∠A=∠B+∠C，则此三角形是（　　）
A．锐角三角形　　
B．直角三角形　　
C．钝角三角形　　
D．等腰三角形
C
B
03
思考回顾
2.什么是命题？如何判断一个命题是真命题还是假命题？
叙述一件事情的句子（陈述句）要么是真的，要么是假的，两者必居其一，我们称这个陈述句是一个命题.
如果一个命题叙述的事情是真的，就说它是真命题；
如果一个命题叙述的事情是假的，就说它是假命题.
03
思考回顾
命题
真命题
证明
反证法
假命题
举反例
03
思考回顾
牛刀小试：下列命题中为真命题的是（　　）
A．=±4
B．过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
C．同旁内角互补
D．有理数与数轴上的点一一对应
B
03
思考回顾
3.什么是互逆命题？原命题是真命题，它的逆命题一定是真命题吗？反证法的基本思路是怎样的？
对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这样的两个命题称为互逆命题，其中一个叫作原命题，另一个叫作它的逆命题.
当一个命题是真命题时，它的逆命题不一定是真命题.
03
思考回顾
反证法的基本思路：
(1) 假设命题不成立；(2) 导出矛盾；(3) 肯定结论.
应用反证法的情形：
(1) 直接证明困难；
(2) 需分成很多类进行讨论；
(3) 结论为“至少”、“至多”、“有无穷多个”的一类命题；
(4) 结论为“唯一”类命题.
03
思考回顾
用反证法证明时，导出矛盾的几种可能：
(1)与原命题的条件矛盾；
(2)与定义、公理、定理、性质矛盾；
(3)与假设矛盾；
(4)与客观事实矛盾.
牛刀小试：下列命题，①对顶角相等；②两直线平行，同位角相等；③全等三角形的对应角相等．其中逆命题是真命题的命题共有　 　个．
1
03
思考回顾
4.全等三角形有哪些性质？如何判定两个三角形全等？
全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.
如果两个三角形的三条边和三个角分别对应相等，那么这两个三角形全等.
一个图形经过平移或旋转或轴对称得到的图形与原图形全等.
03
思考回顾
全等三角形的判定定理（边角边）：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.
全等三角形的判定定理（角边角）：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.
全等三角形的判定定理（角角边）：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.
全等三角形的判定定理（边边边）：三边分别相等的两个三角形全等。
03
思考回顾
牛刀小试：
下列条件中，能判定 △ABC≌△DEF 的是（　　）
A．∠A=∠D ， ∠B=∠E ， ∠C=∠F
B．AB=DE ， ∠B=∠E ， AC=DF
C．∠A=∠D ， ∠B=∠E ， AC=DE
D．AB=DE ， ∠B=∠E=90° ， AC=DF
D
03
思考回顾
5.什么是等腰三角形的性质定理？什么是等腰三角形的判定定理？等边三角形呢？
等腰三角形的性质定理：
1.等腰三角形的两个底角相等（简称 “等边对等角”).
2.底边上的高线、中线及顶角平分线重合（简称“三线合一”).
3.等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在的直线.
03
思考回顾
等腰三角形的判定定理:有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称 “ 等角对等边”）.
03
思考回顾
等边三角形的性质定理:等边三角形的各角都等于60°.
等边三角形的判定定理1:三个角都相等的三角形是等边三角形.
等边三角形的判定定理2:有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
03
思考回顾
牛刀小试：下列说法中：①等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；②有一个角是60°的三角形是等边三角形；③若三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，则这个三角形为等腰三角形；④成轴对称的两个三角形一定是全等三角形。其中正确的说法共有（　　）个。
A．1
B．2
C．3
D．4
B
03
思考回顾
6.什么是线段的垂直平分线？线段的垂直平分线的性质定理和它的逆定理分别是什么？
线段的垂直平分线的概念:
垂直并且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线（或中垂线）.
l
03
思考回顾
线段垂直平分线的性质定理：
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
线段垂直平分线的性质定理的逆定理:
到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.
03
思考回顾
牛刀小试：如图，△ABC中，∠BAC=90°，AC=8cm，DE是BC边上的垂直平分线，△ABD的周长为14cm，则AB的长度是　 　cm．
6
03
思考回顾
7. 举例说明本章学习的几种尺规作图.
尺规作图
已知三边作三角形
作一个角等于已知角
已知两边及其夹角作三角形
已知两角及其夹边作三角形
过直线外一点作直线的平行线
03
思考回顾
尺规作图
线段垂直平分线
过一点作已知直线的垂线
作一个角的平分线
已知底边及底边上的高线作等腰三角形
04
注意事项
1. 一个命题要么是真的，要么是假的，二者必居其一.
2. 判断一个命题是真的，需要进行证明. 难以直接证明时，常用反证法.
3. 判断一个命题是假的，只需要举出一个反例，使之符合命题的条件，但是不满足命题的结论.
4. 一个命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题.
5. 由于全等三角形的对应边相等、对应角相等，因而证明线段相等或角相等时，常常先证明有关的两个三角形全等.
05
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.已知等腰三角形的两边长分别为5cm和7cm，则这个等腰三角形的周长是（　　）
A．7cm
B．16cm
C．19cm
D．17cm或19cm
D
05
课堂练习
2.已知下列命题：
①若，则；②若，则；③同位角相等，两直线平行；④对顶角相等．
其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（　　）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
B
05
课堂练习
3.如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，若连接AC、BD相交于点O，则图中全等三角形共有（　　）
A．3对
B．4对
C．2对
D．5对
A
05
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
4.要说明命题“一个正数的算术平方根一定小于这个数”是假命题，可以按以下举反例说明：当　 　时，　 　，得　 　a，所以这是一个假命题．
>
05
课堂练习
5.如图，CD是△ABC的高，且CD平分∠ACB，∠BAC＝70°，∠CFE＝25°，则∠CEF＝　 　°．
115
05
课堂练习
6.如图，在△ABC中,AB=AC，∠ACB=60°，D是线段BC上一点，连接AD，在线段AD上分别取两点E，F，连接CE，BF，若∠BAD=∠ACE，∠BFD=60°，CE=5，则AF的长为　 　.
5
05
课堂练习
7.为了测量一幢高楼的高AB，在旗杆CD与楼之间选定一点P．测得旗杆顶C的视线PC与地面的夹角∠DPC=17°，测楼顶A的视线PA与地面的夹角∠APB=73°，量得点P到楼底距离PB与旗杆高度相等，等于8米，量得旗杆与楼之间距离为DB=33米，求楼高AB是多少米？
解：米，米，
（米，
，，，
【综合拓展类作业】
05
课堂练习
∴∠CPD+∠APB=90°，∠DCP+∠DPC=90°，
，
在和中，，
∴（ASA），
，
答：楼高是25米．
06
作业布置
【知识技能类作业】
1.如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，小明在池塘外取AB的垂线BF上的点C，D，使BC=CD，再画出BF的垂线DE，使E与A，C在一条直线上，这时测得DE的长就是AB的长，依据是（　　）
A．SSS
B．SAS
C．ASA
D．AAS
C
06
作业布置
【知识技能类作业】
3.如图，AB//CD，若∠1=65°，∠2=120°，则∠3的度数为（　　）
A．45°
B．55°
C．60°
D．65°
B
06
作业布置
3.如图，在等边三角形ABC中，AD是边BC上的中线，且AD=6，E是AD上的一个动点，F是边AB的中点，BE+EF的最小值为（　　）
A．5
B．6
C．7
D．8
B
06
作业布置
【综合拓展类作业】
证明：连接BD，
∵DE、DF分别为BC、AB边的垂直平分线．
∴DC = DB，DA = DB，
∴DC = DA．
4.如图。在△ABC中，DE、DF分别为BC、AB边的垂直平分线，连接AD、CD，
（1）求证：DC = DA；
（2）若∠B=30°．AC=5，则△ACD的周长为　 　。
15
07
板书设计
三角形：
定义、命题、定理：
全等三角形：
等腰（边）三角形：
垂直平分线：
尺规作图：
第4章 小结与评价
习题讲解书写部分
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第4章 三角形
第4章 小结与评价
学习目标与重难点
学习目标：
1.系统回顾三角形的三边关系、内角和定理、外角性质及分类标准。
2.熟练运用全等三角形的判定与性质、等腰（等边）三角形的“等边对等角”“三线合一”等核心定理。
3.掌握垂直平分线的性质与判定，并能结合尺规作图解决实际问题。
4.通过“命题—证明—应用”训练，提升逻辑推理与几何直观能力。
5.运用尺规作图验证几何性质，培养实践操作与数学建模能力。
学习重点：
1.三角形性质与判定定理的综合应用。
2.尺规作图的操作规范与几何依据。
学习难点：
1.复杂图形中辅助线的添加（如构造中位线、垂直平分线）。
2.多次全等证明及几何语言规范表述。
教学过程
一、知识图谱
二、思考回顾
教材第146页
1.三角形的三边之间有怎样的关系？什么是三角形的内角和定理？
【牛刀小试】1.以下列各组线段为边长，能组成三角形的是（　　）
A．2，3，6 B．3，4，8 C．5，6，10 D．7，8，18
2.在中，若，则此三角形是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
2.什么是命题？如何判断一个命题是真命题还是假命题？
【牛刀小试】下列命题中为真命题的是（　　）
A．
B．过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
C．同旁内角互补
D．有理数与数轴上的点一一对应
3.什么是互逆命题？原命题是真命题，它的逆命题一定是真命题吗？反证法的基本思路是怎样的？
【牛刀小试】下列命题，①对顶角相等；②两直线平行，同位角相等；③全等三角形的对应角相等．其中逆命题是真命题的命题共有　 　个．
4.全等三角形有哪些性质？如何判定两个三角形全等？
【牛刀小试】下列条件中，能判定 的是（　　）
A． ， ，
B． ， ，
C． ， ，
D． ， ，
5.什么是等腰三角形的性质定理？什么是等腰三角形的判定定理？等边三角形呢？
【牛刀小试】下列说法中：①等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；②有一个角是60°的三角形是等边三角形；③若三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，则这个三角形为等腰三角形；④成轴对称的两个三角形一定是全等三角形。其中正确的说法共有（　　）个。
A．1 B．2 C．3 D．4
6.什么是线段的垂直平分线？线段的垂直平分线的性质定理和它的逆定理分别是什么？
【牛刀小试】如图，中，，，是边上的垂直平分线，的周长为，则的长度是　 　．
7.举例说明本章学习的几种尺规作图.
三、注意事项
1. 一个命题要么是真的，要么是假的，二者必居其一.
2. 判断一个命题是真的，需要进行证明. 难以直接证明时，常用反证法.
3. 判断一个命题是假的，只需要举出一个反例，使之符合命题的条件，但是不满足命题的结论.
4. 一个命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题.
5. 由于全等三角形的对应边相等、对应角相等，因而证明线段相等或角相等时，常常先证明有关的两个三角形全等.
四、课堂练习
【知识技能类作业】
必做题
1.已知等腰三角形的两边长分别为5cm和7cm，则这个等腰三角形的周长是（　　）
A．7cm B．16cm C．19cm D．17cm或19cm
2.已知下列命题：
①若，则；②若，则；③同位角相等，两直线平行；④对顶角相等．
其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（　　）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
3.如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，若连接AC、BD相交于点O，则图中全等三角形共有（　　）
A．3对 B．4对 C．2对 D．5对
选做题
4.要说明命题“一个正数的算术平方根一定小于这个数”是假命题，可以按以下举反例说明：当　 　时，　 　，得　 　a，所以这是一个假命题．
5.如图，CD是△ABC的高，且CD平分∠ACB，∠BAC＝70°，∠CFE＝25°，则∠CEF＝　 　°．
6.如图，在△ABC中,AB=AC，∠ACB=60°，D是线段BC上一点，连接AD，在线段AD上分别取两点E，F，连接CE，BF，若∠BAD=∠ACE，∠BFD=60°，CE=5，则AF的长为　 　.
【综合拓展类作业】
7.为了测量一幢高楼的高，在旗杆与楼之间选定一点．测得旗杆顶的视线与地面的夹角，测楼顶的视线与地面的夹角，量得点到楼底距离与旗杆高度相等，等于8米，量得旗杆与楼之间距离为米，求楼高是多少米？
五、作业布置
1.如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，小明在池塘外取的垂线上的点C，D，使，再画出的垂线，使E与A，C在一条直线上，这时测得的长就是的长，依据是（　　）
A． B． C． D．
2.如图，，若，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
3.如图，在等边三角形中，是边上的中线，且，是上的一个动点，是边的中点，的最小值为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
4.如图。在△ABC中，DE、DF分别为BC、AB边的垂直平分线，连接AD、CD，
（1）求证：DC = DA；
（2）若∠B=30°．AC=5，则△ACD的周长为　 　。
答案解析
课堂练习：
1.【答案】D
【解析】解：①当腰是5cm，底边是7cm时，能构成三角形，
则其周长；
②当底边是5cm，腰长是7cm时，能构成三角形，
则其周长.
故答案为：D.
2.【答案】B
【解析】①若a≤0，则|a|=-a，是真命题，
逆命题是若|a|=-a则a≤0，是真命题，
②若ma2＞na2，则m＞n，是真命题，
逆命题是若m＞n，则ma2＞na2，是假命题，
③同位角相等，两直线平行，是真命题，
逆命题是两直线平行，同位角相等，是真命题，
④对顶角相等，是真命题，
逆命题是相等的角是对顶角，是假命题，
原命题与逆命题均为真命题的个数是2个；
故答案为：B．
3.【答案】A
【解析】解：由图可知AC=AC
∵AB＝AD，CB＝CD，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠BAC=∠DAC，∠ACB=∠ACD，
△ABO≌△ADO（SAS）， △CBO≌△CDO(SAS)，
一共有三对全等，故选A.
4.【答案】、、.
【解析】解：当时，，
∵，
∴，
∴这是一个假命题.
故答案为：、、.
5.【答案】115
【解析】解：∵CD是△ABC的高，
∴∠ADC=∠BDC=90°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD，
在△ACD与△BCD中，
，
∴△ACD≌△BCD（ASA），
∴AC=BC，
∴∠B=∠BAC=70°，
∴∠ACB=180°-70°-70°=40°，
∵∠ACB+∠F+∠CEF=180°，
∴∠CEF=180°-40°-25°=115°.
故答案为：115.
6.【答案】5
【解析】解：∵AB=AC，∠ACB=60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴ ∠BAC =60°，
∵ ∠BFD=∠ABF+∠BAD = 60°， ∠BAC = ∠BAD +∠CAD = 60°，
∴∠ABF=∠CAE，
∵ AB=AC，∠BAD =∠ACE，
∴△BAF≌△ACE(ASA)，
∴AF=CE=5.
故答案为：5.
7.【答案】解：米，米，
（米，
，，，
∴∠CPD+∠APB=90°，∠DCP+∠DPC=90°，
，
在和中，
，
∴（ASA），
，
答：楼高是25米．
作业布置：
1.【答案】C
【解析】解：∵，
∴，
∵ E与A，C在一条直线上，
∴∠ACB=∠ECD.
在和中，
，
∴，
∴，
∴依据是，
故答案为：C．
2.【答案】B
【解析】解：∵，
∴∠ACD=∠1=65°，
∵，
∵，
∴，
故答案为：B
3.【答案】B
【解析】解：如图，连接CE，CF，如图所示：
是等边三角形，AD是BC边的中线，是边的中点，
⊥，CF⊥AB，
∴CF=AD=6，BE=CE，
，
当点、、三点共线时，的值最小，最小值为=6，
的最小值为，
故答案为：B．
4．【答案】（1）证明：连接BD，
∵DE、DF分别为BC、AB边的垂直平分线．
∴DC = DB，DA = DB，
∴DC = DA．
（2）15
（2）连接BD延长交AC于点H
由（1）得：DC = DB，DA = DB
∴
∴
∴
∵DC = DA
∴
∴三角形ACD为等边三角形
∴周长为：AC+AD+CD=3AC=15
故答案为：15
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