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学 科 数学 年 级 八 设计者
教材版本 湘教版 册、章 上册第4章
课标要求 1.理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等概念，了解三角形的稳定性. 2.探索并证明三角形的内角和定理，掌握它的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 3.证明三角形的任意两边之和大于第三边. 4.理解全等三角形的概念，能识别全等三角形的对应边、对应角. 5.掌握基本事实：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等. 6.掌握基本事实：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等. 7.掌握基本事实：三边分别相等的两个三角形全等. 8.证明定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等. 9.理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；反之，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。 10.理解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等；底边上的高线、中线及顶角平分线重合. 11.探索并掌握等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形. 12.探索等边三角形的性质定理：等边三角形的各角都等于60°。 13.探索等边三角形的判定定理：三个角都相等的三角形(或有一个角是60°的等腰三角形)是等边三角形. 14.通过具体实例，了解定义、命题、定理、推论的意义. 15.结合具体实例，会区分命题的条件和结论，了解原命题及其逆命题的概念。会识别两个互逆的命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立. 16.知道证明的意义和证明的必要性，知道数学思维要合乎逻辑，知道可以用不同的形式表述证明的过程，会用综合法的证明格式. 17.了解反例的作用，知道利用反例可以判断一个命题是错误. 18.通过实例体会反证法的含义. 19.能用尺规作图：已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形；已知底边及底边上的高线作等腰三角形；过直线外一点作这条直线的平行线；作一条线段的垂直平分线；作已知角的平分线.
内容分析 本章是初中数学湘教版八年级上册第3章《三角形》，属于《义务教育数学课程标准》中的“图形与几何”领域中的“三角形”和“定义、命题、定理”。本章内容以三角形为核心，系统整合其定义、性质、分类及全等判定等知识，既承接平行线与相交线的基础，又为后续直角三角形、四边形等内容奠定方法论框架。教材通过“观察—操作—归纳”路径展开教学，如用小棒摆三角形、拼内角验证内角和定理，强化几何直观；同时注重逻辑推理渗透，例如通过三角形内角和定理推导外角性质，引导学生从特殊到一般归纳结论。此外，单元融入等腰三角形、等边三角形等特殊三角形研究，形成“一般—特殊”的认知结构，并通过全等三角形的判定（SSS、SAS等）培养演绎推理能力，体现“几何研究大观念”的单元整体设计理念。
学情分析 八年级学生已具备平行线、角度等几何基础，能初步运用逻辑推理解决简单问题，但对抽象概念的理解仍需直观支持。例如，在三角形三边关系中，学生易混淆“较短两边之和大于第三边”与“任意两边之和大于第三边”，需通过操作实验突破认知障碍；在全等三角形判定中，学生可能因忽视对应关系导致证明错误，需通过对比练习强化条件匹配意识。此外，学生合作探究能力较强，但独立思考与创新表达较弱，需通过角色扮演、开放性问题激发思维活力。
单元目标 （一）教学目标 1.认识三角形及三角形有关的概念，如三角形的顶点、边、角，会表示三角形，知道等腰三角形、等边三角形的概念. 2.掌握三角形的三边关系，能判断三条线段能否构成三角形. 3.认识三角形的高、角平分线、中线，能准确地表示出或画出相关图形. 4.探究并证明三角形的内角和定理，会应用定理进行相关计算. 5.会根据角的大小对三角形进行分类. 6.认识三角形的外角，掌握三角形的外角的性质，会应用三角形的外角及内角和进行相关 计算. 7.初步认识定义、命题、互逆命题、公理、定理、互逆定理的概念. 8.能分清命题的条件和结论，会把命题写成“如果……，那么……”的形式. 9.会判断命题的真假，会用举反例的方法说明一个命题是假命题. 10.会识别两个命题是不是互逆命题，会写出一个简单命题的逆命题. 11.知道证明的一般步骤及反证法，会进行一些简单命题的证明. 12.认识全等图形与全等三角形，会正确找出全等三角形的对应边、对应角. 13.能利用全等三角形的性质进行简单的推理和计算，解决一些实际问题. 14.掌握判定两个三角形全等的四个判定定理，并能熟练地判定两个三角形全等. 15.在探索三角形全等的条件及其运用过程中，培养实践能力和逻辑思维能力. 16.知道尺规作图的概念，对尺规作图题会写已知、求作和作法. 17.会用尺规作一个角等于已知角，过直线外一点作这条直线的平行线. 18.在分别给出三边、两边及其夹角、两角及其夹边的条件下，会用尺规作三角形. 19.会利用尺规作图留下的痕迹分析作图类型并能利用相关知识解决问题. 20.掌握等腰三角形、等边三角形的性质，能利用等腰三角形、等边三角形的性质进行计算与证明. 21.掌握等腰三角形、等边三角形的判定定理，能利用等腰三角形、等边三角形的判定定理证明一个三角形是等腰三角形或等边三角形. 22.尝试说理，进一步发展有条理的思考和表达能力，提高演绎推理能力. 23.认识线段的垂直平分线，会利用线段垂直平分线的性质进行相等线段的转化. 24.能运用线段垂直平分线的性质定理及逆定理解决问题. 25.会用尺规作一条线段的垂直平分线以及过一点作已知直线的垂线. 26.已知底边及底边上的高线会用尺规作等腰三角形. 27.会用尺规作已知角的平分线. （二）教学重点、难点 重点 1.三角形边角关系与内角和定理的系统掌握. 2.全等三角形的性质及三种基本判定方法的灵活运用. 3.等腰三角形“等边对等角”及“三线合一”的本质理解. 4.定义、命题、证明的逻辑结构与书写规范. 难点 1.从实验验证上升到演绎证明的思维转换. 2.在复杂图形中准确找出全等三角形的对应元素并选择恰当判定. 3.将等腰三角形性质迁移到多步证明与实际问题. 4.对命题条件、结论及逆命题的辨析与反例构造.
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架 （二）课时安排 课时编号单元主要内容课时数4.1认识三角形24.2命题与证明34.3全等三角形54.4尺规作图24.5等腰三角形34.6线段的垂直平分线2第3章小结与复习1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务4.1 认识三角形（1）1.认识三角形及三角形有关的概念，如三角形的顶点、边、角，会表示三角形.知道等腰三角形、等边三角形的概念。 2.掌握三角形的三边关系，能判断三条线段能否构成三角形。 3.认识三角形的高、角平分线、中线，能准确地表示出或画出相关图形。1.能判断三条线段能否构成三角形。2.能利用二次根式有意义的条件求字母的取值范围。 3.能准确地表示出三角形的高、角平分线、中线或画出相关图形。任务一：情境导入，观察图形。 任务二：探究新知，认识三角形及三角形有关的概念。 任务三：例题精讲，运用知识。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.1 认识三角形（2）1.探究并证明三角形的内角和定理，会应用定理进行相关计算。 2.会根据角的大小对三角形进行分类。 3.认识三角形的外角，掌握三角形的外角的性质，会应用三角形的外角及内角和进行相关计算。1.会应用三角形的内角和定理进行相关计算。 2.会根据角的大小对三角形进行分类。 3.会应用三角形的外角及内角和进行相关计算。任务一：动手操作，回顾旧知。 任务二：探究新知，进行证明。 任务三：例题精讲，应用三角形的外角及内角和进行相关计算。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.2.1 定义，命题1.理解并掌握二次根式乘法法则，能正确计算及含系数的乘法。 2.能逆向应用法则化简二次根式，确保结果为最简形式。能正确计算及含系数的乘法。任务一：复习导入，回顾积的算术平方根的性质。 任务二：探究新知，观察猜想. 任务三：例题精讲，运用法则进行计算。 任务四：巩固练习，课堂小结4.2.2 证明，举反例1.理解反例的作用，学会通过构造反例判断假命题，并能在不同类型的命题中灵活运用证明与举反例的方法。 2.知道证明的一般步骤及反证法，会进行一些简单命题的证明。1.会通过构造反例判断假命题，并能在不同类型的命题中灵活运用证明与举反例的方法。 2.会进行一些简单命题的证明。任务一：认真思考，初步感知举反例。 任务二：探究新知，探究举反例和证明. 任务三：例题精讲，进行证明。 任务四：巩固练习，课堂小结4.2.3 定理，推论1.理解定理与推论的概念，掌握定理的证明方法，能运用已知定理推导简单推论。 2.初步认识定理、互逆定理的概念。能运用已知定理推导简单推论。任务一：复习导入，回顾已学定理。 任务二：探究新知，探究定理和推论。 任务三：例题精讲，进行证明。 任务四：巩固练习，课堂小结4.3.1 认识全等三角形1.认识全等图形与全等三角形，会正确找出全等三角形的对应边、对应角。 2.能用符号正确表示两个全等三角形。 3.能利用全等三角形的性质进行简单的推理和计算，解决一些实际问题。1.会正确找出全等三角形的对应边、对应角。 2.能用符号正确表示两个全等三角形。 3.能利用全等三角形的性质进行简单的推理和计算，解决一些实际问题。任务一：认真观察，提出猜想。 任务二：探究新知，全等三角形的性质。 任务三：例题精讲，进行计算。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.3.2 全等三角形的判定定理（边角边）1.理解“边角边”（SAS）判定定理的内容，能准确识别定理中的对应边和夹角。 2.掌握定理的证明方法。能运用SAS定理证明两个三角形全等，并解决简单的几何问题。任务一：认真观察，进行判断。 任务二：探究新知，掌握边角边。 任务三：例题精讲，进行判定。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.3.3 全等三角形的判定定理（角边角、角角边）1.理解“角边角、角角边”判定定理的内容，能准确识别定理中的对应边和对应角。 2.掌握定理的证明方法。能运用ASA、AAS定理证明两个三角形全等，并解决简单的几何问题。任务一：认真思考，动手操作。 任务二：探究新知，掌握角边角、角角边。 任务三：例题精讲，进行判定。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.3.4 全等三角形的判定定理（边边边）1.理解“边边边”判定定理的内容，能准确识别定理中的对应边和对应角。 2.掌握定理的证明方法。能运用SSS定理证明两个三角形全等，并解决简单的几何问题。任务一：认真思考，动手操作。 任务二：探究新知，掌握边边边。 任务三：例题精讲，进行判定。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.3.5 全等三角形的应用1.理解全等三角形在测量、设计、证明等实际问题中的应用价值。 2.能根据问题条件抽象出全等三角形模型，灵活运用判定定理和性质解决线段相等、角相等及不可达距离测量等问题。能根据问题条件抽象出全等三角形模型，灵活运用判定定理和性质解决线段相等、角相等及不可达距离测量等问题。任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：探究新知，构建全等三角形模型。 任务三：例题精讲，进行判定。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.4 尺规作图（1）1.掌握尺规作图的基本方法，能正确作出“已知三边的三角形”“一个角等于已知角”“已知两边及其夹角的三角形”。 2.理解三种作图方法的理论依据（SSS、SAS全等判定及角复制原理），并能用几何语言清晰表达步骤。能用规范的几何语言描述作图步骤，能读懂并绘制简单的作图流程图。任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：探究新知，学习尺规作图的基本方法。 任务三：例题精讲，运用知识。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.4 尺规作图（2）1.能规范使用直尺和圆规完成“已知两角及其夹边作三角形”与“过直线外一点作平行线”任务，掌握关键步骤。 2.理解两种作图方法的理论依据（AAS全等判定、同位角相等两直线平行），并能用几何语言清晰表达。能用规范的几何语言描述作图步骤，能读懂并绘制简单的作图流程图。任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：探究新知，学习尺规作图的基本方法。 任务三：例题精讲，运用知识。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.5 等腰三角形（1）1.掌握等腰三角形的性质定理，能运用“等边对等角”和“三线合一”解决角、线段相等的证明问题。 2.理解性质定理的证明方法（利用全等三角形），规范书写推理过程。能运用“等边对等角”和“三线合一”解决角、线段相等的证明问题。任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：探究新知，学习等腰三角形的性质。 任务三：例题精讲，运用知识。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.5 等腰三角形（2）1.掌握等腰三角形的判定定理，并能运用该定理进行几何证明和计算。 2.理解判定定理与性质的互逆关系。能运用定理证明线段相等或三角形为等腰三角形。任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：探究新知，学习等腰三角形的判定定理。 任务三：例题精讲，运用知识。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.5 等腰三角形（3）1.掌握等边三角形的性质和判定定理。 2.能运用性质与判定解决线段相等、角度计算及几何证明问题。能运用性质与判定解决线段相等、角度计算及几何证明问题。任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：探究新知，学习等边三角形的性质和判定。 任务三：例题精讲，运用知识。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.6 线段的垂直平分线（1）1.理解线段垂直平分线的定义，掌握其性质定理与逆定理的内容及符号表达。 2.能运用性质定理与逆定理证明线段相等、点共线或垂直关系，解决简单几何问题。能运用性质定理与逆定理证明线段相等、点共线或垂直关系，解决简单几何问题。任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：探究新知，探究线段垂直平分线。 任务三：例题精讲，运用知识。 任务四：巩固练习，课堂小结。4.6 线段的垂直平分线（2）1.掌握线段垂直平分线、过一点作已知直线垂线、已知底边及高线作等腰三角形、作角平分线的尺规作图方法，能规范书写作图步骤。 2.理解各作图方法的几何依据。能用规范的几何语言描述作图步骤，能读懂并绘制简单的作图流程图。任务一：复习导入，回顾旧知。 任务二：探究新知，动手操作。 任务三：例题精讲，运用知识。 任务四：巩固练习，课堂小结。第4章 小结与评价1.系统回顾三角形的三边关系、内角和定理、外角性质及分类标准。 2.熟练运用全等三角形的判定与性质、等腰（等边）三角形的“等边对等角”“三线合一”等核心定理。 3.掌握垂直平分线的性质与判定，并能结合尺规作图解决实际问题。1.能够熟练运用三角形的三边关系、内角和定理、外角性质解决问题。 2.能够熟练运用全等三角形的判定与性质、等腰（等边）三角形的“等边对等角”“三线合一”等核心定理。 3.能够熟练运用垂直平分线的性质与判定解决问题任务一：知识图谱，梳理本章知识点。 任务二：思考回顾，回顾重点知识，了解注意事项 任务三：自评互评，了解知识掌握情况 任务四：巩固练习，进行习题自测。
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第4章 三角形
4.6 线段的垂直平分线（1）
学习目标与重难点
学习目标：
1.理解线段垂直平分线的定义，掌握其性质定理与逆定理的内容及符号表达。
2.能运用性质定理与逆定理证明线段相等、点共线或垂直关系，解决简单几何问题。
3.体会“性质”与“判定”的互逆关系，培养逆向思维。
学习重点：
线段垂直平分线的性质定理及逆定理的理解与应用。
学习难点：
区分“性质”与“判定”的逻辑方向，并在复杂情境中识别或构造垂直平分线。
学习过程
一、复习回顾
回顾：轴对称的性质是什么？
填空：△ABC与△DEF关于直线 l 对称，点A的对应点为______，点B的对应点为______，点D的对应点为______，由轴对称的性质可知线段AD、BE、CF被直线 l ____________.
二、探究新知
探究：线段的垂直平分线的性质定理
教材第137页
【定义】线段的垂直平分线的概念：
_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
思考：
甲乙两位同学在玩一个游戏,甲在点A处，乙在点B处，把宝物放在什么地方对两人是公平的,除线段AB的中点外还有别的地方吗？
你的猜想：
【探究】如图，在线段AB的垂直平分线l上任取一点P（点P不在线段AB上），连接PA，PB，则线段PA与PB的长度相等吗？为什么？由此你能得出什么结论？
【归纳】线段垂直平分线的性质定理：
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
探究二：线段垂直平分线的性质定理的逆定理
【说一说】线段垂直平分线的性质定理的条件是什么？结论是什么？它的逆命题是什么？
【思考】线段垂直平分线的性质定理的逆命题是真命题吗？
【归纳】线段垂直平分线的性质定理的逆定理:
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
三、例题精讲
例1如图，在△ABC中，AB，BC的垂直平分线相交于点O，连接OA，OB，OC.
求证：点O在AC的垂直平分线上.
四、课堂练习
【知识技能类作业】
必做题
1.如图，已知直线PC是线段AB的垂直平分线，∠APC＝50°，则∠B＝（　　）
A．40° B．50° C．55° D．60°
2.已知下列命题：①两点之间线段最短；②全等三角形的对应边相等；③底角相等的两个等腰三角形全等；④线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．其中真命题的个数为(　　)个.
A．1 B．2 C．3 D．4
3.如图，在等边三角形中，，垂足为点，点在线段上， ，则等于（　　）
A． B． C． D．
选做题
4.如图，在中，，，的垂直平分线交于点，则
　 　 ．
5.如图，的垂直平分线分别交于点D和点E，连接，则的度数是　 　．
6.如图，在中，，D，E是边上两点，且所在的直线垂直平分线段，平分，，则的长是　 　．
【综合拓展类作业】
7.如图，中，，，的垂直平分线交于点E，交于点D，连接．
（1）求的度数；
（2）若，求长．
五、课堂小结
这节课你收获了什么，在解题过程中须注意什么
六、作业布置
1.如图，在中，，，，的垂直平分线交于点，交于点E，的垂直平分线交于点N，交于点F，则的长为（　　）
A． B． C． D．
2.如图，在中，的垂直平分线分别交、于点、，的垂直平分线分别交、于点、．若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
3.如图，在中，，，的垂直平分线分别交，于，两点，是上一点，且，连接，．则下列说法正确的是；；．（　　）
A． B． C． D．
4.如图，在中，分别垂直平分和，交于M、N两点，与相交于点F．
（1）若的周长为，求的长；
（2）若，求的度数．
答案解析
课堂练习：
1.【答案】A
【解析】解：∵直线PC是线段AB的垂直平分线，
∴PC⊥AB，PA＝PB，
∴∠B＝∠A，∠PCA＝90°，
∵∠APC＝50°，
∴∠B＝∠A＝90°﹣∠APC＝40°，
故答案为：A
2.【答案】C
【解析】解：①两点之间线段最短，该项正确；
②全等三角形的对应边相等，该项正确；
③底角和相等的两个等腰三角形全等，该项错误；
④线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，该项正确；
综上所述，其中真命题个数为三个，
故答案为：C.
3.【答案】A
【解析】解：∵△是 等边三角形，
∴AB=AC，∠ABC=∠ACB=60°，
∵，
∴BE=CE，
∴∠ECB=，
∴∠ABC-∠EBC=∠ACB-∠ECB=60°-45°=15°，
即∠ABE=∠ACE=15°
故答案为：A.
4.【答案】．
【解析】解：的垂直平分线交于，
，
，
∵，，
，
．
故答案为：．
5.【答案】.
【解析】解：∵垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：.
6.【答案】．
【解析】解：∵是线段的垂直平分线，
∴，又，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：10．
7.【答案】（1）解：∵是的垂直平分线，∴，
∴．
∵，，
∴，
∴
（2）解：由（1）得．．∵是的外角，
∴，
∴，
∴
作业布置：
1.【答案】C
【解析】解：连接．
∵的垂直平分线交于M，交于E，的垂直平分线交于N，交于F，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴．
∵，
∴．
故选：C．
2.【答案】C
【解析】解：∵，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
3.【答案】D
【解析】解：∵，，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∵，
∴，故正确，符合题意；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，故正确，符合题意；
∵，
∴，
∴，
∴，故正确，符合题意；
综上可知：正确，
故答案为：．
4．【答案】（1）解：∵的周长为，∴，
∵分别垂直平分和，
∴，
∴.
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
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第4章 三角形
4.6 线段的垂直平分线（1）
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
课堂练习
05
课堂小结
06
作业布置
01
教学目标
理解线段垂直平分线的定义，掌握其性质定理与逆定理的内容及符号表达。
01
能运用性质定理与逆定理证明线段相等、点共线或垂直关系，解决简单几何问题。
02
体会“性质”与“判定”的互逆关系，培养逆向思维。
03
02
新知导入
回顾：轴对称的性质是什么？
轴对称的基本性质：成轴对称的两个图形中， 对应点的连线被对称轴垂直平分.
02
新知导入
填空
△ABC与△DEF关于直线 l 对称，点A的对应点为______,点B的对应点为______,点D的对应点为______,由轴对称的性质可知线段AD、BE、CF被直线 l ____________.
点D
点E
点F
垂直平分
03
新知探究
线段的垂直平分线的概念:
垂直并且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线（或中垂线）.
直线 l 就是线段 PP' 的垂直平分线.
线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴.
注意
l
甲乙两位同学在玩一个游戏,甲在点A处,乙在点B处,把宝物放在什么地方对两人是公平的,除线段AB的中点外还有别的地方吗
03
新知探究
03
新知探究
探究
如图，在线段AB的垂直平分线l上任取一点P（点P不在线段AB上），连接PA，PB，则线段PA与PB的长度相等吗？为什么？由此你能得出什么结论？
相等
可用全等三角形的性质进行证明
03
新知探究
设D是线段AB的中点，根据线段的垂直平分线的定义可知，点D在直线l上，并且PD⊥AB，
于是∠ADP = ∠BDP = 90°.
在△PAD和△PBD中，
所以△PAD ≌ △PBD（边角边）.
因此PA = PB.
思考：当点P在线段AB 上时，结论还成立吗
03
新知探究
线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
几何语言
∵点P在线段AB的垂直平分线上，
∴ PA=PB(线段垂直平分线的性质定理).
03
新知探究
说一说
线段垂直平分线的性质定理的条件是什么？结论是什么？它的逆命题是什么？
条件是：一个点在一条线段的垂直平分线上.
结论是：这个点到这条线段两端的距离相等.
它的逆命题是：如果一个点到一条线段两端的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上.
03
新知探究
思考
线段垂直平分线的性质定理的逆命题是真命题吗？
如图，当点M不在线段AB上时，连接MA，MB，
由于MA=MB，则△MAB是等腰三角形.
取AB的中点D，连接MD，则MD是△MAB的底边AB上的中线，也是AB上的高线.
因此，直线MD是线段AB的垂直平分线，从而点M在线段AB的垂直平分线上.
当点M在线段AB上时，则M就是AB的中点，因而点M在AB的垂直平分线上.
03
新知探究
线段垂直平分线的性质定理的逆定理:到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.
几何语言
∵MA=MB，
∴点M在线段AB的垂直平分线上(线段垂直平分线的性质定理的逆定理).
03
新知探究
如图，在△ABC中，AB，BC的垂直平分线相交于点O，连接
例1
证明：因为点O在线段AB的垂直平分线上，
所以OA=OB（线段垂直平分线的性质定理）.
同理可得OB=OC.
于是OA=OC.
所以点O在AC的垂直平分线上（线段垂直平分线的性质定理的逆定理）.
OA，OB，OC.
求证：点O在AC的垂直平分线上.
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.如图，已知直线PC是线段AB的垂直平分线，∠APC＝50°，则∠B＝（　　）
A．40°
B．50°
C．55°
D．60°
A
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
2.已知下列命题：①两点之间线段最短；②全等三角形的对应边相等；③底角相等的两个等腰三角形全等；④线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．其中真命题的个数为(　　)个.
A．1
B．2
C．3
D．4
C
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
3.如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，点E在线段AD上，∠EBC=45° ，则∠ACE等于（　　）
A．15°
B．30°
C．45°
D．60°
A
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
4.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，AB的垂直平分线l交AC于点D，则∠CBD=　 　 ．
45°
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
5.如图，BC的垂直平分线分别交AB、BC于点D和点E，连接CD,
AC=DC,∠B=25°，则∠ACD的度数是　 　．
80°
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D，E是边AB上两点，且CE所在的直线垂直平分线段AD，CD平分∠BCE，AC=10，则BD的长是　 　．
10
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
7.如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分线交AB于点E，交AC于点D，连接EC．
（1）求∠ECB的度数；
（2）若CE=4，求BC长．
04
课堂练习
（1）解：∵是的垂直平分线，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴
04
课堂练习
（2）解：由（1）得．．
∵是的外角，
∴，
∴，
∴
05
课堂小结
线段垂直平分线的性质定理：
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
线段垂直平分线的性质定理的逆定理:
到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.
06
作业布置
【知识技能类作业】
1.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=6cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为（　　）
A．4cm
B．3cm
C．2cm
D．1cm
C
06
作业布置
【知识技能类作业】
2.如图，在中，的垂直平分线分别交、于点、，的垂直平分线分别交、于点、．若，则的度数是（　　）
A．
B．
C．
D．
C
06
作业布置
3.如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=36°，AC的垂直平分线分别交AC，BC于D，E两点，F是BE上一点，且FE=CE，连接AE，AF．则下列说法正确的是①EA=EF；②∠B=2∠FAB；③AC=BE．（　　）
A．①②
B．①③
C．②③
D．①②③
D
06
作业布置
【综合拓展类作业】
4.如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M、N两点，DM与EN相交于点F．
（1）若△CMN的周长为15cm，求AB的长；
（2）若∠MFN=80°，求∠MCN的度数．
（1）解：∵△CMN的周长为15cm，
∴CM+MN+CN=15，
∵DM、EN分别垂直平分AC和BC，
∴MA=MC，NB=NC，
∴AB=AM+MN+NB=CM+MN+CN=15(cm).
06
作业布置
（2）解：∵∠MFN=80°，
∴∠MNF+∠NMF=180°-80°=100°，
∵∠AMD=∠NMF，∠BNE=∠MNF，
∴∠AMD+∠BNE=∠MNF+∠NMF=100°，
∴∠A+∠B=90°-∠AMD+90°-∠BNE=180°-100°=80°，
∵AM=CM，BN=CN，
∴∠A=∠ACM，∠B=∠BCN，
∴∠MCN=180°-2(∠A+∠B)=180°-2×80°=20°．
07
板书设计
线段垂直平分线的定义：
线段垂直平分线的性质定理：
线段垂直平分线的性质定理的逆定理：
4.6 线段的垂直平分线（1）
习题讲解书写部分
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分课时教学设计
第一课时《4.6 线段的垂直平分线》教学设计
课型 新授课 复习课 试卷讲评课 其他课
教学内容分析 《线段垂直平分线的性质和判定》是湘教版八年级上册第4章《三角形》的第六节第一课时的内容。本节课主要研究线段垂直平分线的定义、性质定理及其逆定理。教材在学生学习轴对称图形和全等三角形的基础上，引入线段垂直平分线的概念，并通过逻辑推理证明其性质及判定。这部分内容既是轴对称性质的深化应用，也为后续学习圆的性质奠定基础，体现了数学知识的连贯性和严谨性。
学习者分析 学生已掌握轴对称图形的性质、全等三角形的判定以及等腰三角形的相关知识，具备一定的几何推理能力。但在理解“性质定理”与“判定定理”的互逆关系时可能存在困难，容易混淆使用条件。此外，部分学生在复杂图形中应用垂直平分线定理时，可能难以准确识别关键点或辅助线。教学中需通过典型例题和变式训练，帮助学生掌握定理的逻辑结构，并提升几何证明的规范性。
教学目标 1.理解线段垂直平分线的定义，掌握其性质定理与逆定理的内容及符号表达。 2.能运用性质定理与逆定理证明线段相等、点共线或垂直关系，解决简单几何问题。3.体会“性质”与“判定”的互逆关系，培养逆向思维。
教学重点 线段垂直平分线的性质定理及逆定理的理解与应用。
教学难点 区分“性质”与“判定”的逻辑方向，并在复杂情境中识别或构造垂直平分线。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：新知导入教师活动1： 回顾：轴对称的性质是什么？ 轴对称的基本性质：成轴对称的两个图形中， 对应点的连线被对称轴垂直平分. 填空：△ABC与△DEF关于直线 l 对称，点A的对应点为______，点B的对应点为______，点D的对应点为______，由轴对称的性质可知线段AD、BE、CF被直线 l ____________.学生活动1： 快问快答，举手回答问题，回顾轴对称的基本性质 认真思考，举手回答问题 活动意图说明：复习导入有利于衔接新旧知识，提高学习效率。通过旧知识引入新的知识有利于活跃课堂教学氛围，激发学生学习动机。环节二：探究新知教师活动2： 探究：线段的垂直平分线的性质定理 【定义】线段的垂直平分线的概念：垂直并且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线（或中垂线）. 教师举例：直线 l 就是线段 PP' 的垂直平分线. 注意：线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴. 思考： 甲乙两位同学在玩一个游戏,甲在点A处，乙在点B处，把宝物放在什么地方对两人是公平的,除线段AB的中点外还有别的地方吗？ 【探究】如图，在线段AB的垂直平分线l上任取一点P（点P不在线段AB上），连接PA，PB，则线段PA与PB的长度相等吗？为什么？由此你能得出什么结论？ 教师讲授：设D是线段AB的中点，根据线段的垂直平分线的定义可知，点D在直线l上，并且PD⊥AB， 于是∠ADP = ∠BDP = 90°. 在△PAD和△PBD中， 所以△PAD ≌ △PBD（边角边）. 因此PA = PB. 教师追问：当点P在线段AB 上时，结论还成立吗？ 【归纳】线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. 几何语言 ∵点P在线段AB的垂直平分线上， ∴ PA=PB(线段垂直平分线的性质定理). 探究二：线段垂直平分线的性质定理的逆定理 【说一说】线段垂直平分线的性质定理的条件是什么？结论是什么？它的逆命题是什么？ 教师讲授： 条件是：一个点在一条线段的垂直平分线上. 结论是：这个点到这条线段两端的距离相等. 它的逆命题是：如果一个点到一条线段两端的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上. 【思考】线段垂直平分线的性质定理的逆命题是真命题吗？ 如图，当点M不在线段AB上时，连接MA，MB， 由于MA=MB，则△MAB是等腰三角形. 取AB的中点D，连接MD，则MD是△MAB的底边AB上的中线，也是AB上的高线. 因此，直线MD是线段AB的垂直平分线，从而点M在线段AB的垂直平分线上. 当点M在线段AB上时，则M就是AB的中点，因而点M在AB的垂直平分线上. 【归纳】线段垂直平分线的性质定理的逆定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. 几何语言 ∵MA=MB， ∴点M在线段AB的垂直平分线上(线段垂直平分线的性质定理的逆定理).学生活动2： 认真听讲，了解线段的垂直平分线的概念 认真听讲 认真思考，举手回答问题 认真听讲 举手回答问题 认真听讲，了解线段垂直平分线的性质定理 学生认真思考，举手回答问题 认真听讲 学生认真思考，举手回答问题 认真听讲 认真听讲，了解线段垂直平分线的性质定理的逆定理活动意图说明：数学是一门严谨的学科，它要求推理过程和结论都必须经过严格的逻辑推理和证明。让学生通过自主证明，感受数学的严谨性，提高学生的逻辑推理能力和自主解题能力。环节三：例题精讲教师活动3： 例1如图，在△ABC中，AB，BC的垂直平分线相交于点O，连接OA，OB，OC. 求证：点O在AC的垂直平分线上. 证明：因为点O在线段AB的垂直平分线上， 所以OA=OB（线段垂直平分线的性质定理）. 同理可得OB=OC. 于是OA=OC. 所以点O在AC的垂直平分线上（线段垂直平分线的性质定理的逆定理）.学生活动3： 学生认真思考，独立完成习题 认真听讲活动意图说明：让学生通过具体例题的教学理解和巩固数学基础知识，把数学理论与实践相结合，掌握数学基础知识理论的用途和方法，从而达到提高分析问题解决问题的能力的目标。环节四：课堂总结教师活动4： 线段垂直平分线的性质定理： 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. 线段垂直平分线的性质定理的逆定理： 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.学生活动4： 学生跟随教师对学习内容进行归纳梳理 活动意图说明：对课堂教学进行归纳梳理，给学生一个整体印象，促进学生掌握知识总结规律。
板书设计
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.如图，已知直线PC是线段AB的垂直平分线，∠APC＝50°，则∠B＝（　　） A．40°　　B．50°　　C．55°　　D．60° 2.已知下列命题：①两点之间线段最短；②全等三角形的对应边相等；③底角相等的两个等腰三角形全等；④线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．其中真命题的个数为(　　)个. A．1　　B．2　　C．3　　D．4 3.如图，在等边三角形中，，垂足为点，点在线段上， ，则等于（　　） A．　　B．　　C．　　D． 选做题： 4.如图，在中，，，的垂直平分线交于点，则 　 　 ． 5.如图，的垂直平分线分别交于点D和点E，连接，则的度数是　 　． 6.如图，在中，，D，E是边上两点，且所在的直线垂直平分线段，平分，，则的长是　 　． 【综合拓展类作业】 7.如图，中，，，的垂直平分线交于点E，交于点D，连接． （1）求的度数； （2）若，求长．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.如图，在中，，，，的垂直平分线交于点，交于点E，的垂直平分线交于点N，交于点F，则的长为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 2.如图，在中，的垂直平分线分别交、于点、，的垂直平分线分别交、于点、．若，则的度数是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 3.如图，在中，，，的垂直平分线分别交，于，两点，是上一点，且，连接，．则下列说法正确的是；；．（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【综合拓展类作业】 4.如图，在中，分别垂直平分和，交于M、N两点，与相交于点F． （1）若的周长为，求的长； （2）若，求的度数．
教学反思 教学中发现，部分学生在逆定理的证明中逻辑表述不够严密，需加强书写规范的指导；此外，可结合生活实例增强学生的直观感知。对于综合应用问题，可设计阶梯式练习，从单一性质应用到复杂图形分析，逐步提升学生的几何思维能力。动态几何软件的演示可辅助学生直观理解定理的普遍性。
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